Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np. x lub y lub inną literę. Znalezienie rozwiązania układu równań polega na znalezieniu takiej pary liczb, które wstawione zamiast zmiennych sprawią, że w każdym równaniu lewa i prawa strona będą sobie równe. PRZYKŁAD 1.1. Sprawdź, czy para (5, 3) spełnia układ równań: 7x 2y = 29 4x + y = 23 Musimy do obu równań tworzących układ w miejsce x podstawić 5, a w miejsce y podstawić 3. pierwsze równanie: drugie równanie: 7 5 2 3 = 29 4 5 + 3 = 23 35 6 = 29 20 + 3 = 23 29 = 29 23 = 23 Ponieważ w obu równaniach lewa strona jest równa prawej, więc para liczb (5, 3) spełnia dany układ równań. PRZYKŁAD 1.2. Sprawdź, czy para (2, 3) spełnia układ równań: x + 2y = 7 2x W miejsce x podstawiamy 2, a w miejsce y podstawiamy 3. pierwsze równanie: 2 + 2 3 = 7 2 + 6 = 7 8 = 7 SPRZECZNOŚĆ! Lewa strona równania nie jest równa prawej, więc para liczb (2, 3) nie spełnia układu równań. (Nie spełnia pierwszego równania, więc nie spełnia całego układu).
METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ METODA PODSTAWIANIA Z dowolnego równania wyliczamy jedną ze zmiennych (x albo y) i to, co otrzymamy podstawiamy do drugiego równania. W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą, którą wyliczamy. PRZYKŁAD 2.1. x + 0 10 y y = 4 z pierwszego równania wyliczmy x (niewiadomą y przenosimy na drugą stronę równania ze znakiem przeciwnym) pierwsze równanie przepisujemy, a do drugiego w miejsce x podstawiamy 10 y drugie równanie ma tylko niewiadomą y, więc pierwsze równanie przepisujemy, a drugie równanie rozwiązujemy y y = 4 10 2y = 6 : ( 2) x = 10 3 x = 7 Liczbę 3 wstawiamy teraz w miejsce y do równania pierwszego i wykonujemy obliczenia (obliczamy x) Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (7, 3) PRZYKŁAD 2.2. x 3 x y = 5 z pierwszego równania wyznaczamy x, drugie równanie przepisujemy x y = 5 3 + 3y y = 5 3 + 2y = 5 2y = 5 3 2y = 2 : 2 x = 3 + 3 1 pierwsze równanie przepisujemy, a do drugiego w miejsce x podstawiamy 3 + 3y pierwsze równanie przepisujemy, a drugie równanie rozwiązujemy Do pierwszego równania w miejsce y wstawiamy liczbę 1 i wykonujemy obliczenia (obliczamy x)
x = 3 + 3 x = 6 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (6, 1) PRZYKŁAD 2.3. 3x + 2y = 11 2x + 9 3x + 2y = 11 3x + 2(19 2x) = 11 3x + 38 4x = 11 7x + 38 = 11 7x = 11 38 7x = 49 : ( 7) x = 7 x = 7 9 2 7 x = 7 9 14 x = 7 y = 5 Najłatwiej z drugiego równania wyznaczyć y Do pierwszego równania w miejsce y podstawiamy 19 2x pierwsze równanie rozwiązujemy, a drugie równanie przepisujemy Do drugiego równania w miejsce x wstawiamy liczbę 7 i wykonujemy obliczenia (obliczamy y) Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (7, 5) PRZYKŁAD 2.4. x + 4y = 7 2x + 8 2x + 8 2(7 4y) + 8 14 8y + 8 14 = 1 Z pierwszego równania wyznaczamy x Pierwsze równanie przepisujemy, a do drugiego równania w miejsce x podstawiamy 7 4y pierwsze równanie przepisujemy, a drugie równanie rozwiązujemy Sprzeczność! Układ równań nie ma rozwiązania.
METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Układ doprowadzamy do takiej postaci, aby przy tych samych niewiadomych (x albo y) w obu równaniach otrzymać przeciwne współczynniki (czyli przeciwne liczby). PRZYKŁAD 3.1. x + 0 Współczynniki przy niewiadomej y są liczbami przeciwnymi: 1 i -1. Dodajemy równania stronami: dodajemy lewą stronę równania pierwszego i lewą stronę równania drugiego, oraz prawą stronę pierwszego i drugiego równania. x + 0 + x + y + x 0 + 4 2x = 14 : 2 x = 7 x = 7 x + 0 x = 7 7 + 0 x = 7 0 7 x = 7 otrzymaliśmy równanie, redukujemy wyrazy podobne i rozwiązujemy dołączamy drugie równanie dowolnie wybrane z układu i tworzymy nowy układ równań, a następnie go rozwiązujemy: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (7, 3) PRZYKŁAD 3.2. 5x 2y = 8 5x + y = 9 5x 2y = 8 + 5x + y = 9 Przy niewiadomej x są liczby przeciwne: - 5 i 5, więc dodajemy układ równań stronami. 5x + ( 2y) + ( 5x) + y = 8 + ( 9) 5x 2y 5x + y = 8 9 y = 1 : ( 1) Tworzymy nowy układ do równania: dopisujemy dowolne równanie z pierwszego układu: 5x 2y = 8 5x 2 1 = 8 5x 2 = 8 5x = 8 + 2
5x = 10 : 5 x = 2 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (2, 1) PRZYKŁAD 3.3. x 2y = 7 Często zdarza się, że współczynniki przy tej samej niewiadomej nie są liczbami przeciwnymi. Czasem wystarczy obie strony jednego równania pomnożyć przez jakąś liczbę, aby przy jednej z niewiadomych otrzymać liczby przeciwne: x 2y = 7 ( 5) + 5x + 10y = 35 5x + ( 3y) + ( 5x) + 10y = 21 + ( 35) 5x 3y 5x + 10y = 21 35 7y = 14 : 7 Tworzymy nowy układ i go rozwiązujemy: 5x 3 ( 2) = 21 5x + 6 = 21 5x = 21 6 5x = 15 : 5 x = 3 Przy niewiadomej x są liczby przeciwne: 5 i - 5, więc dodajemy układ równań stronami. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (3, -2) PRZYKŁAD 3.4. 2x + 24 2 3x 4y = 14 4x + 4y = 28 + 3x 4y = 14 obie strony pierwszego równania mnożymy przez 2, aby przy zmiennej x otrzymać liczby przeciwne 4 i -4 4x + 4y + 3x 4y = 28 + ( 14) 7x = 28 14 7x = 14 : 7 x = 2
Tworzymy nowy układ i go rozwiązujemy: x = 2 2x + 24 x = 2 2 2 + 24 x = 2 4 + 24 x = 2 24 4 x = 2 20 : 2 x = 2 y = 5 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (2, 5) PRZYKŁAD 3.5. 3x + 57 3 2x 3y = 5 5 9x + 15y = 51 + 10x 15y = 25 Doprowadzamy równania do takiej postaci, aby przy zmiennej np. y otrzymać liczby przeciwne 9x + 15y + 10x 15y = 51 + 25 19x = 76 : 19 x = 4 Tworzymy nowy układ i go rozwiązujemy: x = 4 3x + 57 x = 4 3 4 + 57 x = 4 12 + 57 x = 4 57 12 x = 4 5y = 5 : 5 x = 4 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (4, 1) PRZYKŁAD 3.6. 4x 3 2 8x + 6 8x 6y = 2 + 8x + 6 8x 6y 8x + 6y = 2 2 0 = 0 Prawda! Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zad.1. Rozwiąż układy równań metodą podstawiania: 2x + y = 1 a). x = y + 7 2x 5y = 2 b). y 2x = 10 Zad.2. Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników: 2x + y = 4 a). 2x + 2y = 2 b). 3x + 2y = 1 2x 3