Zasada średniego potencjału w grach ewolucyjnych. Paweł Nałęcz-Jawecki

Podobne dokumenty
Stochastyczne dynamiki z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych

GRA Przykład. 1) Zbiór graczy. 2) Zbiór strategii. 3) Wypłaty. n = 2 myśliwych. I= {1,,n} S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 10 utils

Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów

Tematy prac magisterskich i doktorskich

Teoria gier. Strategie stabilne ewolucyjnie Zdzisław Dzedzej 1

Gry hazardowe, gry ewolucyjne, ekspresja genów, tak czy owak łańcuchy Markowa

Gry hazardowe, gry ewolucyjne, ekspresja genów, tak czy owak łańcuchy Markowa

Teoria gier a ewolucja. Paweł Kliber (UEP)

Matematyk Ci powie, co łączy Eugeniusza Oniegina i gry hazardowe

Badania operacyjne egzamin

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

ALHE. prof. Jarosław Arabas semestr 15Z

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

Rozwiązywanie równań nieliniowych

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Egzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

Wykład z równań różnicowych

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

Oligopol. dobra są homogeniczne Istnieją bariery wejścia na rynek (rynek zamknięty) konsumenci są cenobiorcami firmy posiadają siłę rynkową (P>MC)

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

Temat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1

WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

Wykład z równań różnicowych

Algorytm Genetyczny. zastosowanie do procesów rozmieszczenia stacji raportujących w sieciach komórkowych

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol

Metody przeszukiwania

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.

Modele lokalizacyjne

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH

TEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo

Analityczna postać równowagi Nasha w postaci sprzężenia zwrotnego w modelu Lanchestera

EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. x i 0,

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Algebra liniowa z geometrią

Algorytmy ewolucyjne 1

a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...

Strategie ewolucyjne (ang. evolu4on strategies)

Algorytmy genetyczne. Paweł Cieśla. 8 stycznia 2009

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Przykładowe rozwiązania

Układ RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu:

Matematyka dyskretna dla informatyków

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych.

14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?

Algorytm genetyczny (genetic algorithm)-

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne

Elementy metod numerycznych

Problem Komiwojażera - algorytmy metaheurystyczne

Algorytmy sztucznej inteligencji

3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Zaawansowane metody numeryczne

Zadania laboratoryjne i projektowe - wersja β

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

Definicje i przykłady

Fraktale deterministyczne i stochastyczne. Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

Algorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia stacjonarne i niestacjonarne

powierzchnia rozdziału - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Algorytmy genetyczne

Oligopol. Jest to rynek, na którym niewielka liczba firm zachowuje się w sposób b strategiczny i ają niezależnie od siebie, ale uwzględniaj

Funkcje dwóch zmiennych

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Prawdopodobieństwo i statystyka

Elementy teorii gier

Propedeutyka teorii gier

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

Transkrypt:

Zasada średniego potencjału w grach ewolucyjnych Paweł Nałęcz-Jawecki

O czym będzie ten komunikat

O czym będzie ten komunikat Jak powiązać procesy błądzenia losowego na dyskretnym grafie ze (stochastycznymi lub nie) równaniami różniczkowymi? Co wtedy od razu widać?

O czym będzie ten komunikat I dlaczego warto czasami narysować wykres

Funkcja potencjału

Funkcja potencjału

Funkcja potencjału

Gra ewolucyjna Motywacja

Motywacja Gra ewolucyjna B B D B C C B C D B D Mamy pewną populację graczy

Motywacja Gra ewolucyjna B B D B C C B C D B D Mamy pewną populację graczy Każdy gracz posiada pewną strategię

Motywacja Gra ewolucyjna B B D B C C B C D B D Mamy pewną populację graczy Każdy gracz posiada pewną strategię F Ta strategia determinuje kondycję (fitness) danego gracza

Motywacja Gra ewolucyjna B B D B C C B C D B D Mamy pewną populację graczy Każdy gracz posiada pewną strategię F B C D D D B B B B C Ta strategia determinuje kondycję (fitness) danego gracza W zależności od tego jak grają inni

Motywacja John Maynard Smith Greorge R. Price X Y F X F Y

Motywacja John Maynard Smith Greorge R. Price X Y F X F Y X + X Y + Y

Motywacja John Maynard Smith Greorge R. Price X Y F X F Y - funkcja antysymetryczna - parametr (siła selekcji) X + X Y + Y

Proces dyskretny Liczba graczy N jest stała wszyscy grają B wszyscy grają

Proces dyskretny Liczba graczy N jest stała wszyscy grają B wszyscy grają B C

Proces dyskretny Liczba graczy N jest stała wszyscy grają B wszyscy grają

Proces dyskretny Liczba graczy N jest stała wszyscy grają B wszyscy grają

Pytania Co się stanie, jeśli w populacji zdominowanej przez osobniki B pojawi się jeden (mała grupa) mutantów typu? Jaka jest szansa, że nowy fenotyp całkowicie wyprze stary? Czy selekcja będzie w tym pomagać czy przeszkadzać? Czy możliwa jest w miarę stabilna koegzystencja? Która strategia wyginie? (w zależności od stanu początkowego) Kiedy się to stanie?

Pytania Co się stanie, jeśli w populacji zdominowanej przez osobniki B pojawi się jeden/mała grupa mutantów typu? Jaka jest szansa, że nowy fenotyp całkowicie wyprze stary? Czy selekcja będzie w tym pomagać czy przeszkadzać? Czy możliwa jest w miarę stabilna koegzystencja? Która strategia wyginie? (w zależności od stanu początkowego) Kiedy się to stanie?

Proces dyskretny wszyscy grają B wszyscy grają

Proces dyskretny wszyscy grają B wszyscy grają

Rozwiązania dokładne Równanie Masters i dualne do niego

Przybliżenie procesem ciągłym liczba kroków na jednostkę czasu ~ N

Przybliżenie procesem ciągłym liczba kroków na jednostkę czasu ~ N rne Traulsen (2006 i później)

Przybliżenie procesem ciągłym liczba kroków na jednostkę czasu ~ N Równanie replikatorowe (deterministyczne) Błądzenie losowe (bez dryfu) Martin Nowak (2004) rne Traulsen (2006 i później)

Przykład Gracze to wilki polujące na zwierzynę Na łowy wyruszają parami Żeby upolować jelenia, oba osobniki muszą współpracować

Przykład Gracze to wilki polujące na zwierzynę Na łowy wyruszają parami Żeby upolować jelenia, oba osobniki muszą współpracować : lojalnie współpracuję -> jeśli partner nie zawiedzie, dostanę dużo B: idę polować na owce -> dostanę mało, ale na pewno Gra typu jeleń-zając

Przykład : lojalnie współpracuję -> jeśli partner nie zawiedzie, dostanę dużo B: idę polować na owce -> dostanę mało, ale na pewno Gra typu jeleń-zając

Przykład : lojalnie współpracuję -> jeśli partner nie zawiedzie, dostanę dużo B: idę polować na owce -> dostanę mało, ale na pewno Jeśli większość graczy gra, gracze są bardziej syci niż gracze B (F > F B ) Gra typu jeleń-zając

Przykład : lojalnie współpracuję -> jeśli partner nie zawiedzie, dostanę dużo B: idę polować na owce -> dostanę mało, ale na pewno Jeśli większość graczy gra, gracze są bardziej syci niż gracze B (F > F B ) Jeśli większość graczy gra B, gracze B są bardziej syci niż gracze (F < F B ) Gra typu jeleń-zając

Przykład Deterministycznie: wszyscy grają B wszyscy grają

Strategie ewolucyjnie stabilne Czy selekcja pomaga w utrzymaniu status-quo? Def. Strategię B nazwiemy, ewolucyjnie stabilną, jeśli w przypadku najechania populacji, w której wszyscy grają B, przez nieliczną grupę osobników grających dowolną inną strategią: (i) najeźdźcy mają gorszą kondycję niż osobniki B (Maynard Smith) (ii) szansa, że najeźdźcy całkowicie wyprą graczy B jest mniejsza niż w przypadku nie działania selekcji (Nowak)

Przybliżenie procesem ciągłym

Przykład : lojalnie współpracuję -> jeśli partner nie zawiedzie, dostanę dużo B: idę polować na owce -> dostanę mało, ale na pewno Jeśli większość graczy gra, gracze są bardziej syci niż gracze B (F > F B ) Jeśli większość graczy gra B, gracze B są bardziej syci niż gracze (F < F B ) Gra typu jeleń-zając

Przykład : lojalnie współpracuję -> jeśli partner nie zawiedzie, dostanę dużo B: idę polować na owce -> dostanę mało, ale na pewno Jeśli większość graczy gra, gracze są bardziej syci niż gracze B (F > F B ) Jeśli większość graczy gra B, gracze B są bardziej syci niż gracze (F < F B ) - niestabilna równowaga Nasha Gra typu jeleń-zając

Przykład Załóżmy, że szansa na wygranie pojedynku o samicę zależy liniowo od różnicy kondycji

Przykład Załóżmy, że szansa na wygranie pojedynku o samicę zależy liniowo od różnicy kondycji

Przykład Załóżmy, że szansa na wygranie pojedynku o samicę zależy liniowo od różnicy kondycji

Przykład Załóżmy, że szansa na wygranie pojedynku o samicę zależy liniowo od różnicy kondycji

Strategie ewolucyjnie stabilne Czy selekcja pomaga w utrzymaniu status-quo? Def. Strategię B nazwiemy, ewolucyjnie stabilną, jeśli w przypadku najechania populacji, w której wszyscy grają B, przez nieliczną grupę osobników grających dowolną inną strategią: (i) najeźdźcy mają gorszą kondycję niż osobniki B (Maynard Smith) (ii) szansa, że najeźdźcy całkowicie wyprą graczy B jest mniejsza niż w przypadku nie działania selekcji (Nowak)

Zasada średniego potencjału (i) zachodzi, gdy w x = 0 potencjał ma lokalne minimum (ii) zachodzi (dla w -> 0), gdy potencjał w x = 0 jest mniejszy niż średni potencjał na całym odcinku (ii)* zachodzi dla konkretnego w, gdy wartość e ϕ jest mniejsza w punkcie x = 0 niż średnio na całym odcinku

Zasada średniego potencjału Dla jakich x* strategia B jest stabilna?

Zasada średniego potencjału Dla jakich x* strategia B jest stabilna? Warunek (i) jest spełniony zawsze Wystarczy sprawdzić, kiedy średni potencjał jest potencjału w zerze Ponieważ ϕ x* [x] jest prostą funkcją (wielomianem 2 stopnia) zmiennej (x-x*), więc warunek generuje proste równanie na krytyczną wartość x* Okazuje się, że strategia B jest stabilna dla x*>1/3

Zasada średniego potencjału x* = 1/5 x* = 2/5 x* = 1/3

Kuleczka i pionek To było tylko (dobre) przybliżenie Czy możemy znaleźć proces ciągły, który dokładnie odpowiada procesowi dyskretnemu?

Przybliżenie procesem ciągłym liczba kroków na jednostkę czasu ~ N Równanie replikatorowe (deterministyczne) Błądzenie losowe (bez dryfu) Martin Nowak (2004) rne Traulsen (2006 i później)

Kuleczka i pionek Dla procesu ciągłego szansa dotarcia do x+1/n wcześniej niż do x-1/n pod warunkiem zaczynania z x wynosi

Kuleczka i pionek Dla procesu ciągłego szansa dotarcia do x+1/n wcześniej niż do x-1/n pod warunkiem zaczynania z x wynosi Możemy wziąć dowolne ϕ, np. kawałkami liniowe, spełniające powyższą zależność

Dziękuję za uwagę Paweł Nałęcz-Jawecki Jacek Miękisz Kajetan Muszyński