Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2009/2010 sem. 3. grupa II Termin: 10 XI 2009 Zadanie: Trajektoria rzuconego ukośnie granatu w układzie odniesienia skręcającego samolotu Nr. albumu: 150875 Nazwisko i imię: Grzegorz Graczyk Ocena z kolokwium:... Ocena z raportu:... Nr. albumu: 151021 Nazwisko i imię: Tarasiuk Paweł Ocena z kolokwium:... Ocena z raportu:... Data oddania raportu: 10 XI 2009 Uwagi:
Treść zadania Dany jest samolot lecący z prędkością V 0 wzdłuż osi x na stałej wysokości H, a jego współrzędne w chwili początkowej to ( d, 0, H). W chwili, kiedy samolot przelatywał nad początkiem układu współrzędnych, z początku układu współrzędnych rzucono ukośnie granat z prędkością V g, pod takim kątem α, aby trafić w samolot. Samolot natychmiast zauważył pocisk i zaczął skręcać w prawo (na oś -y) zachowując stałą, ale inną prędkość V. Aby wykonać ten manewr, samolot musiał nachylić się względem płaszczyzny z = H i pozostał na tej samej wysokości H. Należy pokazać trajektorię samolotu i granatu widzianą względem zewnętrznego układu współrzędnych, oraz trajektorię granatu widzianą z samolotu. Kąt nachylenia należy policzyć ze wzoru tgβ = V 2 /(R g). W tabeli podać przyjęte początkowe parametry: H = 12, V 0, d, V, V g, R - gdzie R to promień okręgu, po którym zaczyna się poruszać samolot. Opis metody Przebieg opisanego zjawiska fizycznego został podzielony na trzy etapy: lot jednostajny prostoliniowy samolotu, przechylanie skrzydeł, oraz lot po łuku. Uwzględnienie stanu przejściowego (nawet krótkotrwałego) jest bardzo istotne, gdyż gdyby przyjąć, że samolot przechylił skrzydła natychmiast, okazałoby się że widziany z niego granat przesunął się zauważalnie w zerowym czasie. Sama estetyka wyznaczanego wykresu trajektorii wymaga więc, aby uwzględnić czas trwania przechylania skrzydeł. Przyjęto zatem, że samolot przechyla skrzydła w równomiernie w czasie, od kąta 0 deg, oznaczającego nachylenie skrzydeł do płaszczyzny z = H, do policzonego zgodnie z treścią zadania kąta β. Aby pierwszy etap przedstawiał lot samolotu przez pewien czas t 1 i zakończył się doleceniem samolotu do punktu (0, 0, H), należy przyjąć d = V 0 t 1. Drugi (przejściowy) etap lotu (trwający t 2 ) samolotu jest najbardziej skomplikowany numerycznie - kąt nachylenia skrzydeł β zmienia się liniowo od 0 do arc tan(v 2 m/(r g)). Dla każdej rozważanej chwili można zatem policzyć chwilowy promień łuku po którym porusza się samolot, jako R m = V 2 m/(g tan(β)), gdzie V m to chwilowa prędkość liniowa (która zmienia się w czasie równomiernie od V 0 do V ). Takie rozpatrywanie tego przypadku zapewnia płynność procesu fizycznego i brak skoków, takich jak duże przesunięcia albo zmiany prędkości następujące w zerowym czasie. Trzeci, trwający przez pewien czas t 3 etap ruchu samolotu to trywialny w implementacji ruch po okręgu o promieniu R z prędkością liniową V. Ruch granatu jest znacznie prostszy do opisania - przez czas t 1 znajduje się on w wyrzutni, w początku układu współrzędnych. Następnie jest wystrzeliwany ukośnie z prędkością V g. Warunek, że granat jest wystrzelony tak, aby trafić w samolot, sprowadza się do α = arc cos(v 0 /V g ). Jeżeli jednak prędkość V g jest zbyt mała, granat zacznie opadać zanim doleci do wysokości, na której znajduje się samolot. W praktyce jednak pociski (dzięki mniejszej masie) osiągają znacznie większe prędkości, niż samoloty - tak też przyjęto przy ustalaniu parametrów. Granat porusza się po paraboli na płaszczyźnie y = 0, aż w pewnym momencie wraca na wysokość 0 i pozostaje na ziemi. Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 2 / 6
Aby utworzyć macierz położeń granatu w układzie odniesienia samolotu, wykorzystano przygotowane informacje o położeniach obu tych obiektów względem niezależnego układu odniesienia. Na początku wykonano translację, w sposób trywialny - odejmując macierz samolotu od macierzy granatu. Samolot jednakże obraca się podczas drugiego i trzeciego etapu swojego ruchu. Wykonanie translacji na samym początku ułatwia jednak obliczanie rotacji - teraz początek układu współrzędnych oznacza położenie samolotu i można wykonywać rotacje właśnie względem początku układu współrzędnych. Wykonana została rotacja względem osi Z samolotu (która wtedy jeszcze była równa osi Z zewnętrznego układu współrzędnych), o kąt wynikający z przebiegu ruchu po łukach. Następnie wystarczyło wykonać obrót o kąt β względem osi samolotu, która w wyniku dotychczasowych przekształceń stała się po prostu osią X. Wykonanie rotacji w przeciwnej kolejności byłoby błędne (gdyż bez uwzględnienia rotacji względem osi Z, oś X wcale nie byłaby osią samolotu, a po takiej nieprawidłowej rotacji także oś Z zmieniłaby swoje znaczenie). Program został przygotowany w taki sposób, aby rysowanie różnego rodazaju wykresów wymagało jedynie zmiany argumentu wywołania głównej funkcji. Obliczenia są wykonywane w pętlach, w których liczba wykonanych czynności jest wprost proporcjonalna do liczby rozważanych stanów chwilowych. Pełne szczegóły dotyczące implementacji zawarte są w komentarzach do kodu źródłowego - oddają one tok rozumowania zastosowany przy tworzeniu programu. Przyjęte parametry Parametr Wartość Jednostka Opis t 1 1, 5 s Czas do wystrzelenia granatu t 2 0, 5 s Okres przejściowy skręcania samolotu H 12 m Wysokość, na której leci samolot d 40 m Początkowa ujemna współrzędna x samolotu m V 0 20 s Prędkość początkowa samolotu m V 15 s Prędkość samolotu lecącego po końcowym łuku R 20 m Końcowy promień łuku, po którym leci samolot m V g 31 s Prędkość, z którą wystrzelono granat W celu przygotowania wykresów, program stworzył macierze położeń w czasie dla samolotu, granatu, oraz granatu względem samolotu. Rozważane zostały stany chwilowe występujące co 0, 01 s. Czas trwania ostatniego etapu ruchu samolotu będzie różny dla różnych wykresów. Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 3 / 6
Wykresy Kształt trajektorii samolotu oraz granatu względem zewnętrznego układu odniesienia (np. względem wyrzutni granatów) jest prostu do przewidzenia. Wykonano go dla t 3 = 7 s. Ten sam wykres widziany z innej perspektywy stanowi dowód, że samolot zdołał uniknąć trafienia przez granat (co z teoretycznego punktu widzenia jest oczywiste, bo samolot jest punktem i opuścił płaszczyznę y = 0 zanim granat znalazł się na wysokości H). Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 4 / 6
Zastanówmy się natomiast, jakim przekształceniom powinna ulec parabola po której porusza się granat, jeżeli układem odniesienia będzie samolot. Samolot zaczął oddalać się w kierunku ujemnym od osi Y, więc granat mieć względem niego coraz większe, dodatnie współrzędne y. Na początku skręcania samolotu decydujące może jednak być jego pochylenie skrzydeł, tak że znajdujący się bezpośrednio pod nim granat będzie bliżej prawego skrzydła, niż lewego. Zatem granat przez pewien czas będzie z prawej strony, ale jeszcze zanim osiągnie wysokość samolotu zacznie się oddalać w lewo. Natomiast gdy znajdujący się z lewej strony samolotu granat upadnie na ziemię i będzie oddalony od samolotu, jego względna współrzędna z będzie mniejsza niż w chwili, gdy został wyrzucony. Zgodność z opisanym jakościowym eksperymentem myślowym świadczy o poprawności poniższego wykresu (dla t 3 = 2, 5 s): Jeżeli t 3 będzie odpowiednio duże, dominującą informacją na wykresie stanie się tor leżącego na ziemi granatu widziany przez poruszający się po okręgu, pochylony samolot. Poniżej znajduje się wykres dla t 3 = 10 s. Drugi wykres także potwierdza teoretyczne przewidywania jakościowe - gdy samolot jest daleko od granatu, pochylony jest w taki sposób, że granat znajduje się nad płaszczyzną jego skrzydeł. Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 5 / 6
Podsumowanie Proste przekształcenia wzorów znanych z kinematyki pozwalają na dokładny opis badanego zjawiska, oraz na wykonanie jego symulacji dla wybranego zestawu parametrów. Uzyskane wykresy są zgodne z rezultatami przewidywań teoretycznych na temat ich kształtu. Przekształcanie położenia samolotu względem niego samego zakończyło się oczywiście wskazaniem punktu (0, 0, 0), ale należy zauważyć, że świadczy to jedynie o poprawności wykonania translacji. O poprawności wykonania rotacji może świadczyć ostatni wykres, z którego wynika, że punkt który jest statyczny względem ziemi (leżący granat) w układzie odniesienia samolotu porusza się po nachylonej pod kątem β elipsie. Do drugiego i trzeciego etapu ruchu samolotu zastosowano dokładnie te same wzory, co zapewnia poprawność obu etapów obliczeń (kod pętli wyznaczającej współrzędne w trzecim etapie ruchu jest prostszy tylko dlatego, że część wielkości nie ulega w nim zmianom). Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 6 / 6