Modelowanie Wieloskalowe

Modelowanie Wieloskalowe Modele naprężenia uplastyczniającego w ujęciu symulacji numerycznej Dr hab. inż. Łukasz Madej, prof. AGH Katedra Informatyki Stosowanej i Modelowania Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Budynek B5 p. 716 lmadej@agh.edu.pl home.agh.edu.pl/lmadej

MES MOS obszar kontrolny równoważny jest komórce siatki obszar kontrolny zbudowany jest wokół węzła siatki

Metody bezsiatkowe do reprezentacji problemu używają zbioru węzłów rozproszonych w dziedzinie problemu, jak i na granicach dziedziny.

Prace teoretyczne Tworzenie modelu Symulacja Próby przemysłowe numeryczna Produkt złe Kształt/ własności wymagane Produkt końcowy Dane z projektu 7PR ASK

Krzywe umocnienia

www.nature.com www.dierk-raabe.com

Ebsd.info www.texture.de legacy.virtualexplorer.com.au

Równanie konstytutywne stanowi relacje pomiędzy dwiema wielkościami fizycznymi charakterystycznymi dla danego materiału lub substancji, mają charakter fenomenologiczny lub wyprowadzane są z zasad pierwszych. Tarcie Pojemność cieplna F f = F p μ f q = c p T Elektryczność P j = ε 0 χ ij E i D j = ε ij E i D Magnetyzm M j = μ 0 χ m,ij H i B j = μ ij H i B 0 Dyfuzja D t D 2 r, t t C J j Dij x r, t Liniowa elastyczność F = kx C i

W przypadku modelowania odkształceń plastycznych zmiennymi pola będą naprężenia i prędkości odkształcenia, czyli modelem konstytutywnym będzie na przykład prawo plastycznego płynięcia Levy-Misesa σ 2 p ε 3 i

Równanie konstytutywne stanowi relacje pomiędzy dwiema wielkościami fizycznymi charakterystycznymi dla danego materiału lub substancji, mają charakter fenomenologiczny lub wyprowadzane są z zasad pierwszych. Model Konstytutywny Model Reologiczny

Rheology (z Greki) rheo, płynięcie ology, studia nad Reologia jest nauką o deformacji i płynięciu. Ciekawiej można powiedzieć: Reologia jest nauką o płynięciu materiałów, które zachowują się w interesujący i niespotykany sposób. W tym rozumieniu modelem reologicznym będą zależności opisujące naprężenie uplastyczniające lub lepkość materiału w funkcji zmiennych zewnętrznych (temperatura, prędkość odkształcenia, itp.) i/lub zmiennych wewnętrznych (gęstość dyslokacji, wielkość ziarna, kąt misorientacji między ziarnami, itp.)

Krzywe umocnienia σ 2 p ε 3 i

naprężenie Krzywe umocnienia odkształcenie

pocketdentistry.com

Krzywe umocnienia umocnienie- wzrost gęstości dyslokacji. Przeszkodami w ruchu dyslokacji są granice ziaren oraz inne dyslokacje. Właśnie to oddziaływanie przemieszczających się podczas odkształcenia dyslokacji prowadzi do szybkiego wzrostu gęstości dyslokacji. Proces przebiega w kilku etapach :

Krzywe umocnienia zdrowienie- spadek gęstości dyslokacji w wyniku ich anihilacji. W początkowym okresie zdrowienia struktury, dyslokacje z wnętrza komórki są przyciągane do ich ścianek, gdzie następuje anihilacja dyslokacji przeciwnych znaków, pozostałe dyslokacje tworzą siatkę oddzielająca wielościenne podziarna. Wzrost ziarn powoduje rozpoczęcie rekrystalizacji.

pocketdentistry.com

Krzywe umocnienia rekrystalizacje dynamiczną, która pojawia się po przekroczeniu pewnej krytycznej wartości gęstości dyslokacji - c Proces ten składa się z dwóch etapów: tworzenie (zarodkowanie) ziarn wzrost ziarn

Matt Nowell, EBSD Product Manager

naprężenie Krzywe umocnienia Program symulacyjny? odkształcenie Równanie

naprężenie A A n odkształcenie

naprężenie A 1, n 1 A 3, n 3 A n A 4, n 4 A 2, n 2 odkształcenie A 4 n 4 Program symulacyjny

Krzywe umocnienia Podejście konwencjonalne p f, p i Naprężenie uplastyczniające jest funkcją odkształcenia i oraz parametrów procesu (np. temperatury i prędkości odkształcenia ) zebranych w wektorze p Zalety: stosunkowo prosta postać funkcji opisujących naprężenie uplastyczniające Wady: nieuwzględnienie wpływu historii odkształcenia. Zmiana warunków odkształcenia powoduje natychmiastowe przejście układu na nowe równanie stanu.

naprężenie, MPa Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na zimno p i p f 0 20 C p i n i 250 C p p p 0 C n i n C i 0 0 i 0 n 0,1 146,1915 0,2 164,9559 0,3 177,2006 0,4 186,5106 0,5 194,1101 0,6 200,5761 0,7 206,23 0,8 211,2705 0,9 215,8297 1 220 200 150 100 50 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 odkształcenie C,n, 0 współczynniki modelu

naprężenie, MPa Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na zimno p f, p gdzie: p i,t i n m Q p 0 Ki i exp RT m n 1 Z p A0i sinh A1 Q Z i exp RT 450 300 400 250 350 300 200 250 150 200 150 100 100 50 50 X? proces rekrystalizacji dynamicznej 0 0 0,20,5 0,4 1 0,6 1,5 0,8 2 1 2,5 1,2 odkształcenie Q,n,m,K,A 0,A 1 współczynniki modelu

odkształcenie Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na gorąco Hansel i Spittel 1 5 m1t m 9 m2 m 4 / mt i m 7 i m 3 m 8 T p Ae T i e i e i i Model opracowany w CEMEF p 3 exp i i exp 1 exp i sat exp 3 i T T n sat R0 K0 R0 K 300 m Model opracowany w Uniwersytecie w Sheffield p 0 0 1 exp R ss e r W modelu jest 16 współczynników 0 2 c R ss 1 exp ss e c xr c 1 1 n0 1 Z 0 sinh r 0 1 3.23 1 A 0 2 q q ss e 2 ss 1 xr ss sinh 1 Z A ss xs c c 1.98 1 n ss c sse 1 2 1 sse sinh Z c Cc 2 ss e 1 N c Z A sse 1 n sse Q Z exp RT Z xs c Cx 2 ss e def def Nx 250 200 150 100 50 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 naprężenie, MPa

Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na gorąco Duża prędkość odkształcenia Mala szybkość odkształcenia Wyniki eksperymentu Podejście konwencjonalne Metoda zmiennych wewnętrznych

Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na gorąco Metoda zmiennych wewnętrznych : p f t,p,q Naprężenie uplastyczniające jest funkcją czasu t, zmiennych wewnętrznych zebranych w wektorze q oraz parametrów procesu (np. temperatura, prędkość odkształcenia) zebranych w wektorze p. W przypadku materiałów metalicznych najczęściej stosuje się uproszczone rozwiązanie, zakładające jedną zmienną wewnętrzną, którą jest średnia wartość gęstości dyslokacji.

Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na gorąco Równanie różniczkowe, które opisuje zmiany gęstości dyslokacji w czasie odkształcenia ma postać: d dt A B C R Funkcja R( - c ) jest zdefiniowana jako: i A bl R exp Qs B im0 RT νγ C mτ D c 0 c dla dla c c l - średnia swobodna droga dyslokacji b - wektor Burgersa D - rozmiar ziarna - stała - energia na jednostkę długości linii dyslokacji m - mobilność (ruchliwość) granic ziarn Q s - energia aktywacji dla samodyfuzji M 0 - współczynnik samodyfuzji - część granicy ziarna, która ulega przemieszczeniu c

Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na gorąco Funkcja dystrybucji gęstości dyslokacji g bl M d dg, t dt d g m G, t D exp Qm m m0 RT 2 b 2 q 1 0.1 X 1 X cr 1 16 3 g K cr 2 l d 3bml Z d q q 2

Naprężenie, stress, MPa MPa 160 120 80 40 0 temperature Temperatura 1150 o C Pr. strain odkształcenia, rate, s -1 s -1 1. --> 10 prediction model 10 --> 1.0 prediction model 1.0 --> 10 measurement pomiar 10 --> 1.0 measurement pomiar 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Odkształcenie strain Zalety: możliwość uwzględnienia wpływu historii odkształcenia Wady: skomplikowane funkcje opisujące naprężenie, powoduje to wydłużenie czasu obliczeń w programach opartych na MES

Naprężenie, stress, MPa MPa Naprężenie, stress, MPa Krzywe umocnienia do symulacji procesów plastycznej przeróbki na gorąco Bliźniakowanie 2 d t d t Sc M t dt bl bl dt 2 200 160 Pr. strain odkształcenia, rate 1 s -1 s -1 120 Wpływ mikro pasm i pasm ścinania 400 300 200 PSCc 8x10x12 100 PSCc 8x10x20 PSCc 12x10x16 UC 12x9 RC 12x6x4 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Odkształcenie strain p pf 1 1.25 arctan 10 2 80 40 steel 700 o C AZ31 250 o C 0 0.1 0.2 0.3 Odkształcenie strain

Dynamiczny rozwój w technikach badawczych (SEM, TEM, AFM, in-situ, thomografia, itp.). NOWE SPOJRZENIE NA MATERIAŁ Nanoindentation SEM scanning electron microscopy skaningowy mikroskop elektronowy TEM transmision electron microscopy transmisyjny mikroskop elektronowy AFM atomic force microscope mikroskop sił atomowych

makro mikro nano

Spośród wielu metod przeznaczonych do analizy zjawisk w różnych skalach można wyróżnić np. metodę Automatów Komórkowych, metodę Monte Carlo czy metody Dynamiki Molekularnej.

Modele wieloskalowe Metoda Elementów Skończonych Metody analizy mikro Konwencjonalne Równania różniczkowe Alternatywne Metody dyskretne CA, MD

Modele wieloskalowe

Metody analizy wieloskalowej można podzielić na dwie podstawowe grupy różniące się założeniami do modelowania w różnych skalach wymiarowych oraz do uwzględnienia sposobu interakcji między nimi metody hierarchiczne i hybrydowe (współbieżne). Do pierwszej grupy zaliczane są metody bazujące na wybranym reprezentatywnym elemencie objętości REO (ang. RVE Representative Volume Element). Metoda zakłada wydzielenie z każdej skali wymiarowej reprezentacyjnego elementu objętości spełniającego warunek: rozmiar REO musi być większy od skali zjawiska, które ma modelować, i równocześnie dużo mniejszy od skali, z której został wydzielony. Rozwiązywanie poszczególnych problemów w kolejnych skalach prowadzi do osiągnięcia makroskopowych parametrów niezbędnych do rozwiązania problemu w skali makro. Sposób taki nazwano hierarchicznym (ang. upscaling).

W tym przypadku można wydzielić trzy podgrupy modeli różniących się sposobem przekazywania danych pomiędzy kolejnymi skalami: - Pierwszą podgrupę stanowią modele niesprzężone typu dół-góra (ang. bottom-up), w których informacje obliczone w niższych skalach wymiarowych np. mikro stanowią podstawę tworzenia równania konstytutywnego opisującego zachowanie się materiału w skalach mezo- czy makroskopowych - Analogiczną grupę stanowią podejścia niesprzężone typu góra-dół (ang. top-down). W tym przypadku informacje ze skali makro stanowią dane wejściowe do niższych skali wymiarowych. - Najbardziej zaawansowaną podgrupę modeli hierarchicznych stanowią modele o charakterze modeli sprzężonych, w których informacja ze skali makro wykorzystywana jest w niższych skalach wymiarowych, ale równocześnie wynik obliczeń w niższych skalach będzie wykorzystany do obliczeń w skali makroskopowej w kolejnym kroku obliczeniowym.

p = [,, u, T, ] q = [ p, D,,, ]

Grupa modeli hybrydowych to metody opisujące dany mechanizm/zjawisko w kilku skalach w całej lub w części objętości badanego materiału domena obliczeniowa jest równocześnie opisana różną dyskretyzacją. W tym przypadku prowadzenie obliczeń różnymi metodami przebiega współbieżnie w przeciwieństwie do metod hierarchicznych, gdzie obliczenia prowadzone są w reprezentacyjnych elementach objętości. Można wyróżnić metody współbieżne niesprzężone typu top-down jak również modele w pełni sprzężone. Podejścia bottom-up nie są w tym przypadku spotykane. Metody analizy wieloskalowej o charakterze hybrydowym oraz hierarchicznym mogą bazować na połączeniu dwóch różnych metod obliczeniowych np. FE MD ale również na wykorzystaniu tej samej metody do opisu zjawiska w dwóch różnych skalach np. FE FE (tzw. FE2). Przykłady opracowania i wykorzystania metod wielkoskalowych typu hierarchicznego i hybrydowego przedstawiono w kolejnym rozdziale.

Hybrid Upscaling and Concurent model

Modele wieloskalowe Podejście hierarchiczne Model konstytutywny w wyższej skali jest konstruowany na podstawie obserwacji w niższej skali. Homogenizacja jest metodą zaliczaną do tej klasy. Podejście współbieżne Problem jest rozwiązywany w różnych skalach równocześnie (najczęściej w dwóch skalach) poprzez a priori dekompozycję domeny. Dekompozycja jest robiona na skalę zgrubną i dokłądną. W praktyce metod komputerowych, problem dużej skali jest rozwiązywany, przy czym dane lokalne (np. przemieszczenia) są warunkami brzegowymi dla bardziej szczegółowej części rozwiązania. Rys historyczny Obydwa podejścia były, w sposób intuicyjny, od lat stosowane przez badaczy. Obecnie obserwujemy rozwój metod wieloskalowych w naukach komputerowych, które łączy modele różnych skal w sposób bardziej systematyczny.

Modele wieloskalowe UPSCALING - 1994 Naprężenie uplastyczniające w MES MES p,... dg dt p T,,,,..., t p ft, g,,... 0 D mg, t b M. Pietrzyk, Metall. Foundry Eng., 1994

Modele wieloskalowe Model Pękania X-FEM Dyskretyzacji MES w skali mikro podlega tylko obszar w okolicy pęknięcia, jest to skala dużo mniejsza niż skala makro w której opisywane jest globalne zachowanie się materiału Allix O., Multiscale strategy for solving industrial problems, Comp. Meth. Appl. Sci., 6, 2006, 107-126

Modele wieloskalowe BEM Dynamika Molekularna 1. BEM model jest obliczany dla zadanych warunków brzegowych 2. Przemieszczenia w płaszczyźnie granicznej są przemieszczeniami brzegu obszaru siatki atomów warunek brzegowy Dirichleta. 3. Obliczane są nowe równowagowe położenia atomów w nanoskali 4. Siły działające na interfejs są warunkiem brzegowym Neumana dla skali makro. Dyskretny model atomowy zastosowano do symulacji odkształcenia siatki atomów pod obciążeniem. U-shape notch under the shear load Symulacja propagacji pęknięć Mrozek A., Kuś W., Burczyński T., Computer Methods in Materials Science, 7, 2007, 284-288.

Modele wieloskalowe Modelu do opisu ruchu płynów z uwzględnieniem ich molekularnej natury. Metoda MD umożliwia symulację na znacznie niższym poziomie niż konwencjonalne metody aproksymacji, wymaga jednak zadania odpowiednich warunków początkowych, np. gęstości, rozkładu ciśnienia czy temperatur. Takie dane określane są z wykorzystaniem obliczeń metodą analizy makroskopowej. Kalweit M., Drikakis D., Multi Scale computational strategy through coupling., Proc Conf., MMM 2006, 191-193

FEM - Monte Carlo Andriy Milenin, Magdalena Kopernik, Multiscale FEM model of artificial heart chamber composed of nanocoatings, Acta of Bioengineering and Biomechanics, 2009,11, 13 20 Wzrost warstwy w procesie CVD (Chemical Vapor Deposition) Wyniki obliczeń MES są traktowane jako dane wejściowe dla obliczeń MC, które wyznaczają rzeczywisty kształt cienkiej warstwy otrzymywanej w wyniku CVD. Rondanini M, Barbato A, Cavalloti C, Proc. Conf., MMM 2006, 98-101

UPSCALING FEM- RVE Metoda opiera się na dekompozycji na kilka skal wymiarowych wykorzystując ideę (RVE). RVE jest wybierany z danej skali wymiarowej zgodnie z zasadą: wymiar RVE jest większy niż skala wybranego problemu oraz mniejszy niż obszar, z którego został wyodrębniony Hellmich C., Hofstetter K., Kober C., Computation Methods in Applied Sciences, 6, 2006, 319-338.

FEM - CA crystallization Rozwój struktur dendrytycznych w procesie krzepnięcia Gandin, C. A., Rappaz, M., Acta Metall., 42, 1994, 2233 2246. - Różniczkowe równania opisujące pole temperatury są rozwiązywane modelem MES. - Metoda CA jest stosowana do przewidywania rozwoju mikrostruktury i generowania ciepła w wyniku krzepnięcia. - Obszar próbki jest pokryty przez dwie oddzielne metody: MES i CA Concurrent computing

Identyfikacja Wybór modelu materiału p f i Identyfikacja parametrów modelu C p 0 i 0 n p f, p i n m Q p 0 Ki i exp RT p p f t,p,q model wieloskalowy 1 5 m1t m 9 m2 m 4 / mt i m 7 i m 3 m 8 T p Ae T i e i e i i Analiza odwrotna