Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska. Strona:

Transkrypt

1 Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska Wykład 30 godzin + Laboratorium 30 godzin Strona: Literatura Modelowanie Urszula Foryś, Matematyka w biologii, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa Piotr Holnicki-Szulc, Modele propagacji zanieczyszczeń atmosferycznych w zastosowaniu do kontroli i sterowania jakością środowiska, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa Jerzy Małecki, Marek Nawalany, Stanisław Witczak, Tomasz Gruszczyński, Wyznaczanie parametrów migracji zanieczyszczeń w ośrodku porowatym dla potrzeb badań hydrogeologicznych i ochrony środowiska, Uniwersytet Warszawski Wydział Geologii, Warszawa Maria Markiewicz, Podstawy modelowania rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w powietrzu atmosferycznym, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa Romuald Szymkiewicz, Modelowanie matematyczne przepływów w rzekach i kanałach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Janusz Uchmański, Klasyczna ekologia matematyczna, PWN, Warszawa Metody numeryczne B. Lucquin, O. Pironneau, Introduction to Scientific Computing, John Wiley & Sons, 1998 Leon Lapidus, George F. Pinder, Numerical solution of partial differential equations in science and engineering, John Wiley & Sons, Internetowy kurs metod numerycznych Numerical Methods for Partial Differential Equations: an Overview and Applications, Filmy o numerycznym prognozowaniu pogody Pogodna matematyka : zakładka: Filmy Wymagania: Egzamin: pisemny Zaliczenie laboratorium: 4 projekty (sprawozdanie) Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska, A. Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski 1

2 O modelowaniu Etapy procesu modelowania Przykład modeli ekologicznych metody numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Model oznacza reprezentację badanego zjawiska w postaci innej niż ta, w jakiej występuje ono w rzeczywistości (W. Findeisen). Podstawowym celem modelowania jest tworzenie narzędzi pozwalających badać i prognozować przebieg zjawisk fizycznych w warunkach innych niż aktualnie istniejące lub w warunkach nie pozwalających na stwierdzenie faktów za pomocą bezpośredniego doświadczenia. modele fizyczne modele obliczeniowe Rozwój modelowania określanego jako modelowanie komputerowe nastąpił dzięki dostępności komputerów o mocach wystarczających do realizowania dużych obliczeń. Przykłady: Numeryczne prognozy pogody mapy.meteo.pl Zastosowania wykorzystujące prognozy pogody (energetyka, rozprzestrzenianie się zanieczyszczeń, modele falowania) modelowanie klimatu Zastosowania z zakresu inżynierii środowiska Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska, A. Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski 2

3 Obliczeniowa mechanika płynów (zastosowania: przemysł motoryzacyjny, lotnictwo, medycyna, inżynieria produkcji,...)... Nawet najdokładniejszy model jest tylko przybliżeniem rzeczywistości. Na to w jakim stopniu model oddaje rzeczywistość ma wpływ między innymi: poprawność przyjętych założeń, uwzględnienie wszystkich procesów istotnych dla badanego zjawiska; niepewność parametrów; niepewność warunków brzegowych; problemy związane ze skalą czasową lub przestrzenną; w tym różnorodność (rozpiętość) skali i brak możliwości ich równoczesnego uwzględnienia; nieadekwatna parametryzacja niejednorodności występujących w małych skalach. Im dokładniejszy model tym lepiej opisuje rzeczywistość. Natomiast tym większe problemy z dostarczeniem danych. Wynikowa dokładność modelu nie może być lepsza od dokładności danych wejściowych. Model jest uproszczoną wersją rzeczywistego systemu i w przybliżony sposób opisuje zachodzące procesy. (J. Bear, A. Verruijt, Modeling Groundwater Flow and Pollution, D.Reidel Publishing Company, Dordrecht 1987.) Ponieważ model jest uproszczoną wizją prawdziwego systemu, nie istnieje jeden i jednoznaczny model opisujący zjawisko. Różne zestawy założeń przyjętych podczas tworzenia modelu prowadzą do różnych modeli, przybliżających badane zjawisko w inny sposób. A zatem nie istnieje model obiektywny. Podstawę modelu stanowi zbiór założeń, które wyrażają nasze zrozumienie systemu i jego zachowania. Przykład modelu ekologicznego model wzrostu Założenia: w danym środowisku występuje tylko jeden gatunek N zasoby środowiska są nieograniczone. osobniki nie umierają. Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska, A. Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski 3

4 populacja jest jednorodna. Model (sformułowanie słowami ): wzrost (zmiana) populacji gatunku jest proporcjonalna do populacji w danej chwili. Matematycznie wyraża to równanie Malthusa: dn ( t) = r N( t), dt gdzie: N (t) - zagęszczenie osobników w chwili t; r >0 współczynnik rozrodczości gatunku. Uwaga: W modelu ciągłym nie rozpatruje się liczebności populacji, lecz jej zagęszczenie, czyli liczbę osobników przypadających na jednostkę powierzchni. Np można interpretować N (t) jako masę danej populacji. Aby równanie miało jednoznaczne rozwiązanie niezbędne jest podanie warunku początkowego: N ( 0) = N 0. Jest to równanie różniczkowe zwyczajne. Jego rozwiązaniem jest funkcja wykładnicza rt ( t) = N e N 0 Jeśli wyznaczenie rozwiązania analitycznego nie byłoby możliwe (łatwe), równanie można rozwiązać w sposób przybliżony korzystając z metod numerycznych. 250 Model wzrostu wykładniczego r=0,1 r=0,4 r=0,6 czas Modelowanie komputerowe - etapy Model konceptualny Model matematyczny Model numeryczny Kalibracja (wyznaczenie/poprawianie wartości parametrów np. na podstawie danych eksperymentalnych) Walidacja Analiza wyników - wizualizacja Model konceptualny Stanowi szereg założeń, redukujących zagadnienie rzeczywiste i rzeczywisty obszar, do ich uproszczonych odpowiedników, które są akceptowalne w kontekście celu modelowania. Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska, A. Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski 4

5 Cele modelowania: edukacja, symulacja, wspomaganie zarządzania, (modele wykorzystywane w procesie wspomagania podejmowania decyzji zwykle zawierają stosunkowo dużo uproszczeń z uwagi między innymi na konieczność szybkiego generowania wyników. ) Założenia modelu konceptualnego określają między innymi: wymiar przestrzenny modelu, geometria obszaru, zmienne stanu (CO się wyznacza, np. temperatura, ciśnienie, stężenie), sposób interakcji z otoczeniem warunki brzegowe, stan ustalony lub zmienność w czasie (zagadnienia ewolucyjne), warunki początkowe, rodzaj zjawiska, wzajemne zależności, np. wpływ substancji rozpuszczonej i/lub temperatury na gęstość i lepkość, Model matematyczny Większość modeli wyraża bilans pewnej wielkości, np. bilans masy wody, bilans masy (substancji), bilans ciepła. Modele deterministyczne: równanie lub układ równań, najczęściej równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych. Należy określić: równanie/ równania na wybór równań mają wpływ założenia uczynione na poziomie modelu konceptualnego, warunki brzegowe interakcje z otoczeniem, warunki początkowe stan systemu w chwili początkowej. Z matematycznego punktu widzenia zagadnienie musi być dobrze postawione: istnienie rozwiązania; jednoznaczność rozwiązania; stabilność (mała zmiana danych powoduje małą zmianę rozwiązania). Modele stochastyczne Automaty komórkowe Wykład 3 Model numeryczny rozwiązanie analityczne (dokładne) istnieje tylko dla ograniczonej klasy zagadnień rozwiązanie numeryczne Uzasadnieniem użycia określenia model numeryczny, zamiast metoda numeryczna uzyskania przybliżonego rozwiązania jest fakt, że również w tym kroku formułuje się szereg Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska, A. Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski 5

6 dodatkowych założeń. A zatem model numeryczny stanowi kolejną przybliżoną wersję rzeczywistego obiektu modelowania. dyskretyzacja - reprezentacja obszaru za pomocą komórek obliczeniowych (elementów) metoda numeryczna Dyskretyzacja Model numeryczny bazuje na dyskretyzacji obszaru, w którym zdefiniowane jest zagadnienie. W ogólnym przypadku rozwiązanie zagadnienia przybliżonego wyznacza się tylko w skończonej liczbie punktów (mówi się, że rozwiązanie jest określone w sposób dyskretny). h x i-1 x i x i+1 acck. M.F. acck. B.C. i K.K. Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska, A. Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski 6

7 Rozwiązanie przybliżone konstruuje się na bazie dyskretyzacji obszaru stosując metodę numeryczną. Najczęściej stosowane metody rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych: metoda różnic skończonych, metoda elementu skończonego, metoda objętości skończonych. Każda z tych metod ma określone wymagania związane ze sposobem przeprowadzenia dyskretyzacji. Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska, A. Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski 7

8 Dyskretyzacja ma wpływ na jakość rozwiązania przybliżonego. W przypadku korzystania z gotowych kodów komputerowych, dyskretyzacja obszaru stanowi jedno z głównych zadań osoby korzystającej z modelu. W przypadku zadań o złożonej geometrii, nawet z pomocą specjalnego oprogramowania, może być to zadaniem bardzo pracochłonnym. W wyniku zastosowania jednej z wymienionych metod otrzymuje się układ równań algebraicznych, liniowych lub nieliniowych. Rozmiar układu równań jest bezpośrednio związany ze sposobem dyskretyzacji, w szczególności z liczbą komórek (elementów), na które został podzielony obszar obliczeniowy. Rozwiązanie układu równań stanowi rozwiązanie przybliżone oryginalnego zagadnienia różniczkowego. Ważnym aspektem modelu konceptualnego jest założenie o wymiarze przestrzennym, w jakim rozważane jest zjawisko. Założenie to pociąga za sobą poważne konsekwencje. mały wymiar, np. 1D duży wymiar, np. 3D Nie każde zjawisko można opisać za pomocą modelu 1-wymiarowego Uwaga: zwiększanie wymiaru obszaru, w którym rozważa się zjawisko, prowadzi do gwałtownego zwiększania rozmiaru układu równań. Implementacja metody obliczeniowej Symulacje Kalibracja (wyznaczenie wartości parametrów np. na podstawie danych eksperymentalnych) Walidacja Model matematyczny układ równań różniczkowych (zwyczajnych lub dyskretyzacja obszaru metoda różnic skończonych metoda elementu skończonego metoda objętości skończonych Model numeryczny układ równań algebraicznych (liniowych lub nieliniowych) metoda iteracyjna lub skończona Rozwiązanie analityczne (dla ograniczonej liczby przypadków) Symulacje: Rozwiązanie przybliżone porównać Obserwacje, eksperymenty porównać Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska, A. Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski 8

9 Odrębna klasa modeli to modele opisywane za pomocą automatów komórkowych Modele działają w oparciu o siatkę. Oczko siatki ma przypisane stany, które podlegają ewolucji według reguł definiujących dynamikę zjawiska. Zmiana stanu w oczku zależy od stanów w sąsiednich oczkach. mniej sformalizowane umożliwia wprowadzanie elementów losowych reguły można definiować w oparciu o prawdopodobieństwo. Przykład: model pożaru lasu: Inna reprezentacja schematu modelowania: ZASTOSOWANIE co robimy? ALGORYTM w jaki sposób? (równania, metody, dane) ARCHITEKTURA uszczegółowienie sposobu realizacji obliczeń (Schemat wg. strony Modelowanie komputerowe stanowi niezwykle mocne i przydatne narzędzie, ale trzeba mieć świadomość jego ograniczeń, oraz przyczyn powodujących te ograniczenia. Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska, A. Trykozko, ICM, Uniwersytet Warszawski 9