Niewierne żony matematyków Rektor uniwersytetu w Palermo dowiedział się, że żony niektórych pracujących u niego matematyków są im niewierne. Postanowił załatwić sprawę w stylu mafijnym i zwołał zebranie z matematykami, na którym wręczył każdemu z nich pistolet i polecił każdemu zamknąć się w domu z żoną, nie kontaktować się z innymi matematykami i na podstawie wiadomości podawanych przez radiowęzeł zadecydować, czy ją zastrzelić, czy też darować jej życie. Co ważne - każdy matematyk to straszny plotkarz i o swojej żonie nie wie nic, zaś o żonach kolegów wie dosłownie wszystko. Zgodnie z zaleceniami Rektora wszyscy matematycy udali się do domów i zamknęli ze swoimi żonami. Wieczorem przez radiowęzeł nadano następujący komunikat: "Wszystkie żony żyją" i tak już do dziewiętnastego dnia nadawano wyłącznie ten komunikat. Dwudziestego dnia na wieczór nadano komunikat: "Wszyscy matematycy zabili swoje żony." Ile było matematyków?
Prawdopodobieństwo warunkowe W pewnej rodzinie jest dwoje dzieci. Wiadomo, że jedno z nich to dziewczynka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że obydwoje dzieci to dziewczynki? p dd p dd + p cd + p dc = 1/3 W pewnej rodzinie jest dwoje dzieci. Wiadomo, że jedno z nich ma na imię Aurelia. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że obydwoje dzieci to dziewczynki? p da + p ad p ca + p ac + p da + p ad = 1/2
Względność ruchu Skoczywszy z tratwy, chłopiec przez 5 minut płynął pod prąd, a potem obróciwszy się i płynąc z tym samym wysiłkiem dogonił tratwę. Jak długo trwało doganianie tratwy?
Paradoks Zenona z Elei Biegacz musi przebiec jakąś ściśle określoną odległość. Zanim jednak osiągnie metą musi najpierw pokonać 1/2 długości, ale zanim to osiągnie musi najpierw dobiec do 1/4, no ale przedtem musi najpierw dobiec do 1/8, i tak w nieskończoność. Konkluzja : biegacz ma do przebycia nieskończoną ilość odcinków i nigdy nie osiągnie mety. Rozwiązanie: odcinków jest co prawda nieskończenie wiele, ale ich suma jest skończona Zbieżność szeregów nieskończonych (analiza matematyczna) Stadion Rozważmy wyścig rydwanów. Szybkość z jaką rydwany poruszają się jest jednocześnie taka i inna, mniejsza i większa, w zależności od tego, względem jakich innych przedmiotów (rydwanów) jest rozważana. Jeśli zaś ruch dokonuje się z szybkością, która jest jednocześnie "taka i nie taka" to jest sprzeczny i nie może istnieć.
Problem Fermiego Ilu jest stroicieli pianin w Los Angeles? Wskazówka: Należy odpowiedzieć na dwa pytania: (i) Ile jest pianin w Los Angeles do nastrojenia?(ii) Ile pianin może nastroić jeden stroiciel? Rozwiązanie: W Los Angeles jest ok. 10.000.000 osób. 10% procent ma zamiłowanie do muzykowania. 10% gra na pianinie, ale nie każdy ma pianino. Załóżmy więc, że 2 populacji ma pianino. Ilość pianin w LA jest prawdopodobnie dwukrotnie większa (szkoły, kościoły, ). Otrzymujemy więc 40000 pianin. Załóżmy, że pianino wymaga raz do roku strojenia. Oraz, że jest to czynność która trwa ok. 2h (z dojazdem stroiciela). W LA stroiciele potrzebują więc 80tys.h rocznie aby wykonać swoją pracę. Stroiciel pracuje 8h dziennie przez pięć dni w tygodniu i przez 50 tygodni rocznie co daje 8*5*50=2000h. W LA jest więc 40 stroicieli.
Ile toi-toi? Ile toalet musimy przygotować na całodniowy wiec polityczny na 10.000 osób? Rozwiązanie: Załóżmy, że średnio każda osoba udaje się do toalety raz na 3h i spędza tam 1min. Czyli 1 toaleta wystarczy na 180 osób. Potrzeba więc 55 toalet.
Średnia arytmetyczna ale jaka?
Średnia arytmetyczna czy geometryczna?
Prawdopodobieństwo warunkowe W populacji na pewną chorobę cierpi 10% mężczyzn i 40% kobiet. W populacji tej kobiety stanowią 50%. 1) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany osobnik będzie cierpiał na tą chorobę? 2) Jakie jest prawdopodobieństwo, że osobnik, który cierpi na tą chorobę jest mężczyzną? K Ch Ch M P(M Ch)= P(Ch M) P(Ch) (wzór Bayes a)
Ryzyko śmierci - Jeżeli próbka nie jest zainfekowana wirusem AIDS to wynik testu jest dodatni z prawdopodobieństwem 1/1000. Wynik testu dodatni Jestem chory z prawdopodobieństwem 0.999 W populacji wirus ten występuje z prawd. 1/10000. W populacji 10000 osób mamy wynik dodatni dla 11 osób. Jedna osoba zarażona + 10 osób z omyłkowym wynikiem dodatnim. Prawdopodobieństwo, że jestem chory wynosi 1/11. A jeżeli choroba występuje z prawdopodobieństwem 1/100?
Testy mammograficzne - W wieku 40 lat 1% kobiet ma raka piersi - 80% kobiet chorujących na raka piersi będzie miało dodatni wynik testu - 9.6% zdrowych kobiet będzie miało dodatni wynik testu Jakie jest prawdopodobieństwo, że kobieta z dodatnim wynikiem testu jest chora? 0.01*0.8 - chore z wynikiem dodatnim 0.99*0.096 zdrowe z wynikiem dodatnim Zdrowe chore dodatni wynik testu Odpowiedź: 0.01 0.8 0.01 0.8+0.99 0.096 = 0.078
Czy świadkowi można wierzyć? W chwili popełnienia przestępstwa w mieście jeździły dwa rodzaje taksówek: Black Cab Company 85% i Blue Cab Company 15%. Świadek twierdzi, że widział na miejscu zdarzenia niebieską taksówkę. Na ile można mu wierzyć? Świadek poprawnie identyfikuje kolory w 80% przypadków. Prawdopodobieństwo, że na miejscu zdarzenia była taksówka niebieska pod warunkiem, że świadek twierdzi, że widział taksówkę niebieską wynosi: P= 0.15 0.8 0.15 0.8+0.85 0.2 = 0.41