CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie I (luty, 2013)
u Wyprowadzenie transformacji Lorentza u Relatywistyczna transformacja prędkości u Dylatacja czasu u Skrócenie długości u Równoczesność zdarzeń
X = ( ct,x,y,z ) X = ( ct,x,y,z ) X 1 1 1 1 1 2 = ( ct 2,x 2,y 2,z ) 2 Przedział czasoprzestrzenny pomiędzy zdarzeniami X 2! X 1 = ( c(t 2 ), x 2, y 2! y 1, z 2! z ) 1 Odległość w czasie i przestrzeni pomiędzy zdarzeniami (X 2! X 1 ) 2 = c 2 (t 2 ) 2! (x 2 ) 2! (y 2! y 1 ) 2! (z 2! z 1 ) 2
x = x! vt y = y z = z t = t x = x + vt = x + vt y = y z = z t = t K K x 2 x 1 v x 1 x 2 = x 1! vt 1 ; t 1 = t 1 = x 2! vt 2 ; t 2 = t 2 L d = x 2 ; T d = t 2 x 2 x 1 x 1 = x 1 + vt 1 ; t 1 = t 1 x 2 = x 2 + vt 2 ; t 2 = t 2 L d = x 2! x 1 ; T d = t 2
L d = x 2 = (x 2! vt 2 )! (x 1! vt 1 ) = (x 2 ) = L d t 2 = t 1!T d = 0!T d = 0! t 2 = t 1 Tak więc w fizyce klasycznej: L d T d = L d = T d
D = L 2 + v 2 T 2 T = T = D c D L D L T = L c vt vt v x x c = D T = cd L = c L2 + v 2 T 2 L =! L$ c L 2 + v 2 " # c % & L 2 = c 2 + v 2 = c 1+ v 2 c 2! c
Z doświadczenia więc wynika, że c = const (1) Prędkość światła w próżni ma zawsze stałą wartość, która nie zależy od ruchu ani źródła, ani odbiornika światła. (2) W dwóch układach odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym wszystkie prawa przyrody są ściśle takie same i nie ma sposobu wyróżnienia bezwzględnego ruchu jednostajnego. (3) Położenia i prędkości zmieniają się przy przejściu od jednego układu inercjalnego do drugiego zgodnie z transformacją klasyczną. Mamy więc jawną sprzeczność. Nie można pogodzić z sobą (1), (2) i (3). 1) oraz 2) wyklucza transformacje Galileusza, a 3) ja akceptuje
T = D c D = L 2 + v 2 T 2 D L D L T = L c vt vt v x x W układzie K W układzie K X 1 = (0,0,0,0); X 2 = (c2t,0,0,0) L 2 (X 2! X 1 ) 2 = c 2 (2T) 2 = 4c 2 c = 2 4L2 (X 2 X 1 = (0,0,0,0); X 2 = (c2t,!v2t,0,0) D 2! X 1 ) 2 = 4c 2 T 2! 4v 2 T 2 = 4c 2 c! 4v 2 T 2 ) = 2 = 4(L 2 + v 2 T 2! v 2 T 2 ) = 4L 2
(X 2! X 1 )2 = (X 2! X 1 ) 2 Odległość czasoprzestrzenna pomiędzy zdarzeniami jest identyczna w każdym układzie odniesienia T = D c = L2 + v 2 T 2 T = s = 1! v 2 L c 2! v 2 = L c c c 2 T 2 = L 2 + v 2 T 2 1 1! v 2 c = T"! = 1 s " 1 1# v 2 =$ 1 T 2 (c 2! v 2 ) = L 2 T = st c 2 c " 1 2! T
Jak zmienić transformacje Galileusza aby w każdym układzie odniesienia prędkość światła była taka sama? x = x! vt t = t Trzeba podejrzewać czas mówił Einstein. Zakładamy więc, że zachodzi: x =! x + " t t = # t + $ x Gdy x=0 oraz t=0, to także x =0 oraz t =0 i postaramy się znaleźć parametry!,",#,$. Mogą one zależeć jedynie od względnej szybkości dwóch układów odniesienia, v.
K K v W układzie K początek układu K (x = 0) porusza się z szybkością v: x = 0! " x + # t = 0! x t = $ # " = v; czyli! = "v# W układzie K początek układu K (x = 0) porusza się z szybkością v:!v = x t = " x + # t czyli $ t + % x = # $ ;! = "v#! = "
Skorzystamy z równości przedziałów czasoprzestrzennych w obydwu układach: (X 2! X 1 ) 2 = c 2 (t! 0) 2! (x! 0) 2 = c 2 t 2! x 2 (X 2! X 1 ) 2 = c 2 (t! 0) 2! (x! 0) 2 = c 2 t 2! x 2 czyli c 2 t 2! x 2 = c 2 t 2! x 2 x =! x + " t t = # t + $ x! = " x =! x " v! t =!(x " vt)! = "v# t =! t + # x =!(t + #! x) c 2 (! t + " x) 2 # (! x # v! t) 2 = c 2 t 2 # x 2 c 2 (! 2 t 2 + 2! " t x + " 2 x 2 ) #! 2 (x 2 # 2 v x t + v 2 t 2 ) = c 2 t 2 # x 2
c 2 (! 2 t 2 + 2! " t x + " 2 x 2 ) #! 2 (x 2 # 2 v x t + v 2 t 2 ) = c 2 t 2 # x 2 Aby to równanie było spełnione muszą być spełnione relacje: 1) c 2! 2 " v 2! 2 = c 2 Z relacji 1) 2) 2c 2!# + 2! 2 v = 0! 2 = c 2 c 2 " v = 1 2 Ze związku 2) 1" v 2 c 2 #! = 1 1" v 2 c 2 $ % 3) c 2 # 2 "! 2 = "1! = " #v c 2 $ "% v c 2 Relacja 3) jest wtedy spełniona automatycznie.
x = x! vt y = y z = z t = t x =! (x " vt) y = y z = z t =! (t " v c x) 2! = 1 1" v 2 c 2 Transformacje odwrotne otrzymamy zamieniając prędkość v na -v Gdy wzajemna prędkość układów v jest mała w porównaniu z prędkością światła, wtedy transformacja Lorentza przechodzi w transformację Galileusza: v c! 0! " 1; v c 2 " 0.
Otrzymamy dwóch układów poruszających się wzdłuż osi x: x = γ (x vt ), x = γ (x + vt), y = y, y = y, z = z, t = γ (t v c x ). 2 z t = z, = γ (t + v c 2 x).! = Hendrik Lorentz (1853 1928) 1 1" v 2 c 2 Związki te nazywają się transformacją Lorentza, wynikają z nich: q Skrócenie długości, q Wydłużenia czasu, q Względność równoczesności zdarzeń.
Dla prędkości wzdłuż osi x: u =!x!t = u =!x!t!x " v!t!t " v c 2!x =!x!t " v 1" v c 2!x!t u =!x!t = u " v 1" vu c 2 Związek odwrotny: v è - v u = u + v 1+ vu c 2 u = c + v 1+ vc c 2 = c + v (c + v) / c = c Widać, że spełniony jest pierwszy postulat Einsteina, prędkość światła jest zawsze równa c
Wzory do wyprowadzenie relacji na skrócenie długości i wydłużenie (dylatację) czasu: 1) x 2 = " [x 2! v(t 2 )] 2) t 2 = " [t 2! v c 2 (x 2 )] 3) x 2 = " [x 2 + v(t 2 )] 4) t 2 = " [t 2 + v c (x 2 2 )]
Te same relacje w fizyce klasycznej mają zupełnie inną postać: 1) x 2 2) t 2 = [x 2! v(t 2 )] = [t 2 ] 3) x 2 = [x 2 + v(t 2 )] 4) t 2 = [t 2 ]
1) x 2 2) t 2 = " [x 2! v(t 2 )] = " [t 2! v c 2 (x 2 )] 3) x 2 = " [x 2 + v(t 2 )] 4) t 2 = " [t 2 + v c (x 2 2 )] 1) x 2 = [x 2! v(t 2 )] 2) t 2 = [t 2 ] 3) x 2 = [x 2 + v(t 2! t 1 )] 4) t 2 = [t 2! t 1 ]
K K Nieruchomy zegar w układzie K x v Z układu K mierzymy czas upływający w K Z relacji 4) gdzie wstawiamy: T = t 2! t; T = t 2 ; x 2 = x 1 = x Otrzymamy: T =!T "! = 1 s T = st! T s! 1 Obserwując ruchomy zegar, widzę, że na nim czas płynie wolniej
I odwrotnie, z układu K obserwuje nieruchomy zegar w układzie K. Zegar spoczywa w układzie K a więc: x 2 = x 1 = x Muszę skorzystać z relacji 2), otrzymam: T =!T " T = st! T I ponownie wniosek jest ten sam, jeżeli względem mnie zegar się porusza to widzę, że czas na nim płynie wolniej
K K t 1 x 1 = t L d t 2 = t x 2 v Z układu K dokonuję pomiaru długości pręta w układzie K L d = x 2 L d = x 2 Korzystamy z relacji 3) gdzie wstawiam: otrzymujemy: L d =! L d " L d t 2 = t 1 = t = sl d! L d Mierząc z układu K pręt spoczywający w K, widzę że jest on krótszy L d! L d
I odwrotnie, z układu K dokonujemy pomiaru pręta spoczywającego w układzie K. Tym razem musimy w tym samym czasie w układzie K zmierzyć położenie końców, czyli muszę przyjąć: t 2 = t 1 = t Wtedy musimy wykorzystać równanie 1) i otrzymamy: L d =! L! L = sl d d d! L d A więc zupełnie symetrycznie otrzymamy, iż pręt mierzony w układzie ruchomym jest krótszy od pręta spoczywającego. L d! L d
K K t 1 x 1 = t t 2 = t x 2 v W różnych punktach ( x ) w układzie K w tym samym czasie t 2 = t 1 = t 1! x 2 zachodzą dwa zdarzenia. Te dwa zdarzenia będą zachodziły w różnym czasie w układzie K. Korzystamy z relacji 4) i mamy t 2 = " [ v c (x 2 2 )] # 0
I podobnie. W tym samym miejscu w układzie K ( x 1 = x 2 = x ) zachodzą dwa zdarzenia w różnym czasie. t 1! t 2 Podobnie jak w fizyce klasycznej zdarzenia te, w układzie K, zajdą w różnym miejscu w przestrzeni. Korzystamy z relacji 3) i otrzymamy: x 2 = " [v(t 2 )] # 0 Zdarzenia zachodzą więc w różnym miejscu: x 2 W przypadku klasycznym jest podobnie, tylko czynnik γ =1
Jakie wnioski wynikają z faktu, że przedział czasoprzestrzenny jest identyczny w każdym układzie odniesienia (X 2! X 1 ) 2 = c 2 (t 2 ) 2! (x 2 ) 2 (X 2! X 1 ) 2 = c 2 (t 2 ) 2! (x 2 ) 2 P 12 = c 2 (t 2 ) 2! (x 2 ) 2 = c 2 (t 2 ) 2! (x 2 ) 2 Możemy rozróżnić trzy przypadki: 1) P 12 > 0 2) P 12 = 0 3) P 12 < 0
Najpierw przypadek 1). Skoro P 12 > 0, to zawsze mogę znaleźć taki układ odniesienia, w którym opisywane dwa zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu x 2 = x 1 = x w różnym czasie, wtedy: t 2 = (t 2 ) 2! 1 c 2 (x 2 )2 Nie istnieje jednak układ, w którym zdarzenia te mogłyby zajść w tym samym czasie, zawsze musi zachodzić: t 2 " 0 Tak więc takie zdarzenia, skoro mogą zajść w tym samym miejscy w różnym czasie, to jedno z nich może być skutkiem drugiego, jeżeli: t 2 > 0 to zdarzenia 2 może być skutkiem zdarzenia 1
Przypadek 2). Teraz zawsze P 12 =0, a więc w każdym układzie zachodzi: c 2 (t 2 ) 2 = (x 2 ) 2 A więc w każdym układzie mamy: x 2 = c(t 2 ) Dowolne dwa zdarzenia, dla których zachodzi P 12 =0 mogą być połączone sygnałem świetlnym, ten sam foton może być obecny przy obydwu zdarzeniach
I wreszcie przypadek 3). Skoro P 12 < 0, to zawsze mogę znaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia zachodzą w tym samym czasie t 2 = t 1, wtedy: x 2 =!c 2 (t 2 ) 2 + (x 2 ) 2 Jest odległością pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w danym układzie odniesienia w tym samym czasie. W omawianej sytuacji nie ma układu odniesienia, w którym jakiekolwiek dwa zdarzenia mogą zajść w tym samym miejscu w przestrzeni, zawsze bowiem x 2. Tak więc w zbiorze zdarzeń P 12 < 0 nie ma dwóch, dla których jedno może być skutkiem drugiego.
ct P 12 = 0 Teraźniejszość P 12 > 0 Przyszłość (0,0) Teraźniejszość P 12 < 0 x P 12 < 0 Przeszłość P 12 > 0 P 12 = 0
c Przedział czasoprzestrzenny 2 (t t P ) 2 (x x P ) 2 = Δ 2 ( x, P); Z podręcznika Fizyka, spojrzenie na czas, przestrzeń i materię ; PWN, Warszawa 2002. B Δ 2 > 0 Δ 2 < 0 Δ 2 ( x, P) Δ 2 = 0 A C może wpływać na nas (P) My (P) możemy wpływać na B Δ 2 > 0 C A nie ma wpływu na nas (P), i my nie mamy wpływu na A Stożek świetlny Geometrię o opisanych własnościach nazywamy geometrią pseudoeuklidesową