Modele matematyczne procesów, podobieństwo i zmiana skali

Modele matematyczne procesów, podobieństwo i zmiana skali 20 kwietnia 2015 Zadanie 1 konstrukcji balonu o zadanej sile oporu w ruchu. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 1) opisany jest następującą F = Φ(d, v, ρ, η) gdzie: F - siła oporu ruchu balonu, d - średnica projektowanego balonu, v - prędkość poruszającego się balonu, ρ - gęstość powietrza, η - lepkość powietrza. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [F ] = [m 1 kg 1 s 2 ] - [v] = [m 1 kg 0 s 1 ] - [η] = [m 1 kg 1 s 1 ] Zadanie 2 konstrukcji kadłuba statku o zadanej sile oporu w ruchu. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 2) opisany jest następującą F = Φ(ρ, l, v, ν, g, V ) 1

Rysunek 1: Schemat do zadania 1 gdzie: F - siła oporu kadłuba statku w ruchu, ρ - gęstość ośrodka, l - długość kadłuba, v - prędkość poruszającego się kadłuba, ν - lepkość kinematyczna ośrodka, g - przyspieszenie ziemskie, V - objętość. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [v] = [m 1 kg 0 s 1 ] - [g] = [m 1 kg 0 s 2 ] - [F ] = [m 1 kg 1 s 2 ] - [V ] = [m 3 kg 0 s 0 ] - [ν] = [m 2 kg 0 s 1 ] - [l] = [m 1 kg 0 s 0 ] Zadanie 3 konstrukcji gładkiej rury o zadanym spadku ciśnienia płynącego w niej jednorodnego płynu. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 3) opisany jest następującą 2

Rysunek 2: Schemat do zadania 2 Rysunek 2: Schemat do zadania 2 p = Φ(d, l, ρ, v, η) Rysunek 2: Schemat do zadania 2 = Φ(d, rury, l, ρ, v,l -η) gdzie: p - spadek ciśnienia, d p - średnica długość rury, ρ - gęstość płynu, v - prędkość przepływu płynu rurze, η rury, - lepkość płynu. Wielkości wymiarowe gdzie: p - spadek ciśnienia, d -wśrednica l - długość rury, ρ - gęstość płynu, opisujące projektowany obiekt: v - prędkość przepływu płynu w rurze, η - lepkość płynu. Wielkości wymiarowe p = Φ(d, l, ρ, v, η) opisujące projektowany - [d] = [m1 kg 0 s0 ] obiekt: gdzie: p - spadek ciśnienia, d - średnica rury, l - długość rury, ρ - gęstość płynu, 1 1 kg 0 00s0 ] v- - [l] prędkość płynu w rurze, η - lepkość płynu. Wielkości wymiarowe = - [d] = [m[m kgprzepływu s ] opisujące projektowany obiekt: 0 s ] [ρ][m = 1[m - [l]- = kg 0 1skg ]0 0 3 1 0 - [d] = [m kg s ] - [v] = [m1 kg 0 s 1 ] 1 1 s00 ]0 - [ρ] = [m= 3[m kg - [l] kg s ] - [η] = [m 1 kg 1 s 1 ] 1 [m0 3 1 - [ρ] - [v] = [m= kg s kg]1 s0 ] 1 2 - [ p] = [m1 1 kg s ] 0 1 - [v] s ]] 1[m kg - [η] = [m= kg 1 s 1 1 1 Przygotuj zadania wraz z odpowiednimi schematami i - [η] raport = [m 1 zkgopracowanego s ] - [ p] =pomiarowym. [m 1 kg 1 s 2 ] układem 1 1 2 - [ p] = [m kg s ] układem pomiarowym. układem pomiarowym. Rysunek 3: Schemat do zadania 3 Rysunek 3: Schemat do zadania 3 Rysunek 3: Schemat do zadania 3 3 3 3

Zadanie 4 konstrukcji rury o długości l o ustalonej zależności pomiędzy spadkiem ciśnienia p a objętością V strumienia płynu wypływającej w jednostce czasu t. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 3) opisany jest następującą ( ) V p = Φ, d, l, η t gdzie: p - spadek ciśnienia, V - objętość V strumienia płynu wypływającej w t jednostce czasu t, d - średnica rury, l - długość rury, η - lepkość przepływającego płynu. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [V/t] = [m 3 kg 0 s 1 ] - [η] = [m 1 kg 1 s 1 ] - [l] = [m 1 kg 0 s 0 ] - [ p] = [m 1 kg 1 s 2 ] Zadanie 4a konstrukcji zbiornika o ustalonym ciśnieniu wypływającego z niego płynu o objętości Q. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 4) opisany jest następującą P = Φ(τ, Q, µ, ρ) gdzie: P - ciśnienie słupa płynu, τ - czas wypływu płynu o objętości Q, Q - objętość płynu wypływającego ze zbiornika, µ - lepkość płynu, ρ - gęstość płynu. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [τ] = [m 0 kg 0 s 1 ] - [Q] = [m 3 kg 0 s 0 ] - [µ] = [m 1 kg 1 s 1 ] 4

- [P- ][P = ] [m = [m 1 kg 1 kg 1 s 2 1 s 2 ] ] Przygotuj Przygotuj raport raport z z opracowanego zadaniawraz wrazz z odpowiednimi schematamiii układem Rysunek 4: Schemat do zadania 4a Rysunek 4: Schemat do zadania 4a Zadanie 5 Zadanie 5 Zaplanuj konstrukcji eksperyment mieszarki wrazoz zadanych układem pomiarowym obrotach F dla, pracującej zadania projektowego w cieczy o konstrukcji lepkości Hmieszarki i gęstości o ρ. zadanych Obiekt do obrotach konstrukcji F, pracującej (Rysunek 5) wopisany cieczyjest o lepkości następującą H i gęstości ρ. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 5) opisany jest następującą F = Φ(N, d, H, ρ) F = Φ(N, d, H, ρ) gdzie: F - obroty mieszarki, N - moc silnika napędzającego, d - średnica łopatek gdzie: mieszarki, F - obroty H - lepkość mieszarki, cieczy, N -ρmoc - gęstość silnikacieczy. napędzającego, Wielkości wymiarowe d - średnicaopisujące łopatek mieszarki, projektowany H - lepkość obiekt: cieczy, ρ - gęstość cieczy. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [N] = [m 2 kg 1 s 3 ] - [N] = [m 2 kg 1 s 3 ] - [H] = [m 1 kg 1 s 1 ] - [H] = [m 1 kg 1 s 1 ] - [F ] = [m 0 kg 0 s 1 ] - [F ] = [m 0 kg 0 s 1 ] Przygotuj układemraport pomiarowym. z opracowanego zadania wraz z odpowiednimi schematami i 5 5

Zadanie 6 Rysunek 5: Schemat do zadania 5 Rysunek 5: Schemat do zadania 5 Zadanie 6 konstrukcji modelu wymiany ciepła pomiędzy poruszającą się kulą a otoczeniem. Obiekt do konstrukcji opisany jest następującą u = Φ(d, H, T, C, v) konstrukcji modelu wymiany ciepła pomiędzy poruszającą się kulą a otoczeniem. Obiekt do konstrukcji opisany jest następującą gdzie: u - szybkość wymiany ciepła z otoczeniem, d - średnica kuli, H - przewodnictwo cieplne, T - temperatura, C - pojemność cieplna ośrodka, v - prędkość poruszającej się kuli. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [u] = [m 2 kg 1 s 3 ] - [H] = [m 1 kg 0 s 1 ] - [C] = [m 3 kg 0 s 0 ] - [H] = Zadanie [m 1 kg 0 s7 1 ] u = Φ(d, H, T, C, v) gdzie: u - szybkość - [T ] = wymiany [m 2 kg 1 s 2 ] ciepła z otoczeniem, d - średnica kuli, H - przewod- - [v] = [m 1 kg 0 s 1 ] nictwo cieplne, T - temperatura, C - pojemność cieplna ośrodka, v - prędkość poruszającej się kuli. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [u] = [m 2 kg 1 s 3 ] - [T ] = [m 2 kg 1 s 2 ] - [v] = [m 1 kg 0 s 1 ] - [C] = [m 3 kg 0 s 0 ] konstrukcji osadnika. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 6) opisany jest następującą Przygotuj raport z opracowanego zadania 6 wraz z odpowiednimi schematami i Zadanie 7 konstrukcji osadnika. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 6) opisany jest następującą u = Φ(v, ρ, l, ρ 0, η, g, d) 6

gdzie: u - prędkość opadu osadów, v - prędkość przepływu cieczy, ρ - gęstość u = Φ(v, ρ, l, ρ cieczy, l - długość dna osadnika, ρ 0 - gęstość 0, η, g, d) czynnika osadzającego się, η - lepkość gdzie: cieczy, u - prędkość g - przyspieszenie opadu osadów, ziemskie, v - prędkość d - średnica przepływuopadających cieczy, ρ - gęstość cząsteczek cieczy, l - długość dna osadnika, ρ osadu. Wielkości wymiarowe opisujące 0 - gęstość czynnika osadzającego się, η - projektowany obiekt: lepkość cieczy, g - przyspieszenie ziemskie, d - średnica opadających cząsteczek - osadu. [g] = [m Wielkości 1 kg 0 s 2 wymiarowe ] opisujące projektowany obiekt: - [v] - = [g] [m= 1 [m kg 10 kg s 1 0 s 2 ] ] - [d] - = [v] [m = 1 kg [m 1 0 kg s 0 0 ] s 1 ] - [d] = - [l] = [m 1 [m kg 0 1 kg s 0 ] 0 s 0 ] - [l] = [m 1 - [ρ 0 ] = [m 3 kg 0 kg 1 s 0 0 ] ] - [ρ 0 ] = [m 3 kg 1 s 0 ] - [η] = [m 1 kg 1 s 1 ] - [η] = [m 1 kg 1 s 1 ] - [u] = [m 1 kg 0 s 1 ] - [u] = [m 1 kg 0 s 1 ] układem pomiarowym. Rysunek 6: Schemat do zadania 7 Rysunek 6: Schemat do zadania 7 Zadanie 8 Zadanie 8 konstrukcji mieszadła do homogenizacji cieczy o zadanej gęstości ρ i Zaplanuj lepkości eksperyment ν. Obiekt do wraz konstrukcji z układem (Rysunek pomiarowym 7) opisany jest dla następującą zadania projektowego konstrukcji mieszadła do homogenizacji cieczy o zadanej gęstości ρ i lepkości ν. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 7 7) opisany jest następującą P = Φ(d, ρ, n, ν) gdzie: P - moc silnika, d - parametry geometryczne mieszadła, ρ - gęstość cieczy, n - prędkość obrotowa mieszadła, ν - lepkość kinematyczna cieczy. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: 7

- [n] = [m 0 kg 0 s 1 ] - [ν] = [m 2 kg 0 s 1 ] - [P ] = [m 2 kg 1 s 3 ] Zadanie 9 Zadanie 6 Rysunek 5: Schemat do zadania 5 konstrukcji modelu wymiany ciepła pomiędzy poruszającą się kulą a otoczeniem. Obiekt do konstrukcji opisany jest następującą u = Φ(d, H, T, C, v) gdzie: u - szybkość wymiany ciepła z otoczeniem, d - średnica kuli, H - przewodnictwo cieplne, T - temperatura, C - pojemność cieplna ośrodka, v - prędkość poruszającej się kuli. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: konstrukcji mieszadła do homogenizacji dwóch cieczy. Obiekt do konstrukcji (Rysunek - [u] = 8) [mopisany 2 kg 1 s 3 ] jest następującą - [T ] = [m 2 kg 1 s 2 ] - [v] = [m 1 kg 0 s 1 ] - [n] = Zadanie [m 0 kg 0 s 1 7] Rysunek 7: Schemat do zadania 8 Θ = Φ(d, ρ, n, ν, D) gdzie: Θ - czas - [H] mieszania, = [m 1 kg 0 s 1 d] - parametry geometryczne mieszadła, ρ - gęstość cieczy pierwszej - [C] i = drugiej, [m 3 kg 0 s 0 n] - prędkość obrotowa mieszadła, ν - lepkość kinematyczna pierwszej - [d] = [mcieczy, 1 kg 0 s 0 ] D - lepkość kinematyczna drugiej cieczy. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [ν] = [m 2 kg 0 s 1 ] konstrukcji osadnika. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 6) opisany jest następującą - [Θ] = [m 0 kg 0 s 1 ] 6 8

- [D] = [m 2 kg 0 s 1 ] Zadanie 6 Zadanie 10 Rysunek 5: Schemat do zadania 5 konstrukcji modelu wymiany ciepła pomiędzy poruszającą się kulą a otoczeniem. Obiekt do konstrukcji opisany jest następującą u = Φ(d, H, T, C, v) gdzie: u - szybkość wymiany ciepła z otoczeniem, d - średnica kuli, H - przewodnictwo cieplne, T - temperatura, C - pojemność cieplna ośrodka, v - prędkość poruszającej się kuli. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [T ] = [m 2 kg 1 s 2 ] - [v] = [m 1 kg 0 s 1 ] gdzie: P - pobór - [H] mocy = [m 1 mieszacza, kg 0 s 1 ] ρ - gęstość cieczy, d - parametry geometryczne mieszadła, n - prędkość [C] = [m 3 kgobrotowa 0 s 0 ] mieszadła, ν - lepkość kinematyczna cieczy, - [n] = Zadanie [m 0 kg 0 s 1 7] Rysunek 8: Schemat do zadania 9 konstrukcji mieszadła ciecz gaz. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 9) opisany jest następującą - [u] = [m 2 kg 1 s 3 ] P = Φ(ρ, d, n, ν, σ, q, g) σ - napięcie powierzchniowe, q - objętość gazu, g - przyspieszenie ziemskie. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [q] = [m 3 kg 0 s 1 ] konstrukcji osadnika. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 6) opisany jest następującą - [ν] = [m 2 kg 0 s 1 ] - [P ] = [m 2 kg 1 s 3 ] 6 - [σ] = [m 0 kg 1 s 2 ] 9

- [q] = [m3 kg 0 s 1 ] - [ν] = [m2 kg 0 s 1 ] - [P ] = [m2 kg 1 s 3 ] - [ρ] = [m 3 kg 1 s0 ] 1 2 1 2 - [σ] [m00skg s] ] - [g] = [m= kg - [g] = [m1 kg 0 s 2 ] Przygotuj raport z opracowanego zadania wraz z odpowiednimi schematami i układem pomiarowym. Rysunek 9: Schemat do zadania 10 Rysunek 9: Schemat do zadania 10 Zadanie 11 Zadanie 11 mieszadła ciał stałych. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 10) konstrukcji opisany jest następującą v = stałych. Ψ(ρ, d, n, Θ, D, gρ, l, φ)do konstrukcji (Rysunek 10) konstrukcji mieszadła ciał Obiekt opisany jest vnastępującą gdzie: - współczynnik wariancji, ρ - gęstość cieczy, d - średnica bębna, n prędkość obrotowa mieszadła, Θ - czas mieszania, D - lepkość kinematyczna cieczy, qρ - siła oddziaływania między stałymi, l - długość v = grawitacyjnego Ψ(ρ, d, n, Θ, D, gρ, l,ciałami φ) bębna, φ - współczynnik napełnienia bębna mieszarki. Wielkości wymiarowe gdzie: opisujące v - współczynnik ρ - gęstość cząstki, d - średnica bębna, n projektowanywariancji, obiekt: - prędkość obrotowa mieszadła, Θ - czas mieszania, D - współczynnik dyfuzji cząstki, qρ - siła oddziaływania grawitacyjnego między ciałami stałymi, l 10 długość bębna, φ - współczynnik napełnienia bębna mieszarki. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [d] = [m1 kg 0 s0 ] - [n] = [m0 kg 0 s 1 ] - [Θ] = [m0 kg 0 s1 ] - [D] = [m2 kg 0 s 1 ] - [v] = [m0 kg 0 s0 ] 10

- [d] = [m1 kg 0 s0 ] - [n] = [m0 kg 0 s 1 ] - [Θ] = [m0 kg 0 s1 ] - [D] = [m2 kg 0 s 1 ] 0 - [v] = [m kg10 s00 ] - [ρ] = [m 3 kg s ] - [ρ] = [m 3 kg 1 s0 ] - [φ] = [m0 kg 0 s0 ] - [φ] = [m0 kg 0 s0 ] - [gρ] = [m 2 kg 1 s 2 ] - [gρ] = [m 2 kg 1 s 2 ] Przygotuj raport z opracowanego zadania wraz z odpowiednimi schematami i układem pomiarowym. Rysunek 10: Schemat do zadania 11 Rysunek 10: Schemat do zadania 11 Zadanie 12 Zadanie 12 Zaplanuj eksperyment wraz z układem pomiarowym dla zadania projektowego konstrukcji belki przęsła mostu. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 11) opi- Zaplanuj eksperyment z układem pomiarowym dla zadania projektowego sany jest następującą wraz konstrukcji belki przęsła mostu. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 11) opisany jest następującą σ = Φ(P, d, l) gdzie: σ - napięcie tnące w betonie na granicy pręta i betonu, P - siła naciągu w σ = Φ(P, d, l) pręcie zbrojeniowym, d - średnica pręta, l - długość pręta. Wielkości wymiarowe opisujące projektowany gdzie: σ - napięcie tnące wobiekt: betonie na granicy pręta i betonu, P - siła naciągu w pręcie zbrojeniowym, d - średnica pręta, l - długość pręta. Wielkości wymiarowe - [d] = [m1 kg 0 s0 ] opisujące projektowany obiekt: - [P ] = [m1 kg 1 s 2 ] 0 0 - [d] = [m1 kg s ]1 1 - [σ] = [m kg s 2 ] - [P ] = [m kg s 1 1 2 ] - [σ] = [m 1 kg 1 s 2 ] 11 - [l] = [m1 kg 0 s0 ] 11

- [l] = [m 1 kg 0 s 0 ] Rysunek Rysunek 11: 11: Schemat Schemat do do zadania zadania 12 Zadanie 13 Zaplanuj eksperyment wraz z układem pomiarowym pozwalającym sprawdzić w skali półtechnicznej proces suszenia roztworu. W suszarni roztwór o gęstości ρ i lepkości η spływa z pionowej ściany o wysokości w, grubość warstwy płynu wynosi t. Znaleźć prędkość przepływu tego roztworu Ṁ od wymienionych wielkości tj: Ṁ = Φ(ρ, t, g, η, w) Wielkości wymiarowe opisujące projektowany obiekt: - [Ṁ] = [m0 kg 1 s 1 ] - [t] = [m 1 kg 0 s 0 ] - [g] = [m 1 kg 0 s 2 ] - [η] = [m 1 kg 1 s 1 ] - [w] = [m 1 kg 0 s 0 ] Zadanie 14 12 Zaplanuj eksperyment wraz z układem pomiarowym dla zbadania procesu propagacji ciepła w pręcie jednowymiarowym. Proces propagacji ciepła w pręcie opisany jest następującym równaniem różniczkowym cząstkowym: 12

przy warunku: gdzie: T t = ℵ 2 T x 2 T (x, t)dx = Q - T - temperatura; - t - czas; - ℵ - współczynnik przewodzenia; - X - odległość od źródła ciepła Q; Ostatecznie, obiekt do konstrukcji można opisać następującą T = Φ(x, t, ℵ, Q) 13