ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ

Ćwiczenie 8 ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ. Cel ćwiczenia Analiza złożonego przebiegu drgań maszyny i wyznaczenie częsoliwości składowych harmonicznych ego przebiegu.. Wprowadzenie eoreyczne.. Sygnały pomiarowe W celu przeprowadzenia poprawnych pomiarów, a więc doboru odpowiednich czujników i aparaury, należy zdawać sobie sprawę z jakimi rodzajami sygnałów drgań mamy do czynienia. Sygnały pomiarowe można podzielić na dwie grupy:. Sygnały zdeerminowane sygnały, kórych warości można przewidzieć w dowolnym czasie. Sygnały zdeerminowane dzielą się na: - sygnały okresowe, harmoniczne, złożone (poliharmoniczne), - sygnały nieokresowe, prawie okresowe, przejściowe ( impulsowe, np. udary - zaczynające i kończące się na poziomie zero).. Sygnały przypadkowe (losowe, sochasyczne) - warości ych sygnałów w każdej chwili są zmiennymi przypadkowymi (losowymi), a ich właściwości opisuje się za pomocą charakerysyk saysycznych, zn. paramerów uśredniających cechy ich zmienności w zakresie ampliud, częsoliwości lub czasu. Sygnały przypadkowe dzielą się na : - sacjonarne - charakerysyki saysyczne (m.in. warość średnia, warość średnia kwadraowa) nie są funkcjami czasu, - niesacjonarne. Przykładem sygnału zdeerminowanego mogą być drgania pochodzące ze skrzyni przekładniowej Rys.8.a, lub ruch łoka w silniku spalinowym zawierający dwie częsoliwości ω i ω (Rys.8.b). Na Rys.8.c przedsawiony jes przebieg czasowy i widmo sygnału nieciągłego (np. udaru). Typowym 87

przykładem drgań przypadkowych są drgania spowodowane przepływem cieczy, szumy, zakłócenia, drgania karoserii pojazdu podczas jazdy na nierównej nawierzchni, szum deszczu. Są one scharakeryzowane ruchem całkowicie przypadkowym, nie wysępuje u żadna charakerysyczna częsoliwość, a rozkład sygnału w funkcji częsoliwości jes równomierny Rys.8.d. Jeżeli pomiary i analiza mają doyczyć pewnego zakresu częsoliwości, i jeżeli nie są narzucone, np. przez normy warunkujące pomiar konkrenego parameru (przemieszczenia, prędkości czy przyspieszenia), generalną zasadą jes pomiar ej wielkości, kóra ma najbardziej płaską charakerysykę w funkcji częsoliwości (Rys.8.). Pozwala o objąć pomiarami największy zakres dynamiki badanego układu. Jeżeli jednak nie znamy ej charakerysyki, należy wybrać prędkość drgań [3]. przysp a) b) przysp czas przysp czas c) d) przysp czas czas siła siła siła siła czas częsol. czas częsol. Rys. 8.. Rodzaje sygnałów: a), b) zdeerminowane, c) - impulsowy, d) - przypadkowy poziom drgań a) b) c) przysp. prędk. poziom drgań przysp. prędk. poziom drgań przysp. prędk. przem. przem. częsoliwość częsoliwość częsoliwość przem Rys.8.. Wybór parameru mierzonych drgań ze względu na przebieg charakerysyki widmowej; a) - przemieszczenie, b) - prędkość, c) - przyspieszenie. 88

Jes o ważne zwłaszcza, jeśli charakerysyka nie jes wysarczająco płaska. Wedy udział składowych znajdujących się znacznie poniżej średniego poziomu zakresu pomiarowego będzie mniej zauważalny, a w przypadku pomiarów w całym zakresie częsoliwości, najmniejsze składowe mogą w ogóle nie być wykrye. Kryerium płaskiej charakerysyki oznacza, że w większości przypadków w pomiarach drgań maszyn mierzona będzie prędkość. W pewnych przypadkach może być o eż przyspieszenie, choć dla większości maszyn duże przyspieszenia wysępują ylko przy wysokich częsoliwościach. Płaska widmowa charakerysyka przemieszczenia jes mało prawdopodobna, gdyż dla większości maszyn, duże ampliudy przemieszczeń wysępują ylko przy małych częsoliwościach. Oczywiście mogą eż być inne powody, kóre uniemożliwiają zasosowanie określonych czujników, np. masa czujnika może być zby duża w sosunku do masy badanego obieku, czy eż zakres pomiarowy czujnika jes niewysarczający dla danego pomiaru. Z zależności między przemieszczeniem, prędkością i przyspieszeniem (całkowanie lub różniczkowanie) wynika, że dla określonego poziomu prędkości drgań, przy wzroście częsoliwości, ampliudy przemieszczenia maleją (dzielenie przez ω ), naomias ampliudy przyspieszenia rosną proporcjonalnie do częsości kołowej ω (mnożenie przez ω ) Rys. 8.3. Ampliuda względna przyspieszenie prędkość przemieszczenie Częsoliwość Rys. 8.3. Przykład charakerysyki widmowej sygnału drgań przedsawionej jako przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. 89

W pewnych przypadkach pomiarów drgań (np. pomiar poziomu drgań pochodzących od niewyważenia) mogą wysarczyć przebiegi czasowe. Można na ich podsawie określić ampliudę, częsoliwość ( f=/t ) czy przesunięcie fazowe między sygnałami. Jednak w większości przypadków przebiegi drgań są bardziej złożone, a przebiegi czasowe dają ylko informację o całkowiym poziomie drgań (Rys.8.). [m/s ] ] 6 PRZYSPIESZENIE, KIERUNEK X [m/s ] ] PRZYSPIESZENIE, KIERUNEK Y PRZYSPIESZENIE - - -5-6 5m m 5m m 5m 3m 35m m 5m 5m 55m 6m [s] 5 5-5 - -5-5m m 5m m 5m 3m 35m m 5m 5m 55m 6m [s] Rys. 8. Przykład przebiegów czasowych drgań... Analiza widmowa drgań W celu uzyskania informacji o składowych złożonego przebiegu drgań, należy przeprowadzić analizę widmową (częsoliwościową) uzyskanego z pomiarów sygnału czasowego. Analiza sygnałów może odbywać się w sposób analogowy, cyfrowy lub mieszany. Analogowe przewarzanie sygnałów można przeprowadzić przy pomocy analizaorów widma. Może o być zespół filrów o różnych częsoliwościach przepuszczania, lub przesrajane filry wąskopasmowe. Do przewarzania cyfrowego sosuje się najczęściej szybką ransformaę Fouriera (FFT). Przedsawienie funkcji okresowej za pomocą szeregu Fouriera jes równoważne rozłożeniu funkcji okresowej na jej funkcje składowe: składową sałą a i składowe harmoniczne o pulsacjach ω, ω, 3ω,, nω, gdzie ω oznacza pulsację podsawową, a nω są pulsacjami harmonicznymi, n jes liczbą nauralną. Pulsację podsawową określa wzór π ω = T, (8.) gdzie: T okres funkcji. 9

,5 -,,8,8,8 3,8,8 5,8 -,5,5 -,,8,8,8 3,8,8 5,8 -,5 Równanie opisujące przebieg okresowy x() przy pomocy szeregu Fouriera ma posać x( ) = a + ( an cos nω + bn sin nω ). (8.) n= Współczynniki szeregu Fouriera a, a n, b n można wyznaczyć analiycznie, jeżeli jes znane równanie przebiegu, lub na podsawie pomiaru za pomocą przyrządu analizaora harmonicznych. Przykładowo, sygnał okresowy w posaci fali prosokąnej można przedsawić za pomocą nieskończonego szeregu rygonomerycznego nieparzysych harmonicznych (, 3, 5, 7,...) o malejących ampliudach (Rys.8.5). Jes o przedsawienie sygnału w dziedzinie czasu. A x( ) = (sinω + sin 3ω + sin 5ω + sin 7ω +... ) (8.3) π 3 5 7 x x A A x = sinω x = sinω π π x = x + x x = x + x + x A 3 A 3 5 A x = sin 5ω 5 5π A x = sin 3ω 3 3π A x = sin 3ω 3 3π Rys. 8.5. Aproksymacja fali prosokąnej ograniczoną liczbą harmonicznych. Sygnały okresowe można przedsawić wykreślnie również w dziedzinie częsoliwości. Na osi odcięych przyjmuje się częsoliwość f, (lub pulsację ω = πf ). Naomias na osi rzędnych ampliudy lub sosunki ampliud (Rys.8.6). Długość prążków jes proporcjonalna do warości ampliud odpowiednich harmonicznych znajdujących się w analizowanym sygnale. Wykres aki nosi nazwę widma ampliudowego lub widma częsoliwości. Widma sygnałów okresowych mają charaker dyskreny, naomias widma sygnałów nieokresowych (np. sygnał impulsowy lub sochasyczny) charaker ciągły (Rys. 8.9, 8.). 9

x( A A n A π π ω = T T 3π 5π 7π ω 3ω 5ω 7ω ω Rys. 8.6. Widmo ampliudowe sygnału prosokąnego..3. Filry pasmowo przepusowe Analiza widmowa znajduje zasosowanie w wielu dziedzinach echniki, szczególnie w diagnosyce maszyn i pomiarach drgań. W analogowych analizaorach widma częsoliwości najczęściej sosowane są elekryczne filry pasmowo przepusowe. Filry e przepuszczają składowe sygnału, kórych częsoliwości znajdują się w paśmie przepusowym filru. filr idealny filr rzeczywisy częsoliwość częsoliwość Rys. 8.7. Charakerysyka filru idealnego i rzeczywisego. Na Rys.8.7 przedsawiona jes charakerysyka idealnego i rzeczywisego filru pasmowo przepusowego. Idealny filr pasmowy powinien mieć łumienie równe zeru w paśmie przepusowym i nieskończenie wielkie poza ym pasmem, a więc charakerysyka idealnego filru jes prosokąna. Tłumienie filrów podawane jes w decybelach. U wy U wy N [ db] = log = log, (8.) U we U we gdzie U wy i U we oznaczają odpowiednio sygnał wyjściowy i wejściowy filru. 9

Charakerysyki filrów rzeczywisych zbliżają się do charakerysyk filrów idealnych, jeżeli mają płaską część charakerysyki w paśmie przepusowym i możliwie srome zbocza. Filry pasmowe określa się za pomocą częsoliwości środkowej f oraz szerokości pasma B = f - f wyznaczonej przez częsoliwości graniczne: dolną f i górną f, przy kórych łumienie sygnału wynosi -3dB (moc sygnału zmniejsza U wy się dwukronie: = ), zn. wzmocnienie zmniejsza się z warości k = do U we warości k = / w porównaniu ze średnim poziomem w paśmie przepusowym - Rys.8.7. Do analizy częsoliwościowej sygnałów drgań sosuje się dwa rodzaje filrów: - filry o sałej bezwzględnej szerokości pasma np. 3Hz, Hz ip. - filry o sałej procenowej szerokości pasma, odniesionej do częsoliwości środkowej f, np.3%, %, 3 % (Rys.8.8). Nazywane są eż filrami o sałej względnej szerokości pasma. f Rys.8.8. Charakerysyki filru wąskopasmowego o szerokości 3%, % i 3% Częsoliwość środkowa pasma i częsoliwości graniczne ych filrów są związane zależnością: f = f f (8.5) Jeżeli szerokość pasma jes równa jednej okawie, jes o zw. filr okawowy (B 7%), jeśli /3 okawy - filr ercjowy. Okawa jes zakresem częsoliwości, w kórym częsoliwość górna jes dwukronie większa od częsoliwości dolnej, a ercja jes o szerokość pasma, w kórym częsoliwość górna jes 3 U wy U we,9,8,7,6,5,,3,,,,6 razy większa od częsoliwości dolnej. Określenie okawa pochodzi sąd, iż jej szerokość obejmuje osiem dźwięków skali muzycznej. Częsoliwości środkowe worzą posęp geomeryczny, a warości znormalizowane są zaokrąglane, np., Hz;,5 Hz;,6 Hz;, Hz;,5 Hz; 3,5 Hz;, Hz,...id. 3% % 3% f 93

Szerokość pasma przepuszczania jes proporcjonalna do częsoliwości środkowych, a więc jes zmienna. Sosowane są eż filry o szerokości / i / okawy. Im węższa jes szerokość pasma filru, ym bardziej szczegółowe informacje można uzyskać z analizowanego przebiegu, ale ym dłuższy jes wedy czas analizy. Przebiegi analizowanych sygnałów w filrach o sałej bezwzględnej szerokości pasma, przedsawiane są w liniowej skali częsoliwości, a w filrach o sałej względnej procenowej szerokości pasma, w logarymicznej skali częsoliwości. Na Rys.8.9 przedsawione są charakerysyki filrów zarówno w liniowej jak i w logarymicznej skali częsoliwości. Wynika z niego celowość sosowania odpowiedniej skali w celu możliwości inrepreacji charakerysyk. a) b) H z H z H H z z Rys. 8.9. Przykład charakerysyk filrów w liniowej i logarymicznej skali częsoliwości.: a) filr o sałej bezwzględnej szerokości pasma wynoszącej Hz, b) filr o sałej względnej szerokości pasma równej / okawy zn. ok. 7% częsoliwości środkowej... Analiza drgań z zasosowaniem szybkiej ransformay Fouriera. Na badany obiek w czasie jego pracy działa kilka sił zmiennych P sin( ω + ϕ ), P sin( ω + ϕ ), K, P k sin( ω k + ϕ k ), (8.6) i w efekcie ich działania uzyskuje się złożony przebieg drgań obieku. Aby określić pochodzenie sił wymuszających i ich wpływ na drgania obieku należy sygnał drgań x() orzymany z czujnika (Rys. 8.) rozłożyć na składowe harmoniczne k x( ) = A i sin( ω + β ). (8.7) i= i i Przebieg drgań z czujnika zosaje zarejesrowany przez moduł konrolnopomiarowy w posaci funkcji dyskrenej x i. Dane są rejesrowane w wybranych 9

chwilach czasowych zn. są próbkowane (Rys.8.). x() x ( ) x (n ) T= N Rys. 8.. Ilusracja próbkowania sygnału Długość zarejesrowanego zespołu danych (czas rejesracji) jes ograniczona. Czas próbkowania określa zależność: =, (8.8) B gdzie: B szerokość pasma częsoliwości. Czas próbkowania wyznacza się w oparciu o górną granicę dziedziny częsoliwości f (; B), kórą należy założyć. Liczbę wykonanych próbek N akże należy założyć, najlepiej jako wielokroność liczby (wyjaśnienie, dlaczego przyjmuje się akie założenie, nasąpi w dalszej części insrukcji). Dane e przekazane do kompuera są przewarzane wg opisanego niżej programu. Obliczana jes ransformaa Fouriera danych: (8.9) N π i k j X x e N ; k =,,..., N k i= i Odbywa się o z wykorzysaniem procedury szybkiej ransformay Fouriera - FFT. Zasosowanie ej procedury pozwala na znaczne zmniejszenie czasu obliczeń. Korzyści wynikające z ego zosaną przedsawione w skrócie poniżej. Przyjmijmy, że: W = e - j N N- π, (8.) ik X k = Σ xi W ; k =,,..., N-. (8.) i= Zależność (8.) można przedsawić w posaci: 95

X B- A- (c+ da) Σ b= a= (b+ ab)(c+ da) = Σ x(b+ ab) W, (8.) gdzie: i = b + a B - wskaźnik próbek czasu; k = c + d A - wskaźnik próbek częsoliwości; a, c =,,... A-; b, d =,,... B-. Wykładniki członu W w poprzednim równaniu mogą zosać przekszałcone nasępująco: (b+ab)(c+ da) bc bda acb adab bc bda acb W =W W W W =W W W. (8.3) Wynika o z faku, że a i d są liczbami całkowiymi, a poęga zespolonego członu wykładniczego W, będąca wielokronością N, jes równa jedności. Część zespolonego członu wykładniczego może zosać wyłączona z sumy wewnęrznej, a zaem: B- A- (c + da) acb bc X = bda Σ W Σ x(b+ ab) W W. (8.) b= a= Wyłączenie członu wykładniczego jes równoznaczne z eliminacją liczby mnożeń. Czyli zamias ( A B ) ( A B )= N (8.5) jes A B ( A+ B )= N ( A+ B ). (8.6) W prakyce szczególne znaczenie mają procedury obliczeniowe dla liczby próbek N będącej poęgą liczby. W akim przypadku człony wykładnicze przybierają warości + i -, co prowadzi do pominięcia operacji mnożeń na liczbach zespolonych i dodakowo zmniejsza czasochłonność procedury. Nasępnie wyznaczane jes widmo mocy sygnału: k =, N + Gk = X k ;,...,. (8.7) N Cały przedział częsoliwości jes ak podzielony, że częsoliwości dyskrene są odległe od siebie o f =. (8.8) N W wyniku ej procedury sygnał pomiarowy zosaje rozłożony na składowe określone poziomem wielkości gęsości mocy sygnału. Pozwala o na ocenę, kóre z sił wymuszających, zn. o jakiej częsoliwości, dają największe składowe przebiegu, czyli mają największy wpływ na drgania obieku. Na Rys. 8., 8. i 8.3 przedsawiono przebiegi czasowe i widma rzeczywisych przebiegów, wyznaczone przy zasosowaniu szybkiej ransformay Fouriera. 96

8 8 [N] [N] ] 8 WYMUSZENIE IMPULSOWE Working : Inpu : Inpu : FFT Analyzer WYMUSZENIE IMPULSOWE IMPULSOWE [N],3, 3m m [N] WIDMO SYGNALU IMPULSOWEGO WIDMO SYGNAŁU IMPULSOWEGO 3m - - - -8-8 -8 m,3m,m m m 3m m 5m 6m 7m 8m 9m [s] m m 3m m 5m 6m 7m 8m 9m m [s],6k 6 8 k,k,k [Hz] Rys. 8.. Przebieg czasowy i widmo ampliudowe sygnału impulsowego. Dla sygnału impulsowego (Rys. 8.) widmo ampliudowe ma charaker ciągły. Teoreyczny impuls δ() (funkcja Diraca) zawiera sygnały o wszyskich częsoliwościach od - do +, o jednakowej ampliudzie równej. W chwili = wszyskie składowe widma są w jednakowej fazie. Właśnie a koncenracja umożliwia powsanie impulsu []. Krókorwały impuls spowodowany na przykład uderzeniem zw. młoka pomiarowego, (posiadającego wmonowany czujnik siły) zawiera składowe o jednakowej ampliudzie w szerokim zakresie częsoliwości. A więc układ jes wymuszany wszyskimi częsoliwościami, co umożliwia uzyskanie zw. charakerysyk dynamicznych (szywności lub podaności dynamicznej) przy pomocy analizaora FFT. [V] [N] SYGNAL SZUMU SYGNAŁ SZUMU [V] [N] m WIDMO SZUMU SZUMU 3 3m m m m 3m m - 3µ µ - µ µ -3-5µ m,5m m,5m 3m 3,5m m,5m 5m [s] 3µ µ k 8k k 6k k k [Hz] Rys. 8.. Przebieg czasowy i widmo sygnału sochasycznego. 97

Sygnałem sochasycznym jes sygnał, kórego warości w każdej chwili są zmiennymi przypadkowymi (losowymi). Duże znaczenie prakyczne ma sygnał sochasyczny całkowicie nieuporządkowany, zawierający wszyskie częsoliwości o jednakowej ampliudzie. Jego energia jes równomiernie rozłożona w całym pasmie częsoliwości (Rys. 8.). Przez analogię do widm opycznych nazywany jes białym szumem. Jeżeli sygnałem z generaora szumu zasilimy wzbudnik, mamy również wymuszenie siłą zawierającą wszyskie częsoliwości, co pozwala bardzo szybko uzyskać charakerysykę dynamiczną badanego obieku. Na Rys. 8.3 przedsawiony jes przykład rzeczywisych drgań obieku i jego charakerysyka widmowa, wyznaczona przy zasosowaniu szybkiej ransformay Fouriera. [m/s²] 8 - -8 [m/s ] 8 - -8 PRZYSPIESZENIE, KIERUNEK Z PRZYSPIESZENIE, KIERUNEK Z Working : Inpu : Inpu : FFT Analyzer 5m m 5m m 5m 3m 35m m 5m [s] 5m m 5m m 5m 3m 35m m 5m 5m [s],6,,8, [m/s ] ],6, 8m m [m/s ] WIDMO, KIERUNEK KIERUNEK Z Z WIDMO, KIERUNEK Z 6 8 k,k,k,k,6k,6k,8k,8k k [Hz],k Rys. 8.3. Przebieg czasowy i widmo przyspieszenia drgań. 3. Sanowisko pomiarowe Obiekem badań jes sprężarka łokowa. Drgania sprężarki mierzone w czasie jej normalnej pracy mają przebieg złożony. Jes o wynikiem nałożenia się efeków działania kilku sił wymuszających o różnych częsościach, kóre są związane z pracą urządzenia. Aby określić pochodzenie sił wymuszających należy przeprowadzić analizę częsościową przebiegu drgań. Pozwala o na wyznaczenie częsości składowych drgań, a ym samym równych im częsości sił wymuszających. Analiza sygnału z czujnika pomiarowego będzie w ćwiczeniu prowadzona dwoma sposobami:. Bezpośrednia analiza przebiegu drgań sprężarki za pomocą analogowego analizaora wąskopasmowego znajdującego się w mierniku drgań.. Analiza kompuerowa danych o przebiegu drgań zebranych z czujnika drgań przez moduł konrolno-pomiarowy z zasosowaniem szybkiej ransformay Fouriera (FFT). 98

. Przebieg ćwiczenia Część. Analiza drgań za pomocą analogowego analizaora wąskopasmowego.. Wybrać odpowiedni czujnik (piezoelekryczny, elekrodynamiczny lub ransformaorowy) w zależności od obieku i warunków pomiaru drgań.. Umieścić czujnik drgań na badanym obiekcie. 3. Przełącznikiem kanałów w mierniku drgań wybrać właściwy kanał pomiarowy ( lub ).. Przełącznik rodzaju mierzonej wielkości usawić w położenie a, v lub ζ (przyspieszenie, prędkość lub przemieszczenie). 5. Przełącznik zakresu mierzonej wielkości nasawić na największą warość. 6. Przełącznik SZEROKOŚĆ PASMA analizaora usawić w położenie LIN (całe widmo częsoliwości). 7. Miernik drgań włączyć do sieci, uruchomić badany obiek. 8. Zmieniając zakres przełącznikiem zakresu pomiarowego, doprowadzić do wychylenia wskazówki miernika powyżej /3 zakresu. Zanoować wskazania miernika. 9. W celu przeprowadzenia analizy, usawić przełącznik SZEROKOŚĆ PASMA analizaora w położenie 3% i przesrajać częsoliwość f poencjomerem pomiarowym, aż do uzyskania wyraźnych wychyleń wskazówki miernika. Dla dokładnego określenia częsoliwości, zmienić szerokość pasma na 3%.. Zanoować poziom składowych widma badanych drgań oraz częsoliwości, przy kórych wysępują. Część. Analiza drgań z zasosowaniem szybkiej ransformay Fouriera.. Umieścić czujnik drgań na badanym obiekcie.. Włączyć zasilanie kompuera, moniora i miernika drgań. 3. Uruchomić program obliczeniowy o nazwie sygnal: wpisać polecenie: sygnal, poem nacisnąć klawisz Ener.. Uruchomić badany obiek. 5. Przeprowadzić analizę drgań wg programu sygnal. 5. Lieraura. Hagel R., Zakrzewski J.: Miernicwo dynamiczne, WNT, Warszawa 98.. Ones R.K., Enochson L.: Analiza numeryczna szeregów czasowych, WNT, Warszawa 978. 3. Kaalogi firmy Bruel & Kjær. 99

6. Sprawozdanie z wykonanego ćwiczenia.. Przy użyciu programu kompuerowego wydrukować sprawozdanie z przeprowadzonego ćwiczenia.. Wpisać do sprawozdania wyniki pomiarów z analizaora. 3. Porównać wyniki analizy częsościowej przeprowadzonej przy pomocy analizy FFT i analizaora wąskopasmowego. 5. Na podsawie przeprowadzonych badań określić źródła wymuszeń zn. pochodzenie sił wymuszających. 6. Porównać obie meody analizy drgań.