Definicja Krótko czasowa transformata Fouriera(STFT) może być rozumiana jako seria transformat Fouriera wykonanych na sygnale okienkowanym, przy czym położenie okienka w czasie jest w ramach takiej serii przesuwane monotonicznie. W wersji ciągłej możemy to zapisać tak: F x (t,f ;h) = x(u)h (u t)e i2πuf du
Odwrotność STFT Jeśli okienko ma skończoną energię to STFT jest transformatą odwracalną i można odzyskać z niej sygnał w reprezentacji czasowej: x(t) = 1 E h F x (u,f ;h)h(t u)e i2πtf dudf gdziee h = h(t) 2 dttakwięcsygnałmożebyćrozłożonyna liniową kombinację elementarnych falek atomów postaci: h t,f (u) =h(u t)e i2πfu Każdy atom uzyskiwany jest przez translację pojedynczego okna h wczasieijegomodulacjęczęstościąf. Ciekawostka: zbiór wszystkich możliwych transformacji tego typu tworzy grupę Weyl-Heisenberg a.
STFT a gęstość energii w przestrzeni czas-częstość Spektrogram: kwadrat modułu STFT, jest estymatą gęstości energi w przestrzeni czas-częstść: S x (t,f ) = x(u)h (u t)e i2πfu du 2
Własności Spektrogram zachowuje przesunięcie wczasie iwczęstości: y(t) =x(t t0) S y (t,f ;h) =S x (t t0,f ;h) niezmienniczość na przesunięcia w czasie sig1=atoms(n,[45,.25,16,1]);%t1,f1,t1,a1; sig2=atoms(n,[45+40,.25,16,1]); clf subplot(221) plot(real(sig1)) subplot(223) plot(real(sig2)) h=window( hamming,65); subplot(222) [tfr1,t,f]=tfrstft(sig1,1:n,128,h); imagesc(t,f(1:end/2),abs(tfr1(1:end/2,:))) subplot(224) [tfr2,t,f]=tfrstft(sig2,1:n,128,h); imagesc(t,f(1:end/2),abs(tfr2(1:end/2,:))) y(t) =x(t)e i2πf 0t S y (t,f ;h) =S x (t,f f 0 ;h) niezmienniczość na przesunięcia w częstości N=128; f0=0.1; t=(1:128) ;i=sqrt(-1); sig1=atoms(n,[45,.25,16,1]);%t1,f1,t1,a1; sig2=sig1.*exp(i*2*pi*f0*t); subplot(221) plot(real(sig1)) subplot(223) plot(real(sig2)) h=window( hamming,65); subplot(222) [tfr1,t,f]=tfrstft(sig1,1:n,128,h); imagesc(t,f(1:end/2),abs(tfr1(1:end/2,:))) subplot(224) [tfr2,t,f]=tfrstft(sig2,1:n,128,h); imagesc(t,f(1:end/2),abs(tfr2(1:end/2,:)))
Wyrazy mieszane Spektrogram jest reprezentacją kwadratową. Spektrogram sumy sygnałów nie jest sumą spektrogramów sygnałów składowych, jest tam jeszcze coś: y(t) =x 1 (t)+x 2 (t) S y (t,f ) =S x1 (t,f )+S x2 (t,f )+2Re {S x1,x 2 (t,f )} gdzie S x1,x 2 (t,f ) =F x1 (t,f )F x 2 (t,f )
Rozdzielczość 1 Proszę zbadać rozdzielczość czasową spektrogramu posługując się funkcją delta i rozdzielczość częstotliwościową posługując się funkcją sinus(trzeba przeskanować czas deltą, a częstości sinusem). Proszę wykonac to dla kilku okienek h. 2 Proszę zbadać rozdzielczość spektrogramu przy pomocy dwóch funkcji gabora. Dla różnych ich odległości w czasie i w częstości. Zaobserwować strukturę cross-termów
Przykład z EEG W poniższym przykładzie proszę zbadać wpływ typu i długości okna na wynik. składka EEG snu s=load( c4spin.txt ); Fs=128;%Hz s=s-mean(s); N=length(s); t=(0:n-1)/fs; subplot(2,2,1) plot(t,s) subplot(2,2,3) plot(linspace(-64,64,n),abs(fftshift(fft(s))).^2); h=window( hamming,127); [tfr,t,f]=tfrstft(hilbert(s),1:n,fs,h); subplot(222) imagesc(t/fs,fs*f(1:end/2),abs(tfr(:,1:end/2)))
Definicja CWT gdzie T x (t,a; Ψ) = x(s)ψ t,a(s)ds Ψ t,a (s) = 1 ( ) s t Ψ a a ajestskalą.odfalki Ψwymagamyżebymiałaśrednią0. Tą transformatę można interpretować jako rzutowanie sygnału na kolejne wersje falki Ψ przesunięte o t i przeskalowane o a. Dlafalek,któresądobrzeskupionewokółczęstościf 0 dlaskali a 0 =1możnawprowadzićutożsamienief = f 0 a. Proszę przyjrzeć się definicjom transformaty falkowej i STFT i opowiedzieć o analogiach i różnicach.
Skalogram Podobnie jak dla STFT i spektrogramu, możemy dla CWT wprowadzić pojęcie skalogramu, będącego estymatą gęstości energii w przestrzeni czas-skala. S x (t,a; Ψ) = T x (t,a; Ψ) 2 co dzięki związkowi między skalą a częstością można przekształcić w reprezentację czas-częstość: S x (t,f ; Ψ) = T x (t,f 0 /f ; Ψ) 2 w toolbox ie mamy funkcję tfrscalo 1 Proszę zbadać własności skalogramu w sposób analogiczny jak spektrogramu 2 Zastosować skalogram do naszego próbnego sygnału z EEG