Biomatematyka Wykład 2
POLECANA LITERATURA Matematyka dla biologów. 2014. Wrzosek Dariusz. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa. Modelowanie matematyczne w biologii i medycynie. 2011. Foryś Urszula, Poleszczuk Jan. Uniwersytet Warszawski. Mathematical Biology. 2002. Murray J.D.,Third Edition. Springer.
Funkcja Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację R określoną w produkcie zbiorów X x Y o takiej własności, że dla dowolnego x X istnieje dokładnie jeden y Y, że xry. Inaczej: Przyporządkowanie dowolnemu elementowi x X dokładnie jednego elementu ze zbioru x Y
Funkcja X dziedzina funkcji (zbiór argumentów funkcji) a,b,c,g,h - Argumenty funkcji Y zbiór wartości funkcji 1,3,5,13 wartości funkcji
Funkcje w naukach biologicznych Zależności pomiędzy różnymi cechami charakteryzującymi badane obiekty Przez x oznaczamy wartość cechy 1 wyrażonej w odpowiednich jednostkach: masa, powierzchnia, stężenie, czas, a przez wartość y wartość cechy 2. Pytanie: czy istnieje taka funkcja, że y=f(x)? Najczęściej spotykane sytuacje: Przebieg jakiegoś procesu (cecha 2) w czasie (cecha 1) Proces który charakteryzuje cecha 1 wpływa na proces, który charakteryzuje cecha 2 Charakteryzujemy proces, który jest bezpośrednią przyczyną zmian wartości obu cech (1 i 2)
Funkcja liniowa Przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do odpowiadającego mu przyrostu wartości argumentów f(x)=ax+b a współczynnik kierunkowy prostej (tg α), opisuje nachylenie względem osi X b wyraz wolny funkcji, wskazuje punkt przecięcia z osią Y Jeżeli m > 0, to f jest funkcją rosnącą, natomiast jeżeli m < 0, to f jest funkcją malejącą Graficznie reprezentowana przez linie prostą Zastosowanie funkcji liniowych w życiu codziennym oraz naukach przyrodniczych?
Funkcja liniowa Zależność pomiędzy temperaturą topnienia DNA, a zawartością par GC. Równanie ogólne: t m = 81,5 + 16,6(log[Na + ])+0,41 (%GC)-(500/dł. DNA) Zakładamy, że DNA rozpuszczone jest w roztworze zawierającym 100 mm NaCl będzie miało temperaturę topnienia równą: t m = 59,9 + 0,41(%GC) )-(500 / dł. DNA)
Funkcja liniowa Zadania: Jaka będzie temperatura topnienia cząsteczki DNA o długości 450 pz oraz zawartości par GC równej 50%? Jaka jest zawartość %GC cząsteczki DNA o długości 800 pz jeżeli jej t m = 92 o C? Musimy przeprowadzić denaturację dwóch cząsteczek DNA, jedna o długości 640 pz, natomiast druga 1050 pz. Która z nich będzie miała wyższą temperaturę topnienia jeżeli % zawartość GC jest dla obydwu taka sama?
Funkcja potęgowa Wykładnik (p) jest ustalony, natomiast podstawa jest argumentem funkcji (x) f(x)=ax p Dziedzina jest zależna od wartości p Jeżeli p jest pozytywną liczbą całkowitą domeną są wszystkie liczby rzeczywiste Jeżeli p jest ujemną liczbą całkowitą domeną są wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem 0 Jeżeli p jest ułamkiem postaci n/m, gdzie n jest liczbą naturalną, a m jest liczbą naturalną nieparzystą dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych Przykłady
Funkcja potęgowa
Funkcja potęgowa Model wzrostu nowotworu gdzie: a, b,, są pozytywnymi stałymi x wyznacza rozmiar guza (masa lub liczba komórek) Zadania: Przy jakich wartościach x guz będzie rósł, jeżeli =2/3, natomiast =1? Przy jakich wartościach x guz będzie się zmniejszał, jeżeli =3/4, natomiast =7/5?
Funkcja wykładnicza Funkcja wykładnicza podstawa jest ustalona (a), a wykładnik jest argumentem funkcji f(x)=a x Jeżeli a > 1, to funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą Jeżeli a (0,1), to funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą Wykładniczy wzrost populacji: y (t) = Ce kt = C(e k ) t
Funkcja wielomianowa Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych w postaci: Gdzie: w(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n a liczby rzeczywiste nazywane współczynnikami wielomianu Możliwość zapisania skomplikowanej informacji o kształcie za pomocą niewielkiego zbioru danych Zastosowania Systemy klasyfikacyjne w botanice bazujące na matematycznym opisie profilu krawędzi liści Klasyfikacja materiału kostnego w paleontologii
Funkcja wielomianowa
Funkcja kwadratowa Jest funkcją wielomianową drugiego stopnia Musi wystąpić x 2 ; x oraz stała są opcjonalne y = ax 2 + bx + c Prawo Hardy ego-weinberga W populacji znajdującej się w stanie równowagi genetycznej częstość występowania genotypów zależy wyłącznie od częstości alleli i jest stała z pokolenia na pokolenie Locus dwualleliczne: p 2 = frakcja homozygot AA 2pq = frakcja heterozygotyczna q 2 = frakcja homozygot aa (p + q) 2 = p 2 + 2pq + q 2 = 1
Geometryczna reprezentacja prawa HW p=0,3 Aa AA p=0,9 Aa AA p=0,7 aa Aa q=0,1 aa q=0,1 Aa p=0,9 p=0,7 p=0,3
Wielomiany Subdominacja Dostosowanie genotypu heterozygotycznego jest niższe niż pozostałych dwóch genotypów Niektóre geny warunkujące odporność na herbicydy u roślin warunkują gorsze dostosowanie w formie heterozygotycznej przy braku herbicydów w środowisku Motyle Pseudacraea eurytus homozygoty w formie pomarańczowej lub niebieskiej upodabniają się do innych (trujących) gatunków, czego nie obserwujemy u heterozygot Ryzyko cukrzycy jest największe dla osób heterozygotycznych (D3/D4) pod względem HLA-DR
Subdominacja Stan równowagi doboru przy subdominacji Które z poniższych równań pozwoli znaleźć frekwencję p w stanie równowagi? A. C. B.
Subdominacja Rozwiązanie:
Subdominacja Przy jakiej frekwencji alleli populacja będzie w równowadze jeżeli działają na nią następujące czynniki selekcyjne: A) s 1 = 0,9; s 2 = 0,3 B) s 1 = 0,3; s 2 = 0,3 Wyróżnik Jeżeli = 0 Wyznacz miejsca zerowe funkcji Przypomnienie: Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdą wartość argumentu x, dla którego wartość funkcji y jest równa 0 Jeżeli > 0 Jeżeli <0 brak miejsc zerowych
Funkcja wymierna Funkcją wymierną nazywamy funkcję określoną wzorem f(x) = W(x) / G(x) gdzie W(x), G(x) są wielomianami i G(x) 0 Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zbioru wszystkich miejsc zerowych wielomianu G(x)
Funkcja wymierna Inbred Prawdopodobieństwo, że dwa allele w losowo wybranym locus pochodzą od wspólnego przodka i są identyczne Przyrost inbredu na pokolenie Efektywna wielkość populacji Liczba osobników, które w populacji wyidealizowanej dawałyby taki sam przyrost inbredu jaki wystąpiłby w populacji rzeczywistej. Nf liczba samic przystępujących do rozrodu Nm liczba samców przystępujących do rozrodu
Funkcja wymierna 1. Jaka będzie efektywna wielkość populacji w której do rozrodu przystępuje 100 samic i: 1. 50 samców 2. 10 samców 2. Jaka będzie efektywna wielkość populacji jeżeli liczba samców i samic przystępujących do rozrodu będzie taka sama? 3. Ile będzie wynosiła efektywna wielkość populacji, w której do rozrodu przystępuje tylko jeden samiec, a liczba samic jest bardzo duża (N f )?
Funkcja wymierna - przykłady Wskaźnik BMI Równanie Michelisa-Mentena opisuje zależność szybkości reakcji od stężenia substratu:
Funkcja logarytmiczna Funkcja logarytmiczna logarytm o podstawie a z x to potęga do której trzeba podnieść a, aby otrzymać x f(x)=log a x gdy x= a y Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich Logarytm przy podstawie dziesiętnej logx = log 10 x Logarytm naturalny lnx = log e x Stała wykładnicza (liczba Eulera) to liczba niewymierna, będąca podstawą logarytmu naturalnego, wynosząca w przybliżeniu e=2,7182818. Skala logarytmiczna jest skalą nieliniową!
Funkcja logarytmiczna Logarytm naturalny jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej
Logarytmy Odkrywca: John Napier A Description of the Wonderful Law of Logarithms, opublikowana w 1614 Umożliwiały zastąpienie operacji mnożenia i dzielenia, dodawaniem i odejmowaniem
Logarytmy - zastosowanie Skala kwasowości ph Oparta na aktywności jonów wodorowych (hydroniowych H 3 O + ) w roztworach wodnych ph = -log[h + ] Mieści się w przedziale od 0 do 14 Dlaczego wprowadzono pojęcie i skalę ph, zamiast bezpośrednio określać stężenie jonów H + lub OH -? Przykład: 0,1 molowy roztwór NaOH, który zawiera 0,0000000000001 mol/dm 3 jonów H3O + Wartość funkcji ph zmienia się nieznacznie przy dużych zmianach stężenia, np. podczas dziesięciokrotnej zmiany stężenia wartość ph zmienia się tylko o jednostkę
Logarytmy - zastosowanie Skala Richtera Określa siłę trzęsienia ziemi na podstawie logarytmu dziesiętnego amplitudy drgań wstrząsów sejsmicznych
Skala logarytmiczna Zmierzono masę ciała różnych gatunków zwierząt: Nietoperz = 7 g Mysz = 20 g Człowiek = 80 kg Tur = 900 kg Wieloryb = 100 t Zaznacz te liczby na osi OX w zwykłej skali oraz w skali logarytmicznej.
Logarytmy - zastosowanie Skala liniowa HIV-1 9800 pz Skala logarytmiczna Amoeba dubia 670 mld pz Źródło: http://www.biology. arizona.edu/biomat h/tutorials/log/logs cale.html
Współrzędne log-log Wykorzystywana do graficznego przedstawiania eksperymentów jeżeli zależność pomiędzy cechami jest funkcją potęgową lub wykładniczą Funkcja potęgowa: y=bx a po zlogarytmowaniu: log y = log (bx a ) = log b + a log x Oznaczając Y=log y; X = log x; B = log b otrzymujemy: Y = ax + B zależność jest liniowa na nowych współrzędnych tzw. współrzędnych podwójnie logarytmicznych
Współrzędne log-log Funkcja wykładnicza: y=ba x po zlogarytmowaniu: log y = x log a + log b Oznaczając Y=log y; B = log b, ; A = log a otrzymujemy: Y = Ax + B zależność jest liniowa na nowych współrzędnych tzw. współrzędnych półlogarytmicznych - wartości logarytmów jedynie na jednej osi (Y) - wartości x-ów pozostają bez zmian na osi X
Współrzędne log-log Przykład: powierzchnia obszaru, a liczba gatunków (ang. species-area relationship) Przedstawienie zależności wykładniczej w formie liniowej ułatwia interpretacje: Jeżeli populacja rośnie wykładniczo zobaczymy linie prostą Jeżeli wzrost jest wolniejszy niż wykładniczy krzywa będzie wypukła Jeżeli wzrost jest szybszy niż wykładniczy krzywa będzie wklęsła
Współrzędne log-log Poniższa tabela przedstawia liczbę gatunków płazów i gadów na Antylach w zależności od powierzchni wyspy (Darlington, 1957) mi 2 Liczba gatunków 4 5 40 10 400 20 4000 40 40000 80 Przedstaw zależność w skali liniowej oraz na współrzędnych logarytmicznych Zmiany liczebności populacji drozdów w pewnym okresie można wyrazić następującym równaniem N = 343 x (0,356) t, gdzie t oznacza lata. Przekształcić podaną funkcję przez logarytmowanie i przestawić na wykresie zmiany liczebności populacji w ciągu 5 lat.
Funkcja wykładnicza Funkcja wykładnicza podstawa jest ustalona (a), a wykładnik jest argumentem funkcji f(x)=a x Domeną są wszystkie liczby rzeczywiste, natomiast zbiorem wartości są wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste Przykłady:
Funkcja wykładnicza Jeżeli a > 1, to funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą Jeżeli a (0,1), to funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą
Liczba przypadków choroby nowotworowej na 100 000 Wiek osób <1 23 1-4 19 5-9 10 10-14 12 15-19 19 20-24 33 25-29 59 30-34 101 35-39 160 40-44 265 45-49 398 50-54 576 55-59 803 60-64 1059 65-69 1353 70-74 1603 75-79 1817 80-84 1897 >80 1790 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 Funkcja wykładnicza Źródło: https://nccd.cdc.gov/uscs/ Wzrost wykładniczy
Funkcja wykładnicza malejąca Czas trwania terapii Liczba wirusów HIV we krwi 0 123550 2 12170 4 975 6 150 8 80 10 55 12 25 14 10 16 10 18 10 20 10 22 10 24 10 26 10 28 10 30 10 140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 Spadek liczby wirusów we krwi na skutek prowadzenia terapii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Wykładniczy wzrost populacji Wzrost wykładniczy N(t) = Ce kt = N 0 e rt t upływ czasu N 0 stała, początkowa liczebność populacji r tempo wzrostu Ile bakterii będzie po 51 godzinach jeżeli zaczynamy od jednej komórki, która dzieli się co 3 godziny? Początkowa liczebność populacji jest równa 1 W 3 godzinie populacja podwoiła swoją liczebność Jakie jest tempo wzrostu naszej kolonii bakterii? Rozwiązujemy dla r: ponieważ to
Wykładniczy wzrost populacji Wzór na wykładniczy wzrost populacji bakterii przy założeniu podziałów co 3 godziny 1. Ile bakterii będzie po 51 godzinach? 2. Od jakiej liczby bakterii należy zacząć aby otrzymać 81920 po 42 godzinach? 3. Jak dużo czasu (h) jest potrzebne aby z 6 bakterii otrzymać 12288, zachowując stałe tempo podziałów? Stwórz wykres wzrostu kolonii przez pierwsze 24 godziny Przedstaw dane na skali logarytmicznej
Dziękuję za uwagę Źródła: Matematyka dla biologów. 2014. Wrzosek Dariusz Biology by numbers, 1998, Richard F. Burton http://www.biology.arizona.edu/biomath/biomath.html