Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32
Wielkie twierdzenie Fermata Równanie x n + y n = z n nie ma rozwiązań w niezerowych liczbach całkowitych x, y, z, gdy n N, n 3. Andrew Wiles (ur. 1953 w Cambridge) dowód WTF w 1993 r.; uzupełnienie luk po dwóch latach pracy ostateczna wersja dowodu opublikowana w 1995 r. w Annals of Mathematics Nagroda Wolfa w 1996 r. odznaczenie Międzynarodowej Unii Matematycznej w 1998 r. w zastępstwie Medalu Fieldsa Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 2 / 32
Hipoteza Poincarégo Każda zwarta, jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową. Grigorij Perelman (ur. 1966 w Leningradzie) dowód hipotezy opublikowany w Internecie w 2003 r.; zweryfikowany w 2006 r. magazyn Science naukowe wydarzenie roku 2006 odmowa przyjęcia Medalu Fieldsa w 2006 r. odmowa przyjęcia nagrody 1 mln $, przyznanej przez Instytut Matematyczny Claya Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 3 / 32
Ciągi arytmetyczne a liczby pierwsze Istnieją dowolnie długie ciągi arytmetyczne złożone z liczb pierwszych. dowód podany w 2004 r., opublikowany w 2008 r. w Annals of Mathematics Medal Fieldsa w 2006 r. dla Terence a Tao najdłuższy znany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych ma 26 elementów; jego różnica wynosi 23, 681, 770 223, 092, 870 Ben Green (ur. 1977 w Bristolu) Terence Tao (ur. 1975 w Adelajdzie) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 4 / 32
Projekt matematyczny 1 Definicja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste 4 Faktoryzacja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste 4 Faktoryzacja 5 Reprezentacja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste 4 Faktoryzacja 5 Reprezentacja 6 Analogia Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
Symetrie czworościanu 4 3 2 1
Symetrie czworościanu 4 k 3 2 180 1
Symetrie czworościanu 4 l k 3 2 180 1 120, 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 6 / 32
Symetrie czworościanu 4 l k Liczba symetrii: 3 + 4 2 + 1 = 12 3 2 180 1 120, 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 7 / 32
Symetrie sześciokątnego dysku 5 4 6 3 1 2
Symetrie sześciokątnego dysku 5 4 6 3 1 2 180
Symetrie sześciokątnego dysku 5 4 6 3 1 2 180 180
180 60, 120, 180, 240, 300 Symetrie sześciokątnego dysku 5 4 6 3 1 2 180 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 8 / 32
Symetrie sześciokątnego dysku Liczba symetrii: 5 4 3 + 3 + 5 + 1 = 12 6 3 1 2 180 180 60, 120, 180, 240, 300 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 9 / 32
Symetrie piramidy o podstawie dwunastokątnej Liczba symetrii: 12 9 8 7 6 5 10 11 12 1 2 3 4 k 30, 0 k < 12 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 10 / 32
Brak przemienności między symetriami czworościanu r obrót o 120 wokół osi l s obrót o 180 wokół osi k Wynik zastosowania operacji r: 4 l 4 l k k 3 2 2 1 180 1 180 3 120, 240 120, 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 11 / 32
Brak przemienności między symetriami czworościanu r obrót o 120 wokół osi l s obrót o 180 wokół osi k Wynik zastosowania operacji s r: 4 l 1 l k k 2 1 3 4 180 3 180 2 120, 240 120, 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 12 / 32
Brak przemienności między symetriami czworościanu r obrót o 120 wokół osi l s obrót o 180 wokół osi k Wynik zastosowania operacji s: 4 l 2 l k k 3 2 1 4 180 1 180 3 120, 240 120, 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 13 / 32
Brak przemienności między symetriami czworościanu r obrót o 120 wokół osi l s obrót o 180 wokół osi k Wynik zastosowania operacji r s: 2 l 2 l k k 1 4 4 3 180 3 180 1 120, 240 120, 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 14 / 32
Symetrie czworościanu, dysku i piramidy Każda z trzech figur ma 12 symetrii, ale różnią się one istotnie: piramida ma tylko jedną oś symetrii; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 15 / 32
Symetrie czworościanu, dysku i piramidy Każda z trzech figur ma 12 symetrii, ale różnią się one istotnie: piramida ma tylko jedną oś symetrii; wszystkie symetrie piramidy są przemienne, w odróżnieniu od symetrii czworościanu i dysku sześciokątnego; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 15 / 32
Symetrie czworościanu, dysku i piramidy Każda z trzech figur ma 12 symetrii, ale różnią się one istotnie: piramida ma tylko jedną oś symetrii; wszystkie symetrie piramidy są przemienne, w odróżnieniu od symetrii czworościanu i dysku sześciokątnego; istnieje tylko jedna symetria piramidy (obrót o 180 ), która złożona ze sobą jest identycznością. Dla czworościanu i dysku takich symetrii jest więcej. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 15 / 32
Symetrie czworościanu, dysku i piramidy Każda z trzech figur ma 12 symetrii, ale różnią się one istotnie: piramida ma tylko jedną oś symetrii; wszystkie symetrie piramidy są przemienne, w odróżnieniu od symetrii czworościanu i dysku sześciokątnego; istnieje tylko jedna symetria piramidy (obrót o 180 ), która złożona ze sobą jest identycznością. Dla czworościanu i dysku takich symetrii jest więcej. Wniosek: Miarą symetrii danej figury nie jest tylko liczba jej symetrii. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 15 / 32
Pojęcie grupy Definicja Grupą nazywamy strukturę (G, ), spełniającą warunki: działanie jest łączne, tzn. x (y z) = (x y) z dla wszelkich x, y, z G; istnieje element neutralny, tj. taki element e G, że x e = e x = x dla każdego x G; każdy element x G ma element odwrotny, tj. taki element x 1 G, że x x 1 = e = x 1 x. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 16 / 32
Przykłady grup Grupa diedralna D n Dla n 3 symbolem D n oznacza się grupę wszystkich symetrii własnych n-kąta foremnego. Ma ona dokładnie 2n elementów. Np. dla n = 6 to nic innego jak wspomniana grupa obrotów dysku sześciokątnego. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 17 / 32
Przykłady grup Grupa diedralna D n Dla n 3 symbolem D n oznacza się grupę wszystkich symetrii własnych n-kąta foremnego. Ma ona dokładnie 2n elementów. Np. dla n = 6 to nic innego jak wspomniana grupa obrotów dysku sześciokątnego. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 17 / 32
Przykłady grup Grupy liczbowe (R, +), (R +, ), (Q, +), (Q +, ), (Z, +) itd. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 18 / 32
Przykłady grup Grupy liczbowe (R, +), (R +, ), (Q, +), (Q +, ), (Z, +) itd. Grupy reszt modulo n Z n oznacza grupę możliwych reszt z dzielenia przez n, tj. zbiór {0, 1,..., n 1} z działaniem dodawania modulo n. Na przykład: 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Tabelka działania w grupie (Z 3, +) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 18 / 32
Przykłady grup Grupy permutacji S n Dla każdego n N symbol S n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2,..., n}, z działaniem składania permutacji. Grupa S n ma n! elementów. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 19 / 32
Przykłady grup Grupy permutacji S n Dla każdego n N symbol S n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2,..., n}, z działaniem składania permutacji. Grupa S n ma n! elementów. Przykład: σ = ( 1 2 3 3 1 2 ), τ = ( 1 2 3 3 2 1 ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 19 / 32
Przykłady grup Grupy permutacji S n Dla każdego n N symbol S n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2,..., n}, z działaniem składania permutacji. Grupa S n ma n! elementów. Przykład: σ = τσ = ( 1 2 3 3 1 2 ( 1 2 3 1 3 2 ) ), τ = ( 1 2 3 3 2 1 ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 19 / 32
Przykłady grup Grupy permutacji S n Dla każdego n N symbol S n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2,..., n}, z działaniem składania permutacji. Grupa S n ma n! elementów. Przykład: σ = ( 1 2 3 3 1 2 ), τ = ( 1 2 3 3 2 1 ) τσ = ( 1 2 3 1 3 2 ) ( 1 2 3 2 1 3 ) = στ Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 19 / 32
Przykłady grup Grupy warkoczy B n Niech n N. Symbol B n oznacza zbiór wszystkich warkoczy, złożonych z n strun rozpiętych pomiędzy n punktami położonymi na dwóch równoległych płaszczyznach. Warkocze utożsamiamy homeomorficznie. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 20 / 32
Przykłady grup Grupy warkoczy B n Niech n N. Symbol B n oznacza zbiór wszystkich warkoczy, złożonych z n strun rozpiętych pomiędzy n punktami położonymi na dwóch równoległych płaszczyznach. Warkocze utożsamiamy homeomorficznie. Przykłady warkoczy z B 3 i B 4 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 20 / 32
Przykłady grup Dodawanie warkoczy polega na naturalnym złożeniu: warkocz a warkocz ab warkocz B Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 21 / 32
Przykłady grup Branie elementu odwrotnego do danego warkocza polega na odbiciu symetrycznym względem dolnej płaszczyzny: warkocz abb warkocz bba = (abb) 1 warkocz abbbba = e (jedynka grupy B 3 ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 22 / 32
Izomorfizm grup Izometrie szachownicy: identyczność e, obrót r o kąt 180 wokół środka, symetrie q 1 i q 2 względem zaznaczonych diagonali Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 23 / 32
Izomorfizm grup Izometrie szachownicy: identyczność e, obrót r o kąt 180 wokół środka, symetrie q 1 i q 2 względem zaznaczonych diagonali e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 23 / 32
Izomorfizm grup Grupa izometrii szacownicy a grupa liczb {1, 3, 5, 7} z działaniem mnożenia modulo 8 e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e 1 3 5 7 1 1 3 5 7 3 3 1 7 5 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 24 / 32
Izomorfizm grup Grupa izometrii szacownicy a grupa liczb {1, 3, 5, 7} z działaniem mnożenia modulo 8 e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e 1 3 5 7 1 1 3 5 7 3 3 1 7 5 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 Te dwie struktury są identyczne w sensie teorii grup. Definicja Grupy (G, ) i (H, ) nazywamy izomorficznymi, jeżeli istnieje takie wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f : G H, że f (x y) = f (x) f (y). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 24 / 32
Izomorfizm grup Grupa izometrii szacownicy a grupa liczb {1, 3, 5, 7} z działaniem mnożenia modulo 8 e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e 1 3 5 7 1 1 3 5 7 3 3 1 7 5 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 Te dwie struktury są identyczne w sensie teorii grup. Definicja Grupy (G, ) i (H, ) nazywamy izomorficznymi, jeżeli istnieje takie wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f : G H, że f (x y) = f (x) f (y). Przykład: (R, +) (R +, ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 24 / 32
Izomorfizm grup Grupa izometrii szacownicy a grupa liczb {1, 3, 5, 7} z działaniem mnożenia modulo 8 e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e 1 3 5 7 1 1 3 5 7 3 3 1 7 5 5 5 7 1 3 7 7 5 3 1 Te dwie struktury są identyczne w sensie teorii grup. Definicja Grupy (G, ) i (H, ) nazywamy izomorficznymi, jeżeli istnieje takie wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f : G H, że f (x y) = f (x) f (y). Przykład: (R, +) (R +, ), (Q, +) (Q +, ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 24 / 32
Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; grupy (R, +) nie da się wygenerować za pomocą skończenie wielu elementów; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; grupy (R, +) nie da się wygenerować za pomocą skończenie wielu elementów; grupa (Z, +), oraz wszystkie grupy (Z n, +), są generowane przez 1 element (przez jedynkę). Taką grupą jest na przykład grupa symetrii piramidy, która jest izomorficzna z (Z 12, +). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; grupy (R, +) nie da się wygenerować za pomocą skończenie wielu elementów; grupa (Z, +), oraz wszystkie grupy (Z n, +), są generowane przez 1 element (przez jedynkę). Taką grupą jest na przykład grupa symetrii piramidy, która jest izomorficzna z (Z 12, +). Które z tych grup są najprostszymi obiektami? Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; grupy (R, +) nie da się wygenerować za pomocą skończenie wielu elementów; grupa (Z, +), oraz wszystkie grupy (Z n, +), są generowane przez 1 element (przez jedynkę). Taką grupą jest na przykład grupa symetrii piramidy, która jest izomorficzna z (Z 12, +). Które z tych grup są najprostszymi obiektami? Definicja Grupę, która jest generowana przez jeden element nazywamy grupą cykliczną. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
Podgrupa Jak można rozkładać grupę na czynniki proste (na grupy cykliczne)? dla grup diedralnych D 3 i D 6 mamy D 3 < D 6 (D 3 jest podgrupą grupy D 6 ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 26 / 32
Podgrupa Jak można rozkładać grupę na czynniki proste (na grupy cykliczne)? dla grup diedralnych D 3 i D 6 mamy D 3 < D 6 (D 3 jest podgrupą grupy D 6 ); Z 3 < Z 6 ; Q < R; Z < Q; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 26 / 32
Faktoryzacja i reprezentacja 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 27 / 32
Faktoryzacja i reprezentacja 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste Przechodzimy do omówienia (w kontekście teorii grup) dwóch najważniejszych punktów: 4 Faktoryzacja 5 Reprezentacja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 27 / 32
Faktoryzacja skończenie generowalnych grup abelowych Twierdzenie Frobeniusa & Stickelbergera, 1878 Każda skończenie generowalna grupa abelowa G ma rozkład: G Z n Z p k 1 1... Z k p l, l gdzie n N 0, k 1,..., k l N, a p 1,..., p l są liczbami pierwszymi. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 28 / 32
Faktoryzacja skończenie generowalnych grup abelowych Twierdzenie Frobeniusa & Stickelbergera, 1878 Każda skończenie generowalna grupa abelowa G ma rozkład: G Z n Z p k 1 1... Z k p l, l gdzie n N 0, k 1,..., k l N, a p 1,..., p l są liczbami pierwszymi. Przykład: Z 2 = {0, 1}, Z 2 Z 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} jest grupą 4-elementową, w której działamy następująco: (0, 0) + (0, 0) = (0, 0), (0, 1) + (1, 1) = (1, 0) itd. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 28 / 32
Faktoryzacja skończenie generowalnych grup abelowych Twierdzenie Frobeniusa & Stickelbergera, 1878 Każda skończenie generowalna grupa abelowa G ma rozkład: G Z n Z p k 1 1... Z k p l, l gdzie n N 0, k 1,..., k l N, a p 1,..., p l są liczbami pierwszymi. Przykład: Z 2 = {0, 1}, Z 2 Z 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} jest grupą 4-elementową, w której działamy następująco: (0, 0) + (0, 0) = (0, 0), (0, 1) + (1, 1) = (1, 0) itd. Uwaga: Z 2 Z 2 Z 4. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 28 / 32
Faktoryzacja skończenie generowalnych grup abelowych Twierdzenie Frobeniusa & Stickelbergera, 1878 Każda skończenie generowalna grupa abelowa G ma rozkład: G Z n Z p k 1 1... Z k p l, l gdzie n N 0, k 1,..., k l N, a p 1,..., p l są liczbami pierwszymi. Zastosowania: w informatyce (w przesyłaniu i kompresji danych); w mechanice kwantowej (do opisu symetrii cząstek elementarnych). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 29 / 32
Reprezentacja grup skończonych Twierdzenie Cayleya, 1854 Jeżeli G jest grupą skończoną o n elementach, to G jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji S n. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 30 / 32
Reprezentacja grup skończonych Twierdzenie Cayleya, 1854 Jeżeli G jest grupą skończoną o n elementach, to G jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji S n. Grupy symetrii własnych dla pięciu brył platońskich: czworościan: A 4 (permutacje parzyste zbioru {1, 2, 3, 4}), sześcian: S 4, ośmiościan: S 4, dwunastościan: A 5, dwudziestościan: A 5. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 30 / 32
Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Reprezentacje unitarne: każda liczba rzeczywista da się zapisać w postaci: x = ±1 x, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Reprezentacje unitarne: każda liczba rzeczywista da się zapisać w postaci: x = ±1 x, każda liczba zespolona w postaci z = e iϕ z, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Reprezentacje unitarne: każda liczba rzeczywista da się zapisać w postaci: x = ±1 x, każda liczba zespolona w postaci z = e iϕ z, każdy porządny operator w postaci T = I P, gdzie I - izometria, P - rozciągnięcie, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Reprezentacje unitarne: każda liczba rzeczywista da się zapisać w postaci: x = ±1 x, każda liczba zespolona w postaci z = e iϕ z, każdy porządny operator w postaci T = I P, gdzie I - izometria, P - rozciągnięcie, grupy przekształceń układów kwantowych reprezentuje się jako porządne operatory. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
Analogia Matematyk to ktoś, kto dostrzega analogie między twierdzeniami, dobry matematyk analogie między dowodami, wybitny matematyk analogie między teoriami, zaś genialny matematyk analogie między analogiami. Stefan Banach (1892 1945) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 32 / 32