Klasyczny rachunek predykatów

Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu KRP należą następujące rodzaje wyrażeń: 1. Zmienne indywiduowe: x, y, z, x 1, x 2,, y 1, y 2,, z 1, z 2, 2. Stałe indywiduowe: a, b, c, a 1, a 2,, b 1, b 2,, c 1, c 2, 3. Stałe predykatywne: P, Q, R, P 1, P 2,, Q 1, Q 2,, R 1, R 2, ; z każdą stałą predykatywną związana jest liczba naturalna zwana jej argumentowością. 4. Funktory zdaniotwórcze:,,,, ~ 5. Kwantyfikatory:, 6. Nawiasy: (,. Symbole, które wprowadzono powyżej nie mają, póki co, żadnego znaczenia. Alfabet definiuje jakie typy znaków mogą być wykorzystywane w KRP. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF. 1: WYRAŻENIE KRP Wyrażeniem KRP nazywamy każdy skończony ciąg symboli alfabetu KRP. a 1 PQ R - jest zatem wyrażeniem KRP x 1 ((α β (P Q, x 1 - nie jest wyrażeniem KRP (P Q, x 1 p 2 - nie jest wyrażeniem KRP spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Formuła klasycznego rachunku zdań reguły składni języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Formuła klasycznego rachunku zdań reguły składni języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. Formuła atomowa to tyle, co jakaś stała predykatowa, po której następuje dokładnie tyle symboli indywiduowych (zmiennych lub stałych, ile wynosi argumentowość tego predykatu. niech predykat P 18 ma argumentowość n (n to jakaś liczba naturalna t i to jakiś symbol indywiduowy (zmienna lub stała (i to liczba naturalna P 18 jest formułą atomową KRP spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. (ii Jeżeli α, β są formułąmi KRP, to (α β, (α β, (α β, (α β i ~α też są formułami KRP. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. (ii Jeżeli α, β są formułąmi KRP, to (α β, (α β, (α β, (α β i ~α też są formułami KRP. Warunek (ii wyjaśnia, w jaki sposób zbudować bardziej złożoną formułę z mniej złożonych formuł przy pomocy stałych logicznych. UWAGA: w przypadku funktorów binarnych, formuła złożona zamknięta jest nawiasami, za to negację iterować można bez stosowania nawiasów. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. (ii Jeżeli α, β są formułąmi KRP, to (α β, (α β, (α β, (α β i ~α też są formułami KRP. (iiijeżeli α jest formułą KRP, a x i zmienną indywiduową, to: x i α x i α też są formułami KRP. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane kwantyfikatorów. jest zgodnie z następującymi zasadami: Warunek (iii wyjaśnia, w jaki sposób budować formuły KRP z użyciem UWAGA: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n- elementowego występować ciągu niekoniecznie w formule α. różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. (ii Jeżeli α, β są xformułąmi 1 P(a 6 KRP, to (α β, - (α β, jest (α formułą β, (α β i ~α też są formułami KRP. (iiijeżeli α jest formułą KRP, a x i zmienną indywiduową, to: x i α x i α też są formułami KRP. kwantyfikować można jedynie zmienne indywiduowe, nigdy stałe; zmienna x i, która występuje pod kwantyfikatorem nie musi wcale a 1 (P(a 1 Q(a 1, x 1 - nie jest formułą KRP spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 3 Zmienna indywiduowa występuje w formule wtedy i tylko wtedy, gdy jest argumentem pewnej stałej predykatywnej tej formuły α: x ( y P(y, y Q(y, z w α występują zmienne y i z spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 3 Zmienna indywiduowa występuje w formule wtedy i tylko wtedy, gdy jest argumentem pewnej stałej predykatywnej tej formuły DEF. 4 Zmienną, która występuje bezpośrednio po znaku kwantyfikatora nazywamy zmienną objętą kwantyfikatorem α: x ( y P(y, y Q(y, z w α zmienne x i y są zmiennymi objętymi kwantyfikatorami spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 3 Zmienna indywiduowa występuje w formule wtedy i tylko wtedy, gdy jest argumentem pewnej stałej predykatywnej tej formuły DEF. 4 Zmienną, która występuje bezpośrednio po znaku kwantyfikatora nazywamy zmienną objętą kwantyfikatorem DEF. 5 Zasięg kwantyfikatora to formuła, która rozpoczyna się bezpośrednio po zmiennej objętej danym kwantyfikatorem zasięg : zasięg : y P((y, y x Q(y, z y P((y, y x Q(y, z spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 3 Zmienna indywiduowa występuje w formule wtedy i tylko wtedy, gdy jest argumentem pewnej stałej predykatywnej tej formuły DEF. 4 Zmienną, która występuje bezpośrednio po znaku kwantyfikatora nazywamy zmienną objętą kwantyfikatorem DEF. 5 Zasięg kwantyfikatora to formuła, która rozpoczyna się bezpośrednio po zmiennej objętej danym kwantyfikatorem DEF. 6 Zmienna ma w formule wystąpienie związane, jeśli zmienna ta leży w zasięgu kwantyfikatora obejmującego zmienną identycznego kształtu α: y P((y, y x Q(y, z w α zmienna y ma trzy wystąpienia związane spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 7 Wystąpienie zmiennej, które nie jest związane nazywamy wystąpieniem wolnym β: y P((y, x x Q(y, z w β zmienne x i z mają wystąpienia wolne spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 7 Wystąpienie zmiennej, które nie jest związane nazywamy wystąpieniem wolnym DEF. 8 Zmienna wolna formuły, to zmienna, która ma w tej formule choć jedno wystąpienie wolne β: y P((y, x x Q(y, z w β zmienne x i z są wolne spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 7 Wystąpienie zmiennej, które nie jest związane nazywamy wystąpieniem wolnym DEF. 8 Zmienna wolna formuły, to zmienna, która ma w tej formule choć jedno wystąpienie wolne DEF. 9: ZDANIE KRP Zdaniem KRP nazywamy formułę, która nie zawiera zmiennych wolnych.

DEF. 10: model języka KRP Modelem języka KRP nazywamy parę uporządkowaną M = <M, I> M to zbiór obiektów zwany uniwersum modelu lub dziedziną przedmiotową; Niech: M = I to funkcja interpretacji, która nadaje znaczenie stałym indywiduowym i predykatowym języka KRP (i stałe indywiduowe: Jeżeli a i jest stałą indywiduową, to I(a i M Funkcja interpretacji przypisuje każdej stałej indywiduowej języka KRP jakiś obiekt z uniwersum modelu, np.:, I(a10 =, I(a11 =, I(a12 =, spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

DEF. 10: model języka KRP Modelem języka KRP nazywamy parę uporządkowaną M = <M, I> M to zbiór obiektów zwany uniwersum modelu lub dziedziną przedmiotową; Niech: M = I to funkcja interpretacji, która nadaje znaczenie stałym indywiduowym i predykatowym języka KRP (i stałe indywiduowe: Jeżeli a i jest stałą indywiduową, to I(a i M (ii stałe predykatowe: Jeżeli P i jest n-argumentowym symbolem predykatywnym, to I(P i M n Dla stałej predykatowej o argumentowości n, interpretacja przyporządkowuje zbiór, którego elementami są n-tki uporządkowane obiektów z uniwersum modelu. [c.d.n.

[c.d.1 N-tka uporządkowana przedmiotów, to tyle co ciąg przedmiotów. Zatem, w n-tce uporządkowanej liczy się: (i jakie przedmioty ją stanowią, (ii jaki jest ich porządek (który jest najpierw a który później. N-tki uporządkowane zapisujemy w sposób następujący: <o 1, o 2, o 3, o 4,, o n > Jeśli n=2, to mamy parę uporządkowaną: <o 1, o 2 >. Jeśli n=3, to mamy trójkę uporządkowaną: <o 1, o 2, o 3 >. Jeśli n=4, to mamy czwórkę uporządkowaną: <o 1, o 2, o 3, o 4 >.. Zbiór n-tek uporządkowanych, to zbiór, którego elementami są n-tki uporządkowane. A= <,,, > <,,, > <,,, > A jest trzyelementowym zbiorem czwórek uporządkowanych. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

M = <M, I> M = [c.d. 2 N- argumentowemu predykatowi, na mocy funkcji interpretacji odpowiada zbiór n-tek uporządkowanych obiektów z uniwersum modelu. Niech argumentowość P 11 będzie równa 5 (n=5. Zatem, interpretacja przyporządkowuje P 11 zbiór piątek uporządkowanych (n=5, na przykład taki: I(P 11 = {<,,,, >, <,,,, >, <,,,, >} spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

DEF. 11: model języka KRP Modelem języka KRP nazywamy parę uporządkowaną M = <M, I> DEF. 12: wartościowanie zmiennych KRP Wartościowaniem zmiennych indywiduowych KRP jest dowolna funkcja g i, która przyporządkowuje wszystkim zmiennym języka KRP elementy uniwersum modelu. Interpretacja decyduje o tym jakie należy rozumieć stałe języka KRP (stałe indywiduowe i stałe predykatowe. Wartościowanie pozwala mówić o odniesieniu zmiennych indywiduowych do obiektów z uniewersum modelu. g 1 =, g 1 =, g 1 g 2 =, g 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3. UMOWA: Dla stałych indywiduowych g(a = I(a M= spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: Definicja spełniania (podobnie jak podana wcześniej definicja formuły KRP jest definicją indukcyjną (vide prezentacja Definicje i podział logiczny. Zatem, definicja ta składa się z kilku warunków, które określają co oznacza, że jakaś klasa formuł KRP, jest spełniona. Stosując kolejne warunki definicyjne, można określić czy dowolna formuła KRP jest spełniona w modelu przy określonym wartościowaniu. Sprawdzając czy formuła α jest spełniona, czy też nie, posuwamy się metodą analityczną: rozbijamy α na coraz prostsze elementy, tak by na końcu uzyskać konstrukt, w którym rozstrzyga się, czy spełnione są jakieś formuły atomowe, z których zbudowana jest α. Zatem, najbardziej pierwotnym przypadkiem spełniania jest przypadek formuły atomowej.

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. Jeżeli P m jest formułą atomową, to M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. Jeżeli P m jest formułą atomową, to M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m P m to jakaś stała predykatowa, zaś t 1 są ciągiem stałych lub zmiennych indywiduowych; <g i,, g i > to n-tka uporządkowana obiektów z dziedziny przedmiotowej modelu M; [c.d.n. I(P m to zbiór, który na mocy funkcji interpretacji odpowiada predykatowi P m

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. Jeżeli P m jest formułą atomową, to M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m [c.d. Zatem, gdy n jest liczbą wyrażającą argumentowość predykatu, spełnianie w przypadku formuły atomowej, oznacza, że n-tka uporządkowana obiektów z dziedziny przedmiotowej modelu jest elementem zbioru, który interpretacja przyporządkowuje występującemu w tej formule predykatowi.

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. Jeżeli P m jest formułą atomową, to M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m [c.d. Zatem, gdy n jest liczbą wyrażającą argumentowość predykatu, spełnianie w przypadku formuły atomowej, oznacza, że n-tka uporządkowana obiektów z dziedziny przedmiotowej modelu jest elementem zbioru, który interpretacja przyporządkowuje występującemu w tej formule predykatowi. Co to za obiekty? Na to pytanie odpowiedź znajdzie się, gdy zastosować funkcję wartościowania przy której badamy spełnianie do symboli indywiduowych, które występują w badanej formule atomowej.

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v(p q = 1 wtw v(p = 1 oraz v(q = 1

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ M α β [g i wtw M α β [g i wtw M oraz M β [g i M lub M β [g i Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v(p q = 1 wtw v(p = 1 lub v(q = 1

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v(p q = 1 wtw v(p = 0, lub v(q = 1 (v(p = 0, to tyle co v(p 1

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v(p q = 1 wtw albo v(p = 1 oraz v(q = 1, albo v(p = 0 oraz v(q = 0

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M wtw M Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v( p = 1 wtw v(p = 0 (v(p = 0, to tyle co v(p 1

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m Intuicja: Formuła poprzedzona małym kwantyfikatorem jest spełniona w modelu, gdy w dziedzinie przedmiotowej znajdzie się choć jeden obiekt, 2. Jeżeli α, β są który formułami gdy podstawi KRP, się to go do zmiennej związanej kwantyfikatorem, sprawia, że formuła jest spełniona. [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i [ M α Zatem: β [g i w przypadku wtw zmiennej M α związanej [g i lub przez Mmały β [g kwantyfikator, i dla [ M α spełniania β[g i nie jest wtwistotne albo jaki obiekt M α przypisuje [g i, albo tej Mzmiennej β [g i zadane wartościowanie g [ M α β [g i wtw i ; by α było spełnione w modelu, wystarczy, że istnieje albo M i M β [g i, jakieś wartościowanie g j, które przypisuje zmiennej odpowiedni obiekt. albo M i M β [g i [c.d.n. [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to M= [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 g M, 2 =, g 2 =, g 2 M= wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami istnieje g j, KRP, że M to P,x [g (g /g 1 3 3 j 1 3 1 [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M α [g Wiem i wtw to na podstawie M α [g punktu i 3[ definicji spełniania. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ To wartościowanie g 3 i ale przerobione tak, że ilekroć jako argument pojawia się zmienna x 1, zamiast g 3, bierzemy g j M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to,x [g (g /g 3 3 j 1 3 1 wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P [ M α β [g i Przerobione wtw M oraz M β [g i wartościowanie [ M α β [g i gwtw 3 i M lub argumenty M β [gprzerobionego i wartościowania g [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i 3 i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem to na podstawie albo Mwcześniejszego i M β kroku [g i dowodowego, oraz punktu 1 definicji spełniania. [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M M=

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to 1,x 3 [g 3 /g 3 wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i oraz M β [g i [ M α β [g i wtw M lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β Wiem [g i to, bo wtw albo M i M β [g i, (i g 3 albo 1 /g 3 M 1 α 1 [g = i g j i M 1, oraz β [g i [ M wtw (ii g 3 M 1 /g 3 α 1 [g i 3 = g 3 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M M=

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to 1 3 3 j 1 3 1 wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i wtw oraz M β [g i [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, > M I(P. lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem to na podstawie albo Mpoprzedniego i M kroku β [g i dowodowego, [ M α [g oraz i wtw tego, że gm 3 = α [g i 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M M=

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to 1 3 3 j 1 3 1 wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i wtw oraz M β [g i [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, > M I(P. lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β Teraz, [g i by odpowiedzieć wtw na albo pytanie, M α czy [gformuła i i M jest β [gspełniona, i, trzeba rozstrzygnąć, czy albo istnieje M α takie [g i wartościowanie i M β [g i g j i, że para uporządkowana <g [ M j wtw 1, > należy do I(P. M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M= M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to 1,x 3 [g 3 /g 3 wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i wtw oraz M β [g i [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, > M I(P. lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Oczywiście, takim albo wartościowaniem M i M jest β np. [g i g 1 i, [ M α [g bo i <g wtw 1, > M= <, α >, [g i zaś <, > I(P. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M= M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to 1 3 3 j 1 3 1 wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i wtw oraz M β [g i [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, > M I(P. lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Zatem, model Malbo spełnia M formułę i M x 1 P β 1,x [g 3 i przy wartościowaniu g 3! [ M wtw M SPEŁNIA! 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M M=

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m Intuicja: Formuła poprzedzona dużym kwantyfikatorem jest spełniona w 2. Jeżeli α, β są modelu, formułami gdy KRP, każdy obiekt to z dziedziny przedmiotowej modelu podstawiony za zmienną objętą kwantyfikacją sprawia, że formuła jest spełniona. [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i [ M α Zatem: β [g i w przypadku wtw zmiennej M α związanej [g i lub przez Mduży β [g kwantyfikator, i dla spełniania formuły nie wystarczy, że jest ona spełniona przy podstawieniu [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i za zmienną obiektu, który przypisuje jej zadane wartościowanie; formuła ta [ M α β musi [g i być spełniona wtw przy albo każdym M wartościowaniu. i M β [g i, [c.d.n. albo M i M β [g i [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i [ M α β [g i wtw M lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j 1 1 1 [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i [ M α β [g i wtw M lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem to na podstawie albo Mpunktu 3[ i Mdefinicji β [g i spełniania [ M wtw M To wartościowanie g 1 i ale przerobione tak, że ilekroć jako argument pojawia się zmienna x 1, zamiast g 1, bierzemy g j 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P, x [g (g /g 3 1 j 1 1 1 wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q Przerobione [ M α β [gwartościowanie i wtw M lub M β [g i argumenty przerobionego [ M α β[g i gwtw 1 i albo M, albo wartościowania M β [g i g 1 i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem to na podstawie poprzedniego kroku dowodu, oraz punktu 1 definicji albo M i M β [g i spełniania [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j 1 1 1 wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q [g i lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β Wiem [g i to, bo wtw albo M i M β [g i, (i g 1 albo 1 /g 1 M 1 α 1 [g = i g j i M 1, oraz β [g i (ii g [ M wtw 1 M 1 /g 1 α 1 [g i 3 = g 1 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j 1 1 1 wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q wtw [g i lub M β [g i wtw dla każdego g j, <g j, > I(Q [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem, to na podstawie albo M poprzedniego i M kroku β [g i dowodu, oraz tego, że g 1 = [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j 1 1 1 wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q wtw [g i lub M β [g i wtw dla każdego g j, <g j, > I(Q [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β Teraz, [g i by odpowiedzieć wtw albo na pytanie, M α [g czy i i formuła M β [g jest i, spełniona w modelu, należy rozstrzygnąć, albo Mczy jest α [gtak, i i Mże przy β [g dowolnym i wartościowaniu g j, [ M α [g <g i j wtw 1, > należy M do α I(Q, [g i czy też nie. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j 1 1 1 wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q wtw [g i lub M β [g i wtw dla każdego g j, <g j, > I(Q [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Oczywiście, odpowiedź albo M jest α [g negatywna, i i M β bo [g i jeśli za g j i podstawimy g 3 i, to [ M α [g <g i 3 wtw 1, > = <, M >, α [g zaś i <, > I(Q. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m NIE SPEŁNIA! M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P, x [g (g /g 3 1 j 1 1 1 wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q wtw [g i lub M β [g i wtw dla każdego g j, <g j, > I(Q [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Zatem, model albo M nie Mspełnia formuły i M β x [g i 2 P, x 3! [ M α [g bo i <g wtw 3, > M= <, α >, [g i zaś <, > I(Q. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M

DEF. 14: tautologia KRP Tautologią KRP nazywamy formułę α, która jest spełniona w każdym modelu. α

DO ĆWICZEŃ!