Układy równań i nierówności Zad : Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań: + y m = 0 + y = 0 y jest para liczb x, y spełniająca warunek: =? x Odp: m = lub m = 4 Zad : Dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem układu równań ky = kx y = jest taka para liczb x, y, Ŝe x + 4y? Odp: k ( ; 4) ( ; ) ( ; + ) Dla k = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci x = t, y = t, gdzie t R Wśród nich są takie, które spełniają podany warunek Zad : Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań: mx + ( m ) y = m + my = m jest dokładnie jedna para liczb dodatnich? Odp: m ( ; ) ( ; + ) Zad 4: Dla jakich wartości parametru k liczby x, y, z spełniające układ równań: y + z = k + x + y z = k + y z = k tworzą (w podanej kolejności) ciąg geometryczny, a dla jakich ciąg arytmetyczny? 4 8 Odp: x = k, y = k, z = k + ; ciąg geometryczny dla k = oraz k = 8, ciąg arytmetyczny dla k = 9 Zad 5: (profil matematyczno-fizyczny) mx 4y = m + + my = spełnia warunek x y 0? Odp: m ( ; ( ; 4
Zad : (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań: ( m + ) x + ( m ) y = 4m 9 + ( m) y = 4m 0 jest dokładnie jedna para liczb o róŝnych znakach? m ( ; ) ; 7 ; ; + Odp: ( ) ( ) ( ) Zad 7: y = m + + y = m spełnia warunek 4x 7y? Odp: m 7; + ) Zad 8: mx + y = my = spełnia warunek x > 0 i y > 0? Odp: m ( ; ) Zad 9: + y = m m + y = 4m + 9m + jest parą liczb o jednakowych znakach? Podaj ilustrację graficzną tego układu dla najmniejszej całkowitej wartości m spełniającej warunki zadania m ; ; + Odp: ( ) ( ) Zad 0: Dla jakich wartości parametru a rozwiązaniem układu równań: ay = a ax y = a jest para liczb, z których jedna jest sinusem, a druga cosinusem tego samego kąta? Odp: a = lub a = + Dla a = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci x = t, y = t, gdzie t R Wśród nich są takie, które spełniają warunki zadania Zad : Proste o równaniach (m )x y = m i (m )x + m y = przecinają się w punkcie P = (x, y) Znajdź wszystkie wartości parametru m, dla których współrzędne punktu P spełniają nierówność y > x + Odp: m ( ; ) ( ; + ) Dla m = proste pokrywają się 5
Zad : Dla jakich wartości parametru k wykresy funkcji y = x k + i y = x + k + przecinają się w punkcie, którego współrzędne są parą liczb o przeciwnych znakach? Odp: k = 5 Zad : Znajdź te wartości parametru m, dla których punkt przecięcia prostych o równaniach x y = 4m i x y = m jest współliniowy z punktami A = (, 5) i B = (, 4) Odp: m = Zad 4: Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań: mx + 9y = + my = w zaleŝności od wartości parametru m Podaj interpretację geometryczną tego układu dla m =, m = 0, m = oraz m = Odp: Układ ma jedno rozwiązanie dla m R\{, }Układ nie ma rozwiązań dla m = Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla m = Zad 5: Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań: y = m( x ) = y + 4 w zaleŝności od wartości parametru m Podaj interpretację geometryczną tego układu dla m = Odp: RozwaŜany układ nie ma rozwiązań dla m ( 5 + 5) dla m { 5, + 5, 0}, ma dwa rozwiązania dla m ( ; 5) ( + 5; 0) ( 0 ; + ) ;, ma jedno rozwiązanie Zad : Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań: + y = 4 4x + my = m w zaleŝności od wartości parametru m Dla jakich całkowitych parametru m rozwiązanie tego układu jest parą liczb dodatnich? Odp: RozwaŜany układ nie ma rozwiązań dla m =, układ ma jedno rozwiązanie postaci m x = m, y ( m 4) = dla m Rozwiązanie układu jest parą liczb dodatnich dla m m {,,} Zad 7: Dla jakich wartości parametru m liczby x, y, z spełniające układ równań:
+ y + z =, 5 mx + y + z = 0 + y 4 z = 0 tworzą, w podanej kolejności, ciąg geometryczny? 7 m + 4 Odp: m = 9 lub m = x = y = z = ( m ), ( m ), Zad 8: Dany jest układ równań: mx + 9y = + my = o niewiadomych x i y a) Dla m = rozwiąŝ układ równań b) Dla jakich wartości parametru m układ nie ma rozwiązania, a dla jakich ma nieskończenie wiele rozwiązań? *c) Sprawdź, czy istnieje taka wartość parametru m, dla której układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, będące parą liczb o róŝnych znakach Odp: a) x =, y = 9 ; b) Układ nie ma rozwiązań dla m =, ma nieskończenie wiele rozwiązań dla m = ; c) Nie istnieje taka wartość parametru m Zad9: RozwiąŜ układ nierówności Zad 0: RozwiąŜ układ nierówności ( x 4) x < x( x 5) 8 ( ) ( x + 8)( x 8) 05x x + y x + y > 5 w zbiorze liczb naturalnych Zad : Na układzie współrzędnych zaznacz punkty spełniające warunek: a) x + y 4 b) y < x + c) x + x = y + y Zad : { } Dane są zbiory: A = ( x, y) : x R y R x y < i ( x y) Wyznacz sumę, iloczyn i obie róŝnice tych zbiorów {, : x R y R } B = x Zad : RozwiąŜ układy równań: 4 + = 7 x + y x y a) b) + = x + y x y + y = x y = c) y x + = 0 y + x = 0 7
d) x + y = y + + = y e) x + + y = 5 x + = 4y 4 f) + y + z = x + y + z = 8 + y + z = Zad 4: Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań ( m ) x y = m + my = 4 w zaleŝności od parametru m Zad 5: Przeprowadź dyskusję ilości rozwiązań w zaleŝności od parametrów dla układu równań ax + y = 8x + ay = b Zad : a) Przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań układu równań (sinα ) x + y = z niewiadomymi x, y w zaleŝności od wartości ( sinα) x + (sinα + ) y = sinα parametru α ( 0;π ) *b) Dla jakich wartości α 0, π rozwiązaniem układu jest para liczb ujemnych, a dla jakich α 0, π rozwiązaniem układu jest para liczb nieujemnych? π 5 Odp: a) Dla α = lub α = π układ jest sprzeczny, a dla α = π układ jest nieoznaczony < 0 y < 0 0 a ; y 0 *b) π 5 a ( 0; ) ( π ; π ) π 5 ( π ) Zad 7: Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu a) jest parą liczb ujemnych b) jest parą liczb dodatnich c) jest parą liczb o przeciwnych znakach? Odp: a) k > ; b) k < ; c) k ( ; ) y = k y = k Zad 8: Dla jakich wartości parametru a rozwiązaniem układu równań dokładnie jedna para liczb o jednakowych znakach? Odp: a ( ; ) (; + ) ( a + ) x + ( a ) y = a ( a ) x + ( a + ) y = a + jest 8
Zad 9: RozwiąŜ układ równań ten układ są ujemne? 4 Odp: m > 4x y = 7 Dla jakich wartości parametru m liczby x, y spełniające mx y = Zad 0: Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu (x, y) taka, Ŝe: a) x i y ; *b) x + y? 7 Odp: a) m, ; *b) m, 8 8 + y = m x y = m jest taka para liczb Zad : Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań x + y = + k? Odp: k = lub k = 4 y = k y = k spełnia warunek Zad : Dla jakich wartości parametru, α gdzie α ( 0; π ) y = jest para liczb (x, y) taka, Ŝe y = cosα π Odp: α =, rozwiązaniem układu równań x + y = tgα ctgα? Zad : mx + (m ) y = m RozwiąŜ układ równań Dla jakich wartości parametru m punkt + my = m przecięcia się prostych danych równaniami układu naleŝy do prostej o równaniu x + y - = 0? Odp: Punkt przecięcia prostych danych równaniami układu naleŝy do prostej x + y - = 0 dla m = Zad 4: x y + m = 0 Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań jest para x + 4y m + = 0 liczb x, y, Ŝe punkt (x, y) naleŝy do symetralnej odcinka o końcach A = (, ) i B = (-4, )? Zad 5: Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań 4x + y 5 = 0 jest punkt y + m = 0 9
naleŝący do wnętrza prostokąta o wierzchołkach A = (, -), B = (, -), C = (, ), D=(,)? Zad : Prosta l przechodzi przez punkty P = (- ;9) i S = (; - ), prosta k ma równanie x - y + m - = 0 Znajdź takie wartości parametru m aby punkt przecięcia prostych l i k naleŝał do wnętrza prostokąta o wierzchołkach: A = (; - ), B = (; - ), C = (; ), D = (; ) m ;0 Odp: ( ) Zad 7: Dla jakich wartości parametru m prosta o równaniu x - my - m + = 0 przecina prostą o równaniu x - y -= 0 między punktami A(-,-) i B(,)? Zad 8: Dla jakich wartości parametru α rozwiązaniem układu równań punkt (x, y) naleŝący do krzywej o równaniu Odp: x = sinα, y = cosα dla α R; warunek α = π + kπ, gdzie k C y = x? x sinα y cosα = cosα + y sinα = 0 jest y = - x jest spełniony dla α = π + kπ lub Zad 9: Dla jakich wartości parametru a proste: x + y - a = 0 i x + y - a + = 0 przecinają się w punkcie naleŝacym do okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu? Odp: a = - lub a = Zad 40: y = m Para (x, y) jest rozwiązaniem układu równań Dla jakich wartości parametru m y = m punkt P=(x, y) naleŝy do koła o promieniu r = 5 i środku w początku układu współrzędnych? Odp: m, 0 5 0