DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez 8 Udowodnij, że liczba postaci 8 n+2 +9 2n+1 jest podzielna przez 73 Rozważmy zdarzenia A, B takie, że P(A)=0,8; P(B)=0,7. Pokaż, że P(A B) 0.5 Rozważmy zdarzenia A,B,C o których wiadomo: P(A)=0,3; P(B)=0,4, P(A B)=0,1; P(C)=0,8. Oblicz: P(A B); P(A C ). Czy zdarzenia A i B są niezależne? A zdarzenia A c i B? Zdarzenia A i B są niezależne. P(A)=0,4. P(B)=0,6. Oblicz: P(A B); P(A B); P(A C B). Udowodnij, że jeśli P(A B) > P(A), to P(B A) > P(B), Udowodnij, że jeśli P(A)=P(B)=2/3, to P(A B) >1/2. Czy poniższe stwierdzenia są prawdziwe: (a) Jeśli zdarzenia A i B są niezależne, oraz B i C są niezależne, to A i C też są niezależne.
(b) Każde zdarzenie A jest niezależne samo od siebie. (c) Każde zdarzenie A jest niezależne od zdarzenia Ω (d) Jeśli zdarzenia A i B są rozłączne, to są niezależne. (e) Jeśli zdarzenia A i B są rozłączne, to nie mogą być niezależne. Wykaż, że jeśli P(A B)=1 i P(A)<1, to P(B A)>P(B) Mamy 10 ponumerowanych kul. Na ile sposobów możemy je rozmieścić w dwóch szufladach? Mamy 10 nieodróżnialnych kul. Na ile sposobów możemy je rozmieścić w dwóch szufladach? W urnie jest 8 żetonów o numerach 2,4,6,7,8,11,12,13. Losujemy dwa numery bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak otrzymany ułamek jest nieskracalny. W kinie jest n+k miejsc. Przyszło n widzów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie miejsca w rzędzie siódmym (jest tam m miejsc, m<n) będą zajęte? W urnie jest trochę kul białych i czarnych. Losujemy bez zwracania kilka kul. Co jest bardziej prawdopodobne: A pierwsza wylosowana kula będzie biała, czy B ostatnia wylosowana kula będzie biała? W urnie jest trochę kul białych i czarnych. Losujemy ze zwracaniem dwie kule. Pokaż, że prawdopodobieństwo, że są tego samego koloru jest nie mniejsze niż 0.5. Listonosz ma dostarczyć 30 przesyłek do mieszkań o numerach 1-8. Jaka jest szansa, że do mieszkania nr 3 dostarczy dokładnie 5 przesyłek?
Listonosz ma dostarczyć N przesyłek do mieszkań o numerach 1-n. Jaka jest szansa, że do mieszkania nr 3 dostarczy dokładnie k przesyłek? Mamy b+c kul, w tym b białych. Jaka jest szansa, że przy n-krotnym losowaniu ze zwracaniem, wylosujemy dokładnie k razy kulę białą? Wybieramy losowo punkt z odcinka [0,1]. Jaka jest szansa, że przy n-krotnym powtórzeniu losowania, dokładnie k razy otrzymamy wynik z odcinka [1/2, 1]? Jest 6 kobiet i 8 mężczyzn. Wybieramy 5-osobową komisję. Jaka jest szansa, że w komisji znajdą się dokładnie 3 kobiety? Jest k kobiet i m mężczyzn. Wybieramy l-osobową komisję (gdzie l<n, l<k). Jaka jest szansa, że w komisji znajdzie się dokładnie s kobiet? Mamy 3 urny z kulami białymi i czarnymi. W pierwszej jest a% białych kul, w drugiej b%, w trzeciej c%. Losujemy urnę, a potem kulę. Jaka jest szansa na kulę białą? Mamy 3 urny A,B,C. z kulami białymi i czarnymi. W pierwszej jest a% białych kul, w drugiej b%, w trzeciej c%. Losujemy urnę, a potem kulę. Szansa na wylosowanie urny A wynosi p 1, urny B p 2, urny C p 3 (gdzie p 1 +p 2 +p 3 =1). Jaka jest szansa na wylosowanie kuli białej? Urna zawiera b kul białych i c czarnych. Losujemy kulę i wrzucamy ją z powrotem, przy czym: - jeśli była biała, to dorzucamy l kul białych - jeśli była czarna, to dorzucamy l kul czarnych. Jaka jest szansa, że w drugim losowaniu otrzymamy kulę białą? Jaka jest szansa, że w trzecim, czwartym n-tym losowaniu otrzymamy kulę białą?
W urnie jest n kul, w tym b białych. Losujemy kolejno k kul ze zwracaniem. Niech A i oznacza zdarzenie i-ta wylosowana kula była biała, B j = dokładnie j razy wylosowano kulę białą. Pokaż, że P(A i B j )=j/k. Mamy 3 urny o składzie kul: A: 3 czarne + 7 białych; B: 4 czarne + 6 białych; C: 6 czarnych+4 białe. Losujemy kulę z A i przekładamy do B. Następnie losujemy kulę z B i przekładamy do C. Następnie losujemy kulę z urny C. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie biała? Trzech studentów przygotowywało się (niezależnie od siebie) do egzaminu. Prawdopodobieństwa zdania egzaminu wynoszą odpowiednio: 0.6; 0.5; 0.4. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zdał student trzeci, jeśli wiadomo, że zdało egzamin dokładnie dwóch? Mamy trzy niesymetryczne monety. Szansa na wypadnięcie orła wynosi odpowiednio: p 1, p 2, p 3. Wykonujemy takie doświadczenie: rzucamy monetą 1. Jeśli wypadnie orzeł wybieramy monetę 2, jeśli reszka monetę 3. Następnie n-krotnie rzucamy wylosowaną monetą. Jaka jest szansa na uzyskanie k orłów w takim doświadczeniu? (nie liczymy tutaj orła w pierwszym, wstępnym rzucie). Mamy trzy niesymetryczne monety. Szansa na wypadnięcie orła wynosi odpowiednio: p 1, p 2, p 3. Wykonujemy takie doświadczenie: rzucamy monetą 1. Jeśli wypadnie orzeł wybieramy monetę 2, jeśli reszka monetę 3. Następnie n-krotnie rzucamy wylosowaną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie pierwszą monetą wypadł orzeł, jeśli okazało się, że w tych n rzutach wypadło k orłów. Wśród 65 monet jest jedna oszukana (2 orły). Wylosowano monetę, a następnie wykonano nią 6 rzutów. Jaka jest szansa, że moneta jest oszukana, jeśli wypadły same orły? Wśród 2 n +1 monet jest jedna oszukana (2 orły). Wylosowano monetę, a następnie wykonano nią n rzutów. Jaka jest szansa, że moneta jest oszukana, jeśli wypadły same orły?
Mamy 2n zegarków, z czego k popsutych. Chcemy jest zapakować do dwóch paczek po n zegarków tak, aby szansa na wykrycie była najmniejsza. Kontrola wygląda tak: najpierw losuje się paczkę, a następnie zegarek. Jak należy zapakować zegarki, aby zminimalizować ryzyko wykrycia wady? W szufladzie jest pewna liczba kul białych i czarnych, tak, że szansa wylosowania białej kuli wynosi p. Losujemy kulę i (nie oglądając) wyrzucamy. Jaka jest szansa, że w drugim losowaniu wylosujemy kulę białą? W mieście jest 85% zielonych i 15 % niebieskich taksówek. Wiarygodność świadka wynosi 80%. Świadek zeznał, że widział niebieską taksówkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że faktycznie była niebieska? Prawdopodobieństwo spotkania taksówki zielonej wynosi (1-p), zaś niebieskiej - p. Wiarygodność świadka wynosi q. Świadek zeznał, że widział niebieską taksówkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że faktycznie była niebieska? Test na chorobę wieńcową wykazuje chorobę u 65% chorych, oraz (fałszywie) u 15% zdrowych. Na chorobę wieńcową choruje 8% mężczyzn i 2% kobiet. Obliczyć prawdopodobieństwo: (a) że mężczyzna, u którego test dał wynik dodatni jest faktycznie chory (b) że kobieta, u której test dał wynik dodatni jest faktycznie chora (c) że mężczyzna, u którego test dał trzykrotnie wynik dodatni jest faktycznie chory (d) że kobieta, u której test dał trzykrotnie wynik dodatni jest faktycznie chora Zdarzenia A 1,,A n są niezależne i mają takie samo prawdopodobieństwo p. Jaka jest szansa: (a) że zajdą wszystkie naraz (b) że zajdzie dokładnie jedno (c) że zajdzie przynajmniej jedno (d) że nie zajdzie żadne z nich