WYBRANE MODELE ZAWIERAJĄCE STOCHASTYCZNY PIERWIASTEK JEDNOSTKOWY W ANALIZIE KURSÓW WALUTOWYCH 1 1. WSTĘP

PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVIII ZESZYT 3-4 0 JACEK KWIATKOWSKI WYBRANE MODELE ZAWIERAJĄCE STOCHASTYCZNY PIERWIASTEK JEDNOSTKOWY W ANALIZIE KURSÓW WALUTOWYCH. WSTĘP Granger i Swanson [5] wykazali że finansowe i makroekonomiczne procesy które wymagają obliczenia pierwszych różnic nie zawsze są procesami zintegrowanymi rzędu pierwszego. Dowodzą oni że mają one często pierwiastek jednostkowy który nie jest stały lecz losowy. Zmienny parametr odpowiedzialny za stopień zintegrowania traktowany jest tu jako odrębny proces stochastyczny którego realizacje oscylują wokół jedynki. Tego typu proces określa się jako proces zawierający stochastyczny pierwiastek jednostkowy ang. Stochastic Unit Root STUR. Celem artykułu jest przedstawienie wybranych modeli zawierających stochastyczny pierwiastek jednostkowy oraz opis badań empirycznych dokonanych na podstawie dziennych realizacji kursu złotego w stosunku do najważniejszych walut europejskich. Prezentowany artykuł bezpośrednio nawiązuje do publikacji dotyczących modeli STUR zob. [5] [8] [0] [5] [6] i [7] a także jest ich rozszerzeniem. Po pierwsze zbadano nieznaną jak dotąd moc wyjaśniającą niektórych specyfikacji STUR w stosunku do standardowych modeli zmienności tj. ang. Stochastic Volatility i GARCH ang. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Po drugie w modelach STUR przyjęto założenie że losowy w czasie pierwiastek jest procesem stochastycznej zmienności. Jest to nowe podejście które nie było dotąd jeszcze przedmiotem rozważań w literaturze przedmiotu. Po trzecie opracowano metody numeryczne wykorzystywane w schemacie wnioskowania bayesowskiego w kontekście rozważanych tu specyfikacji. Układ artykułu jest następujący. Część druga przedstawia model STUR w wersji Grangera i Swansona [5]. Część trzecia dotyczy modelu STUR w wersji Leybourne a [0] i [] natomiast część czwarta opisuje model dwuliniowy zaproponowany przez Francqa Makarovą i Zakoïana [3]. Ostatnia piąta część artykułu zawiera wyniki badań empirycznych. Na końcu pracy zamieszczono najważniejsze wnioski. Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 009-0 jako projekt badawczy numer N N 43737. Autor dziękuje anonimowemu Recenzentowi za bardzo wnikliwe uwagi i sugestie. Adres elektroniczny: jkwiat@umk.pl

06 Jacek Kwiatkowski. MODEL STUR W WERSJI GRANGERA I SWANSONA Oznaczmy przez {y t t =... T} proces stochastyczny. Granger i Swanson [5] rozważali następujący proces STUR: y t = a t y t + ε t ε iid t N 0σ a t = exp δ t E a t =. Przez {δ t t =... T} oznaczono stacjonarny nieobserwowalny proces autoregresyjny rzędu pierwszego: δ t = φ 0 + φ δ t + η t η iid t N 0ω 3 natomiast przez ε iid t N 0σ t =... T oznaczono niezależne zmienne losowe o rozkładzie normalnym z zerową średnią i wariancją σ z ang. independent and identically distributed; iid. Dodatkowo zakłada się że składniki losowe ε t i η t są względem siebie niezależne tj. ε t η s dla t s =... T. Rysunek. Charakterystyki procesu STUR w którym φ 0 = 0.0 φ = 0 4 σ = 0 iω = 0 0. Lewy górny panel przedstawia jego realizację kolejny u góry pokazuje pierwsze przyrosty dolny lewy zawiera informacje na temat funkcji autokorelacji kwadratów pierwszych przyrostów tj. Δy t natomiast prawy dolny panel przedstawia histogram pierwszych przyrostów oraz funkcję gęstości rozkładu normalnego Źródło: obliczenia własne.

Wybrane modele zawierające stochastyczny pierwiastek jednostkowy w analizie kursów walutowych 07 Gdy δ t = 0 dla t =... T to model -3 redukuje się do dobrze znanego w literaturze przedmiotu modelu błądzenia losowego tj. y t = y t +ε t którego pierwsze przyrosty tworzą proces zintegrowany w stopniu zerowym. Niektóre nieznane dotąd własności procesu STUR przedstawił kilka lat temu Yoon []. Okazuje się że proces STUR jest procesem ściśle stacjonarnym natomiast nie jest kowariancyjnie stacjonarny. Dodatkowo nie ma skończonych momentów w tym nawet średniej oraz ma bardzo grube ogony co wskazuje na znaczne odstępstwo jego rozkładu od rozkładu normalnego. Również w odróżnieniu od standardowych procesów zawierających pierwiastek jednostkowy proces STUR nie jest kowariancyjnie stacjonarny dla dowolnej różnicy tj. { } Δ d y t gdzie d =... Na rysunku przedstawiono przykładową realizację procesu STUR w którym przyjęto następujące założenia odnośnie parametrów modelu: φ 0 = 0 0 φ = 0 4 σ = 0 ω = 0 0 oraz y 0 = 0iδ 0 = 0. Oprócz jego realizacji zamieszczono również pierwsze różnice obliczone zgodnie ze wzorem Δy t = y t y t wartości funkcji autokorelacji dla Δy t wraz z górną granicą 95% przedziału ufności a także histogram pierwszych przyrostów i funkcję gęstości rozkładu normalnego. Można łatwo zauważyć że procesy STUR mogą generować szeregi czasowe których własności zbliżone są do typowych własności szeregów finansowych. W tym przypadku przebieg pierwszych przyrostów wskazuje wyraźnie na efekt skupiania zmienności ang. volatility clustering który polega na tym że zarówno małe jak i duże zmiany cen instrumentu bazowego następują seriami. Bardzo ciekawie przedstawia się również funkcja autokorelacji kwadratów pierwszych przyrostów która wykazuje się istotną zależnością aż do 0-ego opóźnienia włącznie. Również histogram zamieszczony w prawym dolnym panelu potwierdza większą koncentrację i grubsze ogony niż w rozkładzie normalnym. Wszystkie wymienione cechy są szeroko znane i omawiane w literaturze przedmiotu jako typowe własności szeregów finansowych zob.[]. Rozszerzmy model STUR w wersji Grangera i Swansona tak aby składniki losowe η t dla t =... T tworzyły proces o strukturze. Oznacza to że {δ t t =... T} jest procesem autoregresyjnym rzędu pierwszego: δ t = φ 0 + φ δ t + η t η t N 0ω t 4 w którym warunkową wariancję ω t można opisać jako: ω t = ω exp h sygnałt h = ρ sygnałh + ζ oraz ρ sygnał a także ζ iid N 0γsygnał t =... T. Model o równaniach - i 4 jest zatem uogólnieniem podstawowego modelu STUR w wersji Grangera i Swansona [5] ponieważ dopuszcza możliwość zmiennej warunkowej wariancji w procesie pierwiastka jednostkowego. Pozostałe założenia

08 Jacek Kwiatkowski są identyczne jak w standardowym modelu STUR. Model ten oznaczono symbolem STUR-G-. Niech θ = φ 0 φ σ ω ρ sygnał γsygnał będzie wektorem nieznanych parametrów w modelu STUR-G- równania - i 4. Dodatkowo przez δ = δ... δ T i h sygnał = h sygnał... h sygnał T oznaczmy wektory zmiennych ukrytych. Przy założeniu normalności składników losowych gęstość wektora obserwacji w modelu STUR-G- jest następująca: p y δ δ 0 h sygnał h sygnał 0 θy T 0 = f N yt e δ t y t σ 5 y = y... y T jest wektorem obserwacji δ 0 h sygnał 0 i y 0 są wartościami początkowymi natomiast symbol f N c d oznacza gęstość rozkładu normalnego o średniej c i wariancji d. Jako rozkłady a priori parametrów θ można przyjąć następujące rozkłady właściwe: p θ = p φ 0 p φ p σ p ω p ρ sygnał p γ sygnał 6 p φ 0 = f N φ0 0 σ φ 0 p φ f N φ μ φ σ φ I φ p σ = f IG σ c σ d σ p ω = f IG ω c ω d ω p ρsygnał fn ρsygnał μ ρ σρ I ρsygnał p γ sygnał = fig γ sygnał c γ d γ. Symbol I oznacza funkcje wskaźnikową przedziału natomiast f IG c d jest gęstością odwróconego rozkładu gamma o średniej d/ c dla c > i wariancji d / [ c c ] dla c > w postaci: f IG x c d = dc Γ c x c+ exp d x > 0 c > 0 d > 0. 7 x Warunkowe gęstości rozkładów a priori zmiennych ukrytych są iloczynami gęstości rozkładów normalnych: p δ δ 0 h sygnał h sygnał 0 θ = p h sygnał h sygnał 0 θ = T T f N δt φ 0 + φ δ t ω t 8 f N h ρ sygnałh γ sygnał. 9

Wybrane modele zawierające stochastyczny pierwiastek jednostkowy w analizie kursów walutowych 09 Poniżej przedstawiono układ warunkowych rozkładów a posteriori stosowanych w schemacie Gibbsa. Parametry σ ω i γ sygnał mają następujące warunkowe rozkłady a posteriori: p σ y y 0 δ = f IG σ T + c σ yt e δ t y t + dσ 0 p ω y δδ 0 h sygnał φ 0φ = fig ω T + c ω p γ sygnał y h sygnał h sygnał 0 ρ sygnał = f IG γ sygnał T + c γ δ t φ 0 φ δ t exp + d ω h h ρ sygnałh + dγ Wyraz wolny φ 0 ma warunkowy rozkład normalny którego gęstość można przedstawić następująco: p φ 0 y δδ 0 h sygnał φ ω = f N gφ0 Var φ0 3 o średniej i wariancji równej odpowiednio: σφ 0 δ t φ δ t exp h g φ0 = i Var φ0 =. σφ 0 exp + ω σ h φ 0 exp + ω h Również współczynnik autoregresji ma warunkowy rozkład a posteriori którego ω σ φ 0 gęstość jest proporcjonalna do gęstości rozkładu normalnego: p φ y δδ 0 φ 0 ω h sygnał fn φ g φ Var φ o średniej i wariancji równej odpowiednio: δ t δ t φ 0 + μ φ ω σφ exp h ω σ φ g φ = i Var φ =. σφ δ t exp + ω σ δt h φ exp + ω h Gęstość warunkowego rozkładu a posteriori dla współczynnika autokorelacji ρ sygnał można wyrazić jako: p ρ sygnał y h sygnał h sygnał 0 γ sygnał fn gρ Var ρ. 4 5

0 Jacek Kwiatkowski o średniej i wariancji równej odpowiednio: σρ h h + μ ργ sygnał σ ργ sygnał g ρ = i Var ρ =. σρ h + γ σ sygnał ρ h + γ sygnał Warunkowy rozkład a posteriori nieobserwowalnej zmiennej δ t t =... T nie należy do znanej rodziny rozkładów a jego gęstość wyraża się wzorem: p δ t y δ t δ 0 h θ exp y t e δ t y t ϑ δ t δ σ y t ω t τ δ t t ϑ δ t. 6 Wartości ϑ δ t i τ δ t przedstawia tablica. Wartości ϑ δ t i τ δ t Tablica. t ϑ δ t τ δ t t =... T + φ φ δ t + δ t+ + φ 0 φ t = T φ δ t + φ 0 Źródło: Jones i Marriott [8] Z kolei gęstość warunkowego rozkładu a posteriori zmiennych ukrytych h t =... T ma następującą postać: p h y δ 0δ t δ t h sygnał 0 h h + θ { δ t φ 0 φ δ t } exp exp h / ω t gdzie s t i Var γ wyrażają się wzorami: exp h exp { h Var s } t γ 7 s t = ρ sygnał h + + h / + ρ sygnał Varγ = γ sygnał dla t =... T + ρ sygnał 8 oraz: s t = ρ sygnał h Var γ = γ sygnał dla t = T por. [8]. 9 3. MODEL STUR W WERSJI LEYBOURNE A Kolejną specyfikację STUR zaproponowali Leybourne McCabe i Mills [0] zob. również [] i [9]. Omawiany tu model STUR jest szczególnym przypadkiem modelu autoregresyjnego z losowymi współczynnikami autoregresji ang. Random Coefficient

Wybrane modele zawierające stochastyczny pierwiastek jednostkowy w analizie kursów walutowych Autoregressive; RCA który przedstawiono i omówiono w [3] [0] oraz w [6]. W literaturze polskiej w podejściu klasycznym teorio-próbkowym estymację modeli RCA przedstawia Górka [7]. Najprostszy model STUR w wersji Leybourne a definiowany jest nastepujaco: y t = δ t y t + ε t ε iid t N 0σ 0 δ t = + η t η iid t N 0ω. Również w tym przypadku składniki losowe ε t i η t są względem siebie niezależne tj. ε t η s dla t s =... T. Dla ω = 0 proces 0- redukuje się do procesu błądzenia losowego. Natomiast jeżeli ω > 0 to mamy do czynienia z procesem STUR którego średnia zawiera pierwiastek jednostkowy. Proces 0- podobnie jak proces STUR w wersji Grangera i Swansona nie jest stacjonarny kowariancyjnie. Rozważmy uogólnienie modelu STUR w wersji Leybourne a tzn. takie w którym składniki losowe są procesami zmienności stochastycznej: Δy t = η t y t + ε t ε t N 0σt σ t = σ exp h szum t h szum t = ρ szum h szum t + ζ szum t oraz ρ szum a także ζ szum t N 0γszum t =... T. Zmienny parametr η t można opisać jako: η t = φ η t + ξ t η 0 = 0 ξ t N 0ω t t =... T 3 φ ω t = ω exp h h = ρ sygnałh + ζ oraz ρ sygnał a także ζ N 0γsygnał t =... T oraz εt η s dla t s =... T. Zmienny parametr η t podlega tu stacjonarnemu procesowi autoregresyjnemu ze składnikiem losowym o strukturze. Model -3 oznaczono symbolem STUR- L-. Podobnie jak we wcześniejszym przykładzie jako gęstość rozkładu a priori wektora parametrów θ = σ ρ szum γszum φ ω ρ sygnał γsygnał można przyjąć iloczyn gęstości jego składowych: p θ = p σ p ρ szum p γszum p φ p ω p ρ sygnał p γ sygnał 4 p σ = f IG σ c σ d σ p ρszum f N ρszum μ ρ σ ρ I ρ szum

Jacek Kwiatkowski p γ szum = fig γ szum c γ d γ p φ f N φ μ φ σ φ I φ p ω = f IG ω c ω d ω p ρsygnał fn ρsygnał μ ρ σρ I ρsygnał p γ sygnał = fig γ sygnał c γ d γ. Wariancje σ ω i γ szum mają następujące warunkowe gęstości: p σ y y 0 ηh szum = fig σ T + c σ Δy t η t y t exp + d σ h 5 szum t p ω y ηη 0 φ h sygnał = fig ω T + c ω η t φ η t exp + d ω h 6 p γszum y h szum h szum 0 ρ szum = h f IG γszum T + c szum t ρ szum h szum t + dγ γ 7 gdzie η = η η... η T. Warunkowy rozkład a posteriori dla współczynnika autoregresji w równaniu stanu φ ma gęstość: σφ p φ y ηη 0 ω h sygnał h sygnał 0 fn φ g φ Var φ 8 o średniej i wariancji równej odpowiednio: η t η t exp + μ h φ ω ω σ φ g φ = i Var φ =. σφ η t exp + ω σ ηt h φ exp + ω h Parametry γszum ρ szum γ sygnał ρ sygnał mają warunkową gęstość a posteriori identyczną jak w równaniach i 5 natomiast gęstości warunkowych rozkładów a posteriori zmiennych ukrytych h i h szum t t =... T mają następującą postać: p h y η tη t η 0 h h + h sygnał 0 θ exp exp { η t φ η t } { h / ω t exp exp h h Var s } t γ 9

Wybrane modele zawierające stochastyczny pierwiastek jednostkowy w analizie kursów walutowych 3 gdzie s t i Var γ mają identyczną postać jak w równaniach 8 i 9 natomiast warunkowy rozkład dla h szum t ma gęstość wyrażoną następującym wzorem: exp exp h szum t / p h szum t y y 0 η t h szum t h szum t+ h szum 0 θ { Δy t η t y t } σ t exp h szum t exp { Var γ h szum t s t } 30 gdzie s t i Var γ można przedstawić jako: s t = ρ szum h szum t+ + h szum t / + ρ szum Varγ = γ szum dla t =... T + ρ szum oraz s T = ρ szum h szum t Var γ = γszum dla t = T. Ze względu na możliwość przedstawienie modelu -3 za pomocą reprezentacji przestrzeni stanów charakterystyki a posteriori nieobserwowalnej zmiennej η t t =... T można obliczyć za pomocą filtru Kalmana lub losując z następującego warunkowego rozkładu a posteriori: p η t Δy t y t η t η t+ h sygnał θ = f N ηt g η Var η dla t =... T 3 g η = ω t y t Δy t + φ σt η t + η t+ ω t σt i Var η =. σt + φ + ω t yt σt + φ + ω t yt Dla ostatniej obserwacji t = T mamy: p η t Δy t y t η t h sygnał θ = f N ηt g η Var η 3 g η = ω t y t Δy t + φ σt η t ω t σt i Var σt + ω η =. t y t σt + ω t y t Estymację warunkowej wariancji w modelach stochastycznej zmienności w literaturze polskiej przedstawia Pajor [8]. Filtr Kalmana w podejściu bayesowskim omawia Koop [9]. 4. MODELE DWULINIOWE ZAWIERAJĄCE STOCHASTYCZNY PIERWIASTEK JEDNOSTKOWY Modele dwuliniowe po raz pierwszy zostały zaproponowane przez Grangera i Andersena [4]. W literaturze polskiej ich własności omówione są m.in. w [] i []. W niniejszej części artykułu omówiono model dwuliniowy zawierający stochastyczny pierwiastek jednostkowy zaproponowany przez Francqa Makarovą i Zakoïana [3]. Model ten oznaczony symbolem ECMp-BLq nawiązuje bezpośrednio do znanych wcześniej modeli dwuliniowych ma jednak nieco inną specyfikację i własności: Δy t = ψ y t + ϕ Δy t +... + ϕ p Δy t p + v t 33

4 Jacek Kwiatkowski v t = + λ v t +... + λ q v t q ηt η iid t N 0σ t =... T. 34 Warunek konieczny i dostateczny aby proces 33-34 był stacjonarny kowariancyjnie ma postać: q λ i σ <. 35 i= Wiadomo że procesy dwuliniowe można zakwalifikować jako aproksymację liniowych modeli o losowych parametrach co z kolei oznacza że są one pewną formą pośrednią między procesami ARMA ze stałymi i losowymi parametrami por. []. W tym przypadku model dwuliniowy 33-34 bezpośrednio nawiązuje do modeli w których parametry strukturalne są losowe. Łatwo można wykazać że dla p = 0i q = oraz po przeprowadzeniu elementarnych przekształceń można go zapisać jako model zawierający stochastyczny pierwiastek jednostkowy: Δy t = δ t y t + ε t t =... T 36 gdzie losowy parametr jest wyrażony jako: δ t = + ψ + λ η t 37 a ε t jest składnikiem losowym nieskorelowanym z y t i dla i > 0 o postaci: ε t = λ + ψ y t η t. 38 Niech Ψ t oznacza zbiór wszystkich informacji o procesie dostępnych do chwili t włącznie. Dla p = 0iq = warunkowa średnia μ t = E Δy t Ψ t i warunkowa wariancja h t = VarΔy t Ψ t w modelu 36-38 mają postać: μ t = ψ y t i h t = + λ v t σ. Załóżmy że składniki losowe ε t w modelu BL mają rozkład normalny. W tym przypadku gęstość wektora obserwacji jest następująca: p Δy v θy 0 = T f N Δyt ψy t + λ v t σ 39 gdzie Δy = Δy Δy... Δy T v = v 0 v... v T oraz θ = ψ λ σ a także ψ R λ R i σ R +. Dodatkowo przestrzeń parametrów jest ucięta przez warunek λ σ <. Jako rozkłady a priori dla parametrów ψ i λ przyjęto rozkłady normalne natomiast dla wariancji σ - odwrócony rozkład gamma. Układ pełnych warunkowych rozkładów a posteriori dla parametrów w modelu BL ma postać: p ψ y λ σ f N gψ Var ψ 40

g ψ = Wybrane modele zawierające stochastyczny pierwiastek jednostkowy w analizie kursów walutowych 5 σψ σψ Δy t y t + σ μ +λ v t ψ i Var ψ = yt + σ +λ v t σϕ p σ y λ σ v y 0 = fig σ T + c σ p λ y ψσ σ σψ yt + σ +λ v t Δy t ψy t + λ v t + d σ 4 T f N Δyt ψy t + λ v t σ f N λ μ λ σλ. 4 Dla ψ i σ warunkowe gęstości a posteriori należą do standardowej rodziny rozkładów. Z kolei losowania z warunkowego rozkładu a posteriori dla parametru λ wymagają stosowania dodatkowej metody wewnątrz procedury Gibbsa. 5. ESTYMACJA I TESTOWANIE MODELI STUR DLA WYBRANYCH KURSÓW WALUTOWYCH W niniejszej części artykułu przedstawiono wyniki estymacji wybranych specyfikacji STUR uzyskane na podstawie analizy dziennych kursów walutowych. Są to: model STUR w wersji Grangera i Swansona równania - i 4 STUR-G- M model STUR w wersji Leybourne a równania -3 STUR-L--M oraz model dwuliniowy równania 36-38-BL-M 3. Dodatkowo w celach porównawczych obliczono charakterystyki a posteriori dwóch standardowych modeli zmienności. Są to: model zmienności stochastycznej M 4 : Δy t = ε t ε t N 0σ t t =... T 43 ε t N 0σt σ t = σ exp h szum t h szum t = ρ szum h szum t + ζ t a także ζ iid t N 0γszum εt ζ s dla t s =... T oraz najprostszy model GARCH symbol M 5 : ρ szum Δy t = ε t ε t N 0 h t t =... T 44 h t = a 0 + a ε t + b h t 45 a 0 > 0 a 0 b 0 oraz a + b <. Badane szeregi składają się z 03 obserwacji i obejmują okres od stycznia 006 do 3 grudnia 009 roku. Analiza dotyczy następujących walut europejskich wyrażonych w złotych: franka szwajcarskiego CHF euro EUR i funta szterlinga

6 Jacek Kwiatkowski GBP. Przed przystąpieniem do badań oryginalne szeregi czasowe poddano transformacji zgodnie z następującym wzorem y t = 00 ln P t gdzie P t oznacza cenę zamknięcia. Moc wyjaśniającą poszczególnych specyfikacji obliczono metodą Newtona i Raftery ego []. Dla wszystkich wariancji jako rozkład a priori przyjęto odwrócony rozkład gamma z parametrami c = 0 0 i d = 0 0. Rozkład a priori współczynnika autoregresji jest uciętym rozkładem normalnym o średniej zero i odchyleniu standardowym równym jeden. Również stała φ 0 ma rozkład a priori będący rozkładem normalnym o średniej równej zero i wariancji równej jeden. Dla początkowych stanów tj. δ 0 i η 0 przyjęto wartość równą zero. Podobnie wartości początkowe w modelu h szum sygnał 0 są również traktowane jako ustalone i równe zero. Tablica przedstawia logarytmy dziesiętne czynników Bayesa obliczone pomiędzy wybranymi modelami STUR i GARCH a modelem. Uzyskane wyniki pokazują że dla wszystkich szeregów czasowych model STUR w wersji Grangera i Swansona STUR-GR- uzyskał zdecydowanie największe szanse a posteriori. Przy założeniu jednakowych prawdopodobieństw a priori model STUR-G- uzyskał prawdopodobieństwo a posteriori od 54 do 99 rzędów wielkości większe niż standardowy model i od do 65 rzędów wielkości większe niż drugi w rankingu model STUR-L-. Różnice w logarytmach czynników Bayesa obliczone między modelami STUR STUR-G- oraz STUR-L- a modelem stochastycznej zmienności są zatem bardzo duże. Przeprowadzone badania empiryczne wyraźnie więc potwierdziły istnienie stochastycznego pierwiastka jednostkowego dla dziennych kursów walutowych. Tablica. Logarytmy dziesiętne czynników Bayesa obliczone między poszczególnymi modelami i modelem stochastycznej zmienności M 4 Model log 0 BMi M 4 log 0 BMi M 4 log 0 BMi M 4 M STUR-GR- M STUR-L- CHF M 3 BL M 5 GARCH 540050 97853-75787 -6337 EUR 590340 473740-9360 -440 GBP 993030 34846-430070 -4630 Źródło: obliczenia własne Model dwuliniowy we wszystkich przypadkach ma najniższą moc wyjaśniającą skutkiem czego zajmuje piąte ostatnie miejsce w rankingach. Model stochastycznej

Wybrane modele zawierające stochastyczny pierwiastek jednostkowy w analizie kursów walutowych 7 zmienności zajął trzecie miejsce w rankingach za modelami STUR i przed modelem GARCH który miał przedostatnie miejsce w rankingach. Większa moc wyjaśniająca modeli w stosunku do modeli GARCH jest typowa dla tych specyfikacji zob. [4] Tablica 3. Informacje a posteriori o parametrach w modelu stochastycznej zmienności uzyskane na podstawie analizy kursu walutowego w okresie od.0.006 do 3..009 Parametr Waluta σ ρ szum γszum CHF 039380 0990 0080 00890 00046 00066 EUR 03950 099350 00574 009440 000349 0005 GBP 047670 099350 0034 090 000367 000496 W pierwszej linii umieszczono wartość oczekiwaną rozkładu a posteriori natomiast w drugiej linii w nawiasach okrągłych podano odchylenie standardowe Źródło: obliczenia własne W tablicy 3 zamieszczono punktowe oceny a posteriori parametrów w standardowym modelu stochastycznej zmienności równanie 43. Uzyskane wyniki są typowe dla dziennych szeregów finansowych. Wartości oczekiwane a posteriori współczynnika autokorelacji ρ szum są bardzo bliskie wartości jeden co przy względnie małym rozproszeniu wskazuje na dużą persystencję zmienności kursów walutowych. Podobnie oceny a posteriori parametrów w modelu GARCH równania 44-45 są typowe dla tego typu danych zob. tablica 4 a suma parametrów a i b ma wartość oczekiwaną a posteriori bliską wartości jeden co również wskazuje na dużą persystencję zmienności badanych szeregów. Tablica 4. Informacje a posteriori o parametrach w modelu GARCH uzyskane na podstawie analizy kursu walutowego w okresie od.0.006 do 3..009 Parametr Waluta a 0 a b a + b CHF 00085 008956 089990 09894 00084 00904 0000 00055 EUR 00045 0090 089743 098945 0003 0058 00564 000546 GBP 00053 007667 09570 09937 00064 00454 00443 000388 W pierwszej linii umieszczono wartość oczekiwaną rozkładu a posteriori natomiast w drugiej linii w nawiasach okrągłych podano odchylenie standardowe Źródło: obliczenia własne Kolejna tablica z numerem 5 zawiera informacje a posteriori na temat parametrów w modelu dwuliniowym. Jak wiadomo z części czwartej artykułu model ten można również interpretować jako model ze stochastycznym pierwiastkiem jednostkowym.

8 Jacek Kwiatkowski Tablica 5. Informacje a posteriori o parametrach w modelu dwuliniowym uzyskane na podstawie analizy kursu walutowego w okresie od.0.006 do 3..009 Parametr Waluta ψ σ λ CHF 000009 0400 0093 000035 00450 005 EUR 000003 063000-000336 00008 00808 00433 GBP -00003 0850 000779 00007 003635 00375 W pierwszej linii umieszczono wartość oczekiwaną rozkładu a posteriori natomiast w drugiej linii w nawiasach okrągłych podano odchylenie standardowe Źródło: obliczenia własne Uzyskane wyniki nie potwierdzają jednak przydatności tej specyfikacji dla badanych szeregów czasowych. W żadnym z trzech przypadków parametr λ odpowiedzialny za zmienność warunkowej wariancji nie jest położony w rejonach odległych od zera. Wartość oczekiwana a posteriori jest zbliżona do wartości odchylenia standardowego a posteriori lub jest o jeden rząd wielkości mniejsza i w związku z tym rozkład a posteriori ma bardzo duże względne rozproszenie. Powyższe wnioski potwierdza uzyskany ranking modeli por. tablica w którym model BL we wszystkich trzech przypadkach zajął ostatnie miejsce. Tablica 6. Informacje a posteriori o parametrach modelu STUR-G- uzyskane na podstawie analizy kursu walutowego w okresie od.0.006 do 3..009 Waluta Parametr ω σ φ 0 φ ρ sygnał γ sygnał CHF 0003 0800 0000-0063 099740 0450 0000 0079 000037 00345 0003 00450 EUR 0000 0400 000005-004054 099780 04080 00008 0008 00003 00407 000097 004369 GBP 00075 0470-00004 -006760 099760 009777 00006 007 00003 00434 00009 00955 W pierwszej linii umieszczono wartość oczekiwaną rozkładu a posteriori natomiast w drugiej linii w nawiasach okrągłych podano odchylenie standardowe Źródło: obliczenia własne W tablicy 6 zamieszczono wyniki estymacji parametrów w modelu STUR w wersji Grangera i Swansona model STUR-G-. W pierwszej linii znajdują się wartości oczekiwane rozkładów a posteriori a w nawiasach okrągłych podano wartości odchyleń standardowych. Dla wszystkich szeregów czasowych współczynnik autokorelacji φ ma wartość oczekiwaną zlokalizowaną blisko wartości zero co przy dużym względnym rozproszeniu wskazuje że zmienny parametr nie wykazuje zależności autoregresyjnej. Zupełnie inaczej przestawia się rozkład a posteriori parametru ρ sygnał który odpowiedzialny jest za persystencję zmienności stochastycznego pierwiastka jednostkowego.

Wybrane modele zawierające stochastyczny pierwiastek jednostkowy w analizie kursów walutowych 9 Jego wartość oczekiwana a posteriori jest bliska wartości jeden co oznacza że losowy parametr jest procesem zmienności stochastycznej. Tablica 7. Informacje a posteriori o parametrach w modelu STUR-L- uzyskane na podstawie analizy dziennych stóp zmian kursu walutowego w okresie od.0.006 do 3..009 Parametr Waluta ω σ ρ szum γszum φ ρ sygnał γ sygnał CHF 0000 0047 03 00674-0089 0997 056 0000 0046 05388 0086 0044 0004 00470 EUR 0006 048-0037 09-00506 09977 0097 00007 00337 0544 0335 00564 0000 0034 GBP 0006 048-0037 09-0045 09977 0097 00007 00337 0544 0335 0054 0000 0034 W pierwszej linii umieszczono wartość oczekiwaną rozkładu a posteriori natomiast w drugiej linii w nawiasach okrągłych podano odchylenie standardowe Źródło: obliczenia własne W tablicy 7 przedstawiono informacje a posteriori dotyczące ocen parametrów w modelu STUR-L-. Dla wszystkich szeregów czasowych wartość oczekiwana a posteriori współczynnika autoregresji ρ sygnał jest bliska wartości jeden co potwierdza zasadność traktowania {η t t =... T} jako procesu zmienności stochastycznej. Możemy zaobserwować istotny współczynnik autokorelacji w strukturze dla zmiennego parametru ale już nie dla składnika losowego w równaniu obserwacji. Wydaje się zatem że tylko jeden z nich jest procesem o strukturze. Oznacza to że tylko stochastyczny pierwiastek jednostkowy ma zmienną w czasie warunkową wariancję. Drugi składnik losowy ma wariancję która jest homoskedastyczna. Powyższe wnioski potwierdza również czynnik Bayesa obliczony pomiędzy modelami STUR-L- i. Okazuje się bowiem że bardziej prawdopodobny jest model w którym losowa warunkowa średnia traktowana jest jako proces niż model w którym odchylenia od warunkowej deterministycznej średniej opisane są jako proces zmienności stochastycznej. Zmienność stochastycznego pierwiastka jednostkowego łatwo zauważyć na rysunku na którym przedstawiono mediany a posteriori parametru a t = exp δ t t =... 03. Przedstawione realizacje obliczone zostały na podstawie najbardziej prawdopodobnego modelu czyli modelu STUR w wersji Grangera i Swansona STUR-G-. Ponieważ rozpiętości przedziałów o najwyższej gęstości a posteriori ang. Highest Posterior Density intervals; HPD we wszystkich przypadkach były bardzo niewielkie co potwierdza statystyczną istotność pierwiastka stochastycznego w celu większej przejrzystości wykresów zrezygnowano z ich prezentacji. Jak widać na rysunku pierwiastek jednostkowy w modelu STUR-G- oscyluje wokół wartości jeden i charakteryzuje się wyraźnym okresowym nasileniem zmienności. Szczególnie wyraźnie uwidacznia się to w drugiej połowie 008 i w pierwszym kwartale 009 kiedy to miało miejsce załamanie się głównych światowych indeksów giełdowych oraz bardzo silne osłabienie złotego.

0 Jacek Kwiatkowski Rysunek. Mediany rozkładu a posteriori parametru a t = exp δ t dla t =... 03 obliczone na podstawie realizacji kursu franka szwajcarskiego CHF euro EUR i funta szterlinga GBP względem złotego Źródło: obliczenia własne Na rysunku 3 przedstawiono mediany a posteriori warunkowej wariancji ω t t =... T wraz z 95% przedziałami o najwyższej gęstości a posteriori obliczone na podstawie modelu STUR w wersji Grangera i Swansona. Na podstawie wyników zamieszczonych na rysunku 3 łatwo można zauważyć że od września 008 nastąpił gwałtowny wzrost zmienności pierwiastka jednostkowego. Okresowe nasilenia zmienności losowego parametru mają swoje uzasadnienie w zaistniałych czynnikach rynkowych ponieważ zgodnie z informacjami publikowanymi przez NBP w okresie od września 008 do maja 009 roku nastąpiło znaczne osłabienie nominalnego kursu złotego względem innych walut ze względu na czynniki globalne i oczekiwania wskazujące na głębsze niż wcześniej zakładano spowolnienie wzrostu gospodarczego w 009 roku. Kolejną przyczyną były informacje o pogarszaniu się salda na rachunku obrotów bieżących. Znaczny wzrost niepewności można również zauważyć poprzez zwiększenie się rozpiętości przedziałów a posteriori. Raport o inflacji luty 009 r. www.nbp.pl 4..009.

Wybrane modele zawierające stochastyczny pierwiastek jednostkowy w analizie kursów walutowych Rysunek 3. Warunkowa wariancja ω t dla t =... 03 w modelu STUR w wersji Grangera i Swansona w którym losowy parametr jest procesem o strukturze model STUR-G- obliczona dla realizacji kursu franka szwajcarskiego CHF euro EUR i funta szterlinga GBP względem złotego. Pogrubiona linia przedstawia mediany a posteriori warunkowej wariancji z kolei zwykłe linie oznaczają dolny i górny kraniec 95% przedziałów o najwyższej gęstości a posteriori HPD Źródło: obliczenia własne 6. ZAKOŃCZENIE Zasadniczym celem tego artykułu było przedstawienie i analiza empirycznych własności wybranych modeli zawierających stochastyczny pierwiastek jednostkowy. Wyprowadzono i omówiono również układy rozkładów a posteriori które są niezbędne w podejściu bayesowskim. Badania empiryczne dotyczyły dziennych obserwacji najważniejszych walut europejskich wyrażonych w złotych w okresie od stycznia 006 do grudnia 009 roku. W artykule dokonano przeglądu wybranych specyfikacji STUR. Są to niektóre już znane od dawna modele takie jak: model Grangera i Swansona [5] tzw. model Leybourne a [0] oraz model dwuliniowy opracowany niedawno przez Francqa Makarovą i Zakoïana [3]. Przeprowadzone badania empiryczne wyraźnie wykazały że modele STUR a zwłaszcza model Grangera i Swansona uzyskały znacznie większe prawdopodobieństwo a posteriori niż standardowe modele zmienności tj. i GARCH. W modelach STUR w wersji Grangera i Swansona oraz Leybourne a zaproponowano aby stochastyczny pierwiastek jednostkowy był procesem zmienności stochastycznej. Podejście to wydaje się zasadne ponieważ badania empiryczne potwierdziły

Jacek Kwiatkowski że stochastyczny pierwiastek jednostkowy nie ma stałej lecz zmienną wariancję warunkową a jego zmienność nasila się wraz z występowaniem czynników rynkowych. Przeprowadzone badania nie potwierdziły przydatności modeli dwuliniowych dla dziennych kursów walutowych. Katedra Ekonometrii i Statystyki Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarządzania Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu LITERATURA [] Bruzda J. 003 Procesy dwuliniowe i procesy GARCH w modelowaniu finansowych szeregów czasowych Przegląd Statystyczny 73-95. [] Doman M. Doman R. 004 Ekonometryczne modelowanie dynamiki polskiego rynku finansowego Wyd. AE w Poznaniu Poznań. [3] Francq Ch. Makarova S. Zakoïan J.M. 008 A class of stochastic unit-root bilinear processes: Mixing properties and unit-root test Journal of Econometrics 4 3-36. [4] Granger W.J.C. Andersen A. P. 978 An Introduction to Bilinear Time Series Models Vandenhoeck and Ruprecht Göttingen. [5] Granger C.W.J. Swanson N.R. 997 An Introduction to stochastic unit root process Journal of Econometrics 80 35-6. [6] Granger W.J.C. Teräsvirta T. 993 Modeling Nonlinear Economic Relationships Oxford University Press Oxford. [7] Górka J. 007 Modele autoregresyjne z losowymi parametrami Procesy STUR. Modelowanie i zastosowanie do finansowych szeregów czasowych red. Osińska M. Wyd. TNOiK Toruń 3-34. [8] Jones C.R. Marriott J.M. 999 A Bayesian analysis of stochastic unit root models Bayesian Statistics 6 785-794. [9] Koop G. 003 Bayesian Econometrics John Wiley & Sons. [0] Leybourne S.J. McCabe B.P.M. Mills T.C. 996 Randomized unit root processes for modelling and forecasting financial time series: theory and applications Journal of Forecasting 5 53-70. [] Leybourne S.J. McCabe B.P.M. Tremayne A.R. 996 Can economic time series be differenced to stationarity? Journal of Business and Economic Statistics 4 435-446. [] Newton M.A. Raftery A.E. 994 Approximate Bayesian inference by the weighted likelihood bootstrap with discussion Journal of the Royal Statistical Society B 56 3-48. [3] Nicholls D.F. Quinn B.G. 98 Random Coefficient Autoregressive Models: An Introduction Springer-Verlag New York. [4] Osiewalski J. Pajor A. Pipien M. 004 Bayesowskie modelowanie i prognozowanie indeksu WIG z wykorzystaniem procesów GARCH i XX Seminarium Ekonometryczne im. Profesora Zbigniewa Pawlowskiego red. Zelias A. Wyd. AE w Krakowie Kraków 7-39. [5] Osińska M. red 007 Procesy STUR. Modelowanie i zastosowanie do finansowych szeregów czasowych Wyd. TNOiK Toruń. [6] Osińska M. 004 Stochastic unit roots process properties and application 30-rd International Conference MACROMODELS 04 red. Welfe A. Welfe W. Wyd. UŁ w Łodzi Łódź 69-79. [7] Osińska M. Górka J. 005 Identyfikacja nieliniowości w ekonomicznych szeregach czasowych. Analiza symulacyjna Dynamiczne modele ekonometryczne Toruń 35-44. [8] Pajor A. 003 Procesy zmienności stochastycznej w bayesowskiej analizie finansowych szeregów czasowych Wyd. AE w Krakowie Kraków.

Wybrane modele zawierające stochastyczny pierwiastek jednostkowy w analizie kursów walutowych 3 [9] Sollis R. Leybourne S.J. Newbold P. 000 Stochastic unit roots modelling of stock price indices Applied Financial Economics 0 3-35. [0] Tsay R.S. 005 Analysis of Financial Time Series Wiley John and Sons Inc. Hoboken New Jersey. [] Yoon G. 006 A note on some properties of STUR processes Oxford Bulletin of Economics and Statistics 68 53-60. WYBRANE MODELE ZAWIERAJACE STOCHASTYCZNY PIERWIASTEK JEDNOSTKOWY W ANALIZIE KURSÓW WALUTOWYCH Streszczenie W artykule omówiono wybrane specyfikacje i własności modeli zawierających stochastyczny pierwiastek jednostkowy STUR. Celem artykułu było dokonanie przeglądu różnych modeli STUR opracowanie metod numerycznych wykorzystywanych w schemacie wnioskowania bayesowskiego w kontekście rozważanych modeli oraz porównanie ich mocy wyjaśniającej. Przykład empiryczny zawarty w artykule dotyczył dziennych notowań kursu walut obcych wyrażonych w złotych. Uzyskane wyniki wskazują że najbardziej prawdopodobny okazał się model STUR w wersji Grangera i Swansona który uzyskał znaczną przewagę nad standardowym modelem stochastycznej zmienności. STOCHASTIC UNIT ROOT MODELS WITH APPLICATION TO DAILY EXCHANGE RATES Summery The paper presents the three different stochastic unit root models STUR proposed by Granger and Swanson 997 by Leybourne McCabe and Mills 996 and finally by Francq Makarova Zakoïan 008. The main purpose is to develop an MCMC algorithm for Bayesian estimation. We are also interested how the different specifications of the stochastic unit root affect the explanatory power of a set of competing models. We apply that these computational methods to daily exchange rates of foreign currencies in zlotys namely Swiss franc Pound sterling and Euro. The model selection and posterior estimates provide strong evidence in favor of the STUR models.