Geometria w praktyce, cz. 1. Dach pulpitowy i dwuspadowy

Podobne dokumenty
Geometria w praktyce, cz. 2. Dach czterospadowy i kopertowy

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów.

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6

RZUT CECHOWANY DACHY, NASYPY, WYKOPY

Wykazywanie tożsamości trygonometrycznych. Scenariusz lekcji

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

Imię i NAZWISKO:... Grupa proj.: GP... KOLOKWIUM K1 X 1. Geometria Wykreślna 2018/19. z plaszczyznami skarp o podanych warstwicach.

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY I ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII

MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII

Funkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako:

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna:

Funkcje trygonometryczne

Klasa III LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI, KLASA III PROGRAM: MATEMATYKA wokół nas DKW /99

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

I. LICZBY I DZIAŁANIA

Plan wynikowy, klasa 3 ZSZ

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Obciążenie dachów wiatrem w świetle nowej normy, cz. 2*

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/ ZAKRES PODSTAWOWY

Skrypt 26. Stereometria: Opracowanie Jerzy Mil

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Ułamki i działania 20 h

Przedmiotowy system oceniania

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia

Plan realizacji materiału nauczania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 9. Aksonometria

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

I. Funkcja kwadratowa

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III

WYMAGANIA EDUKACYJNE rok szkolny 2018/2019

- umie obliczyć potęgę o wykładniku: naturalnym(k), całkowitym ujemnym - umie oszacować wartość wyrażenia zawierającego pierwiastki

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

WYMAGANIA EDUKACYJNE

1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Troszkę Geometrii. Kinga Kolczyńska - Przybycień

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA III GIMNAZJUM

KRZYŻÓWKA Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania

RAMOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I-III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CKU NR 1

Geometria analityczna - przykłady

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14

( 2) 6 III EDYCJA MIĘDZYSZKOLNEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH O PROFILU ZAWODOWYM I TECHNICZNYM.

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE 8 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

o współrzędnych (x i są punktami Steinera minimalizującymi długość sieci łączącej punkty P 1 ), i = 1, 2, 3, 4. Punkty pośrednie P 5 , y i , P 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie VIII.

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE VIII Z MATEMATYKI ROK SZKOLNY

Matematyka klasy IA i IB gimnazjum - rok szkolny 2016/2017

I. Liczby i działania

Transkrypt:

Geometria w praktyce, cz. 1. Dach pulpitowy i dwuspadowy wego czasu, ucząc młodzież matematyki słyszałam wielokrotnie narzekania, że to czego uczą w szkole, nijak się ma do rzeczywistości i jest nieprzydatne. Bardzo mnie cieszy fakt, że mogę teraz udowodnić, iż wszystko, co mówili na matematyce, jest nam w życiu niezbędne chociażby przy budowie domu! Rys. 1 Lekcja 1: procenty Wprawdzie procenty nie wszystkim kojarzą się z matematyką, ale w dekarstwie oznaczają różnicę między położeniem okapu a kalenicy na odcinku długości 100 jednostek. Informacja w projekcie mówiąca, że dach ma 25% spadku oznacza ni mniej ni więcej, że na każdym metrze rzutu poziomego połaci dachowej na płaszczyznę różnica wysokości między okapem a kalenicą wynosi 25 centymetrów. Oznaczenia: X różnica wysokości miedzy okapem a kalenicą Y rzut poziomy połaci dachowej Z długość połaci dachowej a rzut poziomy połaci dachowej o długości 100 cm b długość połaci dachowej dla rzutu poziomego o długości 100 cm c różnica wysokości między okapem a kalenicą dla rzutu poziomego o długości 100 cm Zakładając, że a = 100 cm i że zgodnie z rysunkiem spadek = 25%, otrzymujemy: c = 100 cm (25%/100%) = 100 cm 0,25 = 25 cm. Oczywiście jest to tylko wzór, w którym dla łatwiejszego zrouzmienia przyjęte zostały pełne wielkości, ale posługując się powyższym szablonem można dokonywać odpowiednich wyliczeń dla dowolnych wielkości. I tak przykładowo, znając długość rzutu połaci na płaszczyznę (Y) i różnicę wysokości (X) można z łatwością wyliczyć spadek dachu w %.

spadek w % = (X/Y) 100% W dalszych rozważaniach przyda się twierdzenie Talesa. Co ciekawe, twierdzenie to jak żadne inne związane jest ściśle z budownictwem. Otóż grecki uczony Tales bardzo chciał wiedzieć, jaka wysokość ma piramida Cheopsa. Przychodził on pod piramidę i wpatrywał się w nią; na obserwacjach upłynęło mu lato, jesień, zima i eureka! Na podstawie punktu odniesienia (kołka wbitego w piasek) i cienia piramidy stworzył zasadę proporcjonalności poszczególnych odcinków trójkąta (kąta) przeciętego prostymi równoległymi. Jak to się ma do naszego dachu? Wróćmy do rys. 1. Długość połaci możemy wyliczyć właśnie dzięki Talesowi i odkrytej przez niego zależności: Załóżmy, że Y (długość rzutu poziomego połaci dachowej) jest równy 7,5 m (750 cm. Uwaga ważne jest, aby w obliczeniach stosować te same jednostki: albo cm, albo m!) X 100 cm = Y 25 cm X = (750 cm 25 cm) / 100 cm Różnica wysokości między okapem a kalenicą = 187,5 cm Teraz musimy zająć się kolejnym wielkim naukowcem Pitagorasem, który spisał twierdzenie mówiące, że kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym. a 2 + b 2 = c 2 Zgodnie z rys. 1 oznacza to, że kwadrat długości połaci dachowej jest równy sumie kwadratów długości rzutu poziomego połaci dachowej i różnicy wysokości między okapem a kalenicą dachu. Zatem: Z 2 = Y 2 + X 2 (Pamiętamy o możliwości zamiany % na ułamki dziesiętne zgodnie z zasadą Spadek dachu zapisany jako 25% można także zapisać w innej postaci: 25% 100% = 0,25. Otrzymujemy więc wzór:

Po przekształceniach otrzymujemy wzór ostateczny: Czyli dla naszego dachu: Ale gdzie jest nasz dach? Oto i nasz trójkąt wrysowany w przekrój fragmentu budynku p. rys. 2. Rys. 2 Powierzchnia dachu P to długość połaci dachowej Z mnożona przez długość okapu O. (Należy pamiętać, aby przed wyliczaniem zamienić długości podane w centymetrach na metry!). POWIERZCHNIA DACHU = Z O Przyjmując, że okap ma długość 8,5 metra, połać będzie miała powierzchnię: P dachu = 8,39 m 8,5 m = 65,71 m 2 Lekcja 2: stopnie Skoro już wiemy, jak postępować z procentami, przejdźmy do stopni. Stopnie to druga z miar wykorzystywana do określania nachylenia połaci dachowej. Tu przydatne będą funkcje trygonometryczne, czyli funkcje kątów w trójkącie prostokątnym, takim jak na rys. 3. W trójkącie przyprostokątnym istnieją następujące podstawowe zależności:

sinus kąta alfa stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta alfa do długości przeciwprostokątnej; cosinus kąta alfa stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa do długości przeciwprostokątnej; tangens kąta alfa stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta alfa do długości drugiej przyprostokątnej; cotangens kąta alfa stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa do długości drugiej przyprostokątnej. Sinus i cosinus nazywane są funkcjami przeciwprostokątnej, zaś tangens i cotangens funkcjami przyprostokątnych. Rys. 3 Zgodnie z rys. 3 mamy: Wracamy do rys. 2. Znajdujemy na nim kąt alfa kąt nachylenia połaci dachowej. Mając do dyspozycji kąt nachylenia połaci dachowej oraz długość rzutu poziomego Y lub różnicę wysokości między okapem a kalenicą X, możemy wyliczyć powierzchnie połaci. Zazwyczaj łatwiej jest znaleźć długość rzutu połaci dachowej (wyczytać choćby z projektu lub samemu obmierzając), dzięki czemu można wyliczyć powierzchnię połaci z wzoru: Zatem długość połaci dachowej jest równa długości rzutu poziomego połaci dachowej pomnożonej przez wartość funkcji cosinus kąta nachylenia połaci dachowej:

Powierzchnię dachu otrzymamy mnożąc długość połaci dachowej przez długość okapu: P dachu = Z O Tabela 1. Wartość cos alfa dla najczęściej spotykanych kątów Lekcja 3: zajęcia praktyczne Do tej pory zajmowaliśmy się dachami jednospadowymi, ale dokładnie te same wzory możemy stosować dla dachów dwuspadowych. Na takim dachu przeprowadzimy ćwiczenia w obliczaniu powierzchni połaci dachowej. Rysunki poniżej przedstawiają rzut połaci dachowej oraz jej przekrój.

Rys. 4. Rzut połaci dachowej Z rysunku możemy odczytać następujące dane: Długość okapu O wynosi 20000 mm = 20 m. Długość rzutu poziomego połaci dachowej Y = 5500 mm = 550 cm. Spadek połaci dachowej = 60% Rys. 5. Przekrój połaci dachowej Korzystając z wzoru

otrzymujemy Z = 550 cm 1,166 Z = 641,3 cm = 6,41 m Powierzchnia jednej połaci dachu P wynosi: P = Z O P = 6,41 m 20 m = 128,20 m 2 W związku z tym, że dach jest symetryczny, otrzymaną powierzchnię jednej połaci należy pomnożyć przez 2, co daje łączną powierzchnię: P dachu = 128,20 m 2 2 = 256,4 m 2 W przypadku, gdy mamy do czynienia z dachem, gdzie połacie nie mają jednakowych spadków, postępujemy analogicznie do przykładu podanego niżej, obliczając każdą z połaci oddzielnie, a następnie wyniki sumując. Przejdźmy teraz do przykładu, w którym dach ma podany spadek w mierze kątowej, a połacie są pochylone pod różnymi kątami.

Rys. 6. Dach z połaciami o różnych spadkach Obliczenia należy wówczas przeprowadzić oddzielnie dla obu połaci, a wyniki zsumować. Połać 1 Długość okapu O wynosi 20000 mm = 20 m. Długość rzutu poziomego połaci dachowej: Y1 = 5500 mm = 5,50 m Stopień spadku połaci dachowej alfa = 45º. Korzystamy z równania Dla naszego przypadku Wartość cos 45 odczytujemy z tabeli: 0,707.

Zatem Powierzchnia połaci P 1 wynosi: P1 = 7,78 m 20 m = 155,6 m 2 Analogicznie postępujemy w przypadku drugiej połaci Długość okapu O = 20000 mm = 20 m Długość rzutu poziomego połaci dachowej: Y2 = 4000 mm = 4 m Stopień spadku połaci dachowej alfa = 30º. Cos 30 odczytany z tabeli: 0,866 Zatem Powierzchnia połaci drugiej P 2 = Z2 O = 92,4 m Łączną powierzchnię dachu otrzymujemy po zsumowaniu obu powierzchni: P 1 + P 2 = P dachu = 248 m 2 W przypadku, gdy obie połacie mają jednakowy kąt nachylenia obliczamy powierzchnię jednej z nich, a następnie mnożymy przez 2. Monika A. Tomaszewska-Rzęsista Przedstawione rysunki mają charakter poglądowy i w żaden sposób nie mogą być traktowane jako wskazówki konstrukcyjne Źródło: Dachy, nr 6 (114) 2009

Usługi Ciesielskie - domy drewniane - domy szkieletowe - konstrukcje dachowe więźby - www.lechbud.org