Rozwiązania zadań z numeru 36

Podobne dokumenty
T R Y G O N O M E T R I A

Planimetria, zakres podstawowy test wiedzy i kompetencji ZADANIA ZAMKNIĘTE. [ m] 2 cm dłuższa od. Nr pytania Odpowiedź

Równe kąty = (180 <) ACO <) CAO) = (180 2<) ACO) = <) ACO.

MAJ LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2013 klasa druga. MATEMATYKA - poziom podstawowy. Czas pracy: 170 minut. Instrukcja dla zdającego

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria

IX POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH W POGONI ZA INDEKSEM ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI rok szkolny 2017/2018

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH

Badanie wyników nauczania z matematyki

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

CZERWIEC MATEMATYKA - poziom podstawowy. Czas pracy: 170 minut. Instrukcja dla zdającego

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

ZESTAW 1. A) 2 B) 3 C) 5 D) 7

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.

ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków?

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)

= a + 1. b + 1. b całkowita?

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

rys. 4 BK KC AM MB CL LA = 1.

FUNKCJA KWADRATOWA. 2. Rozwiąż nierówności: na przedziale x < 2; 3. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji f ( x)

KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 11 Teoria planimetria

!Twoje imię i nazwisko... Numer Twojego Gimnazjum.. Tę tabelę wypełnia Komisja sprawdzająca pracę. Nazwisko Twojego nauczyciela...

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Przykładowe rozwiązania

Ćwiczenia z geometrii I

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

Spis treści. Zadania... 7 Algebra... 9 Geometria Teoria liczb, nierówności, kombinatoryka Wskazówki Rozwiazania...

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Metoda siatek zadania

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

TABELA ODPOWIEDZI. kod ucznia

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1

Czworościany ortocentryczne zadania

Klasówka gr. A str. 1/3

Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: matematyka nauczycielska.

Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12

Skrypt 20. Planimetria: Opracowanie L6

Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)

Zadanie 2. ( 4p ) Czworokąt ABCD ma kąty proste przy wierzchołkach B i D. Ponadto AB = BC i BH = 1.

LVIII Olimpiada Matematyczna

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o

Wielkopolskie Mecze Matematyczne

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z matematyki dla uczniów gimnazjów województwa kujawsko-pomorskiego

O kątach w wielokątach i nie tylko

trójkąta ABC. Wykazać, że te proste zawierają dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta PQR.

Rysunek 1. Udowodnij, że AB CD = BC DA. Rysunek 2. Po inwersji o środku w punkcie E. Rysunek 3. Po inwersji o środku w punkcie A

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

Problemy i zadania na egzamin ustny dla klasy 3B:

GEOMETRIA ELEMENTARNA

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Regionalne Koło Matematyczne

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

TRÓJKĄTY CIĘCIW. Natalia Ślusarz V Liceum Ogólnokształcące im. Augusta Witkowskiego w Krakowie

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.

LX Olimpiada Matematyczna

Podstawowe pojęcia geometryczne

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

LXV Olimpiada Matematyczna

Kuratorium Oświaty w Lublinie KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH ROK SZKOLNY 2018/2019 ETAP TRZECI

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

Własności punktów w czworokątach

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt:

Rzwiązania zadań z numeru 36 Trudna gemetria Zadanie 1. Dany jest krąg śrdku O i prmieniu r. Średnica AB teg kręgu przecina pewną jeg cięciwę CD w punkcie M. kąt CMB jest równy 75, a kąt śrdkwy teg kręgu party na łuku BC (tym, d któreg nie należy punkt D), wynsi 110. czy ptrafisz bliczyć kąt śrdkwy party na łuku AD (nie zawierającym punktu B)? Rzwiązanie Zacznijmy d rysunku Uzupełnijmy rysunek pmcniczy dcinek

Trójkąt BOC jest trójkątem równramiennym, więc kąty przy wierzchłkach B i C mają taką samą rzwartść. Wyznaczmy marę kąta CBA 1 1 ( 180 BOC ) = ( 180 110 ) = 70 = 1 CBA = 35 2 2 2 Kąt CBA jest kątem wpisanym, a kąt COA jest kątem śrdkwym i ba parte są na tym samym łuku, więc Kąt COA ma dwa razy większą rzwartść niż kąt CBA. Wynika z teg, że kąt COA ma rzwartść 70. Obliczmy teraz z trójkąta CMO rzwartść kąta OCM ( 75 + 70 ) = 180 145 OCM = 180 ( CMO + COA) = 180 = 35 Kąty: kąt CMO i kąt DMO są przystające, więc DMO = 180 CMO = 180 75 = 105 Trójkąt CDO jest równramienny więc kąty: kąt OCD i kąt CDO mają taką samą rzwartść, czyli kąt CDO ma 35. Z trójkąta OMD bliczmy rzwartść szukaneg kąta AOD. ( OMD + MDO) = 180 ( 105 + 35 ) = 180 140 AOD = 180 = 40 Odpwiedź: Szukany kąt ma 40. Zadanie 2. Na kręgu śrdku O i prmieniu r wybrane zstały cztery punkty: A; B; C i D, takie, że kąt śrdkwy teg kręgu party na łuku AB ma 120, kąt śrdkwy party na łuku BC ma 40 i kąt śrdkwy party na łuku CD ma 80. Oblicz Kąty wewnętrzne czwrkąta ABCD, kąty utwrzne przez jeg przekątne i kąty utwrzne przez prste zawierające przeciwległe bki. Rzwiązanie: Zacznijmy, jak pprzedni d rysunku

Obliczmy statni z czterech kątów śrdkwych 0 ( AOB + BOC + COD) = 360 ( 120 + 40 + 80 ) = 360 240 120 AOD = 360 = Obliczmy teraz kąty wewnętrzne czwrkąta ABCD. Kąt BAD jest kątem wpisanym partym na łuku, na którym jest party kąt śrdkwy BOD. Kąt BOD ma 120, więc kąt BAD ma 60. Pdbnie wyliczymy pzstałe kąty wewnętrzne czwrkąta ABCD. Kąt ABC ma 100 ; kąt BCD ma 120 i kąt CDA ma 80. Uzupełnijmy teraz nasz rysunek przekątne czwrkąta ABCD, aby bliczyć pd jakim kątem się ne przecinają. Zajmijmy się kątami trójkąta BSC. Kąt DBC jest kątem wpisanym, partym na łuku CD. Na tym łuku party jest też kąt śrdkwy, który ma 80. W takim razie kąt CBD ma 40. Pdbnie mżemy pliczyć, że kąt ACB ma 60. Mżemy teraz pliczyć kąt BSC, czyli kąt pd którym przecinają się przekątne. ( SBC + SCB) = 180 ( 40 + 60 ) = 180 100 BSC = 180 = 80

Pzstał jeszcze pliczyć kąt pd jakim przetną się przeciwległe bki czwrkąta. Uzupełnijmy wpierw rysunek. Skrzystamy, z trójkąta CDE. Kąty: kąt ADC i kąt CDE są przystające, więc kąt CDE ma 100. Pdbnie mżna bliczyć, że kąt DCE ma 60. W takim razie szukany kąt CED ma 20. Pdbnie, mżemy pliczyć, że bki AB i CD p przedłużeniu przetną się pd kątem 40. Odpwiedź: Kąty wewnętrzne czwrkąta mają: 60 ; 100 ; 120 i 80. przekątne teg czwrkąta przecinają się pd kątem 80, a przeciwległe bki p przedłużeniu przecięły by się pd kątami: 20 i 40. Zadanie 3. Dany jest trójkąt prstkątny ABC. Na przyprstkątnej BC bran punkt M taki, że nie jest n żadnym kńcem teg bku. Punkt M płączn z przeciwprstkątną AB trójkąta ABC dcinkiem MN takim, że dcinek MN jest prstpadły d przeciwprstkątnej AB. Udwdnij, że kąt MAN ma taką samą rzwartść jak kąt MCN. Rzwiązanie: Zacznijmy d pmcniczeg rysunku. Zajmijmy się czwrkątem ACMN. Ma n dwa kąty

prste, są t kąty: kąt MCA i kąt ANM. Odcinek AM rzcina ten czwrkąt na dwa trójkąty prstkątne: trójkąt ACM i trójkąt AMN. Na bydwóch trójkątach mżna pisać krąg. Pnieważ są t trójkąty prstkątne, więc śrdek tych kręgów będzie leżał na śrdku dcinka AM, czyli tak naprawdę, będzie tylk jeden krąg pisujący ba wymienine trójkąty prstkątne. Kąty α i β dla teg kręgu będą kątami wpisanymi i ba będą parte na tym samym łuku, czyli kąty te mają tą samą rzwartść. Zadanie 4. Niech AA będzie wyskścią trójkąta strkątneg ABC, a punkt S śrdkiem kręgu pisaneg na tym trójkącie. Udwdnij, że kąty: kąt BAA i kąt SAC mają taką samą rzwartść. Rzwiązanie: Załóżmy, że kąt ABA ma miarę. Krzystając z trójkąta prstkątneg ABA mżemy stwierdzić, że. Kąt CSA jest kątem śrdkwym partym na tym samym łuku c kąt wpisany CBA więc jeg rzwartść wynsi 2. Wyznaczmy teraz z trójkąta ACS kąt β. Trójkąt ACS jest równramienny więc ma dwa kąty takiej samej rzwartści. Kąty α i β mają taką samą rzwartść.

Zadanie 5. Na kręgu śrdku O i prmieniu r bran punkty: A; B; C; D. Następnie na tym kręgu wybran jeszcze punkty: A ; B ; C i D, w taki spsób, że AA = BA ; BB = CB ; CC = DC i DD = AD. Udwdnij, że prste A C i B D są d siebie prstpadłe. Rzwiązanie: Zauważ, że wystarczy dwieść, że trójkąt C D E jest prstkątny. Kąt B D C jest kątem wpisanym partym na łuku długści łuku długści. Kąt A C D jest kątem wpisanym partym na. W takim razie kąt będący sumą kątów: kąt B D C i kąt A C D party byłby na łuku długści, czyli na półkręgu. Wynika z teg, że suma kątów : kąt B D C +kąt A C D daje kąt prsty. Pnieważ suma wszystkich kątów w trójkącie wnsi 180, więc kąt C ED jest kątem prstym. Zadanie 6. Dwa kręgi są styczne wewnętrznie w punkcie M. Niech AB będzie cięciwą większeg kręgu styczną jedncześnie d małeg kręgu w punkcie T. Udwdnij, że półprsta MT jest dwusieczną kąta AMB. Rzwiązanie:

Aby rzwiązać t zadanie udwdnimy wpierw następujący lemat: Kąt między styczną a cięciwą kręgu, pprwadzną z punktu stycznści, jest równy płwie kąta śrdkweg, parteg na łuku zawartym między raminami pierwszeg kąta. Dwód lematu Zauważmy, że jeśli kąt α jest kątem prstym, t wewnątrz kąta α znajduje się cały półkrąg na którym party jest kąt śrdkwy, który ma 180, czyli dla teg przypadku lemat jest prawdziwy. Gdy α jest kątem strym, t ma takie sam rzwarcie jak kąt γ, b trójkąt BCD jest prstkątny kącie prstym w wierzchłku C. w takim razie zachdzi następująca równść: + CBD = + CBD = 90 γ α. P djęciu kąta CBD mamy, że α=γ. Kąt γ jest kątem wpisanym partym na tym samym łuku c kąt śrdkwy β, więc jest jeg płwą. Wynika z teg, że dla kąta streg α nasz lemat też jest prawdziwy. Kąt rzwarty δ jest równy się kąt wpisany χ = 180 90 + CBD. W jeg wnętrzu znajduje się łuk na którym piera + CAD. Pnieważ, kąt 90 jest płwą kata 180 0, a kąt CBD jak

kąt wpisany jest płwą kąta śrdkweg CAD (ba są parte na tym samym łuku) więc δ jest płwą kąta χ, c kńczy dwód lematu. Przystępujemy d rzwiązania zadania. Przypadek pierwszy: Trójkąt BDM jest trójkątem równramiennym. Odcinek MT jest jeg wyskścią więc jest dwusieczną kąta BMD. Przypadek drugi:

Należy dwieść, że kąt AMT=kąt BMT. Z rysunku widać, że AMT = TMP AMP, natmiast ( MBT + BTM ) BMT = 180. Na mcy udwdnineg pwyżej lematu kąt AMP=kąt MBT. Pnieważ trójkąt MPT jest równramienny (jeg raminami są bie styczne mniejszeg kręgu), więc kąt TMP=kąt ATM. wyrażenia na kąt BMT. BMT = 180 = 180 AMP 180 BTM = 180 ATM. Pdstawmy wyznaczne kąty d ( MBT + BTM ) = 180 ( AMP + ( 180 ATM ) = 180 ( AMP + 180 ATM ) = + ATM = ATM AMP = PMT AMP = AMT Zadanie 7.Dany jest trójkąt ABC, któreg kąt wewnętrzny wierzchłku B ma 60. Dwusieczne pzstałych kątów wewnętrznych teg trójkąta, czyli dcinki AD i CE przecinają się w punkcie M. Udwdnij, że MD = ME. Rzwiązanie:

Pnieważ kąt ABC ma 60, więc pzstałe kąty teg trójkąta mają w sumie 120. Pnieważ kąt MAC jest płwą kąta CAE, a kąt ACE jest płwą kąta ACB, więc w sumie mają ne 60.kąty te są kątami wewnętrznymi trójkąta AMC. W takim razie trzeci kąt AMC ma 120. W takim razie kąt EMD też ma 120. Ppatrzmy teraz na czwrkąt BDME. Przeciwległe w nim kąty: kąt EBD i kąt EMD maja w sumie 180. W takim razie druga para kątów przeciwległych ma też w sumie 180. Oznacza t, że na tym czwrkącie mżna pisać krąg. Wówczas kąty: kąt EBM i kąt DBM będą kątami wpisanymi w ten krąg, a że ba mają taką samą miarę, więc pierają się na łukach tych samych długściach. Tak więc dcinki ME i DM są cięciwami graniczającymi łuki tej samej długści, więc mają tę samą długść.