LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24
PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć KRZ 3 Wartościowanie i prawo logiki 4 Ćwiczenia Tautologie Wynikanie logiczne Wariacje z powtórzeniami Spełnialność Konsekwencja semantuczna 5 Źródła Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 2 / 24
Alfabet i formuła KRZ Określenie alfabetu i formuły KRZ (1/2) Alfabet KRZ zawiera: nieskończony zbiór zmiennych zdaniowych: p, q, r,..., p 1, q 1, r 1,..., p 2, q 2, r 2,... stałe:,, skończony zbiór funktorów prawdziwościowych:,,,,, nawiasy: (, ). Niech ϕ, ψ będą zmiennymi metajęzykowymi reprezentującymi dowolne formuły KRZ. Wówczas: 1 każde z wyrażeń,, p, q, r,..., p 1, q 1, r 1,... jest formułą KRZ, 2 jeżeli ϕ jest formułą KRZ, to ( ϕ) jest formułą KRZ, 3 jeżeli ϕ i ψ są formułami KRZ, to (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) są formułami KRZ. Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 3 / 24
Alfabet i formuła KRZ Określenie alfabetu i formuły KRZ (2/2) Umowa W ciągu symboli:,,,, każdy symbol wiąże silniej niż symbole występujące po nim. Przykład Dzięki umowie, poniższe dwie formuły oznaczają to samo wyrażenie: ((( p) q) r) p q r Przykłady poprawnych formuł KRZ: r (p q) p q (p s) p p (p q) ((q r) (p r)) Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 4 / 24
Zrozumieć KRZ Zrozumieć język KRZ przez prawidłowe odczytanie formuł nie jest tak, że... (negacja)... i... (koniunkcja)... lub... (alternatywa) jeżeli..., to... (implikacja)... wtedy i tylko wtedy, gdy... (równoważność) Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 5 / 24
Zrozumieć KRZ Zrozumieć język KRZ przez odwołanie do języka polskiego Nie jest tak, że słońce }{{}}{{ świeci }. p Świeci }{{ słońce } p }{{} i Jeżeli pada deszcz, }{{} p Pójdziemy do kina } {{ } p Spostrzeżenie nie (jest tak, że) pada deszcz. }{{}}{{} q to szosa jest mokra. }{{} }{{} lub } {{ } q zabiorę cię na zakupy } {{ } q Zmienne zdaniowe reprezentują zdania. Możesz traktować je jako puste miejsca, które wypełnia się konkretnymi, potencjalnie wieloma, zdaniami.. Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 6 / 24
Zrozumieć KRZ Zrozumieć język KRZ przez interpretację formuł Klasyczna definicja prawdziwości zdania (Arystoteles) Zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest tak jak ono głosi, tj. gdy istnieje zgodność treści (sensu) tego zdania ze stanem rzeczy, który ono opisuje. Zasada dwuwartościowości Każde zdanie jest albo prawdziwe albo fałszywe; nie ma trzeciej możliwości (tac. tertium non datur). Umowa Prawdziwość i fałszywość będziemy nazywać wartościami logicznymi. Prawdziwość zdania będziemy oznaczać cyfrą 1, zaś fałszywość cyfrą 0. p 1 0 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 7 / 24
Zrozumieć KRZ Zrozumieć język KRZ przez interpretację formuł Spostrzeżenie p p 1 0 0 1 p q p q p q p q p q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Wartość logiczna formuły zbudowanej za pomocą funktorów prawdziwościowych,,,, zależy tylko od wartości logicznej ich argumentów. Na przykład wartość logiczna wyrażenia p q zależy tylko od wartości logicznej p i q. Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 8 / 24
Wartościowanie i prawo logiki Wartościowanie zdaniowe Wartościowanie zdaniowe Wartościowanie zdaniowe (krótko: wartościowanie) jest dowolną funkcją v, która zmiennym zdaniowym (tj. p, q, r,... ) przyporządkowuje wartości logiczne (tj. 1 lub 0). Rysunek : Przykład wartościowania dla czterech zmiennych zdaniowych. Ćwiczenie Ile jest wszystkich możliwych wartościowań dla czterech zmiennych z rysunku? Ile jest wszystkich możliwych wartościowań dla n zmiennych? Odpowiedź uzasadnij. Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 9 / 24
Wartościowanie i prawo logiki Wartościowanie formuły Wartościowanie formuły Wartościowanie formuły ϕ przy wartościowaniu v oznaczamy h v (ϕ) i definiujemy indukcyjnie w następujący sposób: h v ( ) = 1 i h v ( ) = 0, h v (p) = v(p), dla każdej zmiennej zdaniowej p, h v ( ϕ) = 1 h v (ϕ) h v (ϕ ψ) = min{h v (ϕ), h v (ψ)} h v (ϕ ψ) = max{h v (ϕ), h v (ψ)} { 0 gdy h h v (ϕ ψ) = v (ϕ) = 1 i h v (ψ) = 0 1 gdy w każdym innym przypadku Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 10 / 24
Wartościowanie i prawo logiki Spełnianie formuły Formuły spełnione Jeżeli h v (ϕ) = 1, to mówimy, że formuła ϕ jest spełniona przez wartościowanie v i oznaczamy v = ϕ. Spełnianie zbioru formuł Jeżeli Γ jest zbiorem formuł oraz dla wszystkich ϕ Γ, h v (ϕ) = 1, to mówimy, że zbiór formuł Γ jest spełniony przez wartościowanie v i oznaczamy v = Γ. Konsekwencja semantyczna / wynikanie logiczne Z wyrażenia ϕ wynika logicznie wyrażenie ψ (lub inaczej ψ jest konsekwencją semantyczną ϕ), symbolicznie ϕ = ψ, wtw dla każdego wartościowania v, jeżeli v = ϕ, to v = ψ. Konsekwencja semantyczna zbioru formuł Przez Γ = ϕ będziemy rozumieć, że ϕ jest semantyczną konsekwencją każdej formuły ze zbioru Γ. Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 11 / 24
Wartościowanie i prawo logiki Formuły spełnialne i tautologie Spełnialność formuły Formuła ϕ jest spełnialna, gdy dla pewnego wartościowania v, v = ϕ. Spełnialność zbioru formuł Zbiór formuł Γ jest spełnialny, gdy dla pewnego wartościowania v, v = Γ. Tautologia Formuła ϕ jest tautologią, gdy dla każdego wartościowania v, v = ϕ. Piszemy wówczas = ϕ. Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 12 / 24
Wartościowanie i prawo logiki Formuły spełnialne i tautologie Uwaga 1 Z wyrażenia ϕ wynika logicznie wyrażenie ψ (symbolicznie ϕ = ψ) wtw wyrażenie ϕ ψ jest tautologią. Uwaga 2 Z zbioru wyrażeń Γ = {ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3,..., ϕ n } wynika logicznie wyrażenie ψ lub inaczej mówiąc ψ jest konsekwencją (semantyczną) Γ, symbolicznie Γ = ψ, wtw wyrażenie ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ n ψ jest tautologią. Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 13 / 24
Wartościowanie i prawo logiki Spostrzeżenie Wartościowanie w tabelce Dla formuły zawierającego n różnych zmiennych zdaniowych istnieje 2 n różnych wartościowań, tj. sposobów przyporządkowania im (tj. zmiennym zdaniowym) wartości 1 lub 0. Każde wartościowanie będzie jednym wierszem tabeli. Tautologia p p p p 1 0 1 0 1 1 p q p q (p q) p (p q) p q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 Tautologią jest formuła, która przyjmuje wartość 1 dla każdego układu wartości 1 i 0, tj. w każdym wierszu tabeli. Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 14 / 24
Ćwiczenia Ćwiczenia Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 15 / 24
Ćwiczenia Tautologie Ćwiczenie 1a Wykaż, że poniższe formuły są tautologiami. 1 p p 2 p p 3 p p p 4 p p p 5 p p 6 (p p) 7 (p q) ((q r) (p r)) 8 (p q) ( q p) 9 ( p p) 10 (p p) 11 (p p) 12 (p q) (r s) (p r q s) Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 16 / 24
Ćwiczenia Tautologie Ćwiczenie 1b Wykaż, że poniższe formuły są tautologiami. 1 (p q r) (p q) (p r) 2 (p q r) (p r) (q r) 3 (p p) p 4 (p q q) p 5 (p q) p q 6 p p q 7 (p q) p q 8 (p q) (r s) (p r q s) 9 (p r) (q r) (p q) r 10 (p q) (r s) (p r) (q s) 11 (p q) (r s) (q s) (p r) 12 (p q) (p q) (q p) 13 q (p q) Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 17 / 24
Ćwiczenia Tautologie Ćwiczenie 1c Wykaż, że poniższe formuły są tautologiami. 1 p q r p r q 2 (p q) q p 3 (p q) ( q p) 4 (p q) p q 5 p q p q 6 p q r p (q r) 7 (p q) (q r) r) 8 (p q) p q 9 p q p q 10 p q r p (q r) 11 (p q) (q r) (p r) 12 p 13 p p, p p Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 18 / 24
Ćwiczenia Wynikanie logiczne Ćwiczenie 2 Równoważność semantyczna Powiemy, że formuły ϕ i ψ są równoważne semantycznie wtw ϕ = ψ i ψ = ϕ. Wykaż, że równoważne parami są formuły: 1 ϕ i ϕ 2 i 3 ϕ ψ i (ϕ ψ) 4 ϕ ψ i ϕ ψ Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 19 / 24
Ćwiczenia Wariacje z powtórzeniami Ćwiczenie 3 Definicja n-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru Y złożonego z m różnych elementów nazywamy każdą funkcję f odwzorowującą zbiór X złożony z n różnych elementów w zbiór Y. Twierdzenie Liczna n-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru Y złożonego z m różnych elementów jest równa m n. 1 Ile jest możliwych wyników dwukrotnego i pięciokrotnego rzutu monetą? 2 Ile jest możliwych wyników czterokrotnego rzutu sześcienną kostką? 3 W urnie jest 10 kul ponumerowanych od 1 do 10. Losujemy kulę, zapisujemy jej numer i ponownie wrzucamy ją do urny. Czynność tą powtarzamy 3 razy zapisując numery wylosowanych kul w kolejności losowania. Ile różnych wyników możemy w ten sposób uzyskać? Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 20 / 24
Ćwiczenia Spełnialność Ćwiczenie 4 Czy następujące zbiory formuł są spełnialne? 1 {p q, q r, r p} 2 {p q, q r, r s q} 3 { ( q p), p r, q r} 4 {s q, p q, (s p), s} Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 21 / 24
Ćwiczenia Konsekwencja semantyczna Ćwiczenie 5 Czy zachodzą następują konsekwencje? 1 {p q r, p} = r q 2 {p q, p (q r)} = p r 3 {p (q r), p q} = q r 4 {(p q) r, p} = r 5 {(p q) r, r} = p 6 {p q, r q} = r p Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 22 / 24
Źródła Źródła Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 23 / 24
Źródła Źródła 1 L. Borkowski, Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości. Lublin 1999. Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 24 / 24