eoria Sygnałów III rok Inforatyki Stosowanej Wykład 6 Dyskretne sygnały cyfrowe Metody cyfrowego przetwarzania sygnałów (CPS) coraz bardziej wypierają tradycyjne etody analogowe. Zaianę sygnału analogowego na sygnał binarny reprezentowany słowai binarnyi o ustalonej długości słowa dokonuje przetwornik analogowo-cyfrowy A/C. Sygnał cyfrowy z jego wyjścia jest następnie przetwarzany przez filtr cyfrowy, który przekształca go w inny sygnał cyfrowy o pożądanej postaci. Sygnał cyfrowy z wyjścia filtru cyfrowego jest z kolei przekształcany na sygnał analogowy przez przetwornik cyfrowo-analogowy C/A. Filtr cyfrowy oże być realizowany sprzętowo lub prograowo. Paięć Filtr cyfrowy (t) A/C Urządzenie arytetyczne C/A y(t) Układ synchronizacji
Przetwarzanie ciągłego sygnału analogowego na sygnał cyfrowy polega na dyskretyzacji sygnału w czasie czyli jego próbkowaniu, dyskretyzacji wartości sygnału czyli kwantowaniu oraz na kodowaniu uzyskanego sygnału dyskretnego. Próbkowanie następuje przez kolejne pobieranie próbek wartości sygnału w pewnych odstępach czasu, w taki sposób, aby ciąg próbek uożliwiał jak najwierniejsze odtworzenie całego przebiegu funkcji. Kwantowanie przebiegu analogowego polega na przyporządkowaniu każdej próbce skończonej liczby pozioów aplitudy, odpowiadający dyskretny wartościo od zera do pełnego zakresu. Przekształcenie sygnału ciągłego (analogowego) w sygnał dyskretny wyaga użycia przetwornika analogowo-cyfrowego A/C o ustalony kroku próbkowania i kroku kwantyzacji. Kilka słów o przetworniku ożna znaleźć na stronie http://www-users.at.uni.torun.pl/~bala/se_gr_/przetworniki_ac/przetwornik_ac.htl 4 4 4 4 Y() - - Y() - - -4-4 -4-4 -6-6 -6-6 -4-3 - -1 1 3 4-4 -3 - -1 1 3 4 Jeśli krok próbkowania będzie wynosił.s zaś próbki będą ogły przyjować dowolne wartości to wynikie próbkowania będą czerwone kółka (wykres lewy). Jeśli krok kwantyzacji będzie wynosił 1 to wynik jest zaznaczony czerwonyi kółkai (wykres prawy). ( t ) sin( πf ) t ( n) sin( f n t) po spróbkowaniu Ponieważ sinus jest funkcją okresową ożna zapisać: ( n) f n t) sin(f n t + ) sin( Drugi wyraz ożna zapisać jako: sin( f n t + ) sin ( f + ) n t n t ( n) f n t) sin( ( f + kf ) n t) sin( s π jeśli kn t 1 f to s Podczas próbkowania z częstotliwością f s próbek/s nie a ożliwości rozróżnienia spróbkowanych przebiegów sinusoidalnych o częstotliwości f Hz i f +kf s Hz (k liczba całkowita)
Ilustracja zjawiska aliazingu. Porównanie wida sygnału ciągłego, rzeczywistego z wide sygnału dyskretnego. fs 4 Hz Fc 1, 15,, 5, 3, 35, 4, 45 i 5 Hz Zgodnie z ostatni wzore na poprzedniej stronie wida sygnałów dyskretnych dla Fc1 Hz i Fc5 Hz są równe gdy częstotliwość próbkowania jest równa 4Hz (1Hz + 4Hz 5Hz) Ponadto rysunek ilustruje cykliczność zaburzenia wida sygnału spróbkowanego na skutek aliazingu. Częstotliwość Nyquista to inialna częstotliwość próbkowania dla której aliazing nie zachodzi. Jest ona równa dwukrotnej częstotliwości aksyalnej sygnału (tj sinusoida usi być próbkowana częściej niż dwie próbki na okres) Ilustracja zjawiska aliazingu dla sygnału zespolonego. Porównanie wida sygnału ciągłego, zespolonego z wide tegoż sygnału po spróbkowaniu. W wypadku sygnałów zespolonych częstotliwość próbkowania Nyquista jest równa szerokości pasa sygnału. (próbkowany jest sygnał zespolony więc de facto próbek jest dwa razy więcej). Reguła powielania wida dla sygnału spróbkowanego działa i w ty przypadku (wido sygnału o częstotliwości Fc Hz jest takie sao jak sygnału o częstotliwości Fc4 Hz)
Pytanie zasadnicze: czy na podstawie zapisu dyskretnego ożna odtworzyć funkcję ciągłą? A jeśli tak, to jakie usi ona spełniać warunki? Odpowiedź: Sygnał usi ieć ograniczone paso częstotliwościowe tj. X() dla > a Sygnałai o ograniczony paśie ogą być zarówno sygnały o ograniczonej energii, jak i o ograniczonej ocy. Jedno jest jasne zbyt rzadkie próbkowanie powoduje niejednoznaczność w definiowaniu krzywej ciągłej. Zachodzi w ty wypadku zjawisko aliasingu. (ang. Alias: wo naes for the sae person, or thing) wierdzenie o próbkowaniu Na wykładzie 3 udowodniliśy związek z transforacji Fouriera z szeregai Fouriera. Obecnie udowodniy twierdzenie będące podstawą teorii sygnałów dyskretnych tw. o próbkowaniu (czasai nazywane twierdzenie Shannona lub Kotelnikowa-Shannona). Na początek przyponienie z wykładu 3. δ I ( t) δ ( t n ) s n i t 1 t δ t e dt δ ns sδ [ δ ( )] ( ) ( ) ( ) n Niech (t) będzie sygnałe analogowy (ciągły). Wynikie działania idealnego przetwornika A/C są wartości tego sygnału dla wybranych wartości arguentu. Próbkowanie z krokie ożna zapisać jako: ( t) ( t) δ ( t) ( t) δ ( t n ) ( t) δ ( t n ) ( n ) δ ( t n ) n n s n
Wido sygnału spróbkowanego jest równe: s [ s ] X ( ) δ ( ns ) X ( n s ) 1 ( ) X ( ) δ ( ) X δ S n Wido sygnału spróbkowanego składa się z okresowo powtarzanych kopii wida sygnału ciągłego) X() (próbkowanego). Kopie te są poprzesuwane o całkowite krotności częstotliwości próbkowania s. Aby sąsiednie kopie wida nie zachodziły na siebie usi być spełniony warunek: s a > a lub s > a, gdzie a - największa niezerowa częstotliwość w widie X() (oczywiście w widie ciągły). Liczbę a, nazyway częstotliwością Nyquista N. f s n π > S a f a < 1 krok próbkowania w dziedzinie czasu S częstotliwość z jaką jest replikowane wido
Splot Λ() i δ() - a a s > a s s a s s < a s Niech najniejsza częstotliwość próbkowania nie powodując utraty inforacji poprzez zjawisko aliasingu wynosi s a. Wytnijy centralną część wida filtre idealny prostokątny o częstotliwości granicznej s g. Jego transforata jest równa Π(). Działanie filtru jest równoważne odsunięciu s do nieskończoności a więc próbkowaniu z nieskończenie ały krokie. [ ] 1 ( t) I ( ) Π ( ) p π X δ g ( t) ( n ) δ ( t n ) s ( t) sin π t ( n ) sin s a ( ( t n )) ( t n ) n n gdyż 1 Π it 1 it 1 1 it 1 1 i t i t ( ) e d e d e [ e e ] ( t) sin t ( t) it 1 1 i sin it it
( k ) ( n ) Filtr o charakterystyce h ( t) ( t) sin π t nazyway filtre rekonstruujący. Jego zastosowanie uożliwia dokładne odtworzenie sygnału analogowego na podstawie jego próbek (n). Jeśli s a to otrzyujey: π sin ( t n ) sin ( ) ( t) sin( ( t n )) h t t ( t n ) π sin π ( t n ) h( t n ) π t Jeśli tk to otrzyujey h(t). Dla tn ay h(t)1. π sin π n ( k n ) ( k n ) Na rysunku ilustracja wzoru ( ( t n )) ( ) n Przykład deonstrujący efektywność interpolacji ciągu danych dyskretnych funkcjai sinc(). Poniżej funkcja o ciągły przebiegu (de facto jest to b. gęsto spróbkowany przebieg). Jest to sinusoida o częstotliwości f a 1Hz.
Próbkujey funkcję b. rzadko 5 próbek na okres, tj..s. Stąd f s 5 Hz oraz f N Hz. Jest więc spełniony warunek f s > f N (czyli f a < 1/) Filtr rekonstruujący jest przesuwany z krokie równy krokowi próbkowania.
Kolor czarny sinusoida zrekonstruowana na podstawie wartości w punktach tnh.s za poocą funkcji interpolujących sinc() kolorowe przebiegi. W iejscach występowania próbek tylko jedna funkcja sinc() jest niezerowa i przyjuje wartość aksyalną. Sygnał odtworzony (niebieski) na tle sygnału oryginalnego (czerwony) a poniżej ich różnica.
Jak wynika z twierdzenia Shannona znajoość próbek sygnału wystarcza do odtworzenia dokładnych wartości sygnału (t) w chwilach iędzy chwilai próbkowania. Wartości te ożna odtworzyć nuerycznie posługując się tablicą funkcji Sa(). Z uwagi na nieskończoną suę szeregu Kotielnikowa- Shannona ożna je obliczyć jedynie z pewny przybliżenie. Najczęściej stosowaną w praktyce etodą odtworzenia sygnału z próbek (ipleentowaną w przetwornikach C/A) jest etoda schodkowa. Polega ona na utworzeniu odcinkai stałego sygnału analogowego przybliżającego odtwarzany sygnał (t). Aby przybliżenie to było dostatecznie dokładne, częstotliwość próbkowania powinna być dużo większa od częstotliwości Nyquista (powinien być stosowany tzw. oversapling). Sygnał analogowy tworzony w etodzie schodkowej jest suą ipulsów prostokątnych o czasie trwania równy okresowi próbkowania i aplitudach równych wartościo kolejnych próbek sygnału (n). Można pokazać (zrobiy to na ćwiczeniach), że dla tak utworzonego sygnału wido a postać: ~ X i ( ) Sa( ) e X ( n ) n Wido sygnału odtwarzanego przez przetwornik C/A etodą schodkową jest w porównaniu z wide oryginalny zniekształcone obwiednią typu Sa(/). Zniekształcenia wida ogą być korygowane przez zastosowanie filtru korekcyjnego o charakterystyce filtracji w paśie sygnału [-, ] będącej odwrotnością funkcji Sa. W dziedzinie czasu filtr ten wygładza schodki sygnału odtwarzanego przez przetwornik C/A, dlatego nazywany jest filtre wygładzający. s
Kilka uwag: Sygnały o skończony czasie trwania ają nieograniczone paso częstotliwościowe. wierdzenie Paleya-Wienera orzeka, że każdy sygnał o skończony czasie trwania a paso nieograniczone. Uzasadnienie: Jeśli paso sygnału jest ograniczone pulsacją, to jego wido spełnia dla każdego tożsaościową równość: X Π X ( ) ( ) ( ) Z twierdzenia o splocie w dziedzinie czasu wynika zate, że. t t Sa ( ) ( ) ( π ) ( ) Ponieważ sygnał Sa jest niezerowy na całej osi czasu, zate jego splot z sygnałe ipulsowy (prawa strona ostatniej równości) przybiera również wartości niezerowe na całej osi czasu. Dochodziy ty say do sprzeczności. Idealny filtr dolnopasowy a prostokątną charakterystykę filtracji (charakterystykę aplitudowo-fazową) H(i). Obliczając jej odwrotną transforatę Fouriera widziy, że odpowiedź ipulsowa h(t) tego filtru (odpowiedź na pobudzenie ipulse Diraca podany na jego wejście w chwili t) jest sygnałe typu Sa, a więc niezerowy dla t <. Oznacza to, że filtr taki jest nieprzyczynowy, a więc nierealizowalny fizycznie. Filtr idealny zastępuje się w praktyce filtre rzeczywisty o tak ukształtowanej charakterystyce filtracji, aby była ona ożliwie płaska w przedziale pulsacji i aby jej zbocza szybko opadały do zera poza ty przedziałe. y say sygnały ipulsowe nie spełniają warunków twierdzenia o próbkowaniu. Występujące w praktyce sygnały ają jednak ogony widowe o poijalnie ałej gęstości i zawsze ożna ustalić arbitralnie próg, powyżej którego wido sygnału ożna uznać za zerowe. Ustalając arbitralnie próg pasa sygnału popełniay zawsze większy lub niejszy błąd aliasingu. Błąd ten ożna zniejszyć, stosując dolnoprzepustowy filtr ochronny odcinający paso sygnału powyżej progu f. Sygnał z wyjścia takiego filtru ożey już próbkować bez aliasingu z częstotliwością f f s f.
Nierealizowalność ipulsów Diraca jako ipulsów próbkujących. Ciąg ipulsów Diraca jest odele teoretyczny ipulsów próbkujących, a więc nierealizowalny fizycznie. Próbkowanie sygnału w wyniku nożenia go przez ten ciąg nosi nazwę próbkowania idealnego. W praktyce ciąg ipulsów Diraca zastępuje się realizowalnyi fizycznie ciągai wąskich ipulsów prostokątnych. Na rysunku syste próbkowania naturalnego, w który sygnał próbkowany jest nożony przez falę unipolarną (rys. a-c). Wido tej fali jest dystrybucyjne, ale dystrybucje widowe nie ają jednakowych wysokości, lecz układają się na obwiedni typu (rys. d). Nadal jednak wido sygnału próbkowanego jest splatane przez dystrybucje widowe i powielone kopie są niezniekształcone w stosunku do wida, choć ich wysokości aleją. W ty przypadku ożliwe jest zate odzyskanie niezniekształconego sygnału. c ( t) ( t) c( t) ( t) Πτ ( t n ) ( t) τ n τ ( t) Sa nπ ( t) n n τ Sa nπ e τ inst e inst X S τ ( ) Sa nπ X ( n ) n τ s Poniżej syste próbkowania chwilowego. W ty przypadku próbki są reprezentowane ipulsai prostokątnyi o wysokościach równych poszczególny próbko (rys. e). Powielone kopie widowe są jednak zniekształcone obwiednią Sa(), która jest funkcją częstotliwości. ( t) ( t) ( n ) Πτ ( t n ) ( n ) [ Πτ ( t) δ ( t n )] Π τ ( t) ( n ) δ ( t n ) n X S τ n τ ( ) Sa X ( n ) n S n
Efekt stroboskopowy występuje wówczas, gdy sygnał okresowy próbkujey z częstotliwością niejszą od częstotliwości Nyquista, ale odpowiednio dobraną. Na rysunku efekt stroboskopowy zilustrowano dla przypadku sygnału sinusoidalnego. Próbki sinusoidy 1 (t) pobierane z częstotliwością znacznie większą od jego częstotliwości Nyquista, są identyczne jak próbki sinusoidy o większej częstotliwości (t) pobierane z tą saą częstotliwością próbkowania (która w ty przypadku jest niejsza od częstotliwości Nyquista). Na podstawie tych próbek ożey odtworzyć kopię szybkiego sygnału o ty say kształcie, ale rozciągniętą w czasie. Wido sinusoidy 1 (t) jest położone w f zaś sinusoidy (t) w f +f s, gdzie f s jest częstotliwością próbkowania. Wido sinusoidy 1 (t) jest powielane z częstotliwością f s. Na skutek aliasingu wido sinusoidy (t) jest odkładane syetrycznie względe f s i powielane z tą saą częstotliwością. Claude Elwood Shannon (urodzony 3 kwietnia 1916 - zarł 4 lutego 1) - aerykański ateatyk i inżynier, profesor MI. Jeden z twórców teorii inforacji. Jako jeden z pierwszych pojął doniosłość kodu binarnego i już jako łody człowiek proroczo twierdził, że ciągai zer i jedynek da się opisać tekst, obraz i dźwięk. Stworzył odele procesu kounikacyjnego wykorzystywane później przez psychologów. Jego najsłynniejsze dzieło to "Mateatyczna teoria kounikacji opublikowana w 1948 roku, która położyła podwaliny pod terodynaikę kounikacyjną. Shannon zafascynowany był aszynai liczącyi i urządzeniai, które dziś określilibyśy iane gadżetów - zaprojektował np. pianino odtwarzające w kolejności losowej zaprograowane uprzednio utwory uzyczne, czy saouczącą się ysz (znajdowała drogę przez labirynt, na którego końcu Shannon kładł kawałek sera). Pracował także nad sztuczną inteligencją, rozwijając koncepcje aszyn uringa, czego efekte było.in. stworzenie w 1956 r. koputera szachowego MANIAC 1. Zafascynowany algebrą Boole'a starał się znaleźć jej zastosowanie w prograowaniu przełączników obwodów elektrycznych. W roku 1948, zajując się zagadnienie przepustowości linii telefonicznych, Shannon opracował wiele ważnych do dziś foruł ateatycznych, które stanowią podstawę nowoczesnej teorii inforacji. Jego twierdzenia nabrały szczególnego znaczenia praktycznego po wynalezieniu układów scalonych. Bez przesady ożna powiedzieć, że teorie tego wielkiego naukowca leżą u podstaw współczesnej ekspansji koputerów i Internetu. "Rewolucja cyfrowa zaczęła się od niego" powiedział na wieść o śierci wielkiego uczonego słynny aerykański inforatyk Neil Sloane. "Był to jeden z największych uysłów inionego stulecia - dodał - bez niego nie istniałyby dziś najważniejsze zdobycze naszej cywilizacji". Shannon urodził się w Michigan i w University of Michigan uzyskał dyploy w dziedzinie ateatyki i inżynierii elektrycznej. Doktorat obronił w Massachusetts Institute of echnology w roku 194; od roku 1958 był ta profesore. W latach 1936-4 pracował w MI, gdzie współpracował przy budowie echanicznego analizatora dyferencjałów opracowanego przez Vannevera Busha. W latach 1941-197 pracował również w słynnych Laboratoriach Bella. Na eeryturę przeszedł w roku 1978. Claude Shannon znany był z tego, że uprawianie nauki było dla niego nie tylko poważny zajęcie, ale również radością i zabawą. Dla czystej zabawy na przykład skonstruował dziwaczną aszynę o nazwie HROBAC-I, która liczyła, wykorzystując... rzyski zapis liczb. Shannon opracował zasady wyspecjalizowanego koputera do tej gry na blisko pół wieku przed głośny ecze szachowy Garriego Kasparowa z koputere Deep Blue.