Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 1/13

Metody numeryczne Co to są metody numeryczne? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 2/13

Metody numeryczne Co to są metody numeryczne? Metody numeryczne są to metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 2/13

Metody numeryczne Co to są metody numeryczne? Metody numeryczne są to metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. W większości działów matematyki problemy rozwiązuje się za pomocą operacji na symbolach, są to tzw. obliczenia symboliczne. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 2/13

Metody numeryczne Co to są metody numeryczne? Metody numeryczne są to metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. W większości działów matematyki problemy rozwiązuje się za pomocą operacji na symbolach, są to tzw. obliczenia symboliczne. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 2/13

Metody numeryczne Co to są metody numeryczne? Metody numeryczne są to metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. W większości działów matematyki problemy rozwiązuje się za pomocą operacji na symbolach, są to tzw. obliczenia symboliczne. Kiedy stosujemy metody numeryczne? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 2/13

Metody numeryczne Co to są metody numeryczne? Metody numeryczne są to metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. W większości działów matematyki problemy rozwiązuje się za pomocą operacji na symbolach, są to tzw. obliczenia symboliczne. Kiedy stosujemy metody numeryczne? Kiedy nie umiemy rozwiązać problemu za pomocą obliczeń na symbolach. Potocznie mówiąc Kiedy nie znamy wzoru. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 2/13

Metody numeryczne Co to są metody numeryczne? Metody numeryczne są to metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. W większości działów matematyki problemy rozwiązuje się za pomocą operacji na symbolach, są to tzw. obliczenia symboliczne. Kiedy stosujemy metody numeryczne? Kiedy nie umiemy rozwiązać problemu za pomocą obliczeń na symbolach. Potocznie mówiąc Kiedy nie znamy wzoru. Kiedy znane wzory są zbyt skomplikowane i niepraktyczne w użyciu. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 2/13

Metody numeryczne Co to są metody numeryczne? Metody numeryczne są to metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. W większości działów matematyki problemy rozwiązuje się za pomocą operacji na symbolach, są to tzw. obliczenia symboliczne. Kiedy stosujemy metody numeryczne? Kiedy nie umiemy rozwiązać problemu za pomocą obliczeń na symbolach. Potocznie mówiąc Kiedy nie znamy wzoru. Kiedy znane wzory są zbyt skomplikowane i niepraktyczne w użyciu. Kiedy chcemy, żeby problem rozwiązał komputer. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 2/13

Charakterystyczne cechy metod numerycznych Zazwyczaj uzyskujemy tylko wyniki przybliżone. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 3/13

Charakterystyczne cechy metod numerycznych Zazwyczaj uzyskujemy tylko wyniki przybliżone. Dokładność obliczeń może być z góry określona i można ją dobrać w zależności od potrzeb. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 3/13

Charakterystyczne cechy metod numerycznych Zazwyczaj uzyskujemy tylko wyniki przybliżone. Dokładność obliczeń może być z góry określona i można ją dobrać w zależności od potrzeb. Metody te zazwyczaj generują pewien ciąg liczb, którego kolejne wyrazy są coraz bliższe dokładnego rozwiązania. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 3/13

Charakterystyczne cechy metod numerycznych Zazwyczaj uzyskujemy tylko wyniki przybliżone. Dokładność obliczeń może być z góry określona i można ją dobrać w zależności od potrzeb. Metody te zazwyczaj generują pewien ciąg liczb, którego kolejne wyrazy są coraz bliższe dokładnego rozwiązania. Metody te najczęściej maja postać iteracyjną, tzn. polegają na wielokrotnym wykonywaniu tego samego zestawu operacji. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 3/13

Charakterystyczne cechy metod numerycznych Zazwyczaj uzyskujemy tylko wyniki przybliżone. Dokładność obliczeń może być z góry określona i można ją dobrać w zależności od potrzeb. Metody te zazwyczaj generują pewien ciąg liczb, którego kolejne wyrazy są coraz bliższe dokładnego rozwiązania. Metody te najczęściej maja postać iteracyjną, tzn. polegają na wielokrotnym wykonywaniu tego samego zestawu operacji. Metody te powinny działać szybko, często za ich pomocą rozwiązuje się całe zestawy problemów. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 3/13

Charakterystyczne cechy metod numerycznych Zazwyczaj uzyskujemy tylko wyniki przybliżone. Dokładność obliczeń może być z góry określona i można ją dobrać w zależności od potrzeb. Metody te zazwyczaj generują pewien ciąg liczb, którego kolejne wyrazy są coraz bliższe dokładnego rozwiązania. Metody te najczęściej maja postać iteracyjną, tzn. polegają na wielokrotnym wykonywaniu tego samego zestawu operacji. Metody te powinny działać szybko, często za ich pomocą rozwiązuje się całe zestawy problemów. Metody te zazwyczaj mają postać prostych algorytmów, choć stoi za nimi zaawansowana matematyka. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 3/13

Charakterystyczne cechy metod numerycznych Zazwyczaj uzyskujemy tylko wyniki przybliżone. Dokładność obliczeń może być z góry określona i można ją dobrać w zależności od potrzeb. Metody te zazwyczaj generują pewien ciąg liczb, którego kolejne wyrazy są coraz bliższe dokładnego rozwiązania. Metody te najczęściej maja postać iteracyjną, tzn. polegają na wielokrotnym wykonywaniu tego samego zestawu operacji. Metody te powinny działać szybko, często za ich pomocą rozwiązuje się całe zestawy problemów. Metody te zazwyczaj mają postać prostych algorytmów, choć stoi za nimi zaawansowana matematyka. Obliczenia za pomocą tych metod rzadko wykonuje się ręcznie, najczęściej wykonują je komputery. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 3/13

Rozwiązywanie równań wielomianowych Równania wielomianowe, to równania postaci: a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 4/13

Rozwiązywanie równań wielomianowych Równania wielomianowe, to równania postaci: a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0. Dla równań liniowych i kwadratowych ax + b = 0, ax 2 + bx + c = 0 znamy proste wzory na rozwiązania. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 4/13

Rozwiązywanie równań wielomianowych Równania wielomianowe, to równania postaci: a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0. Dla równań liniowych i kwadratowych ax + b = 0, ax 2 + bx + c = 0 znamy proste wzory na rozwiązania. Dla równań stopnia trzeciego i czwartego ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 również znane są wzory na rozwiązania, ale są one skomplikowane i rzadko się z nich korzysta. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 4/13

Rozwiązywanie równań wielomianowych Równania wielomianowe, to równania postaci: a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0. Dla równań liniowych i kwadratowych ax + b = 0, ax 2 + bx + c = 0 znamy proste wzory na rozwiązania. Dla równań stopnia trzeciego i czwartego ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 również znane są wzory na rozwiązania, ale są one skomplikowane i rzadko się z nich korzysta. Dla równań stopnia wyższego niż cztery udowodniono, że takie wzory nie istnieją. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 4/13

Pewna uwaga terminologiczna Oznaczmy najpierw lewą stronę równania przez f (x): a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a }{{} 0 = 0. f (x) f jest wówczas pewną funkcja wielomianową f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0. Używamy wówczas zamiennie określeń: rozwiązać równanie f (x) = 0, znaleźć miejsce zerowe funkcji f, (tzn. znaleźć takie x 0, że f (x 0 ) = 0). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 5/13

Metoda bisekcji (połowienia przedziału) Metoda ta opiera się na następującej własności. Twierdzenie Jeżeli funkcja wielomianowa f jest określona na przedziale [a, b] i na końcach tego przedziału przyjmuje wartości przeciwnych znaków (tzn. f (a)f (b) < 0), to istnieje przynajmniej jeden punkt r (a, b) taki, że f (r) = 0. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 6/13

Metoda bisekcji (połowienia przedziału) Dane: Funkcja wielomianowa f i przedział [a, b] taki, że f (a)f (b) < 0. Wynik: Przybliżone rozwiązanie równania f (x) = 0. Algorytm: Obliczamy środek przedziału [a, b] (c = (a + b)/2). Jeżeli f (c) = 0, to c jest poszukiwanym rozwiązaniem równania. Jeżeli f (a)f (c) < 0, to rozwiązanie leży w przedziale [a, c], wtedy pod b podstawiamy c. Jeżeli f (b)f (c) = 0, to rozwiązanie leży w przedziale [c, b], wtedy pod a podstawiamy c. Otrzymaliśmy nowy przedział [a, b] dwa razy krótszy od poprzedniego, zawierający poszukiwane rozwiązanie. Postępowanie powtarzamy aż do osiągnięcia żądanej dokładności, (tzn. aż przedział zawierający rozwiązanie będzie odpowiednio krótki). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 7/13

Jak obliczyć pole? Problem. Dana jest funkcja f : [a, b] R +. Jak obliczyć pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą y = f (x)? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 8/13

Metoda prostokątów Figurę tą możemy przybliżyć za pomocą sumy figur, których pola potrafimy policzyć, np. prostokątów. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 9/13

Metoda prostokątów Dane: Funkcja f : [a, b] R i przedział [a, b]. Wynik: Przybliżone pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą y = f (x). Algorytm: Dzielimy przedział [a, b] na n równych części o długości (b a)/n każda. Niech x 1, x 2,..., x n będą punktami leżącymi pośrodku każdej z tych części. Pole pod krzywą y = f (x) przybliżamy sumą n pól prostokątów Pole figury b a ( ) f (x 1 ) + f (x 2 ) + + f (x n ). n Powyższy wzór nazywamy wzorem prostokątów (lub złożonym wzorem prostokątów ). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 10/13

Metoda trapezów Zamiast prostokątów do przybliżania figury możemy użyć trapezów. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 11/13

Metoda trapezów Zamiast prostokątów do przybliżania figury możemy użyć trapezów. Wówczas Pole figury Pole trapezu = (b a) f (a) + f (b). 2 Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 11/13

Metoda trapezów Aby uzyskać dokładniejszy wynik możemy zwiększyć liczbę trapezów. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 12/13

Metoda trapezów Dane: Funkcja f : [a, b] R i przedział [a, b]. Wynik: Przybliżone pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą y = f (x). Algorytm: Dzielimy przedział [a, b] na n równych części o długości (b a)/n każda. Niech x 1, x 2,..., x n 1 będą punktami podziału. Pole pod krzywą y = f (x) przybliżamy sumą n pól trapezów Pole b a ( ) f (a)+2f (x 1 )+2f (x 2 )+ +2f (x n 1 )+f (b). 2n Powyższy wzór nazywamy wzorem trapezów (lub złożonym wzorem trapezów ). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach 13/13