Logika pragmatyczna dla inżynierów

Podobne dokumenty
Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Matematyka ETId Elementy logiki

Konsekwencja logiczna

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Elementy logiki i teorii mnogości

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Elementy logiki matematycznej

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

4 Klasyczny rachunek zdań

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

Rachunek zdań 1 zastaw zadań

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Schematy Piramid Logicznych

Dalszy ciąg rachunku zdań

Lista 1 (elementy logiki)

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Rachunek zdao i logika matematyczna

Klasyczny rachunek zdań 1/2

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Rachunek zdań i predykatów

Adam Meissner.

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Matematyczna (2,3)

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

III rok kognitywistyki UAM,

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ

Elementy logiki matematycznej

Drzewa Semantyczne w KRZ

Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Logika intuicjonistyczna

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

LOGIKA Dedukcja Naturalna

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Zestaw 1. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycję) dla każdego z następujących

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Jak wnioskują maszyny?


Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Metoda Tablic Semantycznych

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika rachunek zdań

Transkrypt:

Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny (ostatni wykład).

Plan wykładu Wprowadzenie 1 Klasyczny rachunek zdań. 2 Rachunek predykatów. 3 Elementy teorii zbiorów i relacji.

Literatura Wprowadzenie 1 J. Słupecki, L. Borkowski. Elementy logiki matematycznej i teorii zbiorów. PWN, 1969 2 J. Słupecki, K. Hałkowska, K. Piróg-Rzepecka, Logika i teoria mnogości, PWN, Warszawa 1994. 3 B. Stanosz. Wprowadzenie do logiki formalnej. PWN, 2006. 4 B. Stanosz. Ćwiczenia z logiki. PWN, 2005. 5 K. Ross, C. Wright. Discrete mathematics. Prentice Hall 2002.

Pojęcie logiki pragmatycznej Logika uchwytuje sposoby wnioskowania stosowane w naukach i uznawane za poprawne. Poczatki logiki sięgaja IV wieku p.n.e. (Arystoteles) Słowo pragmatyczna (z języka greckiego pragma - czyn) oznacza logikę jako narzędzie, którym posługujemy się w nauce.

Przykłady wnioskowania 1 Każdy kwadrat jest prostokatem. Figura A jest kwadratem. Wynika z tego, że figura A jest prostokatem. 2 Jeżeli się nauczę to zdam. Nie zdałem więc się nie nauczyłem. 3 Jeżeli się nauczę to zdam. Nie nauczyłem się więc nie zdam. 4 Każdy filozof jest madry. Nie jestem filozofem więc nie jestem madry. Które wnioskowania sa poprawne?

Klasyczny rachunek zdań Zdaniem logicznym nazywamy stwierdzenie, któremu można przypisać wartość prawda albo fałsz. Prawdę oznaczamy cyfra 1 a fałsz cyfra 0. Przykłady: 1 9 dzieli się przez 3. 2 Słońce kraży wokół Ziemi. 3 Która godzina? 4 Ten samochód jest drogi. Zdanie 1 jest prawdziwe, zdanie 2 jest fałszywe, a zdanie 3 nie jest zdaniem logicznym. Zdanie 4 zależy od określenia pojęcia drogi.

1 Zmienne zdaniowe p, q, r, s,... oznaczajace dowolne zdania logiczne. 2 Spójniki (funktory) zdaniowe: p nieprawda, że p (nie p) [negacja] p q p i q [koniunkcja] p q p lub q [alternatywa] p q jeżeli p to q (z p wynika q) [implikacja] p q p wtedy i tylko wtedy, gdy q [równoważność]

Formuły logiczne Wprowadzenie 1 Dowolna zmienna zdaniowa jest formuła logiczna. 2 Jeżeli φ i ψ sa formułami logicznymi, to formułami logicznymi sa również wyrażenia: 1 (φ), (ψ) 2 (φ) (ψ), (φ) (ψ), (φ) (ψ), (φ) (ψ) Przykłady formuł logicznych: p, q, p p q, p q (p q) (p q) ((p q) (p q)) p

Formuły logiczne Wprowadzenie Uwagi: 1 Należy starannie wstawiać nawiasy. Na przykład formuła p q r jest niejednoznaczna. Może oznaczać zarówno (p q) r jak i p (q r). 2 W wyrażeniu ( p) możemy opuścić nawiasy. Tak więc na przykład formuła (p q) (( p) r) jest równoważna (p q) ( p r).

Formuły logiczne Wprowadzenie Formuły logiczne formalizuja niektóre rozumowania wyrażone w języku, np. języku polskim. Przykład: Jeżeli uczyłem się, to zdam i jeżeli zdam, to będę szczęśliwy; wynika z tego, że jeżeli nie będę szczęśliwy to się nie uczyłem. p - uczyłem się. q - zdam. r - będę szczęśliwy. ((p q) (q r)) ( r p)

Formuły logiczne Wprowadzenie Formuła logiczna nie jest zdaniem logicznym. Zdanie logiczne otrzymamy podstawiajac pod zmienne zdaniowe konkretne zdania. Nazywamy to wartościowaniem formuły (lub interpretacja). Przykład: ((p q) q) p p - "3>2" q - "3>1" (((3 > 2) (3 > 1)) (3 > 1)) (3 > 2) Jaka jest wartość logiczna tego zdania?

Wartościowanie formuły Dla dowolnych zdań logicznych logicznych p i q: p p 1 0 0 1 p q p q p q p q p q 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

Wartościowanie formuły Określ wartość logiczna formuły: (p q) (r (p q)) dla wartościowania p = 1, q = 0 i r = 1. α β γ p q r q p q p q r β α γ 1 0 1 1 1 0 0 0 Formuła jest więc fałszywa dla tego wartościowania.

Formuła logiczna jest tautologia jeżeli jest prawdziwa dla każdego wartościowania zmiennych zdaniowych. Tautologie określaja poprawne (tautologiczne) schematy wnioskowania Przykład: prawo wyłaczonego środka p p. p p p 1 1 0 1 Tautologia jest zawsze prawdziwa niezależnie jakie zdania logiczne podstawimy pod zmienne zdaniowe.

Pokaż, że następujaca formuła jest tautologia: ((p q) q) p α β p q p q q α q p β p 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1

Pokaż, że następujaca formuła jest tautologia: ((p q) (q r)) ( r p) Formuła może być fałszywa tylko wtedy gdy ( r p) jest fałszywa, czyli tylko wtedy gdy r = 0 i p = 1. Zatem wystarczy tylko sprawdzić dwa przypadki (dla obu wartości q): α β γ δ p q r p q q r α β r p γ δ 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

Tautologie Wprowadzenie Wybrane tautologie rachunku zdań: T1. p p Prawo wyłaczonego środka T2. p p Prawo identyczności T3. ( p) p Prawo podwójnego przeczenia T4. (p q) ( q p) Prawo kontrapozycji T5. (p q) ( p q) Prawo definiowania implikacji T6. ((p q) r) (p (q r)) Prawo łaczności alternatywy T7. ((p q) r) (p (q r)) Prawo łaczności koniunkcji T8. ((p q) r) ((p r) (q r)) I prawo rozdzielności T9. ((p q) r) ((p r) (q r)) II prawo rozdzielności T10. (p q) ( p q) I prawo de Morgana T11. (p q) ( p q) II prawo de Morgana T12. (p q) ((p q) (q p)) Prawo zastępowania równ. T13. (p q) (q p) Prawo przemienności altern. T14. (p q) (q p) Prawo przemienności kon.

Wybrane tautologie Prawo podwójnego zaprzeczenia: ( p) p Jeżeli nie jest prawda, że nie zdam to zdam. Jeżeli zdam, to nie jest prawda, że nie zdam. W języku polskim to prawo nie jest respektowane. Rozpatrz zdanie: Tutaj nigdy nie pada deszcz. Logicznie oznacza to, że tutaj zawsze pada deszcz. Problem ten nie występuje w języku angielskim.

Wybrane tautologie Prawo kontrapozycji (p q) ( q p) Jeżeli nauczę się to zdam. Zatem, jeżeli nie zdałem to się nie nauczyłem. Uwaga: formuła (p q) ( p q) nie jest tautologia. Rozumowanie: jeżeli nauczę się to zdam, zatem jeżeli się nie nauczę to nie zdam, jest niepoprawne.

Wybrane tautologie Prawdo de Morgana: (p q) ( p q) Jeżeli nie jest prawda, że pójdę do kina lub do teatru, to nie pójdę to kina i nie pójdę to teatru.

Przekształcanie formuł W formułach zawierajacych koniunkcję (alternatywę) można opuszczać nawiasy i dowolnie zmieniać kolejność zmiennych. ((p q) r) (p ( q r)) (p q r) ( q p r) Jednak nie wolno tego zrobić z implikacja! nie jest równoważne formule (p q) r p (q r)

Przekształcanie formuł Jeżeli formuła φ jest tautologia, to podstawiajac pod zmienne zdaniowe w φ dowolne formuły otrzymamy nowa tautologię. Bierzemy tautologię: (p q) ( p q) i podstawiamy pod p formułę (p q) a pod q formułę (p q). Otrzymujemy nowa tautologię: ((p q) (p q)) ( (p q) (p q))

Przekształcanie formuł Tautologie pozwalaja czasami na uproszczenie formuły. ( r ( q p)) q (T11., T3.) (r ( q p)) q (T11., T3.) (r (q p)) q Opuszczanie nawiasów, przemienność p r q q (q q) q) p r q

Przekształcanie formuł Każda formułę można przedstawić w postaci równoważnej używajac jedynie alternatywy i negacji lub koniunkcji i negacji. p q (T12.) (p q) (q p) (T5.) ( p q) ( q p) (T10.) ( ( p q) ( q p))

Przekształcanie formuł Alternatywę zmiennych zdaniowych lub ich negacji nazywamy klauzula. Na przykład: (p q r) ( p q) (p q r s) Formuła jest w koniunkcyjnej postacji normalnej (KPN) jeżeli jest koniunkcja pewnej liczby klauzul. Na przykład: (p q r s) ( p q) (r s t) p q ( p q)

Przekształcanie formuł Każda formułę można zapisać w równoważnej koniunkcyjnej postaci normalnej. (p q) r (T5.) ( p q) r (T5.) ( p q) r (T10.,T3.) (p q) r (T9.) (p r) ( q r)

Przekształcanie formuł Formuła w koniunkcyjnej postaci normalnej jest tautologia wtedy i tylko wtedy gdy w każdej klauzuli występuje pewna zmienna zdaniowa i jej negacja. Przykład tautologii: (p q p) ( p q r q) ( s s) W koniunkcyjnej postaci normalnej łatwo rozstrzygnać czy formuła jest tautologia.