Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Ćwiczenie 3. Częstotliwości przestrzenne struktur okresowych Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska Gdańsk 2006
1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z obrazami dyfrakcyjnymi w polu dalekim struktur okresowych, a tym samym z dyskretną optyczną transformatą Fouriera. 2. Dyfrakcja w polu dalekim na strukturach okresowych W wypadku gdy obiektem jest struktura okresowa jej obraz dyfrakcyjny Fraunhofera równy jest dyskretnej transformacie Fouriera obiektu, podniesionej do kwadratu i uśrednionej w czasie. Strukturą okresową moŝe być na przykład układ równoległych linii na przemian przepuszczających i nieprzepuszczających światła, jak na rysunku 1. a) b) c) Rys.1. Układ równoległych linii naprzemian przepuszczających i nieprzepuszczających światła a), transformata Fouriera układu b) i jej obraz dyfrakcyjny Fraunhofera c). Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Strona 2
Struktura okresowa charakteryzuje się okresem przestrzennym a, rys.1. Transformata Fouriera struktury okresowej zawiera dyskretne wartości częstotliwości przestrzennych, określone równaniem siatki dyfrakcyjnej a sin θ = ± mλ (1) gdzie: a okresem siatki, m liczba całkowita, λ długość fali światła, θ kąt między osią optyczną układu a pierwszą częstotliwością widma struktury. Liczba m. w równaniu (1) określa rząd ugięcia siatki, a tym samym liczbę częstotliwości przestrzennych pojawiających się w jej transformacie Fouriera. Największą liczbę częstotliwości przestrzennych mają struktury okresowe binarne, to jest takie, które na przemian przepuszczają i nie przepuszczają światła. Najmniej częstotliwości przestrzennych (tylko dwie dla m = +1 i m = 1) zawartych jest w strukturach okresowych zmieniających się sinusoidalnie. Struktura z rys.1. jest okresowa tylko w kierunku osi y. Struktury mogą być okresowe w obu kierunkach osi współrzędnych x i y. Łatwo to uzyskać na przykład poprzez skrzyŝowanie dwóch siatek dyfrakcyjnych. Wówczas w płaszczyźnie transformaty Fouriera pojawiają się częstotliwości przestrzenne w dwu prostopadłych do siebie kierunkach. W ćwiczeniu studenci zapoznają się z dyskretnymi transformatami Fouriera róŝnych konfiguracji struktur okresowych, równieŝ o zmiennym okresie przestrzennym. 3. Zadania do wykonania 3.1. Elementy potrzebne do wykonania ćwiczenia przeźrocza nr 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 20, 21 Ćwiczenia naleŝy przeprowadzać w układzie optycznym z rys.2 Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Strona 3
Rys.2. Badanie transformaty Fouriera struktur okresowych. 3.2. Badanie transformaty Fouriera struktur okresowych 1. Zapoznać się z transformatą Fouriera przeźroczy nr 4, 5 i 6 (układ równoległych linii). Wiedząc, Ŝe okres przestrzenny a 4 przeźrocza nr 4 równy jest a 4 = 1 mm określić okres przestrzenny pozostałych przeźroczy. 2. Zapoznać się z transformatą Fouriera przeźroczy nr 7, 8, 9 (układ linii koncentrycznych). Wiedząc, Ŝe okres przestrzenny przeźrocza nr 7 wynosi a 7 = 1 mm, określić okres przestrzenny pozostałych przeźroczy. 3.. Zapoznać się z transformatą Fouriera przeźroczy nr 10, 11, 12 (układ siatki kwadratowej). Wiedząc, Ŝe okres przestrzenny przeźrocza nr 10 wynosi a 10 = 1 mm w obu kierunkach osi x i y, określić okres przestrzenny pozostałych przeźroczy. 4. Zaobserwować transformatę Foruriera następujących przeźroczy: nr 13 (linie koncentryczne o zmiennym okresie), nr 14 (linie radialne), nr 19 (linie radialne połówka), nr 20 (linie owalne o zmiennym okresie). 5. Przebadać transformatę Fouriera przeźroczy nr 21 (linie równoległe zmieniającym się okresie). Za pomocą odpowiednich przesłon wybierać części obiektu i obserwować wpływ tej czynności na transformatę Fouriera. 6. Zbudować układ filtru przestrzennego 4f poprzez dostawienie jeszcze jednej soczewki w celu otrzymania obrazu obiektu. Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Strona 4
Rys.3. Układ optyczny do obserwacji obrazu obiektu. Wybrać i przebadać przeźrocza nr 13, 14, 21 w następujący sposób: w układzie w rys.3. uzyskać na ekranie powiększony, bardzo ostry obraz obiektu, w płaszczyźnie transformaty Fouriera umieścić diafragmę, poprzez stopniowe zamykanie diafragmy odcinać górne częstotliwości przestrzenne obiektu. Określić wpływ tej czynności na obraz obiektu poprzez przesuwanie zamkniętej diafragmy (lub innego małego otworu) w róŝne miejsca transformaty Fouriera określić, które części transformaty odpowiedzialne są, za które części obrazu obiektu. Tę procedurę powtórzyć dla wszystkich trzech przeźroczy. Oznaczenia elementów optycznych na rysunkach: FP filtr przestrzenny, S k soczewka kolimująca, E ekran, O obiekt (przeźrocze), S F soczewka realizująca transformatę Fouriera, S o soczewka realizująca obraz obiektu, S p soczewka powiększająca obserwowany obraz. Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Strona 5