Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje 1.1.2 Podstawowe funktory logiczne 1.1.3 Wartościowanie formuł logicznych 1.1.4 Prawo rachunku zadań; tautologia 1.1.5 Reguła wnioskowania definicja i przykłady 1.1.6 Dowód formalny 1.1.7 Twierdzenie o podstawianiu Wykład 2 1.1.8 Definicja i twierdzenie o kwadracie logicznym 1.1.9 Metodologia dowodzenia twierdzeń matematycznych (i) dowód wprost (ii) dowód przez rozpatrzenie przypadków (iii) dowód a contrario (iv) dowód reductio ad absurdum 1.2 Rachunek predykatów 1.2.1 Definicja zmiennej i funkcji zdaniowej 1.2.2 Kwantyfikatory 1.2.3 Prawo rachunku predykatów; przykłady reguł wnioskowania 1.2.4 Przykład dowodu formuły z kwantyfikatorami 1
2 Wstęp do Teorii Mnogości 2.1 Aksjomatyka ZFC Podstawy 2.1.1 Aksjomat ekstensjonalności 2.1.2 Aksjomat zbioru pustego Wykład 3 2.1.3 Twierdzenie o jedyności zbioru pustego 2.1.4 Aksjomat pary 2.1.5 Aksjomat wyróżniania 2.1.6 Antynomia Russela 2.1.7 Aksjomat regularności 2.1.8 Aksjomat zbioru potęgowego 2.1.9 Aksjomat sumy; suma mnogościowa rodziny zbiorów 2.1.10 Definicja przekroju rodziny zbiorów Algebra zbiorów 2.1.11 Własności działań (sumy mnogościowej i przekroju) oraz inkluzji (i) Prawo przemienności (ii) Prawo łączności (iii) Idempotentność (iv) Prawo rozdzielności (v) Prawo absorbcji (vi) Prawo przeniesienia inkluzji 2.1.12 Twierdzenie o własnościach inkluzji 2.1.13 Diagramy Venna 2.1.14 Definicja różnicy mnogościowej zbiorów (vii) Prawa de Morgana Wykład 4 2
Zbiory nieskończone 2.1.15 Definicja rodziny rozłącznej i selektora 2.1.16 Aksjomat wyboru 2.1.17 Aksjomat zbioru nieskończonego 2.1.18 Konstrukcja liczb naturalnych (wg G.Peano) 2.1.19 Twierdzenie o Indukcji Matematycznej 2.1.20 Przykład dowodu indukcyjnego (G.Pólya) 2.1.21 Definicja i własności rodziny indeksowanej Wykład 5 Produkt kartezjański 2.1.22 Definicja pary uporządkowanej i iloczynu kartezjańskiego zbiorów 2.1.23 Definicja rzutu i przekroju podzbioru produktu kartezjańskiego 2.1.24 Własności rzutu i przekroju 2.1.25 Interpretacja geometryczna produktu kartezjańskiego 2.2 Relacje 2.2.1 Definicja relacji, relacji w zbiorze, relacji na zbiorze 2.2.2 Definicja relacji odwrotnej i złożenia relacji Wykład 6 2.2.3 Definicja (i) relacji przechodniej (ii) relacji zwrotnej (iii) relacji przeciwzwrotnej (iv) relacji symetrycznej (v) relacji przeciwsymetrycznej (vi) relacji antysymetrycznej 2.2.4 Własności relacji (wyrażone w języku algebry zbiorów) 3
2.3 Funkcje 2.3.1 Definicja; warunek konieczny dla funkcji 2.3.2 Funkcje charakterystyczne Wykład 7 2.3.3 Definicja pokrycia zbioru i rozbicia (partycji) zbioru 2.3.4 Twierdzenie o rozszerzaniu funkcji (z dowodem) 2.3.5 Dowód tego, że złożenie funkcji jest funkcją 2.3.6 Definicja iniekcji, surjekcji i bijekcji 2.3.7 Własności iniekcji, surjekcji, bijekcji i ich złożeń Dowód twierdzenia o własnościach 2.3.8 Przypomnienie własności obrazu i przeciwobrazu Aksjomat wyboru (raz jeszcze) definicja z selektorem definicja z funkcją wyboru dowód równoważności obu definicji 2.4 Teoria Mocy 2.4.1 Definicja równoliczności zbiorów 2.4.2 Przykład N N N Wykład 8 2.4.3 Przykład P(A) {0,1} A 2.4.4 Definicja A B (w dwóch wersjach: iniektywnej i surjektywnej) 2.4.5 Równoważność definicji A B przy założeniu AC 2.4.6 Twierdzenie Cantora 2.4.7 Lemat Banacha-Knastera (o punkcie stałym) 2.4.8 Twierdzenie Cantora-Bernsteina 2.4.9 Konstrukcja zbioru Cantora Wykład 9 4
2.5 Relacje równoważności 2.5.1 Definicja relacji równoważności 2.5.2 Definicja klasy abstrakcji 2.5.3 Własności klas abstrakcji Wykład 10 2.5.4 Zasada Abstrakcji 2.6 Relacje porządkujące 2.6.1 Definicja izomorfizmu i relacji izomorficznych 2.6.2 Definicja relacji porządkującej i porządku częściowego 2.6.3 Przykład: porządek leksykograficzny 2.6.4 Twierdzenie o izomorfizmie kanonicznym 2.6.5 Interpretacja geometryczna diagram Hassego 2.6.6 Definicja (i) elementu minimalnego (maksymalnego) (ii) elementu najmniejszego (największego) (iii) majoranty (minoranty) ograniczenia dolnego (górnego) (iv) infimum (supremum) kresu dolnego (górnego) 2.6.7 Definicja (i) łańcucha i antyłańcucha (ii) przedziału, przedziału początkowego (iii) porządku liniowego (iv) porządku dobrego 2.6.8 Twierdzenie o elementach wyróżnionych Wykład 11 2.7 Główne twierdzenie aksjomatyki ZFC 2.7.1 Twierdzenie Zermelo 2.7.2 Lemat Kuratowskiego-Zorna 2.7.3 Zasada Maksimum Hausdorffa (Maximum Principle) 2.7.4 przypomnienie Aksjomatu Wyboru AC 2.7.5 Twierdzenie o równoważności LMP KZ TZ AC 5
(i) dowód MP LKZ (ii) dowód LKZ TZ Wykład 12 (iii) dowód TZ AC (iv) lemat o f-wieży Wykład 14 (v) dowód AC MP 2.7.6 zastosowanie LKZ do dowodu twierdzenia o istnieniu bazy 2.7.7 dowód LKZ MP??? 6