GÓRNICTWO I GEOLOGIA 2011 Tom 6 Zeszyt 3 Armin LOHRENGEL, Wojciech KRAMARCZYK, Radosław KRUK Institut Maschinnenwesen, Technische Universität Clausthal, Niemcy Krzysztof TWARDOCH, Andrzej WIECZOREK Politechnika Śląska, Gliwice MODELOWANIE ZJAWISK DYNAMICZNYCH W PRZEKŁADNIACH ZĘBATYCH, Z WYKORZYSTANIEM METODY ELEMENTÓW SZTYWNYCH Streszczenie. W niniejszym artykule przedstawiono przykładowe obliczenia drgań wybranych elementów przekładni zębatych za pomocą metody sztywnych elementów skończonych, które realizowano za pomocą oprogramowań SIMPACK i MSC/ADAMS. MODELLING DYNAMIC PHENOMENA IN GEAR TRANSMISSIONS USING THE RIGID ELEMENT METHOD Summary. This paper presents sample calculations of vibrations of selected elements of gear transmissions, which were performed using the rigid finite element method in SIMPACK and MSC/ADAMS software. 1. Wprowadzenie Rosnąca konkurencja pomiędzy producentami powoduje ograniczenie czasu potrzebnego na fazę projektową wytworzenia produktu. Rozwój produktu można uzyskać przez zastosowanie [9] następujących metod: analitycznej; dzięki tej metodzie możliwe jest zaoszczędzenie czasu i kosztów związanych z wytworzeniem produktu, jednak brak porównania wyników z wynikami rzeczywistymi da nam tylko przybliżone zachowanie się modelu, eksperymentalnej; wykonanie takich badań wiąże się ze zbudowaniem prototypu, na którym zostaną wykonane pomiary. Z tego powodu potrzebny jest duży nakład pieniędzy
116 A. Lohrengel, W. Kramarczyk, R. Kruk, K. Twardoch, A. Wieczorek oraz czasu potrzebnego na przeprowadzenie odpowiednich badań. Wyniki pomiarów są dokładne, gdyż obrazują nam rzeczywiste zachowanie się modelu. hybrydowej; łączy ona zalety obu powyższych metod. Jest to połączenie pierwszej i drugiej metody, dzięki której możemy ograniczyć koszty i czas trwania pomiarów związane jest to z ograniczeniem liczby potrzebnych prototypów przy równoczesnej możliwości otrzymania wyników obliczeń zbliżonych do rzeczywistych (poprawność modelu numerycznego może zostać zweryfikowana względem modelu rzeczywistego). Wiele zjawisk fizycznych opisanych jest w postaci równań różniczkowych. Równania te można rozwiązywać analitycznie, ale ze względu na to, iż może występować duża liczba skomplikowanych równań, trudnych do rozwiązania (np. równania cząstkowe nieliniowe), wykorzystuje się rożnego rodzaju metody numeryczne, które w sposób przybliżony mogą znaleźć szukane rozwiązanie. Obecnie, wraz z rozwojem techniki, powszechnym narzędziem staje się komputer, który za pomocą odpowiedniego oprogramowania umożliwia uzyskanie rozwiązań numerycznych równań opisujących matematycznie sformułowany problem inżynierski. Schemat otrzymywania rozwiązań metodami numerycznymi przedstawiono na rys. 1. Podstawowymi metodami obliczeniowymi [3, 9], oprócz obliczeń analitycznych, wykorzystywanymi w inżynierskich programach obliczeniowych, są: metoda elementów skończonych, metoda sztywnych elementów skończonych, metoda różnic skończonych, metoda objętości skończonych, metoda elementów, metoda całkowania numerycznego. W dużym uproszczeniu metody te polegają na stworzeniu elementu bryłowego, odwzorowującego rzeczywisty obiekt, podziale rozpatrywanego obszaru ciągłego na skończoną liczbę podobszarów (tworzenie siatki), a następnie na poszukiwaniu i znalezieniu rozwiązania przybliżonego w podobszarach. Poprawnie zbudowany model umożliwia dokładne zbadanie własności mechanicznych oraz dynamicznych przy niewielkim nakładzie finansowym, co umożliwia przygotowanie większej liczby rozwiązań konstrukcyjnych, ich ocenę, a następnie budowę finalnego rozwiązania. Ta zaleta ma szczególne znaczenie dla przemysłu, bo daje interesujące narzędzie dla inżyniera.
Modelowanie zjawisk dynamicznych w przekładniach... 117 Rys. 1. Schemat otrzymywania rozwiązań metodami numerycznymi [3] Fig. 1. Diagram showing how solutions are obtained with the use of numerical methods [3] 2. Modelowanie przekładni zębatych W badaniach teoretycznych zjawisk dynamicznych, zachodzących w przekładniach zębatych [7], przekładnie traktowano jako: A. Obiekt stanowiący składową część modelu układu napędowego maszyny roboczej (rys. 2), który w znacznym uproszczeniu traktuje wpływ parametrów przekładni na stan dynamiczny układu napędowego przez linearyzację charakterystyk tłumienia oraz sprężystości wałów oraz pominięcie wpływu zmienności parametrów opisujących zjawiska dynamiczne zachodzące w zazębieniu. B. Obiekt odizolowany od wpływu maszyny roboczej (rys. 3), o dokładnie modelowanych własnościach zazębienia przez założenie nieliniowości charakterystyk tłumienia oraz sztywności, a także uwzględnienie wpływu luzu normalnego na stan dynamiczny przekładni.
118 A. Lohrengel, W. Kramarczyk, R. Kruk, K. Twardoch, A. Wieczorek Rys. 2. Model fizyczny przenośnika zgrzebłowego z pojedynczymi napędami głównym i pomocniczym [2] Fig. 2. Physical model of an armoured face conveyor with a single primary drive and a secondary drive [2] W pierwszej grupie modeli zjawiska dynamiczne zachodzące w przekładni zębatej nie są istotne z punktu widzenia całej maszyny roboczej i w czasie syntezy modelu dynamicznego dokonuje się ich świadomego pominięcia. Przekładnia zębata, jako obiekt dynamiczny, odwzorowywana jest za pomocą zredukowanych momentów bezwładności, zredukowanych tłumień oraz zredukowanych sztywności wałów. Oczywiste jest zatem, że modele przekładni zębatych z tej grupy nie nadają się do badań, których celem jest wyznaczenie przebiegów czasowych siły międzyzębnej. Do drugiej grupy można zaliczyć modele przekładni zębatych o jednym lub wielu stopniach swobody. Modele te mogą znacząco różnić się zarówno pod względem liczby stopni swobody układu, jak i rodzajem charakterystyk, jednakże badacze uzyskują podobne wyniki badań symulacyjnych przy odmiennych założeniach modelowych. Fakt ten uzależniony jest od względnych własności dynamicznych systemu. Rozpatrując wzajemne relacje pomiędzy wartościami sztywności skrętnych i giętnych wałów oraz wartościami sztywności zazębienia, można znaleźć proporcje, dla których mod zazębienia jest rozprzęgany z innymi modami oscylacyjnymi. Wystarczającą dokładność wyników uzyskuje się, badając model o jednym stopniu swobody. W tym przypadku wykorzystywanie modelu o wielu stopniach swobody nie poprawiłoby znacząco dokładności wyników, a jedynie zostałby wydłużony czas obliczeń.
Modelowanie zjawisk dynamicznych w przekładniach... 119 Rys. 3. Typowe modele nominalne wyizolowanych przekładni zębatych: a) model przekładni zębatej Boscha i Borlingera [1], b) model palisadowy Müllera [7], c) model przekładni stożkowej o wielu stopniach swobody [10], d) model przekładni planetarnej przekrój wzdłużny [6], e) model przekładni planetarnej przekrój czołowy [6] Fig. 3. Typical nominal models of the selected gear transmissions: a) Bosh s and Borlinger s model of a transmission gear [1], b) Müller's palisade model [7], c) model of a bevel gear transmission with many degrees of freedom [10], d) model of a planetary transmission longitudinal section [6], e) model of a planetary transmission frontal section [6]
120 A. Lohrengel, W. Kramarczyk, R. Kruk, K. Twardoch, A. Wieczorek Natomiast, gdy własności dynamiczne układu powodują silne sprzężenie modu zazębienia z pozostałymi modami, korzystanie z modelu o jednym stopniu swobody nie pozwoli na uzyskanie wyników odpowiadających zjawiskom zachodzącym w obiekcie rzeczywistym. Oprócz liczby stopni swobody decydujące znaczenie o jakości modelu ma fakt uwzględnienia nieliniowości charakterystyk tłumienia czy sprężystości, błędów wykonania oraz zmienności w czasie wymienionych parametrów. Decydującą rolę w wyborze struktury i własności modelu odgrywa zatem cel prowadzonych badań. 3. Zakres pracy W niniejszym artykule przedstawiono przykładowe obliczenia wartości amplitudy drgań wybranych elementów przekładni zębatych za pomocą metody sztywnych elementów skończonych, które realizowano przy wykorzystaniu oprogramowań SIMPACK [8] i MSC/ADAMS. 4. Modelowanie przekładni zębatej z wykorzystaniem metody sztywnych elementów skończonych Metoda sztywnych elementów skończonych nie jest nową metodą i obecnie jest szeroko stosowana w modelowaniu dynamiki konstrukcji, zarówno w ośrodkach badawczych, jak i w przemyśle, szczególnie samochodowym oraz kolejowym. Opiera się ona na modelu obliczeniowym zbudowanym z nieodkształcalnych brył, zwanych sztywnymi elementami skończonymi, elementów spreżysto-tłumiących oraz definiowalnych warunków brzegowych, takich jak zewnętrzne siły czy przemieszczenia. Bryły mogą być łączone ze sobą w sposób dowolny. Ważny dla tego modelu jest fakt, że elementy te są scharakteryzowane następującymi wielkościami: masą, masowym momentem bezwładności oraz środkiem ciężkości, a element łączący współczynnikami sztywności oraz tłumienia. Elementy łączące traktuje się jako bezmasowe elementy układu. Dodatkowo model zawiera układy odniesienia oraz główne centralne osie bezwładności. Istotne dla modelowania układu są również stopnie swobody bryły oraz obciążenia, miejsce ich przyłożenia i charakter.
Modelowanie zjawisk dynamicznych w przekładniach... 121 Wymienione dane pozwalają na zbudowanie układu równań opisujących badany układ, których rozwiązanie dostarczy szukanych informacji. Szczegółowy sposób rozwiązywania równań w tej metodzie został przedstawiony w pracach [4, 5, 11]. Budowanie równań stanu dla rzeczywistych układów jest trudnym zadaniem. W związku z zaletami i możliwościami tej metody, rozwinięto sposób modelowania tak, że nie jest konieczne bezpośrednie budowanie macierzowych układów równań w sposób tradycyjny, tylko przez wykorzystanie technik CAD możliwe jest bezpośrednie przeniesienie modeli brył, wraz z ich właściwościami, do środowiska obliczeniowego SES. Następnym krokiem jest definicja stopni swobody każdej z bryły wraz odpowiednim rodzajem ruchu (translacja, rotacja). Chcąc stworzyć mechanizm, należy wprowadzić elementy łączące. Kolejnym etapem jest zadanie obciążeń dla modelowanego układu. Do analizy potrzebne są, ze względu na mechaniczne zależności, również miejsca przyłożenia obciążeń, które do poprawnego jej przeprowadzenia muszą zostać wiernie zamodelowane. Tak zamodelowany układ jest następnie przekształcany w matrycowy układ równań stanu, który następnie jest obliczany. Zazwyczaj czas obliczeń w metodzie SES jest zdecydowanie krótszy niż czas obliczenia podobnego modelu przy wykorzystaniu metody MES, co pozwala na szybką optymalizację i zmianę modelu w razie niezadowalających wyników. Jako wynik obliczeń otrzymuje się odpowiednie przebiegi sił lub momentów w wybranych punktach układu. Mogą to być bryły, węzły lub miejsca wyznaczone, w których pomiar w warunkach rzeczywistych jest utrudniony lub wręcz niemożliwy ze względów technicznych. Otrzymane wyniki można porównać z rzeczywistymi pomiarami badanego układu w celu sprawdzenia zgodności z zasymulowanym modelem. Przy wykorzystaniu oprogramowania realizującego metodę SES możliwa jest symulacja przebiegów dla zadanych warunków początkowych takich wielkości, jak przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie (translacyjne, rotacyjne) oraz siły i momenty w zdefiniowanych punktach. Przy wykorzystaniu oprogramowania SES możliwe jest przedstawienie rozwiązania jako animację ruchu modelowanych brył celem kontroli poprawności założeń symulacyjnych. Jak wspomniano wcześniej, modelowanie zjawisk dynamicznych w przekładniach zębatych stanowi istotny problem inżynierski, szczególnie w przypadku dokładnego uwzględnienia wszystkich czynników wpływających na to zjawisko. Pierwszym etapem jest stworzenie za pomocą programu typu CAD wirtualnej reprezentacji obiektów (brył): koło napędzające, koło napędzane, wał koła napędzającego, wał koła napędzanego. Parametry geometryczne kół przekładni zestawiono w tablicy 1.
122 A. Lohrengel, W. Kramarczyk, R. Kruk, K. Twardoch, A. Wieczorek W skład modelowanej przekładni wchodzą, oprócz kół zębatych, dwa wały o średnicach równych 50 mm i długości l=100 mm. Dane kół zębatych poddanych analizie numerycznej Koło napędzające Koło napędzane Zarys i rodzaj zęba Ewolwentowy, proste Ilość zębów 26 27 Moduł 4 [mm] 4 [mm] Średnica wierzchołkowa 112 [mm] 116 [mm] Średnica stóp 94 [mm] 98 [mm] Szerokość zęba 10 [mm] 10 [mm] Tablica 1 Rysunek 4 przestawia schematyczny model zaimplementowanej przekładni. Poza elementami brył sztywnych wykorzystano w tej symulacji węzeł kinematyczny łączący oba koła. Element ten pochodzi ze standardowej biblioteki systemu SES. Wszystkie bryły umieszczone w modelu mają jeden stopień swobody wokół osi obrotu. Koła obciążane są momentem o przebiegu sinusoidalnym. Chcąc zapobiec rozpędzaniu się elementów przekładni i zbliżyć model do rzeczywistych warunków pracy, na końcu wału napędzanego przyłożony jest dodatkowy, stały moment obciążający, równy 10 Nm. Rys. 4. Schematyczne przedstawienie modelu SES rozpatrywanej przekładni Fig. 4. Schematic representation of the SES model of the examined gear transmission 5. Prezentacja wyników symulacji Przedstawiony w poprzednim rozdziale prosty model przekładni zębatej został zasymulowany w środowisku SIMPACK. Ogromna ilość przebiegów rożnych parametrów wygenerowanych w zdefiniowanych punktach modelu zmusza do prezentacji jedynie
Modelowanie zjawisk dynamicznych w przekładniach... 123 wybranych charakterystyk. Na rysunku 5 zostały zaprezentowane przebiegi sił w wybranych węzłach modelu. Na podstawie tych przebiegów możliwe jest uzyskanie informacji potrzebnych w dalszych etapach projektowania przekładni związanych, np. z doborem łożysk. Siły na kierunku z, który jest również kierunkiem działania momentu obrotowego, przyjmują wartości stałe, zależne od węzła, w którym są wyznaczane. Obok przebiegów sił zostały wyznaczone również momenty działające w układzie (te przebiegi przedstawia rys. 6). Jak można zauważyć na powyższym rysunku, moment na wale wyjściowym osiąga wartość momentu wejściowego dopiero po pewnym czasie. Rysunek 6 przedstawia przebieg przyspieszenia kątowego dla węzłów umieszczonych na kołach przekładni. W tych charakterystykach możliwe jest wyszczególnienie stanu nieustalonego w początkowej fazie, którą można traktować jako rozruchową, oraz fazę, w której drgania mają charakter ustalony. Przedstawione przyspieszenie w węźle zębnika jest odpowiedzią układu na wymuszenia pochodzące od obciążenia. Rys. 5. Przebiegi sił występujące w węzłach modelu przekładni: 1 siła wypadkowa wyznaczona w węźle obudowy koła 1; 2 siła na kierunku osi z, wyznaczona w węźle obudowy koła 1; 3 siła na kierunku osi x, wyznaczona w węźle obudowy koła 1; 4 siła na kierunku osi y, wyznaczona w węźle obudowy koła 1; 5 siła wypadkowa wyznaczona w węźle obudowy koła 2; 6 siła na kierunku osi z, wyznaczona w węźle obudowy koła 2; 7 siła na kierunku osi x, wyznaczona w węźle obudowy koła 2; 8 siła na kierunku osi y, wyznaczona w węźle obudowy koła 1. Siła nieoznaczona została obliczona w węźle wału napędowego Fig. 5. Courses of the forces occurring at the nodes of the model of the gear transmission; designations: 1 the resultant force determined at the node of the housing of the gear wheel 1; 2 the force in the direction of the z axis, determined at the node of the housing of the gear wheel 1; 3 the force in the direction of the x axis, determined at the node of the housing of the gear wheel 1; 4 the force in the direction of the y axis, determined at the node of the housing of the gear wheel 1; 5 the resultant force, determined at the node of the housing of the gear wheel 2; 6 the force in the direction of the z axis, determined at the node of the housing of the gear wheel 2, 7 the force in the direction of the x axis, determined at the node of the housing of the gear wheel 2; 8 the force in the direction of the y axis, determined at the node of the housing of the gear wheel 1. The force without designation was calculated at the node of the drive shaft
124 A. Lohrengel, W. Kramarczyk, R. Kruk, K. Twardoch, A. Wieczorek Rys. 6. Przebiegi momentów dla wybranych węzłów modelu przekładni zębatej: 1 maksymalny moment występujący między punktem przyłożenia momentu, reakcjami przekładni i siłami w obudowie, 2 moment obciążający przyłożony na wał 1, 3 moment na wale wyjściowym, 4 moment na kole napędzanym, 5 i 6 - momenty wyznaczone w węźle obudowy przekładni Fig. 6. Courses of the moments for selected nodes of the gear transmission model; designations: 1 the maximum moment occurring between the point of application of the moment, the reaction forces of the gear transmission, and the forces in the housing; 2 the loading moment applied to the shaft 1; 3 the moment on the output shaft; 4 the moment on the driven gear wheel; 5 and 6 the moments at the node of the gear transmission housing 125 100 75 Przyspieszenie katowe wokol osi Z [rad/s^2] 50 25 0-25 -50-75 0 2 4 6 8 10 czas [s] Rys. 7. Przyspieszenie kątowe wyznaczone dla zębnika rozpatrywanej przekładni Fig. 7. Angular acceleration determined for the pinion of the examined gear transmission
Modelowanie zjawisk dynamicznych w przekładniach... 125 6. Podsumowanie Przedstawiony sposób modelowania może być stosowany przy wspomaganiu prac konstrukcyjnych, a prezentowane wyniki nie wyczerpują wszystkich możliwości tej metody. Przedstawione wyniki należy traktować jako wstępne. Przy obecnym stanie techniki możliwe jest sprzężenie wyników pomiarów sił, momentów, przyspieszeń, przemieszczeń oraz prędkości wykonanych na rzeczywistych obiektach, takich jak przekładnie zębate, wprowadzenie tych danych jako funkcje wejściowe do modelu SES (metoda hybrydowa). Taki sposób modelowania przekładni jest dalszym planowanym etapem badań. BIBLIOGRAFIA 1. Bosch M.: Das dynamische Verhalten von Stirnradgetriebe unter besonderer Berücksictung deg Verzahnungsgenauigkeit. Industrie-Anzeiger, Teil 1, No. 102, 1965; Teil 2, No. 88, 1966. 2. Dolipski M.: Dynamika przenośników łańcuchowych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1997. 3. Kmiotek M.: Przegląd solverów numerycznych stosowanych w mechanice obliczeniowej. Scientific Bulletin of Chełm Section of Mathematics and Computer Science, No. 1, 2008. 4. Krings W., Waller H.: Matrizenmethoden in der Maschinen- und Bauwerksdynamik. Bibliographisches Institut AG, Zürich 1975. 5. Kruszewski J., Sawiak S., Wittbrodt E.: Metoda sztywnych elementów skończonych w dynamice konstrukcji. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999. 6. Lamparski Ch.: Einfache Berechnungsleichungen für Lastüberhöhungen in Leichtbau- Planetengetrieben. Ruhr-Universität Bochum, Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik, Nr. 95.3 (praca doktorska). 7. Müller L.: Nowy model dynamiczny przekładni walcowej o zębach prostych. Przegląd Mechaniczny, nr 21, 1974. 8. SIMPACK Reference. INTEC GmbH, Wessling 2007. 9. Skibicki D., Nowicki K.: Metody numeryczne w budowie maszyn. WUATR, Bydgoszcz 2006. 10. Skoć A.: Dynamika przekładni zębatych stożkowych maszyn górniczych. Praca habilitacyjna. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, s. Górnictwo, z. 226, Gliwice 1996. 11. Vöth, S.: Dynamik schwingungsfähiger Systeme. Von der Modellbildung bis zur Betriebsfestigkeitsrechnung mit MATLAB/SIMULINK. Vieweg, Wiesbaden 2006. Recenzent: Prof. dr hab. inż. Tomasz Węgrzyn
126 A. Lohrengel, W. Kramarczyk, R. Kruk, K. Twardoch, A. Wieczorek Abstract This paper presents sample calculations of vibrations of selected elements of gear transmissions, which were performed using the rigid finite element method in SIMPACK and MSC/ADAMS software.