Politechnika Warszawska Instytut Radioelektroniki Zakład Radiokomunikacji SUDIA MAGISERSKIE DZIENNE LABORAORIUM SYGNAŁÓW, SYSEMÓW I MODULACJI Filtracja cyfrowa v.1. Opracowanie: dr inż. Wojciech Kazubski, dr inż. Kajetana Snopek Warszawa, maj 211
1. Wstęp 1.1. Cel ćwiczenia Utrwalenie pojęć związanych z analizą układów z czasem dyskretnym. Zapoznanie się z technikami ich przetwarzania (np. filtracji) sygnałów z czasem dyskretnym, w tym sygnałów cyfrowych. Ilustracja podobieństw i różnic w przetwarzaniu sygnałów z czasem ciągłym i z czasem dyskretnym. 1.2. Podstawy teoretyczne 1.2.1. Pojęcie systemu czasu dyskretnego. Wymuszenie i odpowiedź systemu Sygnałem czasu dyskretnego (sygnałem dyskretnym lub cyfrowym) nazywamy sygnał określony na ciągu dyskretnych chwil czasu t = ns, gdzie s jest okresem próbkowania a n jest liczbą całkowitą (numerem próbki). Dla pozostałych chwil czasu (t ns) sygnał nie jest określony. Spośród sygnałów czasu dyskretnego można wyróżnić sygnały analogowe z czasem dyskretnym, w których skwantowany jest jedynie czas natomiast wartości sygnału mogą być liczbami rzeczywistymi, oraz sygnały cyfrowe, skwantowane zarówno w dziedzinie czasu jak i wartości. Sygnał czasu dyskretnego może być zapisany jako ciąg liczb, odpowiednio rzeczywistych jeśli jest to sygnał analogowy lub całkowitych jeśli jest to sygnał cyfrowy. Fizycznym przykładem realizacji analogowego sygnału z czasem dyskretnym jest sygnał na wyjściu układu próbkującego sygnał analogowy i zapamiętujący jego wartość (układ próbkująco-pamiętający). Różnica w stosunku do teoretycznego modelu sygnału polega na tym, że wartość każdej próbki jest dostępna na wyjściu aż do chwili pobrania następnej jednak pod względem przenoszonej informacji sygnały te są identyczne (pomiędzy momentami próbkowania napięcie na wyjściu układu próbkująco-pamiętającego nie zmienia się). Jeśli analogowy sygnał z czasem dyskretnym sygnał zostanie przetworzony w przetworniku analogowo-cyfrowym to zmienia się on w sygnał cyfrowy. Może on być określony na tych samych chwilach czasowych co sygnał wejściowy lecz będzie już mogły przyjmować tylko określone wartości, zależnie od rozdzielczości przetwornika. Wiąże się z tym powstanie błędu kwantyzacji, jest on tym niższy im większa jest rozdzielczość przetwornika. Układem czasu dyskretnego (układem dyskretnym) nazywamy taki system, w którym dyskretny sygnał wejściowy x[n], zwany pobudzeniem (wymuszeniem), powoduje powstanie również dyskretnego sygnału wyjściowego y[n], nazywanego odpowiedzią systemu. Relacja pomiędzy sygnałem wejściowym i wyjściowym, nazywana relacją wejście-wyjście, będzie zapisywana symbolicznie w postaci: x [n] y [ n].
Do analizy działania układu z czasem dyskretnym wykorzystuje sie zazwyczaj dwa typy pobudzeń: impulsem jednostkowym (impulsowe) i skokiem jednostkowym (skokowe). Odpowiedzią impulsową h[n] systemu czasu dyskretnego nazywamy odpowiedź na pobudzenie impulsem jednostkowym (deltą Kroneckera) d[n], tzn. δ[n] y [n]. Odpowiedzią skokową k[n] systemu czasu dyskretnego nazywamy odpowiedź na pobudzenie dyskretnym skokiem jednostkowym 1[n]: 1[n] y [n]. Przy założeniu liniowości i stacjonarności systemu (tzw. systemy LS) [1], [2] relacja pomiędzy odpowiedzią impulsową i jednostkową ma postać: h [ n ] = k [ n ] k [ n 1]. (1) W systemie LS czasu dyskretnego odpowiedź y[n] na dowolne pobudzenie x[n] jest splotem dyskretnym odpowiedzi impulsowej h[n] z tym pobudzeniem: y [n] = x [n ] h [n] = x [k ]h[k n] = k= h[k ]x [k n]. k= (2) Dla systemów przyczynowych relacja (2) ma postać: y [n] = x [n ] h [n] = x [k ]h[k n] k= = h[k ] x [k n]. (3) k= Z zasady superpozycji systemu (addytywność i jednorodność) wynika, że odpowiedź systemu czasu dyskretnego jest sumą odpowiedzi przy zerowych warunkach początkowych (tzw. odpowiedź wymuszona) i odpowiedzi przy zerowym wymuszeniu (tzw. odpowiedź swobodna). 1.2.2. Równanie wejście-wyjście Przy założeniu warunków początkowych: y[n], y[n-1],..., y[n-m+1], relacja wejściewyjście ma postać równania różnicowego zwyczajnego o stałych współczynnikach m l y [n] = ai y [n i]+ b j x [n j] i=1 j=, n n (4). Jeżeli chociaż jeden ze współczynników ai jest niezerowy, to równanie (4) opisuje relację wejście-wyjście dla filtru cyfrowego rekursywnego. Jeżeli a1 =... = am =, to mamy do czynienia z filtrem cyfrowym nierekursywnym. Jeżeli x[n] = d[n], to równanie (4) ma postać: m l h[n] = ai h[n i]+ b j δ [n j], i=1 n (5) j= Jak widać, jeżeli a1 =... = am =, to odpowiedź impulsowa (5) jest skończona i taki filtr cyfrowy (nierekursywny) nazywany jest filtrem SOI o Skończonej Odpowiedzi Impulsowej. Jeżeli chociaż jeden ze współczynników ai jest niezerowy to odpowiedź impulsowa (5) jest nieskończona i wtedy filtr cyfrowy (rekursywny) nazywany jest filtrem NOI o Nieskończonej Odpowiedzi Impulsowej. W literaturze polskiej angielskojęzycznej, a także niekiedy w polskiej, można spotkać inne oznaczenia dla filtrów SOI i NOI, mianowicie odpowiednio FIR (z ang. Finite Impulse Response) i IIR (z ang. Infinite Impulse Response).
1.2.3. Schematy blokowe i realizacje bezpośrednie typu I i II Układ cyfrowe i jego elementy są przedstawiane za pomocą schematów blokowych zawierających takie elementy, jak: element opóźniający (tzw. pamięć stanu), układ mnożący, węzeł sumacyjny (sumator), węzeł rozgałęziający. Równanie (4) może być rozpisane w postaci: (6) y [n]+a y [n]+...+a y [n m] = b x [n ]+b x [n]+...+b x [n l] 1 m 1 m i sprowadzone do postaci układu równań: { w [n ] = b x [n]+b1 x [n]+...+bl y [n l] y [n ] = w [n] a1 y [n]... a m y [n m] } (7) Rys. 1a przedstawia schemat blokowy filtru opisanego równaniami (7) w tzw. postaci bezpośredniej typu I, natomiast Rys. 1b w postaci bezpośredniej typu II. Jak widać, w postaci bezpośredniej II nastąpiła redukcja liczby bloków opóźniających. x[n] b w[n] y[n] b1 -a1 b2 -a2 bl -am a)
w[n] x[n] y[n] b -a1 b1 -a2 b2 -am bm bl b) Rys. 1 Schematy blokowe systemów czasu dyskretnego: a) postać bezpośrednia typu I, b) postać bezpośrednia typu II przy założeniu l > m 1.2.4. ransmitancja systemu. Zera i bieguny ransmitancją przyczynowego systemu czasu dyskretnego nazywamy stosunek transformaty Z odpowiedzi wymuszonej do transformaty Z pobudzenia, tzn.: H ( z) = Y ( z) X ( z) (8) zerowe warunki poczatkowe Uwaga: w analizie systemów czasu dyskretnego z uwagi na pobudzenie przyczynowe (x[n] = dla każdego n < ) posługujemy się jednostronnym przekształceniem Z. ransmitancją H(z) jest również transformatą Z odpowiedzi impulsowej: Z (9) h[n] H ( z). ransmitancja filtru SOI wyrażona jest wzorem:, (1) b +b z +...+bl z. H (z ) = 1 m 1+a1 z +...+a m z (11) l l H (z ) = b +b1 z +...+bl z natomiast dla filtru NOI mamy
Z układu NOI o transmitancji danej wzorem (11) łatwo można otrzymać w nieco sztuczny sposób, system SOI poprzez odrzucenie mało znaczących wartości próbek odpowiedzi impulsowej. Przyjmując, że transmitancja systemu NOI dana jest ogólnym wzorem (por. (9)): H (z) = h[n] z n (12) n= oznaczmy transmitancję systemu SOI, powstałego przez odrzucenie próbek h[n] dla n>n, jako N H N ( z) = h[n] z n. (13) n= W ćwiczeniu laboratoryjnym porównywać będziemy charakterystyki czasowe i częstotliwościowe filtrów o transmitancjach (12) i (13) przyjmując N=1. Y (z ) X ( z), to zerami transmitancji nazywamy pierwiastki wielomianu licznika Y(z), natomiast biegunami - pierwiastki mianownika X(z). Jeżeli ponadto lim H ( z) =, to mówimy, że Jeżeli transmitancję systemu przedstawimy w postaci funkcji wymiernej H (z ) = z funkcja H(z) posiada zero w nieskończoności. W przypadku gdy lim H ( z) =, to funkcja z H(z) posiada biegun w nieskończoności. Ponieważ współczynniki bi w transmitancji filtru SOI w równaniu (1) bądź w liczniku transmitancji filtru NOI określonej równaniem (11) są liczbami rzeczywistymi to zera transmitancji będą liczbami rzeczywistymi lub będą tworzyć pary sprzężonych liczb zespolonych. Jeśli występuje zespolone zero transmitancji w punkcie z1 = r1ejθ to wystąpi również zero w punkcie z2 = z1*= r1e-jθ. Analogiczna zależność dotyczy biegunów charakterystyki transmitancji filtru NOI. Badany w części pomiarowej filtr NOI pierwszego rzędu opisany transmitancją: H (z) = b 1+a1 (14) ma pojedynczy biegun rzeczywisty położony w punkcie -a1. Filtr NOI drugiego rzędu, nazywany też sekcją bikwadratową opisany równaniem: H (z ) = b+b 1 z+b 2 z 2 1+a1 z +a2 z 2 (15) ma dwa bieguny rzeczywiste z1 i z2 i można jego transmitancję przekształcić do postaci: 2 b +b1 z +b2 z H (z) = (1 z 1 z )(1 z 2 z ) lub parę biegunów sprzężonych: (16)
b+b1 z +b 2 z 2 H (z ) = (1 z 1 z )(1 z 1 z) (17) Analogiczny rozkład można zastosować też w przypadku zer transmitancji. Położenie zer i biegunów transmitancji w płaszczyźnie zmiennej zespolonej określa takie cechy systemu, jak stabilność i minimalnofazowość. Przykładowo, jeśli wszystkie bieguny znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego (ri < 1) to układ jest stabilny. 1.2.5. Charakterystyki częstotliwościowe Amplitudowo-fazową charakterystyką częstotliwościową systemu czasu dyskretnego nazywamy okresową funkcję pulsacji unormowanej Ω = ω s (s okres próbkowania) o okresie równym 2p daną wzorem: H ( e jω ) = H ( z ) z = e jω. (18) Moduł funkcji H (e j Ω ) definiuje charakterystykę amplitudową, natomiast jej argument charakterystykę fazową. Mamy więc jω jω j arg H (e H ( e ) = H ( e ) e jω ) (19) Najczęściej wykresy charakterystyk częstotliwościowych przedstawia się jako funkcje określone na przedziale Ω [ π, π ]. Przedział ten jest wystarczający, gdyż są to funkcje okresowe (efekt stroboskopowy). Ich znajomość pozwala wyznaczyć odpowiedź systemu na pobudzenie harmoniczne. Mamy następujące relacje wejście-wyjście : e j Ω n H (e j Ω ) e jω n, (2) cos (Ω n) R e { H ( e j Ω ) e j Ω n }= A(Ω ) cos [ Ω n+φ (Ω )], (21) ) e j Ω n }= A (Ω)sin [ Ω n+φ (Ω) ]. (22) sin(ω n) I m { H ( e jω
2. Wykonywanie ćwiczenia W ćwiczeniu Filtracja cyfrowa badane są sygnały dyskretne symulowane na komputerze PC w środowisku programu LabView przy wykorzystaniu odpowiedniegio zestawu programów. Programy te generują wybrane sygnały z czasem dyskretnym, modelowane jako ciąg liczb rzeczywistych, oraz umożliwiają badanie odpowiedzi liniowego układu (filtru) przetwarzającego taki sygnał. Formalnie modelowany sygnał jest sygnałem cyfrowym, gdyż jest skwantowany zarówno w dziedzinie czasu jak i amplitudy, jednak duża rozdzielczość arytmetyki liczb rzeczywistych komputera powoduje że efekty kwantowania i błędy numeryczne są niezauważalne. Możliwe jest też porównanie z charakterystykami modelu prototypowego filtru analogowego (filtr dolnoprzepustowy RC pierwszego rzędu). W poszczególnych programach dostępne są następujące filtry: filtr SOI rzędu 1, filtr NOI pierwszego lub drugiego rzędu Charakterystyki pierwszego z tych dwóch filtrów aproksymują charakterystykę prototypowego filtru analogowego. Niektóre programy umożliwiają wybór pobudzenia filtru, które odbywa się za pomocą rozwijanego menu. Dostępne są następujące przebiegi: pobudzenia impulsowego (pojedynczy impuls amplitudzie 1), pobudzenia skokowego (skok jednostkowy), przebieg sinusoidalny o zmiennej częstotliwości od do,5fs, przebieg sinusoidalny o zmiennej częstotliwości od do 2,5fs, (fs jest częstotliwością próbkowania). Modelowanie pracy filtru odbywa się przez wpisanie odpowiednich parametrów generowanego sygnału pobudzającego oraz kliknięcie na przycisku RUN w oknie programu. W oknie w dolnej części ekranu zostanie wyświetlony przebieg uzyskany na wyjściu filtru dla zadanego pobudzenia. Na górnym wykresie wyświetlany jest przebieg pobudzający badany filtr (linią w kolorze białym) a na dolnym wyświetlana jest odpowiedź badanego filtru czasu dyskretnego (w kolorze białym) oraz modelowaną odpowiedź filtru analogowego na zadany przebieg pobudzający (linia zielona). Obserwacja charakterystyk częstotliwościowych badanego filtru jest możliwa przy wykorzystaniu sygnałów pobudzających zawierających przebieg sinusoidalny o zmiennej częstotliwości. W tym przypadku na wykresie zamiast numeru kolejnej próbki podawana jest częstotliwość chwilowa (mierzona względem częstotliwości próbkowania). 2. Wykonywanie ćwiczenia 2.1. Zadania do wykonania w domu Zadanie 1.
Wyprowadzić związki łączące współczynniki a 1 i a2 transmitancji układu NOI drugiego rzędu opisanego równaniem: H (z) = b+b1 z +b 2 z 2 1+a1 z +a 2 z (23) 2 z parametrami pary biegunów sprzężonych z1,2 = r e±jθ: modułem r i fazą θ Zadanie 2. ransmitancję (23) można przekształcić do postaci: b c +c 1 z H (z) = 2 + a2 (1 z1 z )(1 z 1 z ) (24) gdzie: b2 a2 którą następnie można rozbić na ułamki proste: c = b H (z) = Wyznaczyć współczynnik D1 b2 a2 + c 1 = b1 b2 a1 a2 D1 + 1 z 1 z D1 (25) 1 z 1 z w powyższym rozkładzie. Dlaczego w ostatnim składniku występują wielkości sprzężone? Zadanie 3. Wyprowadzić wzory na transmitancję Uwy/U we i odpowiedź impulsową analogowego układu RC dolnoprzepustowego pierwszego rzędu pokazanego na rysunku 1. Rysunek 1: Układ RC pierwszego rzędu Zadanie 4. Wyprowadzić wzór na transmitancję układu dyskretnego o odpowiedzi impulsowej określonej wyrażeniem: { h [n ] = α s e α n s dla n dla n< } gdzie α = 1/τ. Obliczyć wartości współczynników dla filtru o αs równym,1.
Zadanie 5. Wyprowadzić wzór na transmitancję H(z) sekcji bikwadratowej o schemacie blokowym przedstawionym na rysunku 2. Rysunek 2: Sekcja bikwadratowa 2.1. Zadania do wykonania w laboratorium Zadanie 6. Badanie odpowiedzi impulsowej filtru NOI Uruchomić program Zadanie6 i ustawić rząd filtru (n) równy 1 oraz wpisać współczynniki b i a1 wyliczone na podstawie wzorów uzyskanych w zadaniu 4 dla α s równego,1, ustawić ponadto b1=. Wybrać pobudzenie impulsowe (IMPULS). Za pomocą przycisku RUN uzyskać odpowiedź filtru dyskretnego na pobudzenie impulsowe oraz symulowaną odpowiedź filtru analogowego. Naszkicować w sprawozdaniu uzyskane odpowiedzi obydwu filtrów. Zmieniając współczynniki b i a1 w niewielkim zakresie (np. ±,5) sprawdzić ich wpływ na kształt odpowiedzi filtru dyskretnego. Wybrać pobudzenie skokowe (SKOK) i porównać odpowiedzi obydwu filtrów na pobudzenie jednostkowym skokiem napięcia. Skomentować uzyskane wyniki. Na jaki parametr odpowiedzi filtru wpływa współczynnik b a na jaki współczynnik a1? Zadanie 7. Badanie charakterystyki częstotliwościowej filtru NOI Uruchomić program Zadanie7 badający filtr przy pobudzeniu przebiegiem sinusoidalnym o zmiennej częstotliwości. Przebieg ten zawiera 1 próbek sygnału którego częstotliwość chwilowa zmienia się liniowo w przedziale do 2,5f s, gdzie fs jest częstotliwością próbkowania. Ze względu na symulacyjny charakter ćwiczenia, nie można podać rzeczywistej częstotliwości próbkowania i wszystkie częstotliwości muszą być
określane jako jej wielokrotności. W oknie programu wpisać obliczone w zadaniu 4 współczynniki i uzyskać odpowiedzi badanego filtru dyskretnego oraz filtru analogow ego na pobudzenie powyższym sygnałem. Obwiednia odpowiedzi aproksymuje charakterystykę częstotliwościową filtru. Naszkicować charakterystyki częstotliwościowe obydwu badanych filtrów. Zaobserwować okresowość charakterystyki filtru dyskretnego. Przy jakich częstotliwościach sygnału wejściowego uzyskuje się maksima amplitudy sygnału wyjściowego? Jaka jest częstotliwość sygnału wyjściowego filtru w okolicach tych maksimów? Z czego wynika różnica pomiędzy częstotliwością sygnału wejściowego i wyjściowego filtru? W jakim zakresie częstotliwości charakterystyki filtru dyskretnego i jego analogowego odpowiednika są zbliżone? Zadanie 8. Badanie odpowiedzi impulsowej filtru SOI Uruchomić program Zadanie8 przeznaczone do badania filtru SOI o charakterystyce aproksymującej analogowy filtr dolnoprzepustowy pierwszego rzędu. Wybrać pobudzenie impulsowe (IMPULS). Zamodelować filtr dyskretny oraz jego analogowy odpowiednik. Narysować uzyskane odpowiedzi obydwu filtrów. Zaobserwować zmiany odpowiedzi filtru dyskretnego przy zmianie rzędu filtru ustawiając różne wielkości parametru n. Przy jakim minimalnym rzędzie filtru jego odpowiedź przestaje zauważalnie różnić się od odpowiedzi filtru analogowego? Porównać rząd filtru SOI z rzędem filtru NOI aproksymującego tą samą charakterystykę dolnoprzepustową pierwszego rzędu (zadania 6 i 7). Zadanie 9. Badanie charakterystyki częstotliwościowej filtru SOI Uruchomić program Zadanie9 przeznaczone do badania filtru SOI przy pobudzeniu sygnałem wobulującym. Przebieg ten zawiera 1 próbek sygnału o częstotliwości zmieniającej się liniowo od do,5fs, gdzie fs jest częstotliwością próbkowania. Wyświetlić charakterystykę częstotliwościową filtru dyskretnego SOI stopniowo zmniejszając rząd filtru. Zaobserwować kształtu zmiany charakterystyki częstotliwościowej filtru. Opisać charakter tych zmian. Przy jakim rzędzie filtru zmiany te zaczynają być zauważalne? Porównać tą wielkość z wielkością uzyskaną w poprzednim zadaniu. Zadanie 1. Badanie charakterystyki częstotliwościowej sekcji bikwadratowej Badanie sekcji bikwadratowej odbywa się za pomocą programu Zadanie1. Program umożliwia wyświetlanie odpowiedzi dwóch filtrów NOI drugiego rzędu o różnych współczynnikach. Żądane wielkości r i θ wpisuje się w pola edycyjne w lewej części okna.
Odpowiednie współczynniki filtru zostaną obliczone automatycznie. Dla 4..5 różnych wielkości <θ<3 i r=,8 zbadać charakterystykę częstotliwościową filtru i odczytać częstotliwości odpowiadające maksymalnej transmitancji filtru. Sporządzić wykres zależności powyższej częstotliwości od wartości parametru θ. Naszkicować dwie wybrane charakterystyki częstotliwościowe dla różnych θ. Dla wybranego θ zmieniać r w zakresie od,5 do,99. Zaobserwować zmiany charakterystyki częstotliwościowej filtru. Jak częstotliwość maksimum charakterystyki amplitudowej zależy od r? Jaki jest związek pomiędzy θ a częstotliwością, przy której filtr wykazuje maksimum charakterystyki amplitudowej? Zadanie 11. Badanie odpowiedzi impulsowej sekcji bikwadratowej Uruchomić program Zadanie11 i dla parametrów r i θ jak w zadaniu poprzednim zbadać odpowiedź filtru na pobudzenie impulsowe. Oszacować częstotliwość oscylacji w odpowiedzi filtru dla każdego zestawu parametrów jako odwrotności okresu oscylacji. Porównać wyniki z uzyskanymi w zadaniu 1. Zadanie 12. Badanie odpowiedzi impulsowej sekcji bikwadratowej c. d. Za pomocą programu Zadanie11 zbadać, od którego parametru (r,θ) zależy kształt obwiedni drgań gasnących w odpowiedzi filtru. Wyniki badań zilustrować rysunkami. Zadanie 13. Badanie charakterystyki częstotliwościowej sekcji bikwadratowej c. d. Za pomocą programu Zadanie1 zaobserwować zmianę kształtu charakterystyk częstotliwościowych filtru przy zmniejszaniu wartości r poniżej,5. Naszkicować wykresy dla kilku charakterystycznych wielkości r i wybranego θ. Czy charakterystyka amplitudowa w dalszym ciągu wykazuje maksimum? Zadanie 14. Badanie stabilności sekcji bikwadratowej c. d Za pomocą programu Zadanie11 zbadać zachowanie się filtru cyfrowego (odpowiedź na pobudzenie impulsowe) przy r dążącym do 1 i przekraczającym nieznacznie 1. Jak zmienia się czas trwania odpowiedzi impulsowej filtru gdy r dąży do 1? Co się stanie z odpowiedzią filtru jeśli wartość 1 zostanie przekroczona?