Podróże po Imperium Liczb Część 1 Liczby wymierne Andrzej Nowicki

Podróże po Imperium Liczb Część Liczby wymierne Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 202

WYM - 27(778) 7.2.20

Spis treści Wstęp Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 5. Równości z liczbami wymiernymi i dopisywanie cyfr................... 5.2 Równości wynikające z twierdzenia Abela......................... 9.3 Następne równości z liczbami wymiernymi.........................4 Całkowitość pewnych liczb wymiernych.......................... 3.5 Wymierność pewnych liczb rzeczywistych......................... 7.6 Przedstawianie liczb wymiernych w szczególnej postaci................. 8.7 Podzbiory zbioru liczb wymiernych............................ 9.8 Dodatkowe fakty i zadania z liczbmi wymiernymi.................... 2 2 Rozkłady jedynki na sumę ułamków prostych 23 2. Ogólne fakty o rozkładach jedynki............................. 23 2.2 Rozkłady jedynki na sumę s 7 ułamków prostych................... 25 2.3 Rozkłady jedynki na sumę s 8 ułamków prostych................... 26 2.4 Dodatkowe fakty o rozkładach jedynki........................... 28 3 Rozkłady liczb wymiernych na ułamki proste 29 3. Rozkłady liczb wymiernych................................. 29 3.2 Rozkłady liczb naturalnych................................. 32 3.3 Sumy dwóch ułamków prostych.............................. 33 3.4 Równanie x + y = z.................................... 37 3.5 Równanie x + y = 2 z.................................... 40 3.6 Sumy trzech ułamków prostych............................... 40 3.7 Hipotezy o sumach trzech ułamków prostych....................... 44 3.8 Sumy czterech ułamków prostych............................. 48 4 Odwrotności wyrazów pewnych ciągów 50 4. Niecałkowitość sumy odwrotności wyrazów ciągu..................... 50 4.2 Odwrotności wyrazów ciągu arytmetycznego....................... 5 4.3 Odwrotności kolejnych liczb naturalnych......................... 5 4.4 Naprzemienne sumy ułamków prostych.......................... 54 4.5 Odwrotności liczb pierwszych................................ 54 4.6 Odwrotności liczb potęgowych............................... 55 4.7 Odwrotności liczb kwadratowych.............................. 55 4.8 Odwrotności liczb trójkątnych............................... 57 4.9 Odwrotności sześcianów................................... 58 4.0 Granice............................................ 59 5 Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 6 5. Tablice rozwinięć dziesiętnych pewnych liczb wymiernych................ 6 5.2 Okresy rozwinięć dziesiętnych liczb wymiernych..................... 63 5.3 Różne zadania o rozwinięciach dziesiętnych liczb wymiernych.............. 64 6 Przystawanie modulo m dla liczb wymiernych 65 6. Definicje........................................... 65 6.2 Przystawanie i mianowniki................................. 66 6.3 Przystawanie i dodawanie.................................. 67 6.4 Przystawanie jako relacja równoważności......................... 67 6.5 Przystawanie i mnożenie.................................. 68 i

6.6 Przystawanie modulo 2................................... 68 6.7 Przystawanie modulo p k.................................. 69 7 Podzielność dla liczb wymiernych 7 7. Rozkład kanoniczny liczb wymiernych........................... 7 7.2 Relacja podzielności w Q................................. 7 7.3 Nwd i nww dla liczb wymiernych. Definicje i przykłady................. 72 7.4 Nwd i nww dla liczb wymiernych. Własności....................... 73 7.5 Względnie pierwsze liczby wymierne............................ 74 8 Twierdzenie Wolstenholme i jego uogólnienia 75 8. Współczynniki A i...................................... 75 8.2 Współczynniki A i dla liczb pierwszych.......................... 76 8.3 Zastosowania dla liczb pierwszych i iloczynów...................... 77 8.4 Sumy odwrotności iloczynów................................ 78 8.5 Odwrotności liczb względnie pierwszych: podstawowe fakty............... 79 8.6 Odwrotności liczb względnie pierwszych: Twierdzenia Gessela............. 8 8.7 Twierdzenie Wolstenholme i inne twierdzenia....................... 82 8.8 Dodatkowe fakty i zadania................................. 85 9 Liczby postaci x /x 2 + x 2 /x 3 + + x s /x 87 9. Podstawowe własności zbiorów B s i A s.......................... 87 9.2 Zbiór B 2........................................... 90 9.3 Zbiór B 3 i liczby (a 3 + b 3 + c 3 )/abc............................ 9 9.4 Nieskończoność zbioru A 3.................................. 93 9.5 Przykłady liczb naturalnych należących do A 3...................... 94 9.6 Występowanie danej liczby w rozkładach liczb ze zbioru A 3............... 98 9.7 Zbiór B 3........................................... 00 9.8 Liczby postaci x/y + y/z + z/x, gdzie x, y, z są liczbami całkowitymi......... 03 9.9 Zbiór A 4........................................... 06 0 Dodatkowe informacje o liczbach wymiernych 08 0. Kwadraty liczb wymiernych................................ 08 0.2 Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi........................... 0 0.3 Równania diofantyczne i rozwiązania wymierne...................... 0.4 Pewne nierówności wymierne................................ 4 0.5 Liczby Fibonacciego, Lucasa i liczby wymierne...................... 4 0.6 Liczby wymierne i ciągi szczególnej postaci........................ 5 0.7 Liczby wymierne i klasyczne funkcje arytmetyczne.................... 7 Spis cytowanej literatury 9 Skorowidz nazwisk 25 Skorowidz 27 ii

Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 894 roku (przeważnie 0 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P.

Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a,..., a n oznaczamy przez nwd(a,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a,..., a n ) lub [a,..., a n ]. Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 0. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 0. Liczby i funkcje rzeczywiste;. Silnie i symbole Newtona; 2. Wielomiany; 3. Nierówności; 4. Równanie Pella; 5. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www.mat.uni.torun.pl/~anow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach 2008 20. Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

o o o o o Pierwsza książka z serii Podróże po Imperium Liczb poświęcona jest liczbom wymiernym, czyli liczbom postaci a b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, przy czym b jest różne od zera. Książka ta składa się z dziesięciu rozdziałów. Trzy z tych rozdziałów (rozdziały 2, 3 i 4) są o liczbach wymiernych postaci n, gdzie n jest liczbą naturalną. Takie liczby nazywają się ułamkami prostymi lub ułamkami egipskimi. W rozdziałach tych badane są głównie zagadnienia związane z rozkładami liczb wymiernych na skończoną sumę ułamków prostych. Ułamkami prostymi zajmujemy się również w rozdziale 8. W 862 roku J. Wolstenholme udowodnił, że jeśli p 5 jest liczbą pierwszą, to licznik ułamka a b = + 2 + 3 + + p jest podzielny przez p 2. Przedstawiamy dwa różne dowody tego faktu. W rozdziale 8 podajemy przeróżne warianty twierdzenia Wolstenholme oraz zajmujemy się problemami stowarzyszonymi z tym twierdzeniem. Główną motywacją do powstania tego rozdziału była piękna praca I. M. Gessela, opublikowana w 998 roku w The American Mathematical Monthly. Rozdziały 6 i 7 pełnią funkcję pomocniczą. Przedstawiamy w nich zagadnienia potrzebne do zrozumienia pewnych dowodów z rozdziału 8. Każda liczba rzeczywista ma swoje rozwinięcie dziesiętne. Dana liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest albo skończone, albo okresowe. Pewnym problemom związanym z tym zagadnieniem poświęcony jest rozdział 5. W rozdziale dziwiątym zajmujemy się dodatnimi liczbami wymiernymi postaci x + x 2 + + x s + x s, x 2 x 3 x s x gdzie x,..., x s są liczbami naturalnymi. Godnym uwagi jest fakt, że jeśli s = 2, to każda liczba naturalna większa od ma powyższą postać. Udowodnił to w 2000 roku A. V. Bondarenko. Załóżmy teraz, że s = 3 i rozpatrzmy zbiór wszystkich liczb naturalnych n takich, że n = x y + y z + z x, dla pewnych liczb naturalnych x, y, z. Oznaczmy ten zbiór przez A 3. Zauważmy, że liczby 3, 5 i 6 należą do zbioru A 3. Mamy bowiem: 3 = + +, 5 = 2 + 2 4 + 4, 6 = 2 2 + 2 9 + 9 2. Czy liczba 4 należy do zbioru A 3? Odpowiedź na to pytanie przez długi czas nie była znana. Rozstrzygnął ten problem dopiero w 2000 roku wspomniany wyżej Bondarenko. Udowodnił on, że 4 do tego zbioru nie należy. 3

Można udowodnić, że do zbioru A 3 należy nieskończenie wiele liczb naturalnych. Można również udowodnić (i to nie jest aż tak bardzo skomplikowane), że zbiór A 3 pokrywa się ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych postaci a 3 + b 3 + c 3, gdzie a, b, c N. abc Czytelnika zainteresowanego tego rodzaju zagadnieniami zapraszamy do rozdziału 9. W ostatnim rozdziale przedstawiamy bez dowodów pewne dodatkowe fakty i zadania, które dotyczą liczb wymiernych i pojawiły się w innych książkach serii Podróże po Imperium Liczb. 4

Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Każdą liczbę postaci a b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi oraz b 0, nazywamy liczbą wymierną. Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy przez Q.. Równości z liczbami wymiernymi i dopisywanie cyfr... Zachodzą równości: () 5 = 9 95 = 99 995 = 999 9995 =, 2 5 = 26 65 = 266 665 = 2666 6665 =. (2) 4 = 6 64 = 66 664 = 666 6664 =, 4 8 = 49 98 = 499 998 = 4999 9998 =. Równości te są konsekwencjami następującego stwierdzenia. Przez a a 2... a s oznaczamy liczbę naturalną, której kolejnymi cyframi są odpowiednio a, a 2,..., a s...2. Jeśli a, b, c są takimi cyframi, że ab/bc = a/c, to ([Fom] 4/64, [Kw] 9/72 2). a c = ab bc = abb bbc = abbb bbbc = abbbb bbbbc =. D. Załóżmy, że ab/bc = a/c. Wtedy 0a+b naturalnej n oznaczmy: 0b+c = a c i stąd 9ac + bc 0ab = 0. Dla każdej liczby u n = a } bb {{... } b, v n = bb }{{... } b c, e n = }{{... }. n n n Należy udowodnić, że un v n = a c dla n N. Zauważmy, że u n = 0 n a + be n oraz v n = 0be n + c. Mamy więc: cu n av n = c(0 n a + be n ) a(0be n + c) = (0 n )ac + bce n 0abe n = 9e n ac + bce n 0abe n = e n (9ac + bc 0ab) = e n 0 = 0, a zatem un v n = a c...3. Jeśli a, b, c są takimi niezerowymi cyframi, że ab/bc = a/c, to (a, b, c) jest jedną z czterech trójek: (, 6, 4), (, 9, 5), (2, 6, 5), (4, 9, 8). W stwierdzeniu..2 liczby naturalne występujące w licznikach i mianownikach zapisane były w dziesiętnym systemie numeracji. Wykażemy teraz, że w systemie numeracji o podstawie q 2 również zachodzi podobne stwierdzenie. Przez (a a 2... a s ) q oznaczamy liczbę naturalną, której kolejnymi cyframi w systemie numeracji o podstawie q 2 są odpowiednio a, a 2,..., a s, tzn. (a a 2... a s ) q = a q s + a 2 q s 2 + + a s q + a s 5

6 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych i przy tym liczby a,..., a s należą do zbioru {0,,..., (q )}. W szczególnym przypadku, gdy q = 0, mamy: (a a 2... a s ) 0 = a 0 s + a 2 0 s 2 + + a s 0 + a s = a a 2... a s...4. Jeśli a, b, c są takimi cyframi w systemie numeracji o podstawie q 2, że (ab)q (bc) q = a c, to a c = (ab) q = (abb) q = (abbb) q = (abbbb) q =. (bc) q (bbc) q (bbbc) q (bbbbc) q D. Załóżmy, że (ab)q (bc) q naturalnej n oznaczmy: = a qa+b c. Wtedy qb+c = a c i stąd (q )ac + bc qab = 0. Dla każdej liczby u n = (a } bb {{... } b) q, v n = (bb }{{... } b c) q, e n = ( }{{... } ) q. n n n Należy udowodnić, że un v n = a c dla n N. Zauważmy, że u n = q n a + be n oraz v n = qbe n + c. Mamy więc: cu n av n = c(q n a + be n ) a(qbe n + c) = (q n )ac + bce n qabe n = (q )e n ac + bce n qabe n = e n ((q )ac + bc qab) = e n 0 = 0, a zatem un v n = a c. Zanotujmy kilka konsekwencji stwierdzenia..4...5. W czwórkowym systemie numeracji zachodzą równości: 2 = (3) 4 (32) 4 = (33) 4 (332) 4 = (333) 4 (3332) 4 =...6. W szóstkowym systemie numeracji zachodzą równości: 3 = (5) 6 (53) 6 = (55) 6 (553) 6 = (555) 6 (5553) 6 =,..7. W ósemkowym systemie numeracji zachodzą równości: 4 = (7) 8 (74) 8 = (77) 8 (774) 8 = (777) 8 (7774) 8 =,..8. W dziewiątkowym systemie numeracji zachodzą równości: 3 = (4) 9 (43) 9 = (44) 9 (443) 9 = (444) 9 (4443) 9 =, 2 4 = (25) 6 (54) 6 = (255) 6 (554) 6 = (2555) 6 (5554) 6 =. 3 6 = (37) 8 (76) 8 = (377) 8 (776) 8 = (3777) 8 (7776) 8 =. 2 6 = (28) 9 (86) 9 = (288) 9 (886) 9 = (2888) 9 (8886) 9 =. Stosując stwierdzenie..4 dla systemów numeracji o podstawach q będących potęgami dziesiątki, otrzymujemy nowe serie przykładów w systemie dziesiętnym...9. 34 = 5 534 = 55 5534 = 555 55534 =, 2 24 = 227 2724 = 22727 272724 = 2272727 27272724 =, 7 40 = 742 4240 = 74242 424240 = 7424242 42424240 =, 36 80 = 368 880 = 3688 8880 = 36888 88880 =.

Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 7..0. () 250 = 333 333250 = 333333 333333250 = 333333333 333333333250 = 333333333333 333333333333250 =, (2) (3) (4) 7 250 = 7259 259250 = 7259259 259259250 = 7259259259 259259259250 = 7259259259259 259259259259250 =, 3 494 = 353 53494 = 35353 5353494 = 3535353 535353494 = 353535353 53535353494 =, 5 736 = 5740 740736 = 5740740 740740736 = 5740740740 740740740736 = 5740740740740 740740740740736 =. W powyższych ułamkach dopisywaliśmy do licznika i mianownika pewne liczby; do licznika z prawej strony, a do mianownika z lewej. Teraz będziemy dopisywać pewne liczby w środkowe miejsca liczników i mianowników. Spójrzmy na następujący przykład.... 26 53 = 286 583 = 2886 5883 = 28886 =. ([KoM] Gy959). 58883 Pokażemy, że tego rodzaju równości istnieje znacznie więcej. W tym celu udowodnimy najpierw następujące stwierdzenie...2. Niech a, b, c, d będą cyframi takimi, że 0a + b 0c + d i niech u = 9(bc ad) 0(c a)+(d b). Jeśli u {0,, 2,..., 9}, to ab cd = aub cud = auub cuud = auuub cuuud = auuuub cuuuud =. D. Załóżmy, że u jest jedną z cyfr 0,,..., 9 oraz oznaczmy: u n = a } uu {{... u } b, v n = c } uu {{... u } d, e n = }{{... }. n n n Należy udowodnić, że un v n = 0a+b 0c+d dla n N. Zauważmy, że u n = 0 n+ a + 0ue n + b oraz v n = 0 n+ c + 0ue n + d. Mamy więc: (0a + b)v n (0c + d)u n = (0a + b) ( 0 n+ c + 0ue n + d ) (0c + d) ( 0 n+ a + 0ue n + b ) a zatem un v n = 0a+b 0c+d. = +0 n+2 ac + 0 2 aue n + 0ad + 0 n+ bc + 0ube n + bd 0 n+2 ac 0 2 uce n 0bc 0 n+ ad 0ude n bd = ( 0 n+ 0 ) bc ( 0 n+ 0 ) ad +0 2 aue n + 0ube n 0 2 uce n 0ude n = 90e n bc 90e n ad + 00aue n + 0ube n 00uce n 0ude n ) = 0e n (9(bc ad) u (0(c a) + (d b)) ) = 0e n (9(bc ad) 9(bc ad) = 0,

8 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Z tego stwierdzenia wynikają następujące serie równości...3. 4 23 = 54 253 = 554 2553 = 5554 25553 =, 4 56 = 34 536 = 334 5336 = 3334 53336 =, 5 5 = 65 56 = 665 566 = 6665 5666 =, 6 25 = 76 275 = 776 2775 = 7776 27775 =, 7 34 = 97 394 = 997 3994 = 9997 39994 =, 22 3 = 242 34 = 2442 344 = 24442 3444 =, 26 7 = 286 78 = 2886 788 = 28886 7888 =, 34 6 = 374 67 = 3774 677 = 37774 6777 =. Tego rodzaju równości istnieje znacznie więcej. Drobne zmiany w dowodzie stwierdzenia..2 pozwalają udowodnić analogiczne stwierdzenie dla dowolnych systemów numeracji...4. Niech a, b, c, d będą cyframi w systemie numeracji o podstawie q 2 takimi, że qa + b qc + d i niech u = (q )(bc ad) q(c a)+(d b). Jeśli u {0,, 2,..., (q )}, to (ab) q (cd) q = (aub) q (cud) q = (auub) q (cuud) q = (auuub) q (cuuud) q =. D. Załóżmy, że u {0,,..., (q )} i oznaczmy: u n = (a } uu {{... u } b) q, v n = (c } uu {{... u } d) q, e n = ( }{{... } ) q. n n n Należy udowodnić, że un v n = qa+b qc+d dla n N. Zauważmy, że u n = q n+ a + que n + b oraz v n = q n+ c + que n + d. Mamy więc: (qa + b)v n (qc + d)u n = (qa + b) ( q n+ c + que n + d ) (qc + d) ( q n+ a + que n + b ) a zatem un v n = qa+b qc+d. = +q n+2 ac + q 2 aue n + qad + q n+ bc + qube n + bd q n+2 ac q 2 uce n qbc q n+ ad qude n bd = ( q n+ q ) bc ( q n+ q ) ad + q 2 aue n + qube n q 2 uce n qude n ) = qe n ((q )(bc ad) u (q(c a) + (d b)) ) = qe n ((q )(bc ad) (q )(bc ad) = 0, Zanotujmy kilka równości wynikających ze stwierdzenia..4...5. W trójkowym systemie numeracji zachodzą równości: () 3 (20) 3 = (2) 3 (220) 3 = (22) 3 (2220) 3 = (222) 3 (22220) 3 = (2222) 3 (222220) 3 =.

Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 9..6. W czwórkowym systemie numeracji zachodzą równości: () 4 (20) 4 = (2) 4 (220) 4 = (22) 4 (2220) 4 =, (2) 4 (30) 4 = (32) 4 (330) 4 = (332) 4 (3330) 4 =, (3) 4 (32) 4 = (33) 4 (332) 4 = (333) 4 (3332) 4 =, (2) 4 (2) 4 = (32) 4 (23) 4 = (332) 4 (233) 4 = (3332) 4 (2333) 4 =, (2) 4 (33) 4 = (2) 4 (33) 4 = (2) 4 (33) 4 = (2) 4 (33) 4 =, (2) 4 (30) 4 = (23) 4 (330) 4 = (233) 4 (3330) 4 = (2333) 4 (33330) 4 =...7. Pewne równości w piątkowym systemie numeracji. () 5 (20) 5 = (2) 5 (220) 5 = (22) 5 (2220) 5 =, (2) 5 (30) 5 = (32) 5 (330) 5 = (332) 5 (3330) 5 =, (3) 5 (3) 5 = (43) 5 (34) 5 = (443) 5 (344) 5 =, (2) 5 (2) 5 = (32) 5 (23) 5 = (332) 5 (233) 5 = (3332) 5 (2333) 5 =, (2) 5 (4) 5 = (22) 5 (42) 5 = (222) 5 (422) 5 = (2222) 5 (4222) 5 =, (22) 5 (3) 5 = (242) 5 (34) 5 = (2442) 5 (344) 5 = (24442) 5 (3444) 5 =. Stosując stwierdzenie..4 dla systemów numeracji o podstawach q będących potęgami dziesiątki, otrzymujemy nowe serie przykładów w systemie dziesiętnym...8. () (2) (3) 44 035 = 4544 04535 = 454544 0454535 = 45454544 045454535 = 4545454544 04545454535 =, 47 224 = 9047 29024 = 909047 2909024 = 90909047 290909024 = 9090909047 29090909024 =, 372 390 = 37492 39490 = 3749492 3949490 = 374949492 394949490 = 37494949492 39494949490 =. 00 00..9. Dany jest ułamek 00 00 zapisany w dowolnym systemie numeracji. Jeśli w liczniku i mianowniku środkową cyfrę zastąpimy dowolną nieparzystą liczbą następujących po sobie jedynek, to ułamek ten nie zmieni wartości. (N. Anning, [S64] 59)..2 Równości wynikające z twierdzenia Abela.2. (Twierdzenie Abela). Niech f(x) i g(x) będą niezerowymi wielomianami o współczynnikach rzeczywistych. Załóżmy, że deg g(x) = n 2, deg f(x) n 2 oraz, że wielomian g(x) ma n parami różnych pierwiastków rzeczywistych a,..., a n. Wtedy f(a ) g (a ) + f(a 2) g (a 2 ) + + f(a n) g (a n ) = 0, gdzie g (x) jest pochodną wielomianu g(x). ([InvM] 35(976) 32-390, [Mon] 6(2009) 629-630).

0 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Pewne dowody tego twierdzenia podane będą w [N2] (w rozdziale o funkcjach wymiernych). Teraz podamy tylko wnioski wynikające z tego twierdzenia..2.2. Jeśli a, b, c są parami różnymi liczbami rzeczywistymi (lub ogólniej, zespolonymi), to: () (a b)(a c) + (b a)(b c) + (c a)(c b) = 0, (2) a (a b)(a c) + b (b a)(b c) + c (c a)(c b) = 0. D. Niech f(x) =, h(x) = x, g(x) = (x a)(x b)(x c). Wtedy g (x) = (x b)(x c) + (x a)(x c) + (x a)(x b), g (a) = (a b)(a c), g (b) = (b a)(b c), g (c) = (c a)(c b). Na mocy twierdzenia Abela mamy: i to kończy dowód. (a b)(a c) + (b a)(b c) + (c a)(c b) = f(a) g (a) + f(b) g (b) + f(c) g (c) = 0 a (a b)(a c) + b (b a)(b c) + W podobny sposób wykazujemy następne równości..2.3. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami to: c (c a)(c b) = h(a) g (a) + h(b) g (b) + h(c) g (c) = 0 () (a b)(a c)(a d) + (b a)(b c)(b d) + (c a)(c b)(c d) + (d a)(d b)(d c) = 0, (2) a (a b)(a c)(a d) + b (b a)(b c)(b d) + c (c a)(c b)(c d) + d (d a)(d b)(d c) = 0, (3) a 2 (a b)(a c)(a d) + b 2 (b a)(b c)(b d) + c 2 (c a)(c b)(c d) + d 2 (d a)(d b)(d c) = 0. ( ) n.2.4. a i a i a j = 0, dla n 3 i parami różnych liczb a,..., a n. ([Crux] 2000 s.486). i= j i Można również udowodnić:.2.5. Jeśli x, y, z są parami różnymi liczbami całkowitymi i n jest liczbą naturalną, to liczba jest całkowita. ([Kurs] 75(959), [Bryn].). x n (x y)(x z) + y n (y x)(y z) + z n (z x)(z y).2.6. Niech n 2 będzie liczbą naturalną oraz a,..., a n parami różnymi liczbami rzeczywistymi (lub zespolonymi), i niech g(x) = (x a ) (x a n ). Wtedy a n g (a ) + an 2 g (a 2 ) + + an n g (a n ) =, a n g (a ) + an 2 g (a 2 ) + + gdzie g (x) jest pochodną wielomianu g(x). an n g (a n ) = a + + a n,

Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych Zanotujmy szczególne przypadki tego stwierdzenia..2.7. Jeśli a, b, c są parami różnymi liczbami, to: a 2 () (a b)(a c) + b 2 (b a)(b c) + c 2 (c a)(c b) =, (2) a 3 (a b)(a c) + b 3 (b a)(b c) + c 3 (c a)(c b) = a + b + c..2.8. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami, to: a () 3 (a b)(a c)(a d) + b 3 (b a)(b c)(b d) + c 3 (c a)(c b)(c d) + d 3 (d a)(d b)(d c) =, (2) a 4 (a b)(a c)(a d) + b 4 (b a)(b c)(b d) + c 4 (c a)(c b)(c d) + d 4 (d a)(d b)(d c) = a + b + c + d..2.9. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami, to () a 4 + (a b)(a c)(a d) + b 4 + (b a)(b c)(b d) + c 4 + (c a)(c b)(c d) + d 4 + (d a)(d b)(d c) = a + b + c + d, ([Crux] 2000 s.5 z.2487, wynika to z poprzednich równości). (2) (d b)(d c) (d c)(d a) (d a)(d b) + + =. ([BaL] 45). (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) P. A. Griffiths, Variations on a theorem of Abel, [InvM] 35(976) 32-390. Shui-Hung Hou, On a theorem of Abel, [Mon] 6(2009) 629-630..3 Następne równości z liczbami wymiernymi.3.. 25 9 0 + 6 = 25 0 9 6, 2 64 55 + 40 = 2 55 64 40, 50 8 5 + 2 = 50 5 8. ([Kw] 9/72 2). 2.3.2. ( ) ( ) ( ) = 2 3 n n dla n 2. ([KoMe])..3.3. ( ) ( 2 2 ) 3 2 ( ) n 2 = n + dla n 2. ([GeG] 5, [KoMe]). 2n ( ) ( ) ( ).3.4. Jeśli + a + b + c = 2, gdzie a b c są liczbami naturalnymi, to (a, b, c) = (3, 4, 5), (3, 3, 8), (2, 6, 7), (2, 5, 9) lub (2, 4, 5). ([OM] W.Brytania 995)..3.5. 4 ([Mat] 3/52 49). 3 + 24 3 5 + 34 5 7 + + n 4 (2n )(2n + ) = n(n + )(n2 + n + ) 6(2n + ) dla n N..3.6. Jeśli x, y, z, a, b, c są niezerowymi liczbami takimi, że x + y + z = a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 x 3 + y 3 + z 3 = abc xyz. ([Dlt] 4/999).

2 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych D. Równość ta jest natychmiastową konsekwencją następującej implikacji: u + v + w = 0 = u 3 + v 3 + w 3 = 3uvw. Jeśli bowiem u+v +w = 0, to w = (u+v) i wtedy: u 3 +v 3 +w 3 = u 3 +v 3 (u+v) 3 = 3uv 2 3u 2 = 3uv( u v) = 3uvw. Wynika to również ze znanej równości u 3 + v 3 + w 3 3uvw = (u + v + w)(u 2 + v 2 + w 2 uv vw wu), zachodzącej dla dowolnych liczb u, v, w..3.7. Jeśli x = b c +ab, y = c a +ca, z = a b +ab, to x + y + z = xyz. ([BaL] 46)..3.8. Jeśli x = a b a+b, y = b c b+c, z = c a ([BaL] 54). c+a, to ( + x)( + y)( + z) = ( x)( y)( z)..3.9. Niech x = a2 +b 2 c 2 2ab, y = a2 +c 2 b 2 2ac, z = b2 +c 2 a 2 2bc, gdzie a, b, c N. Jeśli x + y + z =, to dwie z liczb x, y, z są równe, a pozostała. ([OM] Leningrad 982)..3.0. Jeśli a + b + c = a+b+c, to a 2n+ + b 2n+ + c 2n+ = (a+b+c) 2n+. ([Oss] G75.2-5)..3.. Jeśli a b = a 2 b 2 = a 3 b 3 oraz (p, p 2, p 3 ) (0, 0, 0), to ( a ) n = p a n + p 2a n 2 + p 3a n 3 b p b n + p 2b n 2 + p 3b n 3 dla wszystkich n N. ([OM] Kanada 969)..3.2. 3 4 + 25 4 + 38 4 3 + 25 + 38 7 4 + 20 4 = + 394 7 + 20 + 39. ([Mat] 5-6/955 64). Istnieją różne inne równości podobnej postaci..3.3 (Maple). 2 +4 2 +3 2 2 2 +0 2 +2 2 = +4+3 2+0+2, 3 2 +7 2 +8 2 4 2 +5 2 +9 2 = 3+7+8 4+5+9, 5 2 + 2 +20 2 4 2 +3 2 +9 2 = 5++20 4+3+9 ; 3 +6 3 +4 3 7 3 +8 3 +5 3 = +6+4 7+8+5, 3 3 +4 3 +7 3 9 3 +0 3 +9 3 = 3+4+7 9+0+9, 0 3 +2 3 +8 3 3 +4 3 +7 3 = 0+2+8 +4+7 ; 2 3 +4 3 +6 3 2 3 + 3 +7 3 = 22 +4 2 +6 2 2 2 + 2 +7 2, 5 3 +4 3 +5 3 7 3 +3 3 +6 3 = 52 +4 2 +5 2 7 2 +3 2 +6 2, 4 +5 4 +25 4 4 +0 4 +26 4 = +5+25 +0+26 ; 3 4 +6 4 +8 4 5 4 +6 4 +7 4 = 3+6+8 5+6+7 ; 4 +9 4 +0 4 5 4 +6 4 + 4 = 2 +9 2 +0 2 5 2 +6 2 + 2 ; 2 4 +5 4 +7 4 5 4 +3 4 +8 4 = 22 +5 2 +7 2 5 2 +3 2 +8 2 ; 3 4 +3 4 +6 4 8 4 +9 4 +7 4 = 32 +3 2 +5 2 8 2 +9 2 +7 2 ; 5 +2 5 +2 5 4 5 +9 5 +3 5 = +2+2 4+9+3, 5 +7 5 +20 5 5 +8 5 +9 5 = +7+20 +8+9, 5 +0 5 +55 5 4 5 +45 5 +59 5 = +0+55 4+45+59..3.4. ([Szu87] 63). 8 2 + 9 2 + 0 2 + 2 + 2 2 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 = 2, 968 2 + 969 2 + 970 2 + 97 2 + 972 2 39 2 + 392 2 + 393 2 + 394 2 + 395 2 = 2.

Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 3.4 Całkowitość pewnych liczb wymiernych Liczby a = 2 oraz b = 2 nie są całkowite, a ich suma a + b = 0 i iloczyn ab = 2 są liczbami całkowitymi. Podobną własność mają liczby zespolone a = i oraz b = i. Wykażemy, że w zbiorze liczb wymiernych takich dwóch niecałkowitych liczb nie znajdziemy. W dowodzie tego faktu wykorzystamy następujące znane twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych..4.. Niech f(x) będzie wielomianem monicznym (tzn. współczynnik wiodący jest równy ) o współczynnikach całkowitych i niech u będzie liczbą wymierną. Jeśli u jest pierwiastkiem wielomianu f(x), to u jest liczbą całkowitą Teraz możemy udowodnić:.4.2. Niech a, b Q. Jeśli a + b Z i ab Z, to a, b Z. D. Rozpatrzmy wielomian f(x) = (x a)(x b) = x 2 (a + b)x + ab. Jest to wielomian moniczny o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastkami są liczby wymierne a i b. Z twierdzenia.4. wynika, że liczby a, b są całkowite..4.3. Niech a, b, c Q. Jeśli a + b + c Z, ab + bc + ca Z i abc Z, to a, b, c Z. D. Rozpatrzmy wielomian f(x) = (x a)(x b)(x c) = x 3 (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ca)x abc. Jest to wielomian moniczny o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastkami są liczby wymierne a, b, c. Z twierdzenia.4. wynika, że liczby a, b, c są całkowite..4.4. Znaleźć takie trójki dodatnich liczb wymiernych (x, y, z), dla których wszystkie liczby są naturalne. ([OM] Polska 993/994). x + y + z, x + y + z, xyz R. Jeśli (x, y, z) jest taką trójką, to x, y, z są liczbami naturalnymi. Wszystkie trójki (x, y, z) takie, że x y z: (,, ), (3, 3, 3), (2, 2, ), (6, 3, 2), (4, 4, 2)..4.5. Niech x = a2 b +, y = b2, gdzie a, b N. Jeśli x + y jest liczbą całkowitą, a + to liczby x i y też są całkowite. ([OM] St Petersburg 993, [Fom] 7/93)..4.6. Każda liczba 5 n5 + 3 n3 + 7 n, gdzie n N, jest całkowita. ([OM] Australia 994). 5.4.7. Dla każdej liczby naturalnej n liczba ( 4 2 ) ( 4 2 2 jest całkowita. ([OM] Czechy-Słowacja 998/999). ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 ) n

4 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych.4.8. Niech n N. Liczby 2n 3 4 ([M-sj] 463). oraz 5n + 2 6 nie mogą być jednocześnie całkowite..4.9. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ab+, gdzie a, b są liczbami naturalnymi. ([OM] Moskwa 996/997, [OM] Mołdawia 200). D. Niech (a, b) = (2n, 2n + ) lub (n +, n 2 + n ). Wtedy ab+ a+b a+b = n..4.0. Każdą liczbę naturalną większą od i nie będącą postaci 2 n + 2 można przedstawić w postaci a b + a+ b+, gdzie a, b N. ([OM] Moskwa 2000/200)..4.. Niech n N. Znaleźć liczbę wszystkich par (x, y), liczb naturalnych takich, że n = xy x + y. Przykłady: = 2 2 2+2, 2 = 3 6 3+6 = 4 4 4+4 = 6 3 6+3. ([Putn] 960). R. Problem sprowadza się do opisu liczby rozwiązań naturalnych równania (x n)(y n) = n 2. Zachodzi jeden z przypadków: (x n < 0, y n < 0) lub (x n > 0, y n > 0). Jeśli x n < 0 i y n < 0, to x < n i y < n, stąd n < x n < n i n < y n < n, czyli x n < n i y n < n. W tym przypadku mamy sprzeczność: n 2 = x n y n < n 2. Niech x n > 0 i y n > 0. Niech (a, b) będzie dowolną parą liczb naturalnych takich, że ab = n 2. Przyjmijmy: x := a + n, y := b + n. Wtedy (x n)(y n) = ab = n 2. Każda więc taka para (a, b) wyznacza rozwiązanie naturalne rozpatrywanego równania. Takich par jest oczywiście tyle ile jest naturalnych dzielników liczby n 2. Odpowiedź. Liczba wszystkich takich naturalnych par jest równa τ(n 2 ), gdzie τ(n 2 ) jest liczbą wszystkich dzielników naturalnych liczby n 2. Jeśli a jest dzielnikiem naturalnym liczby n 2, to (x, y) = (n + a, n + n 2 /a) jest rozwiązaniem naturalnym. Każde rozwiązanie jest tej postaci..4.2. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci a2 +b ab+, gdzie a, b N. D. Niech n N, a = n 2, b = n. Wtedy a2 +b ab+ = n4 +n n 3 + = n. Liczba n = ma nieskończenie wiele takich przedstawień: = 2 +b b+ dla dowolnego b..4.3. Każdą liczbę naturalną większą od można jednoznacznie przedstawić w postaci a 2 + b ab +, gdzie a, b są liczbami naturalnymi. ([OM] Moskwa 2000/200)..4.4. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci a2 +b ab+2, gdzie a, b N.

Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 5.4.5. Niech a, n N, (a, n) (, ). Równanie x 2 + y 2 axy + = n2 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. ([Crux] 990 s.72 z.556)..4.6. Jeśli a b Z, n N, to liczba jest całkowita. ([OMm] 997/998). 2 2n (a 2n + b 2n ) (a + b) 2n (a b) 2.4.7. Liczba postaci 2a2 b 2, gdzie a, b Z, nie jest całkowita. ([IMO] Longlist 992). + 2.4.8. Liczba postaci a2 + b 2 a 2, gdzie a, b N, a b, nie jest całkowita. ([KoM] Gy959). b2.4.9. Niech x, y C, x y oraz a n = xn y n. Jeśli jakieś cztery kolejne wyrazy ciągu (a n ) są liczbami całkowitymi, to wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. x y ([OM] Rumunia 2002)..4.20. Niech a, b będą liczbami naturalnymi i niech x n = ( a + n ( + b + 2) n. 2) W ciągu (x n ) jest tylko skończenie wiele liczb całkowitych. (Newman problem 30)..4.2. Jeśli liczba (m + 3)n + 3m.4.22. Jeśli liczba m2 + n 2 + mn jest całkowita, to jest nieparzysta. ([IMO] 967). jest całkowita, to jest równa 3. ([LeH] A5)..4.23. Jeśli liczba m2 + n 2 + 6 jest całkowita, to jest sześcianem liczby całkowitej. mn ([OM] Estonia 995/996, [Crux] 2002 s.74)..4.24. Istnieje nieskończenie wiele par (n, m) liczb naturalnych takich, że < n < m i liczba m2 + n 2 jest całkowita. ([Crux] z.746). mn

6 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych.4.25 ([Crux] 200 z.2534 s.276-279). Oznaczmy: z a (x, y) = x2 + y 2 + a. xy Niech A będzie zbiorem tych wszystkich liczba całkowitych a, dla których liczba z a (x, y) jest całkowita dla nieskończenie wielu par (x, y) liczb naturalnych. Jeśli a A, to przez E(a) oznaczać będziemy zbiór wszystkich liczb całkowitych postaci z a (x, y), x, y N. () Niech a Z. Jeśli istnieją liczby naturalne x, y takie, że liczba z a (x, y) jest całkowita, to takich par (x, y) N 2 jest nieskończenie wiele. (2) Zbór A jest nieskończony. Każda liczba postaci d 2, gdzie d N, należy do A. Mamy bowiem z d 2(λd, d) = λ dla wszystkich λ N. (3) Liczba 0 należy do A i E(0) = {2}. (4) Jeśli a = d 2, gdzie d N, to a A i zbiór E(a) jest nieskończony; jest nawet równy N. Wynika to z (2). (5) Jeśli a A i a nie jest postaci d 2, gdzie d N, to zbiór E(a) jest skończony. (6) Niech a N 0. Niech z a (x, y) = β, gdzie x, y, β N. Wtedy β a + 2..4.26. Znaleźć wszystkie pary (m, n) liczb naturalnych, dla których n3 + jest liczbą całkowitą. Odp. (2, 2), (2, ), (, 2), (3, ), (, 3), (5, 2), (2, 5), (5, 3), (3, 5). ([IMO] mn 994). a.4.27. Niech a, b Z. Jeśli 2 2ab 2 b 3 + jest liczbą całkowitą, to (a, b) = (2n, ) lub (n, 2n) lub (8n 4 n, 2n), gdzie n N. ([IMO] Shortlist 2003)..4.28. Znaleźć wszystkie pary (x, y) liczb naturalnych, dla których liczby x +, y y + x są naturalne. Odp. (3, 2), (2, 3), (, ), (2, ), (, 2). ([OM] Polska 994/995). (x + y + z)2.4.29. Niech a =, gdzie x, y, z N. Jeśli a jest liczbą całkowitą, to a =, 2, xyz 3, 4, 5, 6, 8 lub 9 (a nie może być siódemką). ([OM] Mongolia 2000)..4.30. Jeśli p jest liczbą pierwszą i n N, to liczba nie jest całkowita. ([Mon] 96(8)(989) E3249). + (p ) + 2 + 2(p ) + + n + n(p ) Zagadnienia dotyczące całkowitości pewnych liczb wymiernych znajdziemy również w innych książkach z serii Podróże po Imperium Liczb. Przykłady: Liczby postaci (a 2 + b 2 )/(ab ± ) i ich uogólnienia, podrozdział w [N-3]; Jednorodne ciągi rekurencyjne, rozdział w [N-7]; Ciągi Somosa i ich uogólnienia, rozdział w [N-7]; Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych, rozdział w [N-7]; Liczby n!+a n+a, podrozdział w [N]; Całkowitość pewnych liczb wymiernych, podrozdział w [N]; Symbole Newtona względem danego ciągu, rozdział w [N].

Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 7.5 Wymierność pewnych liczb rzeczywistych.5.. Niech a, b R, a + b =. Jeśli liczby a 3 i b 3 są wymierne, to a i b też są liczbami wymiernymi. ([OM] Polska 994/995)..5.2. Jeśli a, b są różnymi liczbami zespolonymi takimi, że liczby a 2 b 2, a 3 b 3, a 5 b 5 są wymierne, to a, b, c są liczbami wymiernymi. ([MM] 73(4)(2000) 328)..5.3. Istnieje nieskończenie wiele par (x, y) liczb wymiernych takich, że x y oraz x 2 + y 3 i x 3 + y 2 są liczbami wymiernymi. ([OM] Niemcy 2003/2004)..5.4. Niech x, y, z R {0}. Załóżmy, że xy, yz, zx Q. Wtedy: () x 2 + y 2 + z 2 Q; (2) jeśli x 3 + y 3 + z 3 Q, to x, y, z Q. ([OM] Rumunia 200)..5.5. Dla każdej niewymiernej liczby a istnieją niewymierne liczby b, c takie, że liczby a + b, ac są wymierne i liczby ab, a + c są niewymierne. ([A-P] 2005)..5.6. Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że liczba x + x jest wymierna. Wtedy każda liczba postaci x n + x, gdzie n N, jest wymierna. n ([G-if] 03, [N0])..5.7. Niech 0 < x R, k N. Jeśli liczby x k + i x k+ + x k liczbą wymierną. ([KoM] 2000(4) A238). x k+ są wymierne, to x + x jest.5.8. Niech a, b, c, d Q, ad bc. Istnieje nieskończenie wiele liczb wymiernych x takich, że (a + bx)(c + dx) jest liczbą wymierną. ([MOc] 2002 z.44)..5.9. Jeśli n N, to liczba n + n + jest niewymierna. ([Bedn] 78)..5.0. Czy istnieje liczba naturalna n taka, że n + n + jest liczbą wymierną? Odp. Nie istnieje. ([Balt] 995)..5.. Niech p będzie liczbą pierwszą. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n + p + n jest wymierna. ([Bedn] 79). O. Jeśli p = 2, to takiej liczby naturalnej n nie ma. Jeśli p > 2, to n = ( ) p 2. 2.5.2. Niech x,..., x n będą nieujemnymi liczbami wymiernymi. Jeśli liczba x + + x n jest wymierna, to liczby x,..., x n też są wymierne. ([Str] s.98)..5.3. Niech α R i niech k N. Jeśli liczby cos(kα) i cos((k + )α) są wymierne, to cos α jest również liczbą wymierną. ([N0]).

8 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych.5.4. Jeśli cos α = 3 ([Br83] 38)., to cos nα = an 3 n, gdzie a n jest liczbą całkowitą niepodzielną przez 3..5.5. Jeśli cos(πx) = 3, to x jest liczbą niewymierną. ([Br83] 5)..5.6. Jeśli cos(πx) jest liczbą wymierną różną od 0, ± 2, ±, to x jest liczbą niewymierną. ([Br83] 38)..5.7. Niech r n = cos n π 7 + cosn 3π 7 + cosn 5π 7. Wtedy: () r 0 = 3, r = /2, r 2 = 5/4, r 3 = /2, r 4 = 3/6; (2) r n+3 = 2 r n+2 + 2 r n+ 8 r n; (3) r n jest liczbą wymierną. ([Kw] 8/982 36)..6 Przedstawianie liczb wymiernych w szczególnej postaci.6.. Dowolny ułamek nieskracalny p/q, gdzie p, q są liczbami naturalnymi, przy czym q jest nieparzyste, można przedstawić w postaci n 2 k, dla pewnych liczb naturalnych n i k. ([Balt] 995)..6.2. Każda liczba wymierna z odcinka (0, ) o nieparzystym mianowniku jest postaci { } xyz x 2 + y 2 + z 2, dla pewnych liczb naturalnych x, y, z, gdzie {a} oznacza część ułamkową liczby a. ([KoM] 997(7) N 46)..6.3. Niech a N. Każda liczba wymierna z odcinka (0, ) jest skończonym iloczynem liczb postaci n(n + 3) (n + )(n + 2), gdzie n > a. ([Mon] 98(2)(99) E3347)..6.4. Każda liczba wymierna w ma nieskończenie wiele przedstawień w postaci w = x + y +, gdzie x i y są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi. ([Wm] 7 37)..6.5. Niech m N. Każdą liczbę wymierną w > można przedstawić w postaci ( w = + ) ( + ) ( + ), k k + k + s gdzie k jest liczbą naturalną > m oraz s jest nieujemną liczbą całkowitą. ([Mat] /58 60, [S64] 99).

Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 9.6.6. Każda liczba wymierna dodatnia w ma jednoznaczne przedstawienie w postaci w = a + a 2 2! + a 3 3! + + a k k!, gdzie a, a 2,... a k są nieujemnymi liczbami całkowitymi takimi, że a 2 < 2, a 3 < 3,..., a k < k oraz a k 0. ([Mon] 57(4)(950) 262-264, [Mat] /80 62)..6.7. Każda dodatnia liczba wymierna jest postaci a3 + b 3 c 3, gdzie a, b, c, d N. Przykłady: + d3 2 = 863 + 76 3 29 3 + 5 3, 3 = 343 + 20 3 5 3 + 2 3, 2 3 = 53 + 3 5 3 + 4 3, 3 4 = 73 + 2 3 7 3 + 5 3. ([IMO] Shortlist 999, [Djmp] 303(646), [N-9]). a 3 + b 3.6.8. Każda dodatnia liczba wymierna jest postaci c 3, gdzie a, b, c, d są względnie + d3 pierwszymi liczbami naturalnymi. Różnych takich rozkładów jest nieskończenie wiele. ([N-9])..7 Podzbiory zbioru liczb wymiernych.7.. Znaleźć wszystkie podzbiory S Q spełniające następujące warunki: () jeśli a, b S, to a + b S; (2) jeśli a jest niezerową liczbą wymierną, to dokładnie jedna z liczb a i a należy do S. ([Bryn] 2.). O. Są cztery takie podzbiory; zbiory wszystkich liczb wymiernych: dodatnich, nieujemnych, ujemnych, niedodatnich..7.2. Niech S będzie podzbiorem zbioru liczb wymiernych zawierającym 2 i spełniającym warunek x S = x+ S i x x+ S. Wtedy każda liczba wymierna z przedziału (0, ) należy do S. ([OM] W.Brytania 2005). D. (Indukcja ze względu na mianowniki ułamków). Niech n 3 i załóżmy, że każdy ułamek a b taki, że b < n oraz a < b, należy do S. Rozważmy ułamek p n, gdzie p < n. Niech q = n p. Oczywiście q < n. Jeśli p = q, to n = 2p i wtedy p n = 2 S. Jeśli p < q, to (na mocy założenia) x = p q S i stąd p n = x x+ S. Jeśli p > q, to x = q p S i stąd p n = x+ S..7.3. Podać przykład podpierścienia ciała Q, różnego od Z i Q.

20 Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych R. Niech A będzie zbiorem wszystkich takich liczb wymiernych, których mianowniki są potęgami dwójki o nieujemnych wykładnikach. Ponieważ a = a 2, więc każda liczba całkowita należy do zbioru A. 0 Ułamek 2 nie jest liczbą całkowitą i jest elementem zbioru A. Zbiór A jest więc różny od zbioru Z. Do zbioru A nie należy na przykład liczba wymierna 3. Zatem Z A Q. Jest jasne, że jeśli u, v A, to u + v A oraz uv A. Zatem A jest podpierścieniem ciała Q oraz Z A Q. Niech S będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych. Mówimy, że podzbiór ten jest multyplikatywny, jeśli do niego należy jedynka oraz spełniony jest warunek: a, b S ab S. Podzbiorem multyplikatywnym jest na przykład zbiór wszystkich potęg dwójki o nieujemnych wykładnikach. Dwójkę można zastąpić dowolną liczbą naturalną a; zbiór wszystkich potęg liczby a o nieujemnych wykładnikach jest podzbiorem multyplikatywnym zbioru liczb naturalnych..7.4. Następujące zbiory S są multyplikatywnymi podzbiorami zbioru liczb naturalnych: () S = N, (2) S = {}, (3) zbiór wszystkich nieparzystych liczb naturalnych; (4) zbiór wszystkich takich liczb naturalnych, których reszta z dzielenia przez ustaloną liczbę naturalną m jest równa ; (5) zbiór wszystkich takich liczb naturalnych, które są względnie pierwsze z ustaloną liczbą naturalną m. Istnieją jeszcze liczne inne przykłady takich podzbiorów multyplikatywnych. Znajdziemy je na przykład w książkach z serii Podróże po Imperium Liczb. Jeśli S jest dowolnym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, to przez Z S oznaczać będziemy zbiór tych wszystkich liczb wymiernych, które można zapisać w postaci ułamka o mianowniku należącym do zbioru S, tzn. Z S = Zanotujmy oczywiste stwierdzenie: { x Q; x = a }. a Z s S s.7.5. Jeśli S jest podzbiorem multyplikatywnym zbioru liczb naturalnych, to Z S jest podpieŕścieniem ciała Q. Zauważmy, że Z S = Z dla S = {} oraz Z S = Q dla S = N..7.6. Każdy podpierścień ciała Q jest postaci Z S, gdzie S jest pewnym podzbiorem multyplikatywnym zbioru liczb naturalnych. D. Niech A będzie dowolnym podpieścieniem ciała Q. Oznaczmy przez S zbiór tych wszystkich takich liczb naturalnych, których odwrotności należą do A. Ponieważ = A, więc do S należy jedynka. Załóżmy, że a, b są liczbami naturalnymi należącymi do zbioru S. Wtedy a, b A i stąd ab = a b A,

Liczby wymierne.. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 2 a to oznacza, że ab S. Wykazaliśmy więc, że S jest podzbiorem multyplikatywnym zbioru liczb naturalnych. Teraz udowodnimy, że Z S = A. Inkluzja Z S A jest oczywista. Dla wykazania inkluzji w przeciwnym kierunku załóżmy, że u jest elementem pierścienia A. Ponieważ A Q, więc u jest liczbą wymierną. Niech u = a s, gdzie a Z, s N oraz nwd(a, s) =. Z warunku nwd(a, s) = wynika, że = xa + ys dla pewnych liczb całkowitych x, y. Mamy zatem: xa + ys = = x a s s s + y s = xu + y. s Ale u A oraz y A (bo każda liczba całkowita należy oczywiście do A). Zatem s A, a zatem s S. To implikuje, że u = a s jest elementem pierścienia Z S. Wykazaliśmy więc, że A Z S. Zatem, A = Z S..7.7. Znaleźć najmniejszy podpierścień ciała Q zawierający ułamki /2 i /3..7.8. Jeśli a, b Z, b 0, to przez Z[a/b] oznaczamy najmniejszy podpierścień ciała Q zawierający liczbę a/b. () Wykazać, że Z[2/7] = Z[3/7]. (2) Wykazać, że jeśli a, b Z, b 0 oraz nwd(a, b) =, to Z[a/b] = Z[/b]. F. L. Kluempen, D. M. Reboli, When are two subgroups ot the rationals isomorphic?, [MM] 77(5)(2004) 374-379..8 Dodatkowe fakty i zadania z liczbmi wymiernymi.8.. Funkcja f(x) = cos(x) + cos(ax) jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy a jest liczbą wymierną. ([Bedn] 52, [Kw] 5/978 5)..8.2. Niech a będzie dodatnią liczbą wymierną. Wtedy dla każdej liczby naturalnej n istnieje dodatnia liczba wymierna b taka, że ( a + a + ) n = b + b +. ([MM] 3(3)(950) 65-69)..8.3. Dla dowolnych liczb naturalnych m, n istnieje liczba naturalna k taka, że ( m + m ) n = k + k. ([Crux] 996 s.42)..8.4. Niech S = Q {, 0, }, f : S S, f(x) = x x. Wtedy.8.5. Jedyną funkcją f : Q Q taką, że f() = 2 oraz f(xy) = f(x)f(y) f(x + y) + dla x, y Q, jest funkcja f(x) = x +. ([Bryn] 6.). n= f n (S) =. ([Putn] 200).

22 Liczby wymierne. Wstępne informacje o liczbach wymiernych.8.6. Funkcja f : Q Q Q spełnia następujące własności: () f(a, b) = f(b, a), (2) f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)), (3) f(0, 0) = 0, (4) f(a + c, b + c) = f(a, b) + c, dla wszystkich a, b, c Q. Wykazać, że f(a, b) = max(a, b) dla wszystkich a, b Q lub f(a, b) = min(a, b) dla wszystkich a, b Q. (H. Derksen 997). W. N. Wagutien, O ułamkach Farey a, [Kw] 8/75 33-39. N. J. Wilenkin, Z historii ułamków, [Kw] 5/87 34-36. P. W. Śniady, Teoria liczb i geometria, (o ułamkach Farey a), [Dlt] 4/95-3. J. Wróblewski, Własności przystawania liczb wymiernych i zespolonych, [Mat] 2/80 3-6.

2 Rozkłady jedynki na sumę ułamków prostych Ułamkiem prostym nazywamy każdą dodatnią liczbę wymierną postaci n, gdzie n jest liczbą naturalną. 2. Ogólne fakty o rozkładach jedynki 2... Dla dowolnej liczby naturalnej s równanie x + x 2 + + x s = ma co najmniej jedno rozwiązanie naturalne i rozwiązań naturalnych jest skończenie wiele. ([S57a], [S64] z.44). D. To, że takie co najmniej jedno rozwiązanie istnieje, wynika na przykład z oczywistej równości = s + s + + s (po prawej stronie jest s ułamków prostych). Skończoność zbioru rozwiązań jest szczególnym przypadkiem twierdzenia 3..5, które udowodnimy w następnym rozdziale. 2..2. Jeśli s 3 jest liczbą naturalną, to równanie x + x 2 + + x s = ma co najmniej jedno rozwiązanie naturalne takie, że x < x 2 < < x s. Jeśli liczbę takich rozwiązań oznaczymy przez l s, to l s+ > l s. Przykłady: l 3 =, l 4 = 6, l 5 = 72, l 6 = 2320. ([S57a], [S64] 45, Maple). Pierwsza część powyższej tezy wynika natychmiast z następującego faktu, którego łatwo udowodnić metodą indukcji matematycznej. 2..3. Rozważmy ciąg (a n ), liczb naturalnych zdefiniowanych rekurencyjnie następująco: a = 2, a n+ = a a 2 a n +, dla n N. Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość + + + + =. a a 2 a n a a 2 a n ([MM] 34()(960) z.397). 2..4. Jeśli (a n ) jest ciągiem takim, że a = 2 i a n+ = a a 2 a n +, dla n N, to + + + <. ([Fom] 38/86, wynika z 2..3). a a 2 a n 2..5. Dla każdej liczby naturalnej n liczbę można przedstawić jako sumę parami różnych ułamków prostych o mianownikach podzielnych przez n. ([Cmj] 9()(978) s.43). 23

24 Liczby wymierne. 2. Rozkłady jedynki na sumę ułamków prostych Mówimy, że liczba naturalna n jest doskonała, jeśli jest równa sumie wszystkich swoich naturalnych dzielników mniejszych od n (patrz [N-5]). Trzy początkowe liczby doskonałe: 6 = + 2 + 3, 28 = + 2 + 4 + 7 + 4, 496 = + 2 + 4 + 8 + 6 + 3 + 62 + 24 + 248. Następne cztery liczby doskonałe: 828, 3086, 209628, 33550336. Liczba 6 jest doskonała i ma trzy dzielniki naturalne większe od jedynki: 2, 3 oraz 6. Suma odwrotności tych dzielników jest równa : 2 + 3 + 6 =. Podobną własność ma liczba doskonała 28: 2 + 4 + 7 + 4 + 28 =. Wykażemy, że każda liczba doskonała ma rozważaną własność. 2..6. Liczba naturalna n jest doskonała wtedy i tylko wtedy, gdy gdy suma odwrotności wszystkich jej dzielników naturalnych większych od jedynki jest równa. D. Przez σ(n) oznacza się sumę wszystkich dzielników naturalnych liczby n. Liczba naturalna n jest doskonała wtedy i tylko wtedy, gdy σ(n) = 2n. Ponieważ d = n/d = n d = σ(n) n, więc d n d n d n σ(n) d = 2 n = 2 σ(n) = 2n. Rozpatrywaliśmy wszystkie dzielniki naturalne włącznie z d n jedynką. Eliminując tę jedynkę otrzymujemy tezę. 2..7. Rozkłady jedynki na sumę n parami różnych ułamków prostych dla n 3: () = 2 + 2 2 + + 2 n 2 + 3 2 n 3 + 6 2 n 3. (2) Niech r =, r n+ = r n (r n + ). Wtedy = r + + + r n + + r n. ([S57a] s.28, [Dlt] 4/984 6). 2..8. Jeśli x < x 2 < < x s są liczbami naturalnymi takimi, że x + x 2 + + x s =, to x s < s 2s. ([Cmj] 28()(997) s.7). 2..9. Jeśli x < x 2 < < x s są liczbami naturalnymi takimi, że x + x 2 + + x s =, to x s < 2 s!. ([Ko04] 66). 2..0. Niech x, x 2,..., x s, x s+ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że Wtedy x x 2 x s+ s s+. ([Crux] 2000 s.67). + + + =. + x + x 2 + x s+ P. Shiu, Egyptian fraction representations of with odd denominators, [MG] 527(2009) 27-276.

Liczby wymierne. 2. Rozkłady jedynki na sumę ułamków prostych 25 2.2 Rozkłady jedynki na sumę s 7 ułamków prostych 2.2.. Jedynym rozwiązaniem naturalnym równania x + y = jest para (x, y) = (2, 2). 2.2.2. Jeśli x, y są liczbami naturalnymi takimi, że x + y <, to x + y 5 6. D. Załóżmy, że x y są liczbami naturalnymi takimi, że x + y x 2 i y 3. Mamy więc: x + y 2 + 3 = 5 6. <. Wtedy jest oczywiste, że 2.2.3. Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) liczb naturalnych takich, że x y z oraz x + y + z =. Odp. (2, 4, 4), (2, 3, 6), (3, 3, 3). ([GaT] /48, [Kw] /88 44). 2.2.4. Nie istnieją liczby naturalne a i b takie, że a 2 + ab + =. ([WyKM] 50-52). b2 2.2.5. Jedynymi rozwiązaniami całkowitymi równania są pary (, ) i (, ). ([Br80] 46). x 2 + xy + x 2 = 2.2.6. Jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi takimi, że x + y + z <, to x + y + z ([Fom] 5/86). 4 42. 2.2.7. Równanie x + y + z + = ma dokładnie 4 rozwiązań naturalnych takich, że t x y z t. Rozwiązaniami tymi są: (2, 3, 7, 42), (2, 3, 8, 24), (2, 3, 9, 8), (2, 3, 0, 5), (2, 3, 2, 2), (2, 4, 5, 20), (2, 4, 6, 2), (2, 4, 8, 8), (2, 5, 5, 0), (2, 6, 6, 6), (3, 3, 4, 2), (3, 3, 6, 6), (3, 4, 4, 6), (4, 4, 4, 4). Wśród nich jest dokładnie 6 takich rozwiązań, w których liczby x, y, z, t są parami różne. ([S64] 43, Maple). 2.2.8. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x, y, z spełniające równość x + y + z + xyz =. Odp. (x, y, z) = (2, 3, 7) i permutacje. ([Mat] 2/985 z.34). 2.2.9. Trójka (, 2, 4) (wraz z jej permutacjami) jest jedynym rozwiązaniem naturalnym równania xy + yz + zx + =. ([Bedn] 37). xyz