Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów

Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów dr hab. Leszek S. Zaremba Profesor w POU, kierownik w Katedrze Metod Ilościowych w Finansach w POU Cezary S. Zaremba Absolwent studiów licencjackich w POU oraz magisterskich w University College London Cz. I WPROWADZENIE W artykule tym rozwiązujemy problem otwarty postawiony w [4], dzięki czemu będzie moŝna znaleźć rozwiązania do wszystkich 6 przykładów z [4] oraz wielu innych. Uogólniony problem optymalnej alokacji zasobów, o nim bowiem mowa, jest formułowany następująco: (1) gdy (2) Aby wyjaśnić, co oznaczają funkcje r t (d t ) oraz g t (d t ), odwołajmy się do przykładu 7 z [4]. W tym przypadku problem polega na alokacji d t sprzedawców produktu D do T regionów. Znamy zarówno koszty g t (d t ) wysłania d t sprzedawców do regionu t, jak i wielkość sprzedaŝy r t (d t ), jaką tam uzyskają z zamiarem maksymalizacji łącznej sprzedaŝy przy spełnieniu ograniczeń budŝetowych postaci (2). Rozpoczniemy od przypomnienia sformułowania klasycznego (najprostszego) problemu optymalnej alokacji zasobów, gdy (2) redukuje się do nierówności: (2*) Sformułowania klasycznego problemu alokacji moŝna znaleźć np. w [1, rozdz. 4.4], [3, rozdz. 20.4] oraz [4], gdzie zostało ono rozwiązane przez program obliczeniowy Problem 1. We wszystkich zagadnieniach alokacji zasobów, łącznie z zagadnieniem klasycznym, funkcje r t (d) występujące w (1), których sumę maksymalizujemy, są zupełnie dowolne, a ograniczenia (jeśli je przyjmujemy) dotyczą jedynie funkcji g t (d t ), które w przykładzie 7 z [4] reprezentowały koszty wysłania d t sprzedawców do regionu t. Klasyczny problem alokacji zasobów jest zbyt mało ogólny, aby za jego pomocą móc rozwiązać większość zagadnień decyzyjnych w firmie. Nie obejmuje on przykładu 1

Przeprowadzka z Białegostoku do Warszawy, od którego rozpoczynamy rozdział 1, ani przykładu Sprzedawcy produktu D. Aby rozwiązać te 2 przykłady, wystarczy rozwiązać zagadnienie optymalnej alokacji zasobów postaci: (3), gdy (3*). Problem ten redukuje się do klasycznego zagadnienia alokacji zasobów, gdy wszystkie parametry c t = 1, 1 T, i jest jednocześnie szczególnym przypadkiem zagadnienia (1)-(2), kiedy to g t (d) = c t d. Aby rozwiązać problem (3)-(3*), a zatem i przykłady 1 i 2, w rozdziale 1 tego artykułu omawiamy specjalny algorytm obliczeniowy Proporcjonal. Jego nazwa pochodzi stąd, Ŝe nierówność (3*) pokazuje proporcjonalne koszty w stosunku do uŝytych zasobów d t. Więcej na temat algorytmu Proportional dowiedzą się państwo podczas omawiania przykładu 3. W rozdziale 2 przechodzimy do nieco bardziej skomplikowanego zagadnienia. Zamiast warunku (3*), będziemy mieć do czynienia z nierównością (2), gdy g 1 (d), g 2 (d), g 3 (d), itd. są funkcjami kwadratowymi. Przykład 5, który ilustruje ten problem, rozwiąŝemy za pomocą algorytmu obliczeniowego Quadratic napisanego na potrzeby tego artykułu. Gdy funkcje g t (d) są bardziej skomplikowane niŝ kwadratowe, na przykład są jednomianami 3 stopnia, zagadnienie optymalnej alokacji zasobów teŝ da się rozwiązać. Przekonujemy się o tym, rozwiązując w rozdziale 2 przykład 6, który jest szczególnym przypadkiem zagadnienia alokacji zasobów w postaci: (4) max {r 1 (d 1 ) + r 2 (d 2 ) + r 3 (d 3 )}, gdy (4*) d 1 3 + d 3 2 + d 3 3 w, przy uŝyciu tego samego algorytmu. W rozdziale 3 rozwiązujemy uogólniony problem alokacji zasobów wszystkie funkcje g t (d) występujące w (2) mogą być zupełnie dowolne za pomocą algorytmu obliczeniowego Generalized, co objaśnimy na przykładzie 7, po czym dokonujemy analizy czułości optymalnego rozwiązania w zaleŝności od parametrów modelu matematycznego (sensitivity analysis). W ostatnim rozdziale rozwiązujemy złoŝony problem postaci (5), gdy (6),

który jest ilustrowany przykładem 8 pod tytułem Przeprowadzka z Białegostoku do Warszawy. Program obliczeniowy Double Generalized słuŝy do rozwiązania zagadnienia (5)-(6) w całej rozciągłości. ROZDZIAŁ 1. UOGÓLNIONE ZAGADNIENIE ALOKACJI ZASOBÓW Przypomnijmy najpierw przykład 5 z [4]. Przykład 1 (przeprowadzka z Białegostoku do Warszawy) Kowalscy przeprowadzają się z Białegostoku do Warszawy. Wynajęcie duŝej cięŝarówki, którą przewieźliby wszystkie meble za jednym razem, jest kosztowne, dlatego przyjęli ofertę kuzyna, który dysponuje nieduŝym samochodem transportowym i moŝe przewieźć ładunek w dwóch turach (dziś i za 3 tygodnie) jedynie po kosztach paliwa. Doradź, które meble i urządzenia kuchenne powinni zabrać w pierwszej turze, aby wystarczyły im przez 3 tygodnie, a jednocześnie zmieściły się na cięŝarówce kuzyna. Oznacza to, Ŝe suma objętości przedmiotów, które wezmą w pierwszej turze, nie moŝe przekroczyć pojemności samochodu, czyli 30 m 3. KaŜdemu meblowi i urządzeniu (zostały one ponumerowane od 1 do n), jak równieŝ grupie mebli i urządzeń tego samego rodzaju Kowalscy przyporządkowali określoną uŝyteczność, którą oznaczymy jako r i (d i ), gdzie d i oznacza liczbę mebli czy urządzeń typu i, 1 i n. Będzie to zatem zagadnienie (5)-(6), gdzie g i (d i ) oznacza objętość d i urządzeń typu i. PowyŜsze dane zostały wprowadzone do tabeli 1 i 2. Zakładamy, Ŝe meble z tabeli 1 nie dadzą się tak ulokować na cięŝarówce, aby kaŝdy kolejny (drugi, trzeci) mebel moŝna było nałoŝyć na pierwszy. Tego typu załoŝenie jest spełnione np. dla szaf, lecz nie jest spełnione w przypadku krzeseł. Liczba mebli 1 2 3 4 UŜyteczność Lekkie meble 60 110 150 180 Średnie meble 150 250 380 500 CięŜkie meble 400 720 1030 1250 Tabela 1. UŜyteczność mebli Liczba mebli 1 2 3 4 Objętość w m 3 Lekkie meble 1 2 3 4 Średnie meble 2 4 6 8 CięŜkie meble 6 12 18 24 Tabela 2. Objętości mebli

Z tabeli 2 wynika, Ŝe warunek (3*) jest spełniony, gdy przyjmiemy, Ŝe c 1 = 1, c 2 = 2, c 3 = 6. Algorytm obliczeniowy Proportional,napisany w języku Java specjalnie w celu rozwiązania zagadnienia (3)-(3*), wyliczył, Ŝe najlepiej przewieźć 4 lekkie meble (uŝyteczność 180, objętość 4m 3 ), 4 średnie meble (uŝyteczność 500, objętość 8m 3 ) oraz 3 cięŝkie meble (uŝyteczność 1030, objętość 18m 3 ), co daje maksymalną uŝyteczność 1710 przy maksymalnej dopuszczalnej objętości 30m 3. Aby uzyskać drugie najlepsze rozwiązanie, naleŝy przewieźć 4 średnie meble (uŝyteczność 500, objętość 8m 3 ), 3 lekkie meble (uŝyteczność 150, objętość 3m 3 ) oraz 3 cięŝkie meble (uŝyteczność 1030, objętość 18m 3 ), co daje uŝyteczność 1680 przy wykorzystanej objętości 29m 3. Przykład 2 (sprzedaŝ produktu D); por. [4, przykład 8] oraz [3, s. 964]) Firma Abecadło ma podjąć decyzję, ilu sprzedawców produktu D zatrudnić (od momentu zatrudnienia sprzedawcy będą jej zasobem), aby następnie skierować ich do T regionów. Znane są koszty g t (x t ) wysłania x t sprzedawców do regionu t oraz wielkość sprzedaŝy r t (x t ), jaką x t sprzedawców uzyska w rejonie t. Chodzi o maksymalizację łącznych przychodów ze sprzedaŝy przy zachowaniu ograniczenia gdzie w jest budŝetem firmy na dany rok równym 10 mln zł., Liczba sprzedawców 10 20 30 40 Region Przychód (rocznie w tys. PLN) #1 1500 2800 4000 5100

#2 2700 5000 7300 9000 #3 3500 6000 8000 9500 Tabela 3. Przychód ze sprzedaŝy w T = 3 regionach Liczba sprzedawców 10 20 30 40 Region Koszty (rocznie w tys. PLN) #1 1000 2000 3000 4000 #2 2000 4000 6000 8000 #3 2500 5000 7500 9000 Tabela 4. Koszty z regionów T Według algorytmu Proportional najlepiej zatrudnić 30 sprzedawców w regionie #1 (przychód 4000 tys., koszty 3000 tys.), 20 w regionie #4 (przychód 6000 tys., koszty 5000 tys.) oraz 10 w regionie #2 (przychód 2700 tys., koszty 2000 tys.), co daje łącznie największy przychód 12 700 tys. Drugie najlepsze rozwiązanie to zatrudnienie 30 sprzedawców w regionie #1 (przychód 4000 tys., koszty 3000 tys.), 20 w regionie #2 (przychód 5000 tys., koszty 4000 tys.) oraz 10 w regionie #3 (przychód 3500 tys., koszty 2500 tys.), co daje łącznie drugi największy przychód 12 500 tys. Przykład 3 Pan Krzysztof postanowił zainwestować maksymalnie w 4 róŝne projekty, po jednym w kaŝdym z 4 krajów (Kanada, USA, Wielka Brytania i Polska). Przyjmijmy, Ŝe dolar kanadyjski kosztuje 3 zł, dolar amerykański 4 zł, a funt brytyjski 5 zł. Postanowił równieŝ, Ŝe w kaŝdym z tych krajów zainwestuje albo 100 tys. j.p. danego kraju albo 200 tys., albo 300 tys., albo 400 tys., mając do dyspozycji 2500 tys. zł. Wszystkie te inwestycje będą przynosić zyski lub straty przez tę samą liczbę lat. Tabela 5 podaje NPV, czyli wartości dodane, jakie wnoszą te 4 projekty w zaleŝności od zainwestowanej w nie kwoty. Pan Krzysztof dąŝy do

maksymalizacji sumy wartości dodanych wynikłych z realizacji tych projektów przez firmę (minimum 1 projekt, maksymalnie 4 projekty), bez przekroczenia budŝetu w wysokości 2500 tys. zł. Wymagany kapitał w lokalnej walucie (w tys.) 100 200 300 400 Inwestycje NPV (w tys. PLN) A (dolar kanadyjski) 500 900 1300 1600 B (dolar USA) 700 1300 1800 2200 C (funt brytyjski) 800 1500 2100 2600 D (złoty polski) 100 190 270 350 Tabela 5. NPV z 4 inwestycji w róŝnych krajach Wymagany kapitał w lokalnej walucie (w tys.) 100 200 300 400 Inwestycje Koszty (w tys. PLN) A (dolar kanadyjski) 300 600 900 1200 B (dolar USA) 400 800 1200 1600 C (funt brytyjski) 500 1000 1500 2000 D (złoty polski) 100 200 300 400 Tabela 6. Koszty dotyczące 4 projektów Jak widać z tabeli 5, pan Krzysztof ma wiele moŝliwości wyboru. Aby się nie pomylić w wyborze optymalnego rozwiązania, zastosujemy algorytm obliczeniowy Proportional, który wyświetla tabelę danych wyjściowych, najlepsze rozwiązanie, drugie najlepsze rozwiązanie oraz kilka dodatkowych informacji. Poszukiwania optymalnej alokacji kapitału odbędą się w 4 fazach. W pierwszej fazie obliczeń ograniczamy się do zainwestowania całej kwoty w jeden projekt. Program wybiera maksymalną liczbę z ostatniej kolumny w tabeli 5, sprawdzając, czy odpowiadająca jej liczba w tabeli 6, reprezentująca w tym przykładzie koszt w tys. PLN, nie przekracza budŝetu. Liczbą tą w tabeli 5 będzie 2600 tys. (reprezentuje ona inwestycję C na terenie Wielkiej Brytanii), poniewaŝ odpowiadający jej koszt odczytywany z tabeli 6 wynosi 2000 tys. 2500 tys. Oznaczymy tę liczbę jako Max1, a drugą największą jako Max2. W drugiej fazie obliczeń rozwaŝamy inwestowanie w 2 róŝne projekty, tak by łączna suma nakładów inwestycyjnych nie przekroczyła 2500 tys. zł. Rozpoczynamy od 4-4, czyli od decyzji zainwestowania po 400 tys. j.p. w kaŝdy z projektów. Kolejnym wyborem jest w tej fazie 4-3, następnie 4-2, 4-1, 3-3, 3-2, 3-1, 2-2, 2-1, 1-1, za kaŝdym razem upewniamy się w tabeli 6, Ŝe nie został przekroczony budŝet w wysokości 2500. Program wybiera najpierw po jednej liczbie z kolumny czwartej i czwartej, które nie znajdują się w tym samym wierszu, następnie po jednej liczbie z kolumny czwartej i trzeciej itd., za kaŝdym razem dodając te dwie liczby do siebie, jeśli ich suma nie przekroczyła budŝetu, i uaktualniając Max1 oraz Max2. W trzeciej fazie obliczeń algorytm Proportional koncentruje się na wyborze 3 kolumn (nakładów inwestycyjnych), które łącznie pochłoną nie więcej niŝ 2500 tys. Algorytm rozpoczyna od alokacji 4-4-4, czyli wybiera 3 liczby po jednej z kolumn czwartej, czwartej i czwartej, tak aby odpowiadały 3 róŝnym inwestycjom (wierszom). W kolejnym kroku program przechodzi do kolumn 4-4-3, wybiera liczby, sumuje je i uaktualnia Max1 i Max2.

W kolejnym kroku trzeciej fazy program przechodzi do kolumn 4-4-2 itd., upewniając się w tabeli 6, Ŝe nie został przekroczony budŝet. W czwartej fazie obliczeń program koncentruje się na wyborze czterech kolumn (nakładów inwestycyjnych), rozpoczynając od alokacji 4-4-4-4, potem zajmuje się alokacją 4-4-4-3, następnie 4-4-4-2 aŝ do 1-1-1-1. Rozpoczynając od alokacji w 4 róŝne inwestycje, wybieramy 4 liczby po jednej z kolumn czwartej, czwartej, czwartej i czwartej, tak aby te liczby odpowiadały 4 róŝnym wierszom, za kaŝdym razem sumuje je i uaktualnia Max1 oraz Max2, o ile nie będzie przekroczony budŝet. W kolejnym krokach algorytm postępuje analogicznie. Proportional wylicza, Ŝe najlepiej zainwestować 300 j.p. w inwestycję B w USA (NPV = 1800 tys., koszty 1200 tys.), 200 j.p. w inwestycję C w Wielkiej Brytanii (NPV = 1500 tys., koszty 1000 tys.) oraz 100 j.p. w inwestycję A na terenie Kanady (NPV = 500 tys., koszty 300 tys.), co łącznie da 3800 tys. zł wartości dodanej, podczas gdy koszty wyniosą 2500 tys. zł. Drugim najlepszym rozwiązaniem jest inwestycja 400 j.p. w projekt A (NPV = 1600 tys., koszty 1200 tys.), 200 j.p. w projekt B (NPV = 1300 tys., koszty 800 tys.) oraz 100 j.p. w projekt C (NPV = 800 tys., koszty 500 tys.), co łącznie da 3700 tys. zł, podczas gdy koszty wyniosą równieŝ 2500 tys. zł. Na zakończenie rozdziału 1 powrócimy na chwilę do [1]. Przykład 4 (jest to bardziej rozbudowany przykład 9 z [1]) Pan Michał posiada środki w wysokości 40 tys. dolarów, które chce zainwestować. MoŜe wybierać spośród projektów pokazanych w tabeli 7. Doradź mu, ile pakietów akcji poszczególnych spółek giełdowych powinien kupić (pakiet = 100 akcji), aby w optymalny sposób alokować kapitał. PoniewaŜ pan Michał chce zdywersyfikować portfel, postanowił nie kupować więcej niŝ 600 akcji jednej spółki. Koszt nabycia 100 akcji Oczekiwany zysk Spółka A $3000 $500 Spółka B $4000 $700 Spółka C $5000 $800 Tabela 7. MoŜliwości inwestycyjne oraz oczekiwany zysk

W tym przykładzie chodzi o taki wybór liczby pakietów (d 1 pakietów akcji spółki A, d 2 pakietów akcji spółki B oraz d 3 pakietów akcji spółki C), aby zmaksymalizować oczekiwane zyski z kupna akcji spółek A, B, C. Tabela 7 podaje zyski z zakupu jednego pakietu akcji. Oczekiwany zysk z zakupu pakietu akcji spółki A wynosi r 1 (1) = 500, spółki B równy jest r 2 (1) = 700, a w przypadku spółki C oczekiwany r 3 (1) = 800. PoniewaŜ zyski są proporcjonalne do liczby zakupionych pakietów, zachodzą równości: (7) r 1 (d) = d * r 1 (1), r 2 (d) = d * r 2 (1), r 3 (d) = d * r 3 (1), gdzie d oznacza liczbę pakietów akcji. Pojawia się zatem następujący problem optymalizacyjny: (8) max{r 1 (d 1 ) + r 2 (d 2 ) + r 3 (d 3 )} gdy spełnione są ograniczenia budŝetowe (9) g 1 (d 1 ) + g 2 (d 2 ) + g 3 (d 3 ) 40 000, to znaczy koszty nabycia d 1 pakietów akcji spółki A, d 2 pakietów akcji spółki B oraz d 2 pakietów akcji spółki C nie mogą przewyŝszać 30 tys. dolarów. W tym przykładzie koszty g 1 (d), g 2 (d), g 3 (d) są proporcjonalne do liczby zakupionych pakietów, dzięki czemu (8)-(9) moŝemy zapisać w postaci (10) max{500d 1 + 700d 2 + 800d 2 } gdy (11) 3000d 1 + 4000d 2 + 5000d 3 40 000. Liczba pakietów akcji 1 2 3 4 5 6 NPV z zakupionych akcji Spółka A 500 1000 1500 2000 2500 3000 Spółka B 700 1400 2100 2800 3500 4200 Spółka C 800 1600 2400 3200 4000 4800 Tabela 8. Oczekiwany zysk z 3 projektów Liczba pakietów akcji 1 2 3 4 5 6 Koszt nabycia akcji Spółka A 3000 6000 9000 12 000 15 000 18 000 Spółka B 4000 8000 12 000 16 000 20 000 24 000 Spółka C 5000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 Tabela 9. Koszty dotyczące 3 projektów

Proportional wyliczył, Ŝe najlepiej zainwestować w 6 pakietów akcji spółki B (zysk 4200, koszt 24 000), 2 pakiety spółki A (zysk 1000, koszt 6000) oraz 2 pakiety spółki C (zysk 1600, koszt 10 000), co daje całkowity zysk 6800 oraz całkowity koszt 40 000. Aby uzyskać drugie najlepsze rozwiązanie, naleŝy zainwestować w 6 pakietów akcji spółki B (zysk 4200, koszt 24 000) oraz w 5 pakietów akcji spółki A (zysk 2500, koszt 15 000), co daje całkowity zysk 6700 oraz całkowity koszt 39 000. ROZDZIAŁ 2. PRZYPADEK KOSZTÓW OKREŚLONYCH PRZEZ FUNKCJE KWADRATOWE Przykład 5 (będący poszerzeniem przykładu 2) Firma ABC zastanawia się, ilu sprzedawców produktu E zatrudnić (od momentu zatrudnienia sprzedawcy będą jej zasobem), aby następnie skierować ich do T regionów. Znamy zarówno koszty g t (x t ) wysłania x t sprzedawców do regionu t, jak i wielkość sprzedaŝy r t (x t ), jaką x t sprzedawców uzyska w rejonie t. Firmie chodzi o maksymalizację łącznych przychodów ze sprzedaŝy: przy zachowaniu ograniczenia: Funkcje g t (x) dane są wzorami: g 1 (d) = 0,5d 2 + 60d + 100 (12) g 2 (d) = 1,5d 2 + 80d + 400

g 3 (d) = 5d 2 + 50d + 600 g 4 (d) = 7d 2 + 30d + 700 Liczba sprzedawców 10 20 30 40 Region Przychód (rocznie w tys. PLN) #1 1500 2800 4000 5100 #2 2700 5000 7300 9000 #3 3500 6000 8000 9800 #4 5000 8000 10 800 13 500 Tabela 10. Przychód ze sprzedaŝy w T = 4 regionach Liczba sprzedawców 10 20 30 40 Region Koszty (rocznie w tys. PLN) #1 750 1500 2350 3300 #2 1350 2600 4150 6000 #3 1600 3600 6600 10 600 #4 1700 4100 7900 13 100 Tabela 11. Koszty z 4 regionów Ogólnie mówiąc, naleŝy maksymalizować (13) max {r 1 (d 1 ) + r 2 (d 2 ) + r 3 (d 3 ) + r 4 (d 4 )}, gdy (14) g 1 (d 1 ) + g 2 (d 2 ) + g 3 (d 3 ) + g 4 (d 4 ) <= w, biorąc pod uwagę, Ŝe: g 1 (x) = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 (15) g 2 (x) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 g 3 (x) = a 3 x 2 + b 3 x + c 3 g 4 (x) = a 4 x 2 + b 4 x + c 4 Natomiast kiedy a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0, mamy do czynienia z przypadkiem kwadratowym, który został opisany w rozdziale 1 w przykładach 1-4. Rozwiązanie W celu rozwiązania zagadnienia alokacji zasobów (13)-(15), napisaliśmy program obliczeniowy Quadratic. Dla przykładu 5 program wyliczył, Ŝe najlepiej przydzielić 4 sprzedawców do regionu #1 (przychód 5100 tys., koszt 3300 tys.), 4 sprzedawców do regionu

#2 (przychód 9000, koszt 6000), 2 sprzedawców do regionu #4 (przychód 8000 tys., koszt 4100 tys.) oraz 1 sprzedawcę do regionu #3 (przychód 3500 tys., koszt 1600 tys.), co łącznie daje przychód 25 600 tys. oraz koszt 15 000 tys. Drugie najlepsze rozwiązanie to przydzielenie 3 sprzedawców do regionu #1 (przychód 4000 tys., koszt 2350 tys.), 3 sprzedawców do regionu #2 (przychód 7300 tys., koszt 4150 tys.), 2 sprzedawców do regionu #3 (przychód 6000 tys., koszt 3600 tys.) oraz 2 sprzedawców do regionu #4 (przychód 8000 tys., koszt 4100 tys.), co łącznie daje przychód 25 300 tys. oraz koszt 14 200 tys. Przykład 6 Spróbujmy rozwiązać zagadnienie z przykładu 5, gdy funkcje kosztów dane są jednomianami 3 stopnia, to znaczy ograniczenie na koszty ma postać d 1 3 + d 3 2 + d 3 3 w (tabele 12-13). Tym razem budŝet wynosi 80 mln zł. Liczba sprzedawców 10 20 30 40 Region Zyski (rocznie w tys. PLN) #1 1500 2800 4000 5100 #2 2700 5000 7300 9000 #3 3500 6000 8000 9800 #4 5000 8000 10 800 13 500 Tabela 12. Zyski ze sprzedaŝy w T = 4 regionach Liczba sprzedawców 10 20 30 40 Region Koszty (rocznie w tys. PLN) #1 1000 8000 27 000 64 000 #2 1000 8000 27 000 64 000 #3 1000 8000 27 000 64 000

#4 1000 8000 27 000 64 000 Tabela 13. Koszty z 4 regionów Quadratic wyliczył, Ŝe najlepiej wysłać 30 sprzedawców do regionu #2 (NPV = 7300 tys., koszt 27 000 tys.), 30 sprzedawców do regionu #4 (NPV = 10 800 tys., koszt 27 000 tys.), 20 sprzedawców do regionu #1 (NPV = 2800 tys., koszt 8000 tys.) oraz 20 do regionu #3 (NPV = 6000 tys., koszt 8000 tys.), czyli całkowity NPV wynosi 26 900 tys., a koszt 70 000 tys. zł. Drugie najlepsze rozwiązanie to wysłanie 30 sprzedawców do regionu #3 (NPV = 8000 tys., koszt 27 000 tys.), 30 sprzedawców do regionu #4 (NPV = 10 800 tys., koszt 27 000 tys.), 20 sprzedawców do regionu #1 (NPV = 2800 tys., koszt 8000 tys.) oraz 20 do regionu #2 (NPV = 5000 tys., koszt 8000 tys.), czyli całkowity NPV wynosi 26 600 tys., a koszt 70 000 tys. zł. ROZDZIAŁ 3. UOGÓLNIONY PROBLEM ALOKACJI ZASOBÓW W przykładzie 1 Kowalscy przewozili najbardziej potrzebne meble na cięŝarówce kuzyna. Były to szafy, szafki z pułkami, regały itp., czyli meble, które nie dadzą się włoŝyć w większe meble. W przykładzie 6 będziemy przewozić drobne meble: krzesła, fotele, nocne szafki itp., czyli takie, które moŝna włoŝyć jedne w drugie (np. krzesło na krzesło). W celu rozwiązania uogólnionego problemu alokacji zasobów (1)-(2) stworzyliśmy algorytm obliczeniowy Generalized. Przykład 7 Objętość cięŝarówki wynosi 10m 3. Które meble wybrać (ich objętości zostały podane w tabeli 15), aby uzyskać jak najwyŝszą uŝyteczność (tabela 14). Odpowiedź na to pytanie znalazł nowy program obliczeniowy Generalized. Liczba

1 2 3 4 Meble: UŜyteczność A krzesła 5 8 10 11 B fotele 10 11 12 13 C stoły 7 10 12 14 D szafki nocne 8 10 11 12 Tabela 14. UŜyteczność z uwzględnieniem róŝnej liczby mebli Liczba (d) 1 2 3 4 Meble: Objętość A krzesła 1 1 2 2 B fotele 2 3 5 6 C stoły 3 4 5 6 D szafki nocne 1 1 1 2 Tabela 15. Objętość z uwzględnieniem róŝnej liczby mebli Najlepiej zabrać 4 krzesła (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 3 stoły (uŝyteczność 12, objętość 5m 3 ), 3 szafki nocne (uŝyteczność 11, objętość 1m 3 ) oraz 1 fotel (uŝyteczność 10, objętość 2m 3 ), co daje łączną uŝyteczność 44 przy wykorzystaniu maksymalnej objętości. By uzyskać drugie najlepsze rozwiązanie, naleŝy zabrać 4 krzesła (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 4 szafki nocne (uŝyteczność 12, objętość 2m 3 ), 2 stoły (uŝyteczność 10, objętość 4m 3 ) i 1 fotel (uŝyteczność 10, objętość 2m 3 ), co daje łączną uŝyteczność 43 przy wykorzystaniu maksymalnej objętości (10m 3 ).

Ciekawe jest przeprowadzenie dla tego przykładu sensitivity analysis, czyli zbadanie, w jakim stopniu optymalne rozwiązanie jest czułe na zmianę parametrów modelu matematycznego. W tym celu rozpatrzymy jeszcze przypadki, gdy objętość wynosi 8m 3, 9m 3, 11m 3 i 12m 3. Przypadek: objętość = 8m 3 Według programu Generalized najlepszym rozwiązaniem jest zabranie 4 mebli A (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 3 mebli D (uŝyteczność 11, objętość 1m 3 ), 1 mebla B (uŝyteczność 10, objętość 2m 3 ) oraz 1 mebla C (uŝyteczność 7, objętość 3m 3 ), co daje łączną uŝyteczność 39 oraz objętość 8m 3. Drugie najlepsze rozwiązanie to zabranie 4 mebli A (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 2 mebli D (uŝyteczność 10, objętość 1m 3 ) oraz 1 mebla B (uŝyteczność 10, objętość 2m 3 ) i 1 mebla C (uŝyteczność 7, objętość 3m 3 ), co łącznie daje uŝyteczność 38 oraz objętość 8m 3. Przypadek: objętość = 9m 3 Najlepszym rozwiązaniem jest zabranie 4 mebli A (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 3 mebli D (uŝyteczność 11, objętość 1m 3 ), 2 mebli C (uŝyteczność 10, objętość 4m 3 ) oraz 1 mebla B (uŝyteczność 10, objętość 2m 3 ), co łącznie daje uŝyteczność 42 i objętość 9m 3.

Drugim najlepszym rozwiązaniem jest zabranie 4 mebli A (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 2 mebli C (uŝyteczność 10, objętość 4m 3 ), 2 mebli D (uŝyteczność 10, objętość 1m 3 ) oraz 1 mebla B (uŝyteczność 10, objętość 2m 3 ), co łącznie daje uŝyteczność 41 i objętość 9m 3. Przypadek: objętość = 11m 3 Najlepszym rozwiązaniem jest zabranie 4 mebli A (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 4 mebli C (uŝyteczność 14, objętość 6m 3 ), 3 mebli D (uŝyteczność 11, objętość 1m 3 ) oraz 1 mebla B (uŝyteczność 10, objętość 2m 3 ), co łącznie daje uŝyteczność 46 i objętość 11m 3. Drugim najlepszym rozwiązaniem jest zabranie 4 mebli A (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 4 mebli D (uŝyteczność 12, objętość 2m 3 ), 3 mebli C (uŝyteczność 12, objętość 5m 3 ) oraz 1 mebla B (uŝyteczność 10, objętość 2m 3 ), co łącznie daje uŝyteczność 45 i objętość 11m 3. Przypadek: objętość = 12m 3

Najlepszym rozwiązaniem jest zabranie 4 mebli A (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 4 mebli C (uŝyteczność 14, objętość 6m 3 ), 4 mebli D (uŝyteczność 12, objętość 2m 3 ), oraz 1 mebel B (uŝyteczność 10, objętość 2m 3 ), co łącznie daje uŝyteczność 47 i objętość 12m 3. Drugim najlepszym rozwiązaniem jest zabranie 4 mebli A (uŝyteczność 11, objętość 2m 3 ), 4 mebli D (uŝyteczność 12, objętość 2m 3 ), 3 mebli C (uŝyteczność 12, objętość 5m 3 ) oraz 2 mebli B (uŝyteczność 11, objętość 3m 3 ), co łącznie daje uŝyteczność 46 i objętość 12 m 3. Rys. 1. Analiza czułości: porównanie rozwiązań

Przykład 8 (przeprowadzka vanem z Białegostoku do Warszawy bardziej złoŝony model matematyczny) Tym razem wystąpią 2 ograniczenia: waga i objętość. Zaczniemy od przypadku, gdy maksymalna waga = 150 kg, a maksymalna objętość = 10m 3. Liczba 1 2 3 4 Meble: UŜyteczność A krzesła 5 8 10 11 B fotele 10 11 12 13 C stoły 7 10 12 14 D szafki nocne 8 10 11 12 Tabela 16. UŜyteczność mebli z uwzględnieniem ich róŝnej liczby Liczba (d) 1 2 3 4 Meble: Waga w m 3 A krzesła 1 1 2 2 B fotele 2 3 5 6 C stoły 3 4 5 6 D szafki nocne 1 1 1 2 Tabela 17. Objętość mebli z uwzględnieniem ich róŝnej liczby Liczba (d) 1 2 3 4 Meble: Waga w kg A krzesła 4 8 12 16 B fotele 30 60 90 120 C stoły 35 70 105 140 D szafki nocne 8 16 24 32 Tabela 18. Waga mebli z uwzględnieniem ich róŝnej liczby

Wykorzystując 25 razy program Double Generalized, otrzymujemy następującą analizę czułości rozwiązań w zaleŝności od parametrów modelu matematycznego. Objętość/waga 50 100 150 200 250 8 36 39 39 39 39 9 36 42 42 42 42 10 36 44 44 44 44 11 36 45 46 46 46 12 36 45 47 47 47 Tabela 19. Najlepsze rozwiązanie Objętość/waga 50 100 150 200 250 8 35 38 38 38 38 9 35 41 41 41 41 10 35 43 43 43 43 11 35 44 45 45 45 12 35 44 46 46 46 Tabela 20. Drugie najlepsze rozwiązanie Z obu tabel moŝna wyciągnąć wiele wniosków. Na przykład ten, Ŝe zwiększanie dopuszczalnej wagi od 100 kg wzwyŝ nie poprawia maksymalnej uŝyteczności. Literatura 1. B. Guzik, Ekonometria i badania operacyjne, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 1999.

2. E. Ignasiak, Badania operacyjne, PWE, Warszawa 1997. 3. W. Winston, Operations Research: Applications and Algorithms, PWS-Kent Publishing Company, 1991. 4. C.S. Zaremba, L.S. Zaremba, O pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów, Zarządzanie Zmianami biuletyn POU, marzec 2010, nr 37.