Podstawy mechaniki kwantowej Jak opisać świat w małej skali? Czy świat jest realny? 1
Promieniowanie elektromagnetyczne gamma X ultrafiolet podczerwień mikrofale radiowe widzialne Wavelength in meters 10-1 10-10 10-8 4 x 10-7 7 x 10-7 10-4 10-1 10 10 4 Gamma rays X rays Ultraviolet Infrared Microwaves Radio waves Visible FM Shortwave AM 4 x 10-7 5 x 10-7 6 x 10-7 7 x 10-7 Film_fala elektromagnetyczma.mov
Promieniowanie elektromagnetyczne 1 second λ 1 duża długość fali mała częstość ν 1 = 4 cycles/second = 4 hertz λ ν = 8 cycles/second = 8 hertz λ 3 mała długość fali duża częstość ν 3 = 16 cycles/second = 16 hertz 3
Promieniowanie elektromagnetyczne λ 1 1 second ν 1 = 4 cycles/second = 4 hertz λ c = λ T = λ ν [ m] s ν = 8 cycles/second = 8 hertz λ 3 λ długość fali [m] ν częstość [1/s] Τ okres [s] ν = 1 T 1 [] s ν 3 = 16 cycles/second = 16 hertz 4
Promieniowanie elektromagnetyczne Przykład1 Wyznaczenie częstości światła z długości fali Jaka jest częstość promieniowania podczerwonego stosowanego w dalmierzu (autofocus) aparatu fotograficznego, jeżeli długość fali tego promieniowania wynosi 1.00 µm?! pamiętając, że λ ν= c i przeliczając długość fali na metry, tak aby c i λ były wyrażone w tych samych jednostkach, długość fali wynosi: c ν = λ λ = 1.00 µm 10-6 1µm = 1.00 10-6 m 3.00 10 ν = 8 m/s = 3.00 10 14 1 /s 1.00 10-6 m 3.00 10 14 Hz 5
Fakty eksperymentalne 1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego. Efekt fotoelektryczny 3. Efekt Comptona 4. Widma atomowe 5. Układ okresowy 6
Fakty eksperymentalne. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego Max Planck 1900 kwanty energii E = hν h = 6.66 10 34 J s http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/applets/blackbody/frame.html 7
Fakty eksperymentalne. Efekt fotoelektryczny Albert Einstein 1905 hν e bilans energii hν = 1 m e v + Φ m e masa elektronu v prędkość ν częstość Φ praca wyjścia 8
Analogia Kwantowanie można porównać z wlewaniem wody do Kwantowanie można porównać z wlewaniem wody do wiadra. Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wiadra. Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, że można wlać jej dowolną ilość. Jednak wydaje się, że można wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody, którą można przenieść, to najmniejsza ilość wody, którą można przenieść, to jedna cząsteczka H jedna cząsteczka H O. Podobnie wydaje się, że O. Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposób ciągły, w energia jest przenoszona w sposób ciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylko rzeczywistości jednak może być przekazywana tylko pewnymi porcjami. pewnymi porcjami. 9
Fakty eksperymentalne Przykład Wyznaczenie energii fotonów Jaka jest energia (w kilodżulach na mol) fotonów światła żółtego o częstości 5. 10 14 Hz? Każdy foton ma energię, która odpowiada częstości światła, zgodnie z równaniem E=hν. Z równania tego należy obliczyć tą energię, a następnie pomnożyć ją przez stałą Avogadra, by wyznaczyć energię na mol fotonów (w kilodżulach na mol 1kJ = 10 3 J, 1Hz = 1/s). E = hν = (6.63 10-34 J s) (5. 10 14 1 /s) = 6.63 5. 10-0 J (6.63 5. 10-0 J) (6.0 10 3 /mol) (1 kj/10 3 J) =.1 10 kj/mol 10
Fakty eksperymentalne. Efekt Comptona p i zasada zachowania pędu ρ p i p ρ ρ p = s i ρ p s + = cosθ ρ p e p s θ p i p e h λ i s równanie de Broglie a p p = h λ h h λi = + = cosθ λ λ λ s λ i = e λ ( 1 cosθ ) 11
Fakty eksperymentalne Przykład Obliczenie długości fali obiektu Przypuśćmy, że elektron w atomie porusza się z prędkością. 10 6 m/s. Jaka jest długość fali de Broglie a elektronu? Równanie λ = h/mυ podaje zależność między długością fali a masą i prędkością obiektu. Aby z niego skorzystać musimy znać masę elektronu i wartość h (jednostki: kilogram, metr, sekunda). (9.109 10-8 10 g) -3 kg = 9.109 10-31 kg 1g 6.63 10-34 J s λ = (9.109 10-31 kg) (. 10 6 = 3.3 10 m/s) -10 m 1 1J = 1kg m /s ; 330 pm
Fakty eksperymentalne Przykład 3 Obliczenie masy fotonu Jaką masę mają fotony pochodzące ze światła o długości fali 500 nm? Równanie mυ = h/λ podaje zależność między masą i prędkością obiektu a długością fali. m m f f h = λ c -34 6.63 10 Js = = 4 10-7 8 m 5 10 m 3 10 s 37 kg m e =9 10-31 kg 13
Fakty eksperymentalne 07_97. Widma atomowe (a) + VI BGYOR Continuous spectrum - Electric arc (white light source) Slit Prism Detector (photographic plate) (b) + Arc Detector (photographic plate) 1 1 1 = R o n λ n > High voltage - Hydrogen gas Slit Prism 410 nm434 nm 486 nm 656 nm 14
Fakty eksperymentalne. Układ okresowy 0_9 Alkaline 1 earth metals 1A Halogens Noble gases 18 8A 1 H 13 14 15 16 17 A 3A 4A 5A 6A 7A He 3 Li 4 Be 5 B 6 C 7 N 8 O 9 F 10 Ne 11 Na 1 Mg 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Transition metals 13 Al 14 Si 15 P 16 S 17 Cl 18 Ar Alkali metals 19 K 37 Rb 0 Ca 38 Sr 1 Sc 39 Y Ti 40 Zr 3 V 41 Nb 4 Cr 4 Mo 5 Mn 43 Tc 6 Fe 44 Ru 7 Co 45 Rh 8 Ni 46 Pd 9 Cu 47 Ag 30 Zn 48 Cd 31 Ga 49 In 3 Ge 50 Sn 33 As 51 Sb 34 Se 5 Te 35 Br 53 I 36 Kr 54 Xe 55 Cs 56 Ba 57 La* 7 Hf 73 Ta 74 W 75 Re 76 Os 77 Ir 78 Pt 79 Au 80 Hg 81 Tl 8 Pb 83 Bi 84 Po 85 At 86 Rn 87 Fr 88 Ra 89 Ac 104 Unq 105 Unp 106 Unh 107 Uns 108 Uno 109 110 111 Une Uun Uuu *Lanthanides 58 Ce 59 Pr 60 Nd 61 Pm 6 Sm 63 Eu 64 Gd 65 Tb 66 Dy 67 Ho 68 Er 69 Tm 70 Yb 71 Lu Actinides 90 Th 91 Pa 9 U 93 Np 94 Pu 95 Am 96 Cm 97 Bk 98 Cf 99 Es 100 Fm 101 Md 10 No 103 Lr 15
Dualizm korpuskularno-falowy własności światło elektrony korpuskularne falowe!ciało doskonale czarne!efekt Comptona!efekt fotoelektryczny!dyfrakcja!interferencja!promieniowanie katodowe!promieniowanie beta!dyfrakcja!interferencja Które efekty dominują i dlaczego? Przykład: proces fotograficzny http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/microworld1_e 16
dyfrakcja elektronów 17
Źródło pojedynczych elektronów Pd-Cs cathode 50 nm gold layer 18
Elektrony Dualizm korpuskularno-falowy Zgodnie z relacją de Broglie a cząstka o określonej prędkości jest falą, której długość określa równanie: λ = e m e h υ e Gdzie zatem znajduje się elektron? Fala rozciąga się w przestrzeni, jest wszędzie. Jednak elektrony są jednocześnie falą i materią Zasada nieoznaczoności Heisenberga 19
Dualizm korpuskularno-falowy Zasada nieoznaczoności Heisenberga " jeżeli znamy prędkość cząstki, to to nie nie możemy określić jej jej położenia. " gdy gdy znamy położenie cząstki, wówczas nie nie wiemy nic nic o jej jej prędkości. tzn. tzn. znając znając położenie położenie cząsteczki, cząsteczki, nie nie możemy możemy opisać opisać jej jej jako jako fali fali o o określonej określonej długości długości x p h Czy są sytuacje, że zasada nieoznaczoności nie działa? # zjawiska makroskopowe, gdy falowe właściwości materii nie odgrywają praktycznie roli 0
Fotony Dualizm korpuskularno-falowy energia E f = hν masa m f = hν c pęd h - stała Plancka = 6.6. 10-34 J. s hν h ν częstość, s -1 p f = = c λ λ - długość fali, m c prędkość światła 3. 10 1 10 8 m/s
Mechanika kwantowa Podstawy 1. Kwantowanie energii interpretacja efektu fotoelektrycznego i rozkładu widma ciała doskonale czarnego E = hν. Dualizm korpuskularno-falowy każda poruszająca się cząstka (foton, elektron) emituje falę o długości: λ = 3. Zasada nieoznaczoności nie można dokładnie ustalić położenia i pędu cząstki h p x p h
Podstawy Mechanika kwantowa 4. Gęstość prawdopodobieństwa można natomiast ustalić prawdopodobieństwo P przebywania cząstki w określonej objętości dv. Prawdopodobieństwo w danej objętości definiujemy jako gęstość prawdopodobieństwa Ψ : ψ = P dv 5. Równanie Schrödingera funkcję Ψ znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe: H ˆψ = Eψ gdzie Ψ oznacza funkcję falową. 3
Mechanika kwantowa Definicje Co to jest funkcja falowa? z P prawdopodobieństwo Ψ funkcja falowa ρ gęstość prawdopodobieństwa ρ = P dv = ρ( x, y, z, t) ρ( x, y, z x y Istnieje taka funkcja, że ψ ψ = ρ = 1 4
Definicje Co to jest operator w matematyce? dowolna operacja matematyczna, jak na przykład: + Mechanika kwantowa Gˆ f = d dx g f sin Co to jest zagadnienie własne? ^ jeżeli w wyniku działania jakiegoś operatora G na funkcję f otrzymamy tą samą funkcję przemnożoną przez liczbę g: ^ wówczas liczbę g nazywamy wartością własną operatora G 5
Mechanika kwantowa Definicje Co to jest zagadnienie własne? Przykład można policzyć, że podwójne różniczkowanie funkcji: f = Ae ax daje: d dx Ae ax = a Ae ax gdzie: d dx jest operatorem Gˆ i a jest wartością własną 6
Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera H ˆψ = Eψ Ĥ E ψ operator różniczkowy Hamiltona energia funkcja falowa zasada zachowania energii h d d d + m dx dy dz + energia kinetyczna elektronu operator energii kinetycznej Hˆ = Tˆ + Vˆ operator energii potencjalnej Z e 4πε r przyciąganie Coulombowskie jądro-elektron 0 m masa cząstki Z ładunek jądra 7 ε 0 stała dielektryczna pró
Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera jeżeli cząstka porusza się w jednym wymiarze x to operator Hamiltona ma postać w stanie nieważkości: Hˆ = h m d dx a w trzech wymiarach x, y, z: ˆ = h d d d H + + m dx dy dz m masa cząstki h stała Plancka 8
Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się się funkcje falowe i i odpowiadające im im wartości energii E. E. O poprawności rozwiązania świadczy jego jego zgodność z wartościami E wyznaczonymi doświadczalnie. 9
Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) x=0 x=l x równanie Schrödingera ma postać: h m d dx ψ ( x) = Eψ ( x) 30
Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) h m d Ψ dx = E Ψ( x) rozwiązanie równania ma postać ogólną: Ψ( x) = Asin kx + B cos kx gdzie k = (me) η 1 i η = h π E energia cząstki A, B stałe całkowania 31
Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) Uwzględniając warunki brzegowe cząstki w pudle dla: x=0 to Ψ=0 i x=l to Ψ=0 bo cząstka nie przebywa na ściankach pudła. Podstawiając x=0 do równania ogólnego otrzymamy: Ψ(x=0)=Asin (k 0)+Bcos(k 0)=0 sinkx=0 i coskx=1 zauważmy, że: wówczas B=0 Podstawiając x=l do równania ogólnego otrzymamy: Ψ(x=L)=Asin (k L)=0 wówczas A=0 lub sin (k L)=0 3 jednak A=0 wykluczamy, bo cząstka istnieje (Y(x)= 0 dla 0 < x< L
Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) Zatem dalej: sin (k L)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy π π 3π k=n π i n jest liczbą naturalną Podstawmy do wzoru na k Z tego otrzymamy wzór na energię E 1 ( me) k = = nπ n η = 1,... n h E = n = 8mL 1,... Energia cząstki jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej n 33
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) energia Mechanika kwantowa n h E = n = 1,... 8mL poziomy energetyczne cząstki E n n 5 5 16 4 9 3 0 4 1 1 34
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) funkcja falowa Mechanika kwantowa dla stanu podstawowego n = 1 dla stanu wzbudzonego n > 1 można wykazać, że z warunku L Ψ ( x) dx = 1 0 Ψ n ( x) = L 1 sin nπx L określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego 35
36 Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) Mechanika kwantowa funkcja falowa i energia L x n L x n π sin ) ( 1 = Ψ 8mL h n E = 1 3 1 4 9 n n E 0 ψ
Mechanika kwantowa Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym) funkcja falowa E n n ψ ψ Ψ n ( x) = L 1 sin nπx L 9 3 gęstość prawdopodobieństwa Ψ nπx n( x) = sin L L 4 i energia E = n h 8mL 0 1 1 37