Argumenty z intuicji matematycznej

Podobne dokumenty
Intuicja matematyczna

Intuicja Matematyczna

Wstęp do Matematyki (4)

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Równoliczność zbiorów

AE i modele zamierzone

Twierdzenia Gödla. Jerzy Pogonowski. Funkcje rekurencyjne. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie

Paradoksy log o i g czne czn i inne 4 marca 2010

Wstęp do Matematyki (1)

Rekurencyjna przeliczalność

Funkcje rekurencyjne

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Semiotyka logiczna. Jerzy Pogonowski. Dodatek 4. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Intuicja matematyczna kilka uwag. Mathematical intuition a few remarks

Informacje ogólne. Językoznawstwo i nauka o informacji

Logika i teoria mnogości Wykład Sformalizowane teorie matematyczne

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Twierdzenie o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna

Statystyka matematyczna dla leśników

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

Logika Matematyczna (1)

Opis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań

Informacje ogólne. Wstęp do współczesnej semantyki. Lingwistyka komputerowa

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń

Zasady krytycznego myślenia (1)

Metody probabilistyczne

Logika Matematyczna (1)

Kierunek MATEMATYKA, Specjalność MATEMATYKA STOSOWANA

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

Sztuczna inteligencja i logika. Podsumowanie przedsięwzięcia naukowego Kisielewicz Andrzej WNT 20011

Logika, teoria zbiorów i wartość bezwzględna

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Matematyka jest logiką nieskończonego

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

KARTA KURSU. Probability theory

Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat)

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Maszyny Turinga. Jerzy Pogonowski. Funkcje rekurencyjne. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Zadania do samodzielnego rozwiązania

ZALICZENIE WYKŁADU: 26.I.2017

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna

Paradoksy a Intuicja

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

KARTA KURSU (realizowanego w module specjalności) MATEMATYKA Studia I stopnia niestacjonarne

Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Semiotyka logiczna (1)

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

ZAGADNIENIA NA KOLOKWIA

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 3: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć Semestr zimowy 2018/2019

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka

Kierunek: Matematyka, rok I specjalność: Analiza danych

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

Logika Matematyczna 16 17

Chen Prime Liczby pierwsze Chena

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.

KARTA KURSU (realizowanego w module specjalności) MATEMATYKA Studia I stopnia stacjonarne

Statystyka matematyczna

KARTA KURSU. Elementy statystyki matematycznej. Mathematical statistics

Rok akademicki: 2017/2018 Kod: HKL s Punkty ECTS: 4. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Leonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii

Instytut Matematyczny. Uniwersytetu Wrocławskiego TEST KWALIFIKACYJNY. 1 października 2007 r.

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:


Prawdopodobieństwo geometryczne

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Testowanie hipotez statystycznych

L.O. św. Marii Magdaleny w Poznaniu, O POŻYTKACH PŁYN ACYCH Z RZUCANIA MONETA. Tomasz Łuczak

Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1

Matematyka dyskretna

MATEMATYKA PLAN STUDIÓW STACJONARNYCH DRUGIEGO STOPNIA

Definicje nieskończoności

Twierdzenie Pitagorasa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

OPIS ZAKŁADANYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA DLA KIERUNKU STUDIÓW. Efekty kształcenia dla kierunku studiów Matematyka

RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

WIEDZA. X1A_W04 X1A_W05 zna podstawowe modele zjawisk przyrodniczych opisywanych przez równania różniczkowe

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)

Liczby pierwsze na straży tajemnic

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

ALFRED TARSKI. Życie i logika Kalendarium. Joanna Golińska-Pilarek. Marian Srebrny.

POZIOMY WYMAGAŃ I OGÓLNE KRYTERIA OCEN. Z MATEMATYKI. kl. I

Juwenilia logiczne Romana Suszki

Transkrypt:

Argumenty z intuicji matematycznej Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl ArgDiaP 2011 Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 1 / 21

Wstęp Intuicja i dowód w matematyce Dwa filary matematyki: intuicja matematyczna dedukcja. Dwa sposoby posługiwania się intuicją matematyczną: Globalnie. Dla rozwijania nowych teorii. Lokalnie. Dla wspomagania rozumienia dowodów i konstrukcji. Humanistka to ktoś, kto nie rozumie matematyki. Przy założeniu bożej ingerencji w matematyczność Przyrody, Bóg nie może być więc Humanistką. Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 2 / 21

Czym jest intuicja matematyczna? W stronę definicji Obywatele, filozofowie, matematycy o intuicji Intuicja: definicje słownikowe oraz encyklopedyczne. Intuicja matematyczna: wypowiedzi matematyków. Trudności klasycznych stanowisk w filozofii matematyki związane z definicją terminu intuicja matematyczna. Kto miałby ustalać czym jest intuicja matematyczna? Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 3 / 21

Czym jest intuicja matematyczna? W stronę definicji Czy masz wyobraźnię hydrauliczną? Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 4 / 21

Czym jest intuicja matematyczna? W stronę definicji Co jest częścią wspólną 3 ortogonalnych walców? Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 5 / 21

Czym jest intuicja matematyczna? W stronę definicji Widzisz to? Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 6 / 21

Czym jest intuicja matematyczna? Paradoksy i zmienność intuicji I nie opuszczę cię aż do śmierci Trzy klasyczne przykłady: niewymierność, aksjomat wyróżniania, rozumienie pojęcia nieskończoności. Dwie twarze Paradoksu Skolema. Przykłady zmienności intuicji: algebra, analiza, geometria, logika. Intuicja a uogólnianie oraz analogie. O co kłócą się matematycy? Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 7 / 21

Czym jest intuicja matematyczna? Standard, patologia, wyjątek Teratologia potworów All animals are equal but... Sfera rogata Alexandera i twierdzenie Jordana-Schönfliessa Zbiory niemierzalne: kapitulacja intuicji potocznych Obiekty fraktalne: nowa intuicja wymiaru? Struktury niearchimedesowe. Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 8 / 21

Czym jest intuicja matematyczna? Standard, patologia, wyjątek Sfera rogata Alexandera Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 9 / 21

Przykłady matematyczne Teoria liczb Bliźniacze liczby pierwsze Hipoteza: istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych liczb pierwszych. x 1 Li(x) = ln t x ln x π(x) = Li(x) + O( x ln x), gdzie 2 k=1 k! (ln x) k, π(x) to liczba liczb pierwszych x, a O jest symbolem Landaua. Przypuszczamy, że szansa iż (x, x + 2) jest parą bliźniaczych liczb pierwszych jest taka, jak szansa uzyskania orła przy dwóch rzutach monetą. Szansa, iż wybrana losowo liczba x z przedziału od 0 do n będzie liczbą pierwszą równa jest około 1 ln n. Szansa, że zarówno x, jak 1 i x + 2 będą pierwsze jest równa około. Tak więc, będzie około (ln n) 2 n par bliźniaczych liczb pierwszych między 0 a n. (ln n) 2 Ponieważ lim n n (ln n) 2 =, więc daje to, jak piszą Davis i Hersh (Świat matematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1994, 190), ilościową wersję przypuszczenia o parach liczb pierwszych. Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 10 / 21

Przykłady matematyczne Teoria liczb Hipoteza Riemanna Funkcja ζ Riemanna: ζ(z) = n z. Hipoteza Riemanna głosi, że n=1 wszystkie (nietrywialne) zera tej funkcji leżą na prostej o równaniu Re(z) = 1 2. [W argumentacji niżej pomijamy pewne kroki.] Funkcja Möbiusa µ(x) = 0, gdy x dzieli się przez kwadrat liczby pierwszej, µ(x) = 1 (odp. ( 1)), gdy rozkład x ma parzystą (odp. nieparzystą) liczbę różnych czynników. HR jest równoważna temu, że µ(y) rośnie nie szybciej niż x 1 2 +ε, przy x, ε > 0. Prawdopodobieństwo, że µ(x) 0 jest równe: 3 4 8 9 24 25 48 49... = 6 π. Wartość oczekiwana funkcji µ wynosi 0. 2 Przy losowym wyborze N liczb ich suma z prawdopodobieństwem 1 rośnie nie szybciej niż N 1 2 +ε przy N zmierzającej do nieskończoności. Daje to zatem prawdziwość z prawdopodobieństwem 1 HR, przy intuicyjnym przekonaniu, że tablica wartości funkcji µ jest losowa (Davis, Hersh 1994, 315 321). y x Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 11 / 21

Przykłady matematyczne Oszustwa, iluzje, błędy, impotencja wyobraźni Jeszcze o wyobraźni hydraulicznej Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 12 / 21

Przykłady matematyczne Oszustwa, iluzje, błędy, impotencja wyobraźni Zwodnicze niby-intuicje Iluzje optyczne A teraz narysujemy zbiór Vitalego... Monty Hall Problem Ciągi von Misesa Brakujący dolar Wszystkie konie są tej samej maści Pitagoras błądził Aporie związane z kontinuum geometrycznym Wypełnianie przestrzeni Cztery drzewa Czterowymiarowy Jezus Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 13 / 21

Teoria mnogości Intuicje w aksjomatach i poza nimi Mów prawdę, całą prawdę i tylko prawdę Cantor: Widzę to, ale temu nie wierzę. Czy zbiory to przepaście? Niezupełność i nierozstrzygalność teorii mnogości ZF. Jaka jest prawdziwa wartość mocy kontinuum? Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 14 / 21

Teoria mnogości Aksjomaty ograniczenia Reglamentacje ontologiczne Aksjomat ograniczenia Fraenkla Aksjomat konstruowalności Gödla Krytyka aksjomatów ograniczenia Metoda modeli wewnętrznych i metoda wymuszania Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 15 / 21

Teoria mnogości Nowe aksjomaty Duże liczby kardynalne Postulaty Zermela Program Gödla Hierarchia interpretowalności Konsekwencje aksjomatów istnienia dużych liczb kardynalnych Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 16 / 21

Teoria mnogości Nowe aksjomaty Intuicje komplementarne? Aksjomat determinacji Starość czy druga młodość teorii mnogości? Czy potrzebna jest jedność matematyki? Horror infiniti Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 17 / 21

Źródła intuicji matematycznej Uposażenie poznawcze Eksperymenty myślowe: rozumne kleksy, struktury nieprzemienne, matematyka Braci Mniejszych Tajemnica skuteczności matematyki Inspiracje z innych nauk Kulturowe uwarunkowania matematyki Życie matematyczne dzikich Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 18 / 21

Źródła intuicji matematycznej Geometrie rozumnych kleksów Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 19 / 21

Źródła intuicji matematycznej Dydaktyka Stadia rozwoju intelektualnego Trudności w uczeniu się matematyki Jak układać programy nauczania matematyki? Poziomy intuicji matematycznej Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 20 / 21

Koniec Pytania bez odpowiedzi W literaturze przedmiotu nie ma definitywnej odpowiedzi na pytanie czym jest intuicja matematyczna. Z całą pewnością nie można jednak redukować działalności matematyków do przeprowadzania wyłącznie dedukcji. Odczyt stanowi mały fragment przygotowywanego tekstu o intuicji matematycznej, uwzględniającego przykłady matematyczne, ustalenia historyczne, komentarze filozoficzne. Odczyt był sponsorowany przez Polsko-Japońską Wyższą Szkołę Technik Komputerowych w Warszawie, za co niniejszym uprzejmie sponsorowi dziękuję. Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011 21 / 21