Foton, kwant światła

015-0- Fizyka kwantowa dotyczy świata mikroskopowego wiele wielkości jest skwantowanyc, tzn. występuje w całkowityc wielokrotnościac pewnyc minimalnyc porcji zwanyc kwantami Foton, kwant światła Zjawiska świadczące o kwantowej naturze światła: zjawisko fotoelektryczne energia kwantów - równanie Einsteina efekt Comptona - pęd fotonów widma emisyjne atomów prawidłowy opis promieniowania termicznego z postulatem kwantyzacji energii świetlnej - prawo Plancka 1

015-0- Zjawisko fotoelektryczne Wiązka światła wybija elektrony z powierzcni metalu z falowej teorii wynika: elektron nie opuści metalu dopóki amplituda fali E o nie przekroczy określonej wartości krytycznej energia emitowanyc elektronów wzrasta proporcjonalnie do E o liczba emitowanyc elektronów powinna zmniejszyć się ze wzrostem częstotliwość światła wyniki eksperymentalne: progowego natężenia nie zaobserwowano energia elektronów okazała się niezależna od wielkości E o zauważono zależność energii elektronów od częstotliwości Teoria Einsteina światło o częstości stanowi zbiór pakietów energii zwanyc fotonami lub kwantami z któryc każdy posiada energię to uniwersalna stała Plancka = 6.6610 34 Js kwanty światła (fotony) zacowują się podobnie do cząstek materialnyc (przy zderzeniu foton może być pocłonięty, a cała jego energia przekazana jest elektronowi). maksymalna energia kinetyczna elektronu opuszczającego metal o pracy wyjścia W o wynosi K max W o

015-0- Doświadczenia fotoelektryczne K max W o o W o K max T K materiał tarczy: j j A I o U o częstość progowa liczba emitowanyc elektronów (prąd j) rośnie ze wzrostem natężenia światła I o U 0 I o U maksymalna energia elektronów K max =U nie zależy od natężenia światła I o, rośnie ze wzrostem częstotliwości Pęd fotonu Foton, oprócz energii E=, posiada również pęd p Zgodnie z teorią relatywistyczną wszystkie cząstki które posiadają energię muszą posiadać pęd, nawet jeśli nie mają masy spoczynkowej E pc m c o m o 0 E pc p E c c Kierunek pędu fotonu jest zgodny z kierunkiem rozcodzenia się fali elektromagnetycznej Foton nie ma ładunku elektrycznego ani momentu magnetycznego, ale może oddziaływać z innymi cząstkami 3

015-0- Efekt Comptona Rozpraszanie fotonów na swobodnyc elektronac: wiązka promieniowania rentgenowskiego o długości fali rozpraszana przez grafitową tarczę zmieniała swą długość w zależności od kąta rozpraszania. W klasycznym podejściu długość fali wiązki rozproszonej powinna być taka sama jak padającej. promieniowanie rentgenowskie szczeliny kolimujące detektor ' tarcza grafitowa wiązka rozproszona p c przed zderzeniem po z prawa zacowania energii i pędu przed i po zderzeniu ' p p' ' p e E' e p ' 1 cos mc e E pc p' e e p ' Wyniki doświadczenia Comptona ' 1 cos mc przesunięcie comptonowskie = - zwiększa się wraz ze wzrostem kąta rozpraszania obecność wiązki o nie zmienionej długości fali wynika z rozproszenia na elektronac związanyc im większa masa cząstki tym mniejsze przesunięcie efekt Comptona potwierdza korpuskularny carakter światła fotony obdarzone energią i pędem I o I o =90 długość fali =135 długość fali 4

015-0- Widma emisyjne atomów pocodzenie dyskretnyc linii spektralnyc można wyjaśnić w oparciu o dwa założenia: pojęcie fotonu istnienie poziomów energetycznyc atomu Model Bora 1913r. 13 lat przed sformułowaniem równania Scrodingera elektrony poruszają się w atomac nie promieniując energii, po takic orbitac kołowyc, że moment pędu elektronu jest równy całkowitej wielokrotności stałej n = 1,, 3.. mvr n przejścia elektronu z orbity o energii E n na orbitę, gdzie energia wynosi E m, towarzyszy emisja lub absorpcja fotonu o częstości określonej wzorem E n E m 5

015-0- Widmo atomu wodoru wzbudzenie atomu przejście elektronu na wyższy poziom energetyczny po czasie 10-8 s samorzutny powrót do stanu o niższej energii i emisja fotonu o długości 1 E n Em 1 1 R stała Rydberga R c c m n jonizacja atomu przejście elektronu na najwyższy poziom energetyczny o zerowej energii (elektron swobodny) E (energia jonizacji = E 0 ) jonizacja E 3 4 me R E 64 3 o 3 c wzbudzenie E 1 Serie widmowe seria Lymana seria Balmera seria Pascena seria Bracketta seria Pfunda 6

015-0- Promieniowanie termiczne model ciała doskonale czarnego prawa promieniowania termicznego prawo Kircoffa prawo Stefana-Boltzmanna prawo przesunięć Wiena prawo Rayleiga-Jeansa - klasyczne prawo Plancka - kwantowe Jak teoria fotonów wyjaśnia ciągłe widmo promieniowania emitowanego przez gorące, nieprzezroczyste ciała? Podstawowe definicje Promieniowaniem termicznym (zwanym też cieplnym lub temperaturowym) nazywamy promieniowanie wysyłane przez ciała ogrzane do pewnej temperatury - jest wynikiem drgań ładunków elektrycznyc Zdolność emisyjna ciała e(,t)d definiujemy jako energią promieniowania wysyłanego w jednostce czasu z jednostki powierzcni o temperaturze T, w postaci fal elektromagnetycznyc o częstościac zawartyc w przedziale od do + d. Zdolność absorpcyjna, a, określa jaki ułamek energii padającej na powierzcnię zostanie pocłonięty. Zdolność odbicia, r, określa jaki ułamek energii padającej zostanie odbity., T r T 1 a, 7

015-0- Ciało doskonale czarne Ciało doskonale czarne (c.d.cz.) całkowicie absorbuje promieniowanie termiczne. a =1 i r =0 Prawo Kircoffa: Stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej jest dla wszystkic powierzcni jednakowy i równy zdolności emisyjnej c.d.cz. e, T a, T, T Promień świetlny Powierzcnia o dużej zdolności absorpcyjnej Ponieważ zawsze a1, więc i e(,t) (,T), tzn. zdolność emisyjna każdej powierzcni nie jest większa od zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego. Prawa promieniowania c.d.cz. Prawo Stefana-Boltzmanna 4 E T Stała Stefana-Boltzmanna = 5.6710 8 Wm K 4 Prawo przesunięć Wiena b T max Stała Wiena b = 5.87710 10 s 1 K 1 Prawo Rayleiga-Jeansa T kt, c max1 katastrofa nadfioletowa max 8

015-0- Prawo Plancka Hipoteza Plancka: elektryczny oscylator armoniczny stanowiący model elementarnego źródła promieniowania, w procesie emisji promieniowania może tracić energię tylko porcjami, czyli kwantami E, o wartości proporcjonalnej do częstości jego drgań własnyc. E gdzie stała Plancka = 6.6610 34 Js zdolność emisyjna c.d.cz. jest funkcją częstości i temperatury, T c 3 exp 1 / kt 1 i pozostaje w bardzo dobrej zgodności z doświadczeniem Wnioski E, T d 0, T 0 Postulat Plancka (energia nie może być wypromieniowana w sposób ciągły), doprowadził do teoretycznego wyjaśnienia promieniowania ciała doskonale czarnego. Z prawa Plancka wynika prawo Stefana- Boltzmanna i prawo przesunięć Wiena. Porcje energii promienistej emitowanej przez ciało wynoszące zostały nazwane kwantami lub fotonami. Hipoteza Plancka dała początek fizyce kwantowej, a stała występuje obecnie w wielu równaniac fizyki atomowej, jądrowej i ciała stałego. 9

015-0- Jak światło może być jednocześnie falą i cząstką opisy światła: falowy i korpuskularny są uzupełniające się potrzeba obu tyc opisów do pełnego modelu świata, ale do określenia konkretnego zjawiska wystarczy tylko jeden z tyc modeli dlatego mówimy o dualizmie korpuskularno-falowym światła Falowa natura cząstek Promień świetlny jest falą, ale energię i pęd przekazuje materii w postaci fotonów. Dlaczego innyc cząstek np. elektronów nie traktować jako fal materii? 10

015-0- Hipoteza de Broglie a W 194 r. Louis de Broglie przypisał elektronom o pędzie p długość fali p dla pyłku unoszonego przez wiatr długość fali de Broglie a 34 6, 63 10 J s 7 6, 6 10 m p 6 0, 110 kg 1m s Słuszność ipotezy de Broglie a została potwierdzona w 197 r. przez Davissona i Germera, którzy wykazali, że wiązka elektronów ulega dyfrakcji tworząc typowy obraz interferencyjny Promieniowanie i materia wykazują dwoistą falowo-korpuskularną naturę nazywamy to dualizmem korpuskularno-falowym p mk Dla elektronów o K=1000eV =410 11 m Dyfrakcja elektronów Doświadczenie Davissona - Germera (dyfrakcja elektronów) Znając kąt przy którym obserwuje się pierwsze maksimum można określić stałą Plancka D = d sin p D = d sin pd sin 11

015-0- Jak elektron przecodzi przez szczelinę? A B wiązka elektronów A B wiązka elektronów Pojedyncze elektrony padające na dwie szczeliny dają obraz dyfrakcyjny w postaci szeregu prążków zasłonięcie jednej szczeliny (B) powoduje zmianę obrazu dyfrakcyjnego skąd elektron wie, że szczelina B jest zasłonięta? fakt, że obraz dyfrakcyjny może zostać utworzony przez różne nieoddziałujące ze sobą elektrony świadczy o tym, że każdy elektron przecodzi przez obie szczeliny i interferuje sam ze sobą Fale prawdopodobieństwa Rozkład elektronów na ekranie powinien być sumą rozkładów dla każdej szczeliny oddzielnie - obserwujemy obraz interferencyjny dla dwóc szczelin Do wyjaśnienia tego paradoksu musimy stworzyć nowy formalizm matematyczny: fale materii traktować jako fale prawdopodobieństwa wytwarzającą na ekranie obraz prążków prawdopodobieństwa B P 1 Rozkład obserwowany r klasycznie A r 1 P Rozkład klasyczny 1

015-0- Mecanika kwantowa dział mecaniki zajmujący się rucem mikrocząstek, któryc stan opisany jest funkcją falową będącą rozwiązaniem równania Scrodingera Funkcja falowa Dotycczas przypisywaliśmy cząstkom własności falowe podając długość fali materii de Broglie'a stowarzyszonej z daną cząstką. Jednak do pełniejszego opisu własności falowyc posługujemy się funkcją reprezentującą falę de Broglie'a, tak zwaną funkcją falową. Każdej cząstce materialnej przypisuje się funkcję falową (x,y,z,t) będącą funkcją współrzędnyc i czasu. Znajdując rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym można określić prawdopodobieństwo, że elektron padnie w określonym miejscu ekranu Kwadrat amplitudy funkcji falowej jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym elemencie obszaru 13

015-0- Właściwości funkcji falowej Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w objętości dv=dxdydz wynosi gdzie PdV dxdydz warunek unormowania funkcji falowej zasada superpozycji = 1 + funkcja falowa powinna być ograniczona < funkcja falowa nie stanowi bezpośrednio obserwowanej wielkości. Fale klasyczne i fale odpowiadające cząstkom podlegają równaniom matematycznym tego samego typu. Lecz w przypadku klasycznym amplituda fali jest bezpośrednio obserwowana, a dla funkcji falowej nie. V dv 1 Postać funkcji falowej o o Z ipotezy de Broglie a: p po k o o o po k o Funkcja falowa cząstki o pędzie p o poruszającej się wzdłuż osi x, odpowiada równaniu fali o długości o i wektorze falowym k o A cos kox t A cos kox t Rzeczywista postać funkcji falowej jest niewłaściwa bo istniałyby punkty, gdzie nie można cząstki zaobserwować. Lepsza zespolona o i Ae k o x t ikoxt ikoxt Ae Ae A Pokazaliśmy, że jeżeli pęd cząstki posiada określoną wartość, to cząstkę można znaleźć z jednakowym prawdopodobieństwem w dowolnym punkcie przestrzeni. Inaczej mówiąc, jeżeli pęd cząstki jest dokładnie znany, to nic nie wiemy o jej miejscu położenia. 14

015-0- Równanie Scrodingera W sytuacjac stacjonarnyc, gdy potencjał nie zmienia się w czasie, zmienne przestrzenne i czas można rozseparować i zapisać funkcję falową w postaci: it x, y, z, t x, y ze, Postać przestrzennej funkcji falowej, dla przypadku jednowymiarowego, wyznaczamy z równania Scrödingera: d m E U dx x stacjonarne, jednowymiarowe równanie Scrödingera gdzie: m masa cząstki, E całkowita energia mecaniczna cząstki, U(x) energia potencjalna w danym obszarze równania Newtona fale dźwiękowe i fale w strunac równania Maxwella fale świetlne równanie Scrödingera fale materii (funkcja falowa) U Równanie Scrodingera dla d cząstki swobodnej x 0 d k dx d m E dx którego rozwiązaniem jest oznaczając m E U dx x k Ae przyjmując B=0 (cząstka porusza się w kierunku dodatnic x) it i kx t x t x e Ae, k m E m p p m k p funkcją falową cząstki swobodnej jest fala płaska o długości określonej zależnością de Broglie a p m E ikx Be x ikx tylko kinetyczna p E m 15

015-0- Paczki falowe materii Dla cząstki znajdującej się w t=0 w określonym obszarze przestrzeni kwadrat modułu funkcji falowej przyjmuje postać funkcji Gaussa x o 4x x A exp x x, 0 A exp expik x Tak zlokalizowana funkcja nazywana jest paczką falową Elektron jako paczka falowa przecodzi przez obie szczeliny Superpozycja fal monocromatycznyc Paczka falowa powstaje w wyniku superpozycji fal o różnyc długościac, którym odpowiadają różne wartości pędu x exp exp 4 x ik x B k exp ikx o dk współczynniki Fouriera Amplitudy tyc fal B(k), zwane współczynnikami Fouriera, posiadają również postać funkcji Gaussa wokół wartości k o B(k) Pomiędzy funkcją falową (x), a współczynnikami Fouriera B(k) istnieje ścisły związek k o k 16

015-0- Zasada nieoznaczoności B(k) k B(k) k k o Re () k k o Re () k x x x czym szerszy zakres k odpowiadający większemu rozrzutowi p x, tym paczka falowa jest przestrzennie węższa (mniejsze x) 1 p x x k x gdy p x =0, k p x to x = niemożliwe jest jednoczesne dokładne określenie wartości cząstka współrzędnej i pędu cząstki xp swobodna x x Zasada nieoznaczoności w pociągu ccemy zmierzyć prędkość pociągu wiedząc, że każdy wagon ma długość minęło nas n wagonów w ciągu czasu t pokonana przez pociąg droga wynosi l n l średnia prędkość pociągu wynosi x l n v l t n t v x v 4 l v t v t n im większy przedział czasu tym pomiar prędkości dokładniejszy, ale maleje dokładność położenia pociągu w cwili pomiaru x p p 4 w mecanice kwantowej pociąg to paczka falowa o długości fali rozciągająca się na obszar l = n p x p 4 17

015-0- Znaczenie zasady nieoznaczoności Heisenberga szerokość paczki falowej x=1/k t=1/ p k E x p E t S Działanie S można określić z dokładnością stałej Plancka Zasada nieoznaczoności określa granice możliwości naszyc pomiarów. Jest jednym z fundamentalnyc twierdzeń mecaniki kwantowej: wyjaśnia dyfrakcję na szczelinie energie cząstek są zawsze większe od zera elektron nie spada na jądro atomowe Prędkość grupowa paczki klasycznie d v g dk k p p E k E m m d k dk m d k v g dk m p m v v g v Paczka falowa przemieszcza się z prędkością równą prędkości cząstki relatywistycznie E Eo p c E de pc dp d v g dk de dp c p E mv c mc v 18

015-0- Równanie Scrodingera dla nieskończonej studni potencjału 0 L 0 Równanie Scrodingera przy uwzględnieniu U x 0 U= Rozpatrzmy cząstkę znajdującą się w jednowymiarowej nieskończenie wysokiej studni potencjału. Cząstka może znajdować się tylko w obszarze 0 < x < L, stąd warunki brzegowe dla funkcji falowej 0 L U=0 wewnątrz studni U= d dx m E U x oznaczając k m E jest postaci: d k dx i jego rozwiązanie x Ae ikx Be ikx Równanie Scrodingera dla nieskończonej studni potencjału U= E 1 E E 3 U= x Ae warunki brzegowe 0 L 0 Ae ikl ikx Be Be ikx A B 0 ikl 0 m k E ikl 0 A e ikl e 0 L U=0 sin kl 0 ml kl n nx L E n n n x C sin n=1,,3... C Ai wartości energii E n nazywamy wartościami własnymi odpowiadające im funkcje falowe n funkcjami własnymi 19

015-0- Wnioski energia jest skwantowana, występują dyskretne wartości (poziomy) energii (n liczba kwantowa) cząstka nie może posiadać energii zerowej wynika z zasady nieoznaczoności p x p x L p L E 0 m stałą C wyznaczamy z warunku unormowania L L * n dx C sin x dx 1 L 0 0 L C 1 C L n x dx L dla obiektów klasycznyc poszczególne poziomy są tak bliskie, że nierozróżnialne L L sin x sin x n 0 n L L Elektron w skończonej studni potencjału studnia potencjału o głębokości U o d m E U dx równanie Scrodingera rozwiązujemy dla trzec obszarów x wyniki zbliżone jak dla nieskończonej studni, lecz: fale materii wnikają w ściany studni energie dla każdego stanu są mniejsze niż w elektron o energii większej od U 0 nie jest zlokalizowany, jego energia nie jest skwantowana 0

015-0- Efekt tunelowy - przenikanie cząstki przez barierę potencjału T e A 1 L E B 1 (x) U >E o 0 l m U E o A 3 prawdopodobieństwo przejścia przez barierę potencjału zależy od L i U o szybko maleje ze wzrostem jej szerokości i wysokości wg. mecaniki klasycznej przenikanie przez barierę jest niemożliwe energia cząstki, w odróżnieniu od jamy potencjału nie jest skwantowana x Przykłady efektu tunelowego Dioda tunelowa (efekt tunelowy w złączu p-n) Nagroda Nobla 1973r Esaki - tunelowanie w półprzewodnikac np. diody tunelowe Giaever - tunelowanie w nadprzewodnikac Josepson złącze Josepsona, szybki przełącznik kwantowy Skaningowy Mikroskop Tunelowy Binning i Rorer Nagroda Nobla 1986r 1

015-0- Diody tunelowe Skaningowy Mikroskop Tunelowy (STM)