K O M I S J A B U D O W Y M A S Z Y N P A N O D D Z I A W P O Z N A N I U Vol. 29 nr 2 Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 2009 RAFA KLUZ WYZNACZANIE OPTYMALNEJ KONFIGURACJI ZROBOTYZOWANEGO STANOWISKA MONTAOWEGO W artykule zaproponowano metod wyznaczania bdu wzgldnego przemieszczenia osi czonych czci na zrobotyzowanym stanowisku montaowym. Przedstawion metod, zweryfikowan w badaniach symulacyjnych, wykorzystano do opracowania modelu optymalizacyjnego, zapewniajcego dobór parametrów acucha wymiarowego operacji montaowej bez zbdnego zwikszania dokadnoci stosowanego oprzyrzdowania stanowiska, a wic równie jego kosztów. Sowa kluczowe: monta, stanowiska montaowe, dokadno montau 1. WPROWADZENIE Wanym zadaniem z zakresu projektowania zrobotyzowanego stanowiska montaowego jest zapewnienie niezawodnoci i poprawnoci procesu kojarzenia czci. Mona to uzyska przez wybór odpowiedniej metody montau oraz zapewnienie wymaganej dokadnoci urzdze wchodzcych w skad acucha wymiarowego operacji montaowej. Zastosowanie urzdze i oprzyrzdowania wysokiej dokadnoci prowadzi do zwikszenia prawdopodobiestwa poprawnego czenia czci, lecz zdecydowanie zwiksza równie ich koszt. Uycie wic zbyt precyzyjnych i skomplikowanych rodków robotyzacji montau moe by wysoce nieekonomiczne i stawia pod znakiem zapytania jego opacalno [5, 6]. Obecnie w praktyce przemysowej najczciej stosuje si dwie metody wyznaczania cakowitego bdu pooenia czci maszyn i wyznaczania wymaga dokadnociowych odnonie do urzdze wchodzcych w skad zrobotyzowanego stanowiska montaowego. Pierwsza z nich polega na wyznaczaniu ogniwa zamykajcego acucha wymiarowego operacji montaowej, a druga, probabilistyczna, na sumowaniu bdów ukadów wykonawczych z wykorzystaniem wspóczynników wzgldnego rozrzutu i wspóczynników redukcji. Obie metody maj zarówno zalety, jak i wady. Metoda pierwsza umoliwia szybkie i wzgldnie atwe wyznaczenie tolerancji ogniwa zamykajcego operacji montaowej, Dr in. Katedra Technologii Maszyn i Organizacji Produkcji Politechniki Rzeszowskiej.
114 R. Kluz a przez to oszacowanie montowalnoci jednostki cylindrycznej. W trakcie oblicze wykorzystuje si jednak maksymalne bdy mechanizmów wykonawczych zrobotyzowanego stanowiska montaowego oraz maksymalne odchyki wymiarów montowanych czci, co powoduje, i uzyskane wyniki s znacznie zawy- one i zwikszaj niepotrzebnie parametry stosowanego wyposaenia. Druga metoda nie ma tych wad, gdy w strukturze cakowitego bdu s uwzgldnione zarówno bdy systematyczne, jak i przypadkowe. Wykorzystanie jednak w trakcie sumowania tych bdów wspóczynników redukcji i wzgldnego rozrzutu bdów przypadkowych powoduje, i otrzymane wyniki w wielu przypadkach s wartociami szacunkowymi tych bdów i nie daj penego obrazu opisywanego zjawiska. Wobec koniecznoci spenienia warunku montowalnoci czci moliwo jej wykorzystania w montau maszyn stoi pod znakiem zapytania. Kompromisowym rozwizaniem, niezbdnym dla projektanta zrobotyzowanego stanowiska montaowego, byaby zatem metoda uwzgldniajca probabilistyczny charakter bdów powstajcych w procesie montau, zapewniajca jednak moliwo dokadnego wyznaczenia bdu wzgldnego przemieszczenia osi kojarzonych czci oraz oszacowania na tej podstawie prawdopodobiestwa ich poczenia [3]. 2. METODYKA WYZNACZANIA BDU WZGLDNEGO PRZEMIESZCZENIA OSI KOJARZONYCH CZCI Dokadno automatycznego orientowania czci jest uwarunkowana wielko- ci bdów prowadzcych do odchyek pooenia rzeczywistego od wymaganego. Podstawowymi ródami tych bdów s odchyki parametrów i waciwoci orientowanych czci oraz niedokadno wykonania urzdze orientujcych. Bdów tych nie mona si ustrzec, powinny by zatem uwzgldnione podczas projektowania acucha kinematycznego operacji montaowej. Przez acuch kinematyczny rozumie si powizane ze sob w cile okrelony sposób urzdzenia technologiczne zarówno od strony manipulowanej czci, jak i od strony czci bazowej wraz z tymi czciami [5]. Bd powtarzalnoci pozycjonowania manipulowanej czci jest zmienn losow uzalenion od bdu powtarzalnoci pozycjonowania robota montaowego i bdów powtarzalnoci urzdze przyczanych do jego kici (rys. 1). Typowymi urzdzeniami wchodzcymi w skad wyposaenia technologicznego robotów montaowych s wszelkiego rodzaju chwytaki, urzdzenia do automatycznej wymiany narzdzi oraz urzdzenia antykolizyjne. Badania wykazay, e bd powtarzalnoci pozycjonowania robota w paszczynie prostopadej do osi orientowanej czci mona scharakteryzowa za pomoc dwuwymiarowej zmiennej losowej 1 (x 1, x 2 ), podlegajcej prawu normalnego rozkadu prawdopodobiestwa, o gstoci prawdopodobiestwa f tej zmiennej okrelonej funkcj
Wyznaczenie optymalnej konfiguracji... 115 (1), o znanej macierzy wartoci oczekiwanych µ T = [µ 1, µ 2 ] i macierzy kowariancji [4]: 1 1 T 1 f, X exp x x, (1) 2 2 gdzie: macierz kowariancji, µ T macierz wartoci oczekiwanych. Rys. 1. Schemat zrobotyzowanego stanowiska montaowego; a) d) funkcje gstoci opisujce bdy liniowe wnoszone przez urzdzenia do procesu montau Fig. 1. Diagram of robotized assembly stand; a) d) the probability density function the errors of assembly devices Badania opisane w pracy [5] wykazay, e bdy wprowadzane przez urzdzenia przyczane do kici robota montaowego 2 równie podlegaj prawu rozkadu Gaussa (rys. 1). Jeeli jednak bd powtarzalnoci pozycjonowania robota 1 = 1 (x 1, x 2 ) jest wektorem losowym o macierzy kowariancji 1, bd powtarzalnoci pozycjonowania chwytaka 2 = 2 (x 1, x 2 ) jest wektorem losowym o macierzy kowariancji 2 oraz wektory te ( 1 i 2 ) s niezalene stochastycznie, a = (x 1, x 2 ) jest ich sum, to macierz kowariancji wektora jest równa sumie macierzy kowariancji wektorów 1 i 2. Poniewa wektory opisu-
116 R. Kluz jce bdy powtarzalnoci pozycjonowania opisane s niezalenymi normalnymi rozkadami prawdopodobiestwa o parametrach N( 1, 1 ) i N( 2, 2 ), to ich sum mona z dostateczn dokadnoci równie przedstawi jako normaln zmienn losow o nastpujcych parametrach: N N, (2), 1 2, 1 2 gdzie: µ 1, µ 2 macierze wartoci oczekiwanych zmiennych losowych bdu robota i chwytaka, 1, 2 macierze kowariancji zmiennych losowych bdu robota i chwytaka. Rys. 2. Graficzna interpretacja zmiennych losowych opisujcych bdy pooenia czci na zrobotyzowanym stanowisku montaowym Fig. 2. The random variables describing errors of position part on robotized assembly stand Bd powtarzalnoci pozycjonowania czci bazowej jest równie zmienn losow, któr mona opisa funkcj gstoci dwuwymiarowego rozkadu normalnego (rys. 2). Zmienna ta jest uzaleniona od rónych czynników, przy czym do gównych naley zaliczy bd ustalania korpusu na palecie transportowej 1 i powtarzalno pozycjonowania palety 2. Zmienne te równie podlegaj rozkadowi normalnemu (rys. 1), a poniewa s niezalene stochastycznie, to do wyznaczania bdu pooenia czci bazowej mona skorzysta z zalenoci (2). 3. WYZNACZENIE PRAWDOPODOBIESTWA POCZENIA CZCI Z powyszej analizy wynika, e w celu wyznaczenia bdu pooenia czci czonych w operacji montaowej naley zsumowa macierze kowariancji poszczególnych zmiennych losowych opisujcych uchyby wprowadzane przez
Wyznaczenie optymalnej konfiguracji... 117 wyposaenie technologiczne stanowiska montaowego. Przedstawiona metodyka sumowania bdów poza prostot ma dodatkow zalet w porównaniu z metod sumowania wariancji lub wektorów bdów oddzielnie wzgldem kadej osi przyjtego ukadu wspórzdnych, gdy uwzgldnia równie charakter zalenoci midzy zmiennymi (kowariancj). Niektóre urzdzenia, jak np. chwytaki dwuszczkowe, wprowadzaj do procesu bdy niebdce rozkadami dwuwymiarowymi, albowiem gówne bdy tych urzdze wystpuj na kierunku ruchu szczk. Rozkad taki mona jednak przedstawi jako rozkad quasi-dwuwymiarowy przez odpowiedni dobór parametrów macierzy kowariancji. W ten sposób podczas wyznaczania przedstawion metod bdu pooenia osi uwzgldniane s równie informacje o charakterze rozkadu, które podczas sumowania wektorów bdów s tracone bezpowrotnie, a maj istotny wpyw na prawdopodobiestwo montau. Chcc okreli prawdopodobiestwo poprawnego poczenia czci, naley w pierwszej kolejnoci wyznaczy zmienn losow opisujc wzgldne przemieszczenie osi czonych elementów w momencie ich centrowania. Sposób postpowania podczas wyznaczania bdu szczegóowo omówiono w publikacji [3]. Poniewa wektory opisujce bdy powtarzalnoci pozycjonowania czci opisane s niezalenymi normalnymi rozkadami prawdopodobiestwa o parametrach N(µ,, ) i N(µ, ), to ich rónic równie mona przedstawi z dostateczn dokadnoci jako normaln zmienn losow o nastpujcych parametrach [3]: N,, N (3), gdzie: µ, µ macierze wartoci oczekiwanych zmiennych losowych bdu powtarzalnoci pozycjonowania czci bazowej i manipulowanej,, macierze kowariancji zmiennych losowych bdu powtarzalnoci pozycjonowania czci bazowej i manipulowanej. Zmienna losowa o rozkadzie prawdopodobiestwa okrelonym na podstawie zalenoci (3) opisuje wzgldne przemieszczenie osi czonych elementów i moe stanowi punkt wejciowy do oblicze luzu midzy kojarzonymi czciami. Poniewa rozkad zmiennej losowej jest opisany za pomoc funkcji gstoci, chcc wyznaczy prawdopodobiestwo zdarzenia, e odlego midzy osiami osignie pewn zaoon warto r( 1, 2 ), tzn. prawdopodobiestwo zdarzenia, e zmienna losowa znajdzie si wewntrz pewnego hipotetycznego cylindra o rodku znajdujcym si w punkcie nominalnym N i rednicy odpowiadajcej luzowi montowanego poczenia, naley dokona cakowania funkcji gstoci normalnego rozkadu prawdopodobiestwa (3) w obszarze O:{ 1 2 + 2 2 (0,5 ) 2 }: P 2 2 1 2 0.5 2 2 1 1 exp 2 T 1 d1d 2. (4)
118 R. Kluz Po dokonaniu podstawienia do wzoru (5) i zmianie ukadu wspórzdnych z kartezjaskiego na biegunowy (wygodniejszy do dalszej analizy) caka (4) przyjmuje posta (6): P 2 0 0.5 0 T T r cos r sin, (5) 2 1 2 1 exp 2 T drd, 1 1 (6) 2 cov, 1 1 2 2, (7) cov 1, 2 2 gdzie: 1, 2 brzegowe odchylenia standardowe zmiennej losowej bdu wzgldnego przemieszczenia osi kojarzonych elementów, 1, 2 wartoci oczekiwane zmiennej losowej bdu wzgldnego przemieszczenia osi kojarzonych elementów, cov( 1, 2 ) kowariancja skadowych 1, 2 bdu wzgldnego przemieszczenia osi kojarzonych elementów r promie hipotetycznego cylindra, luz poczenia. Rozwizanie caki (6) dla zaoonego luzu umoliwia wyznaczenie prawdopodobiestwa poprawnego przebiegu montau cylindrycznych pocze cz- ci maszyn. Prawdopodobiestwo to uwzgldnia jednoczesne wystpowanie bdów systematycznych i przypadkowych urzdze i oprzyrzdowania stanowiska montaowego. 4. BADANIA SYMULACYJNE PROCESU MONTAU W celu weryfikacji przedstawionego modelu dokonano analizy porównawczej wartoci prawdopodobiestwa wyznaczonej teoretycznie (na podstawie przedstawionych zalenoci) z wynikami symulacji. Wartoci przyjtych parametrów zmiennych losowych i opisujcych bdy powtarzalnoci pozycjonowania czci przedstawiono w tablicy 1. Dla tych parametrów na podstawie zalenoci (3) wyznaczono bd wzgldnego przemieszczenia osi montowanych elementów, bdcy w rozpatrywanym przypadku równie dwuwymiarow zmienn losow (tabl. 1, poz. 5), a nastpnie obliczono prawdopodobiestwo poprawnego montau przez numeryczne rozwizanie caki (6) dla luzu poczenia w przedziale od 0,002 do 0,044 mm (rys. 3). Uzyskane wartoci prawdopodobiestwa porównano z wartociami otrzymanymi w wyniku symulacji procesu. Polegaa ona na generowaniu 5000 pseudolosowych wartoci wspórzdnych
Wyznaczenie optymalnej konfiguracji... 119 Tablica 1 Parametry zmiennych losowych opisujcych bdy urzdze stanowiska montaowego The parameters of random variables describing the errors of devices of assembly stand Lp. Wyszczególnienie Symulacja I Symulacja II 1 Powtarzalno pozycjonowania robota ( 1 ) 2 Powtarzalno pozycjonowania chwytaka ( 2 ) 3 Powtarzalno pozycjonowania korpusu ( 1 ) 4 Powtarzalno pozycjonowania palety ( 2 ) 5 Bd wzgldnego przemieszczenia osi czonych czci () 1 x1 = 0,012 mm, 1 x2 = 0,01 mm, cov 1 (x 1,x 2 ) = 0 2 x1 = 0,012 mm, 2 x2 = 0,013 mm, cov 2 (x 1,x 2 ) = 2,37 10 5 mm 2 1 x1 = 0,025 mm, 1 x2 = 0,05 mm, cov 1 (x 1,x 2 ) = 1,98 10 4 mm 2 2 x1 =0,03 mm, 2 x2 = 0 mm, cov 2 (x 1,x 2 ) = 0mm 2 1 = 0,043 mm, 2 = 0,052 mm, cov ( 1, 2 ) = 1,9 10 4 mm 2 1 x1 = 0,008 mm, 1 x2 = 0,017 mm, cov 1 (x 1,x 2 ) = 3 10 5 mm 2 2 x1 = 0,013 mm, 2 x2 = 0,017 mm, cov 2 (x 1,x 2 ) = 3,03 10 5 mm 2 1 x1 = 0,017 mm, 1 x2 = 0,03 mm, cov 1 (x 1,x 2 ) = 0 mm 2 2 x1 =0,017 mm, 2 x2 = 0 mm, cov 2 (x 1,x 2 ) = 0 mm 2 1 = 0,029 mm, 2 = 0,038 mm, cov ( 1, 2 ) = 6,03 10 5 mm 2 6 Warto bdu 0,0412% 0,0406% Rys. 3. Krzywe obrazujce prawdopodobiestwo poprawnego poczenia cylindrycznych czci maszyn w funkcji przyjtego luzu (w postaci punktów przedstawiono wyniki symulacji procesu montau) Fig. 3. The curves illustrating probability of correct realization of connection cylindrical machines parts in function of received diameter clearance
120 R. Kluz pooenia osi kojarzonych czci o zadanym rozkadzie normalnym z jednoczesnym wyznaczeniem odlegoci midzy uzyskanymi pooeniami osi kojarzonych czci. Prawdopodobiestwo poczenia cylindrycznej jednostki montaowej o zadanym luzie wyznaczano jako iloraz liczby czci o odlegoci midzy osiami kojarzonych elementów mniejszej od wartoci odpowiadajcej zadanej wartoci luzu i liczby wszystkich wygenerowanych wartoci zmiennych losowych (5000). Analiza porównawcza wyników wykazaa du zgodno z wynikami uzyskanymi na podstawie przedstawionego modelu matematycznego. Bd redniokwadratowy (tabl. 1, poz. 6) pomidzy danymi uzyskanymi na podstawie przedstawionego modelu i wyników symulacji procesu montau dla analizowanych zmiennych losowych nie przekroczy wartoci 0,05%. 5. WYZNACZENIE DOPUSZCZALNYCH WARTOCI BDÓW OGNIW ACUCHA KINEMATYCZNEGO OPERACJI MONTAOWEJ Jednym z kierunków rozwoju produkcji, oprócz automatyzacji i optymalizacji zada z zakresu zarzdzania i planowania, jest budowa elastycznych, zrobotyzowanych systemów montaowych. Systemy takie, oparte na komponentach automatyzacji, pozwalaj na atwe dostosowanie produkcji do zmieniajcych si wymaga rynkowych. Wyspecjalizowane firmy (np. Bosch Rexroth Gmbh) opracoway elementy moduowe do montau urzdze wytwórczych, warsztatowych i pomocniczych. Z moduów budowane s systemy manipulacyjne do obsugi stanowisk montaowych, roboty przemysowe, cae gniazda i linie produkcyjne [2]. Wykorzystywane do budowy tych systemów elementy (manipulatory, pozycjonery, podajniki, paletyzatory) róni si nie tylko wielkoci, ale równie dokadnoci i cen. Stosowanie zbyt precyzyjnych rodków robotyzacji montau moe by wysoce nieekonomiczne, gdy powoduje gwatowny wzrost kosztów eksploatacji stanowiska. Dlatego opracowanie metodyki optymalnej konfiguracji zmodularyzowanego stanowiska montaowego jest jednym z zada wspóczesnego przemysu. Wybór bowiem modu- ów i wyposaenia technologicznego stanowiska montaowego zgodny z wymaganiami uwarunkowanymi konkretn operacj montau ma praktyczne znaczenie ze wzgldu na minimalizacj kosztów wasnych wytwarzania wyrobu. Rozwizanie przedstawionego zagadnienia polega na poszukiwaniu minimum funkcji celu (8) zapewniajcej maksymalne zblienie prawdopodobiestwa poprawnego wykonania poczenia P (o zadanej wartoci luzu ) do danej wartoci P z : P P min, f (8) z
Wyznaczenie optymalnej konfiguracji... 121 P P z 2 0.5 0 0 2 T drd min, 1 1 1 exp 2 (9), 2,..., Z : 1 n M i 0, i 1,..., m (10) gdzie jest ukadem warunków ograniczajcych naoonych przez konstruktora skrajnych wartoci bdów poszczególnych moduów. Przedstawiona za pomoc zalenoci (9) funkcja celu zapewnia wygenerowanie takich parametrów acucha wymiarowego operacji montaowej, które zapewni wykonanie operacji montau bez zbdnego zawyania dokadnoci urzdze wchodzcych w skad stanowiska montaowego. 6. WNIOSKI Jednym z podstawowych zagadnie dotyczcych projektowania zrobotyzowanych systemów montaowych jest zapewnienie wymaganej dokadnoci stanowisk. Aby osign podany poziom montowalnoci systemu, przedsibiorstwa zmuszone s do stosowania narzdzi i oprzyrzdowania wysokiej dokadnoci, które z reguy s bardzo drogie, wic powoduje to nadmierny wzrost kosztów eksploatacji stanowisk. Wzrost kosztów z kolei stawia pod znakiem zapytania opacalno robotyzacji danego procesu montau. Rozwizaniem tego problemu moe by praca systemu z akceptowanym przez przedsibiorstwo poziomem montowalnoci czci maszyn, bez zbdnego zawyania dokadnoci stosowanego wyposaenia. Badania symulacyjne procesu montau cylindrycznych pocze czci maszyn wykazay du zgodno z wynikami uzyskanymi na podstawie przedstawionego modelu matematycznego. Umoliwia to wykorzystanie uzyskanych zalenoci w praktyce przemysowej, co ograniczy pracochonno projektowania zrobotyzowanego stanowiska montaowego. Na podstawie przedstawionej metody ju na etapie projektowania procesu technologicznego montau mona okreli wymagan dokadno urzdze i oprzyrzdowania stanowiska montaowego oraz wybra jego optymaln konfiguracj, umoliwiajc monta z danym prawdopodobiestwem poprawnego wykonania, bez zbdnego zawyania kosztów stanowiska. LITERATURA [1] Cho N. W., Tu J. F., Quantitative circularity tolerance analysis and design for 2D precision assemblies, International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2002, 42, s. 35 37.
122 R. Kluz [2] Honczarenko J., Berliski A., Zastosowanie komponentów mechanicznych w budowie zrobotyzowanych systemów produkcyjnych, Technologia i Automatyzacja Montau, 2006, nr 2. [3] Kluz R., Montowalno czopowo-tulejowych pocze realizowanych przez roboty montaowe,technologia i Automatyzacja Montau, 2007, nr 2, s. 17 20. [4] Kluz R., Badania teoretyczne i eksperymentalne montowalnoci czci cylindrycznych, Technologia i Automatyzacja Montau, 2008, nr 1, s. 8 11. [5] Koceuch A., Koch T., Projektowanie wyposaenia technologicznego robotów montaowych pod ktem dokadnoci pozycjonowania i orientowania kojarzonych czci, Prace Naukowe Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji Politechniki Wrocawskiej, 1998, nr 71, Konferencje nr 32. [6] urek J., Wawrzynowicz S., Niektóre czynniki konstrukcyjno-technologiczne decydujce o dokadnoci montaowych acuchów wymiarowych, Technologia i Automatyzacja Monta- u, 1995, nr 1, s. 14 16. Praca wpyna do Redakcji: 15.03.2009 Recenzent: prof. dr hab. in. Jan urek MARKING THE OPTIMUM CONFIGURATION OF ROBOTIZED ASSEMBLY STAND S u m m a r y The method of marking the relative error of dislocation of axis of connected and parts on robotized assembly stand was proposed in article. This method was introduced, and verified with simulating research. Besides, this method was used to elaborate the optimization model the assuring selection of parameters of dimension chain assembly operation, without enlarging the accuracy of applied instrumentation of stand, without increasing assembly costs. Key words: the assembly, assembly stand, the accuracy of assembly