Co ma piekarz do matematyki?

Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Dolnośląski Festiwal Nauki Wrzesień 2009

x (x 1, x 2 )

x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 )

x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ).

x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ).

x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ).

x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ).

x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x 4 y 4 ) 2..

x d(x, y) = x y (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x 4 y 4 ) 2.. (x 1, x 2,..., x n ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x n y n ) 2

x d(x, y) = x y = (x y) 2 (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x 4 y 4 ) 2.. (x 1, x 2,..., x n ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x n y n ) 2

x d(x, y) = x y = (x y) 2 (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x 4 y 4 ) 2.. (x 1, x 2,..., x n ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x n y n ) 2 Odcinek między x a y to zbiór punktów postaci x + t (y x), gdzie t [0, 1].

x d(x, y) = x y = (x y) 2 (x 1, x 2 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (x 1, x 2, x 3 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x 4 y 4 ) 2.. (x 1, x 2,..., x n ) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x n y n ) 2 Odcinek między x a y to zbiór punktów postaci x + t (y x), gdzie t [0, 1]. Kula o środku w x 0 i promieniu r to zbiór punktów x, dla których d(x 0, x) r.

trzy współrzędne położenia

trzy współrzędne położenia trzy współrzędne pędu (lub prędkości)

trzy współrzędne położenia trzy współrzędne pędu (lub prędkości) w sumie stan układu to punkt w R 6

3k współrzędnych położenia

3k współrzędnych położenia 3k współrzędnych pędu (lub prędkości)

3k współrzędnych położenia 3k współrzędnych pędu (lub prędkości) w sumie stan układu to punkt w przestrzeni 6k-wymiarowej

111010010100100101001010000001010110101001010011100...

111010010100100101001010000001010110101001010011100... Podstawowa przestrzeń w teorii informacji to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów zerojedynkowych, czyli {0, 1} Z. Jeden punkt jest charakteryzowany przez nieskończenie wiele współrzędnych!

111010010100100101001010000001010110101001010011100... Podstawowa przestrzeń w teorii informacji to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów zerojedynkowych, czyli {0, 1} Z. Jeden punkt jest charakteryzowany przez nieskończenie wiele współrzędnych! Pierwszy problem: szyfrowanie (kryptografia)

111010010100100101001010000001010110101001010011100... Podstawowa przestrzeń w teorii informacji to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów zerojedynkowych, czyli {0, 1} Z. Jeden punkt jest charakteryzowany przez nieskończenie wiele współrzędnych! Pierwszy problem: szyfrowanie (kryptografia) Drugi problem: kompresja danych

Zbiór Cantora

Stała Avogadra w jednym molu gazu znajduje się około 6 10 23 cząsteczek

Stała Avogadra w jednym molu gazu znajduje się około 6 10 23 cząsteczek To jest 18 10 23 współrzędnych; dla uproszczenia 10 24

Stała Avogadra w jednym molu gazu znajduje się około 6 10 23 cząsteczek To jest 18 10 23 współrzędnych; dla uproszczenia 10 24 1 mol gazu doskonałego w typowych warunkach (20 C, 10 5 Pa) zajmuje 24 dm 3

Biblia Tysiąclatka zawiera 655 539 słów

Biblia Tysiąclatka zawiera 655 539 słów Dla uproszczenia przyjmijmy, że słów jest 10 6 i jedno słowo opisuje jedną współrzędną

Biblia Tysiąclatka zawiera 655 539 słów Dla uproszczenia przyjmijmy, że słów jest 10 6 i jedno słowo opisuje jedną współrzędną Do opisu tego układu potrzebujemy około 10 24 /10 6 = 10 17 tomów wielkości Biblii!

Musimy stawiać inne pytania!

Musimy stawiać inne pytania! jakie jest prawdopodobieństwo, że układ w trakcie swojej ewolucji będzie się znajdował w jednym ze stanów z wyróżnionego zbioru (np. wszystkie cząstki w jednej połówce pudełka)?

Musimy stawiać inne pytania! jakie jest prawdopodobieństwo, że układ w trakcie swojej ewolucji będzie się znajdował w jednym ze stanów z wyróżnionego zbioru (np. wszystkie cząstki w jednej połówce pudełka)? czy stan układu będzie dążył do jakiegoś położenia równowagi?

Musimy stawiać inne pytania! jakie jest prawdopodobieństwo, że układ w trakcie swojej ewolucji będzie się znajdował w jednym ze stanów z wyróżnionego zbioru (np. wszystkie cząstki w jednej połówce pudełka)? czy stan układu będzie dążył do jakiegoś położenia równowagi? czy układ będzie miał tendencję do powracania do stanu początkowego?

Ludwig Boltzmann (1844 1906): związki między termodynamiką a mechaniką statystyczną (statystyczna interpretacja II zasady termodynamiki) rozkład prędkości cząstek gazu (rozkład Maxwella-Boltzmanna)

Josiah Willard Gibbs (1839 1903): mechanika statystyczna (twórca tej nazwy) chemia fizyczna analiza wektorowa

Paul Ehrenfest (1880 1933): mechanika statystyczna a fizyka atomowa fizyka kwantowa

Andriej Kołmogorow (1903 1987): rachunek prawdopodobieństwa mechanika złożoność obliczeniowa

George Birkhoff (1884 1944): równania różniczkowe teoria ergodyczna

Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń.

Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń. Matematyczny model:

Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń. Matematyczny model: X zbiór wszystkich stanów układu

Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń. Matematyczny model: X zbiór wszystkich stanów układu T t - przekształcenia przestrzeni X (funkcje T t : X X) odpowiadające upływowi czasu t, tzn. po czasie t układ przechodzi od stanu x do stanu T t (x)

Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń. Matematyczny model: X zbiór wszystkich stanów układu T t - przekształcenia przestrzeni X (funkcje T t : X X) odpowiadające upływowi czasu t, tzn. po czasie t układ przechodzi od stanu x do stanu T t (x) Zakładamy, że T t+s (x) = T t (T s (x)) dla każdego stanu x

Upraszczając sytuację mierzymy stan układu jedynie co pewien czas t 0, np. co sekundę, i zamiast zestawu przekształceń T t rozważamy tylko to jedno T = T t0.

Upraszczając sytuację mierzymy stan układu jedynie co pewien czas t 0, np. co sekundę, i zamiast zestawu przekształceń T t rozważamy tylko to jedno T = T t0. Otrzymujemy układ dynamiczny (X, T), czyli zbiór z działaniem pewnego przekształcenia.

X kwadrat, którego bokami są odcinki [0, 1)

X kwadrat, którego bokami są odcinki [0, 1) T przekształcenie kwadratu, w którym kwadrat najpierw ściskamy dwukrotnie w pionie, a następnie przekrawamy na pół i jedną połówkę ustawiamy na drugiej

X kwadrat, którego bokami są odcinki [0, 1) T przekształcenie kwadratu, w którym kwadrat najpierw ściskamy dwukrotnie w pionie, a następnie przekrawamy na pół i jedną połówkę ustawiamy na drugiej T(x, y) = { (2x, 1 2 y) dla x < 1 2 (2x 1, 1 2 y + 1) dla x 1 2

Rozważmy ciasto-kwadrat z nadzieniem.

Definicja Jeśli przez P(A) oznaczymy pole zbioru A, to przekształcenie kwadratu T ma własność mieszania, gdy dla dowolnych zbiorów A i B zachodzi: P(A T n B) P(A) P(B)

Nie wszystkie przekształcenia tak ładnie mieszają

Nie wszystkie przekształcenia tak ładnie mieszają T(x, y) = { (x + r, y) gdy x + r < 1 (x + r 1, y) w przeciwnym razie

{0, 1} Z zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych obustronnie nieskończonych

{0, 1} Z zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych obustronnie nieskończonych Każdy punkt z odcinka [0,1) można zakodować ciągiem zerojedynkowym (zwykłym), a punkt z kwadratu ciągiem obustronnie nieskończonym...1001010 }{{}. 001010001... }{{} y x

...1001010 }{{}. 001010001... }{{} y x

...1001010 }{{}. 001010001... }{{} y x Mnożenie przez 2 to skasowanie pierwszej współrzędnej

...1001010 }{{}. 001010001... }{{} y x Mnożenie przez 2 to skasowanie pierwszej współrzędnej Dzielenie przez 2 to dopisanie pierwszej współrzędnej 0

...1001010 }{{}. 001010001... }{{} y x Mnożenie przez 2 to skasowanie pierwszej współrzędnej Dzielenie przez 2 to dopisanie pierwszej współrzędnej 0 Liczby z [0, 1 2 ) mają współrzędna 0; dodawanie 1 2 to zamiana tego 0 na 1

...1001010 }{{}. 001010001... }{{} y x Mnożenie przez 2 to skasowanie pierwszej współrzędnej Dzielenie przez 2 to dopisanie pierwszej współrzędnej 0 Liczby z [0, 1 2 ) mają współrzędna 0; dodawanie 1 2 to zamiana tego 0 na 1 Przekształcenie piekarza na kwadracie to przesunięcie ciągu o jedna pozycję w lewo { (2x, 1 T(x, y) = 2 y) dla x < 1 2 (2x 1, 1 2 y + 1) dla x 1 2