PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Transkrypt

1 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1

2 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Granica lim x 2 +2x 8 x 2 (2 x) 2 A) nie istnieje B) jest równa C) jest liczba rzeczywista D) jest równa + ZADANIE 2 (1 PKT) Aby otrzymać wielomian W(x) = x 3 + 8, należy pomnożyć wielomian P(x) = x + 2 przez wielomian: A) Q(x) = x 2 + 2x + 4 B) Q(x) = x 2 2x + 4 C) Q(x) = x D) Q(x) = x 2 4x + 4 ZADANIE 3 (1 PKT) Okrag o równaniu (x 3) 2 + (y + 2) 2 = m przechodzi przez punkt o współrzędnych (1, 3). Wtedy liczba m jest równa A) 17 B) 5 C) 25 D) 5 ZADANIE 4 (1 PKT) Liczba n jest liczba naturalna większa od 1 i n 1 n+2 jest liczb a naturaln a. Z tego wynika, że liczba naturalna jest również liczba 15 n A) n+1 B) n+1 C) n 6 3 D) n+2 ZADANIE 5 (1 PKT) Tomek bierze udział w olimpiadzie fizycznej i olimpiadzie matematycznej. Prawdopodobieństwo, że zostanie laureatem olimpiady fizycznej jest równe 0,5, a prawdopodobieństwo, że zostanie laureatem przynajmniej jednej z tych dwóch olimpiad wynosi 0,74. Prawdopodobieństwo, że będzie laureatem obu olimpiad jest równe 0,26. Zatem prawdopodobieństwo, że będzie laureatem olimpiady matematycznej jest równe A) 0,5 B) 0,6 C) 0,4 D) 0,7 2

3 ZADANIE 6 (2 PKT) Rozwiaż równanie 3 x + 5 = 2 x 3. 3

4 ZADANIE 7 (3 PKT) Punkt P należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD. Wykaż, że wyrażenie PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 ma stała wartość, niezależna od wyboru punktu P. 4

5 ZADANIE 8 (3 PKT) Oblicz granicę lim n + ( 2n + 6 n + 1 2n ). 5

6 ZADANIE 9 (4 PKT) a) Narysuj wykresy funkcji y = x oraz y = x + 1, gdzie x R. b) Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x x + 1 = m ma dokładnie dwa rozwiazania. 6

7 ZADANIE 10 (4 PKT) W kwadrat K 1 o boku a wpisujemy kwadrat K 2, którego wierzchołki sa środkami boków kwadratu K 1, następnie w kwadrat K 2 wpisujemy kwadrat K 3, którego wierzchołki sa środkami boków K 2 i tak dalej. Oblicz sumę pól otrzymanego w ten sposób nieskończonego ciagu kwadratów. 7

8 ZADANIE 11 (5 PKT) Punkt A = ( 2, 5) jest jednym z wierzchołków trójkata równoramiennego ABC, w którym AC = BC. Pole tego trójkata jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y = x + 1. Oblicz współrzędne wierzchołka C. 8

9 ZADANIE 12 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = 2x 3 + kx 2 + 4x 8. a) Wyznacz wartość k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x + 1 była równa -6. b) Dla znalezionej wartości k rozłóż wielomian na czynniki liniowe. c) Dla znalezionej wartości k rozwiaż nierówność W(x + 1) 3x 3 + 5x 2. 9

10 ZADANIE 13 (6 PKT) Oblicz objętość ostrosłupa trójkatnego ABCS, którego siatkę przedstawiono na rysunku. 65 C A 48 B 65 10

11 ZADANIE 14 (6 PKT) Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrag jest średnica okręgu. Oblicz cosinus kata ostrego trapezu wiedzac, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi 3:2. 11

12 ZADANIE 15 (7 PKT) Dany jest okrag o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S 1 i promieniu x oraz drugi o środku S 2 i promieniu 2x, o których wiadomo, że spełniaja jednocześnie następujace warunki: rozważane dwa okręgi sa styczne zewnętrznie; obydwa rozważane okręgi sa styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 18; punkty: S, S 1, S 2 nie leża na jednej prostej. Pole trójkata o bokach a, b, c można obliczyć ze wzoru Herona P = p(p a)(p b)(p c), gdzie p jest połowa obwodu trójkata. Zapisz pole trójkata SS 1 S 2 jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkatów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole. 12

13 ODPOWIEDZI DO ARKUSZA NR A B B A A 6. x = 2 lub x = 8 7. Uzasadnienie a) Wykresy, b) m (0, 4) (4, + ) 10. 2a C = ( 3, 2) lub C = (5, 6) 12. a) k = 4, b) 2(x 2)(x 2)(x + 2), c) x (, 0 {1} = P(x) = 6x 18 3x dla x (0, 6), P max = P(4) = 24 6, boki: 10, 12, 14. Odpowiedzi to dla Ciebie za mało? Na stronie znajdziesz pełne rozwiazania wszystkich zadań! 13