aboratorium z Fizyki Materiałów 010 Ćwiczenie WYZNCZNIE MODUŁU YOUNG METODĄ STRZŁKI UGIĘCI Zadanie: 1.Za pomocą przyrządów i elementów znajdujących ię w zetawie zmierzyć moduł E jednego pręta wkazanego przez prowadzącego ćwiczenie..zmieniając obciążenia ocenić, czy wygenerowane w czaie doświadczenia odkztałcenia ą z zakreu prężytości. 3. Ozacować makymalną niepewność pomiaru E. Zetaw: 1. pręty do badań. uwmiarka, 3. śruba mikrometryczna, 4. miara taśmowa mb, 5. laer, 6. zetaw ciężarków, 7. papier, taśmy izolacyjne, drut miedziany itp. UWG: aer włączać tylko na cza pomiaru. Kierowanie trumienia światła laerowego do oka jet zabronione ponieważ może być niebezpieczne dla zdrowia. Uwaga: poniżza intrukcja jet materiałem, który trzeba twórczo wykorzytać aby wykonać zadanie! 1.WIDOMOŚCI OGÓNE Pod działaniem ił zewnętrznych ciała tałe ulegają odkztałceniom, czyli zmieniają kztałt. Zmianę odległości między atomami powoduje iła odkztałcająca, której przeciwtawiają ię iły wewnętrzne. Wypadkowa tych ił, w pewnym zakreie zwanym zakreem prężytości, jet proporcjonalna do zmian wymiarów ciała. Odkztałcenia prężyte ą nietrwałe i znikają, gdy przetają działać iły zewnętrzne. Oznacza to, że po utaniu działania ił zewnętrznych ciało powraca do pierwotnego kztałtu. Po przekroczeniu granicy prężytości odkztałcenia ą trwałe. W zakreie prężytym, zjawiko odkztałcenia można opiać za pomocą prawa Hooke'a p = kα, (.1) gdzie: p - naprężenie zewnętrzne, - odkztałcenie względne, k - wpółczynnik proporcjonalności (moduł prężytości). Ścikanie i rozciąganie jet działaniem powodującym podłużne odkztałcenie ciała (Ry.1). Moduł prężytości w tym przypadku nazywany jet modułem Younga i oznaczany ymbolem E. Prawo Hooke'a opiujące odkztałcenie podłużne ma potać F n E, (.) S gdzie: S - jet przekrojem poprzecznym pręta, - zmianą długości pręta wywołaną działaniem iły F n, - długość pręta przy braku naprężeń.
F n F n Ry.1 Najprotzy poób wyznaczania modułu Younga polega na pomiarze przyrotu pręta o długości, umocowanego na jednym końcu i rozciąganego przyłożoną do drugiego końca iłą F n. Ten poób jet toowany w przypadku długich i cienkich prętów. Do pomiarów prętów grubych tej metody nie można toować ze względu na konieczność użycia bardzo dużych ił w celu uzykania mierzalnych wydłużeń. Dlatego w przypadku grubych prętów korzyta ię z efektu zginania (Ry.). Zginanie jet odkztałceniem o charakterze złożonym, a jego miarą jet trzałka ugięcia. Jeżeli ztywno zamocowany na jednym końcu pręt poddany jet działaniu iły F działającej protopadle do oi pręta na drugim jego końcu, wówcza na każdy poprzeczny element o grubości dx działa moment iły Fx, (.3) M x gdzie: x - jet odległością elementu dx od punktu przyłożenia iły F. x x F x Ry. Ry.3 Pod wpływem tego momentu iły element dx ulega odkztałceniu (Ry.3). Górne jego wartwy ulegają wydłużeniu natomiat dolne króceniu. Pojawiają ię jednocześnie naprężenia ścikające i rozciągające możliwe do opiu zależnością (.). Całkowity efekt zginania, którego
miarą jet trzałka ugięcia, jet wypadkową opianych powyżej efektów. Strzałka ugięcia jet to przeunięcie końca pręta wywołane działaniem iły F. Dokładna analiza matematyczna ujmuje związek między E i w potaci zależności 3 F E, (.4) 3I gdzie: I jet powierzchniowym momentem bezwładności.. ZDNI.1.Zmierzyć poprzeczne wymiary badanych prętów oraz określić niepewność pomiaru. Pomiaru dokonać w trzech różnych miejcach pręta...zmierzyć roztaw podpórek oraz odległość d, czyli drogę, jaką pokonuje promień laera między luterkiem M1 i kalą Sk (na Ry.6 M1-M-Sk). Uwaga: celem uprozczenia analizy niepewności pomiarów utawiać układ tak, aby podcza każdego pomiaru odległość d była taka ama. Określić niepewność wyznaczenia wartości i d..3.zmierzyć trzałki ugięcia jednego z prętów przy iedmiu różnych obciążeniach. Ocenić niepewność pomiarów. Wykonać wykre h= f(f) (zaznaczając niepewności pomiaru) i ocenić, czy wygenerowane w czaie doświadczenia odkztałcenia ą z zakreu prężytości..4.zmierzyć trzałki ugięcia prętów przy jednym obciążeniu (np. około 70%- 80% obciążenia makymalnego). Obliczyć wartość modułów prętów oraz niepewność pomiarów. 3.ZSD I PRZEBIEG POMIRU Do pomiaru modułu Younga zatoowano metodę opartą na analizie zginania podpartego na dwóch końcach pręta (Ry.4). W tym przypadku efekt ugięcia, reprezentowany przez trzałkę ugięcia, jet taki am jak dla pręta o długości / zginanego iłą F/. Uwzględniając ten fakt w zależności (.4) otrzymujemy natępujący wzór 3 F E. (.5) 48I Błąd! h F/ F/ a d Ry.4 F
Po obciążeniu pręta oś pręta ulega odchyleniu o kąt. Odbity w zwierciadle promień laera a ulega odchyleniu o kąt, co odpowiada przeunięciu na kali o odcinek h. Dla małych kątów można przyjąć, że h= d, (.6) gdzie: d jet odległością zwierciadła od kali. Zakładając, że obciążony pręt jet wygięty w kztałcie wycinka okręgu, można pokazać, że jeśli << to zachodzi związek 4 =. (.7) Na podtawie wzorów (.5), (.6) i (.7) końcowa relacja ma potać Fd E, (.8) 6hI gdzie: I - jet powierzchniowym momentem bezwładności. Powierzchniowy moment bezwładności I powierzchni S względem oi (Ry.5) leżącej na tej powierzchni definiuje ię jako I ds gdzie: ds - elementarna powierzchnia, - odległość elementu ds od oi. Ry.5 ds Powierzchniowy moment bezwładności zależy od wielkości i kztałtu powierzchni S oraz od położenia oi. W przypadku, gdy oś przechodzi przez środek powierzchni kołowej I wyraża on ię wzorem I = 4 /64 gdzie jet średnicą koła. Dla przekroju kwadratowego, gdy oś przechodzi przez środek kwadratu i jet równoległa do jego boku powierzchniowy moment bezwładności I =a 4 /1 (a - bok kwadratu). M M1 Sk Z P F P Ry.6
W rzeczywitym układzie, w celu zwiękzenia dokładności pomiaru, droga promienia odbitego zotała wydłużona poprzez dodatkowe odbicie od M. Badany pręt układamy na wpornikach P (Ry.6). Zakładamy na jeden z końców pręta luterko M1. Pręt i laer tak utawiamy, aby promień po odbiciu od luter M1 i M trafił na kalę Sk. Podwiezając obciążenie F na środku pręta mierzymy zmiany położenia h plamki na kali. Makymalne obciążenia wynozą: - pręt talowy = 5kg, - pręt moiężny = 4kg, - pręt aluminiowy pełny = 3kg, - pręt aluminiowy puty = 1.5kg, - pręt kompozytowy = 1kg. Po wykonaniu pomiarów wyłączyć zailacz laera. 4.NIZ NIEPEWNOŚCI POMIRU Wyniki pomiaru grubości (średnicy) pręta należy uśrednić, czyli uzykać a oraz wyliczyć wartość modułu powierzchniowego I. Jeśli pozczególne pomiary wymiarów pręta różnią ię makymalnie o niepewność wzorcowania (wartość najmniejzej działki uwmiarki) to niepewność przypadkową zaniedbujemy. Zakładając dodatkowo, że niepewność ekperymentatora jet równa zero, na podtawie wzorów (0.4) i (0.6), względną niepewność tandardową modułu powierzchniowego obliczamy ze wzoru SI 0 4 da, (.9) I0 3a gdzie: Δ d a jet wartością najmniejzej działki uwmiarki. Obliczając ze wzoru (.8) wartość modułu Younga E korzytamy z wartości I,m,h,d i. Dlatego przy analizie niepewności pomiaru E muimy uwzględnić ich niepewności tandardowe. S d, S i S h obliczamy na podtawie wzoru (0.5) pamiętając, że przy ocenie niepewności ekperymentatora należy uwzględnić trudność odczytu odległości d, odczytu położenia plamki światła laerowego na kali itp. Podana przez producenta dokładność wykonania odważników o maie m wynoi S m = 0,005 m. Na podtawie wzoru (0.6) niepewność tandardowa wartości modułu Younga obliczamy jako S Sm Sd S S h S I E E m d h I. (.10)