utor pro. r h. inż. Mrin Mokw Opiniow r h. inż. Jrosłw Mirski, pro. nzw. Rktor mrytoryzny r h. inż. Krzyszto Pulikowski, pro. UP Oprowni rkyjn mgr lżit Winirsk-Grosz Korkt r w Jworsk Łmni lin Gl Projkt okłki Jonn Skrzypi-Żuhowsk Monogri XIV opyright y Uniwrsytt Przyronizy w Wrołwiu, Wrołw 2010 ISN 978 83 7717 001 4 WYWNITWO UNIWRSYTTU PRZYRONIZGO W WROŁWIU Rktor Nzlny pro. r h. nrzj Kotki ul. Sopok 23, 50 344 Wrołw, tl. 71 328 12 77 -mil: wy@up.wro.pl Nkł 100 + 16 gz. rk. wy. 4,2. rk. ruk. 7,0 ruk i oprw:.p.h. LM
Monogrię tę poświęm mojmu nuzyilowi Prosorowi Jkowi ulińskimu, który zsynowł mni pięknm gomtrii wykrślnj. utor
6
Surow piękno gomtrii zsz się n jj prostoi (zh L. 1995) 7
8
SPIS TRŚI 1. WPROWZNI... 15 2. NIKTÓR WŁSNOŚI KRZYWYH STOŻKOWYH... 17 3. KOLINYJN PRZKSZTŁNI SZŚIOOKU PŁSKIGO W SZŚIOOK PRZSTRZNNY... 33 4. PRZKSZTŁNI RZUTOW SZŚIOOKU PRZSTRZNNGO WYZNZJĄGO KWRYKĘ SKOŚNĄ... 39 5. TWORZNI KWRYK SKOŚNYH WYZNZONYH SZŚIOOKIM PRZSTRZNNYM... 41 5.1. Hiproloi skośn... 41 5.2. Hiproloi orotow... 44 5.3. Proloi hiprolizn... 46 6. PWN SZZGÓLN WŁSNOŚI KWRYK SKOŚNYH W ZSTOSOWNIH... 49 7. PIŚMINNITWO... 53
10
Wykz niktóryh symoli,, punkty,, prost α, β, płszzyzny prost równolgł m n prost prostopł oink o końh i s ϕ symol przynlżnośi (s lży n ϕ) l(,) prost l przhozą przz punkty i M = punkt wspólny prostyh i (przięi) < > wilokąt,, punkty, wirzhołki < > wilook,, prost, oki kwryk nizniksztłon powirzhni stopni rugigo K 2 {} g ziór prostyh { P } 3 trójwymirow przstrzń rzutow S[, ] lu [ S] ( 128 ) konigurj, K wiązk prostyh o śroku S 11
12
PRZMOW Inspirją o pojęi tmtu kwryk skośnyh ył synj możliwośimi wykorzystni powirzhni prostokrślnyh w uownitwi, główni w uownitwi wonym, któr jst przmiotm moih szzgólnyh zintrsowń. Znzn zęść nikonwnjonlnyh oiktów uownitw m ksztłt powirzhni stopni rugigo (sr, lipsoi, hiproloi jno- i wupowłokow, proloi i proloi hiprolizn). Znn są n świi wspnił oikty uownitw ksztłtown z zstosownim powirzhni skośnyh, któr n trwł wszły o historii rhitktury. Przykłm tgo mogą yć projkty rhitkt i inżynir lix nli, tki jk kośiół Snt Mri Mirulos w Mksyku zy rsturj w Xohimilo. o orm oprtyh n powirzhnih prostokrślnyh sięgło wilu wyitnyh rhitktów: L orusir, Sntigo ltrv, Pir Luigi Nrvi i inni. Ni rkuj tkż przykłów zstosowń powirzhni prostokrślnyh w krjowyh konstrukjh rhitktoniznyh; np. worz Wrszw-Ohot projktu. Romnowiz przykryty proloią hiprolizną. W Ktowih świtny rhitkt W. Zlwski z ztrh proloi hiproliznyh zuowł kilih z powstłyh kilihów olrzymią hlę lu osttnio projkt Nowkih zkłjąy przykryi mittru w Opolu zsznim w ksztłi proloiy hiproliznj. Tyh kilk przykłów świzy o tym, ż powirzhni prostokrśln wprowziły ksprsyjn, jk równiż unkjonln ksztłty o nowozsnj rhitktury. Możn śmiło powizić, ż ormy rhitktonizn otrzymn w rzulti twórzj inspirji ormmi gomtryznymi mogły powstć i rozwijć się zięki postępowi nuki. Gomtri rzutow jst stosunkowo młoą ziziną gomtrii. Jj twórą jst mtmtyk rnuski Jn Vitor Pnlt (1788 1864), który stworzył torię igunów i igunowyh orz zsę igunowj woistośi. Tylko nio pon sto lt tmu poznno jną z njwspnilszyh kwryk skośnyh proloię hiprolizną. ltgo ni i nlizowni orm gomtryznyh oprtyh n powirzhnih prostokrślnyh jkimi są kwrygi skośn, moż z jnj strony przyzynić się o lpszgo ih poznni, możliwośi tworzni i przksztłń, z rugij o rozwiązywni prolmów konstrukyjnyh w współzsnj rhitkturz. Mm nziję, ż ninijsz monogri poszrzy zkrs rozwiązń tortyznyh onosząyh się o przksztłń rzutowyh kwryk skośnyh orz związków gomtryznyh, jki zhozą pomięzy ih lmntmi. Skłm srzn poziękowni Rnzntowi Prosorowi Jrosłwowi Mirskimu z wnikliw prznlizowni, punkt po punki, utworzonyh konstrukji kwryk skośnyh orz z uwgi mrytoryzn, któr pozwoliły mi n nni osttzngo ksztłtu monogrii. Mgr. inż. Piotrowi Kłuz ziękuję z pomo w oprowniu rysunków. 13
14
1. WPROWZNI Kwryką lu powirzhnią stopni rugigo nzywmy ziór punktów, który kż płszzyzn przin w stożkowj (zgnrownj lu ni). o postwowyh powirzhni stopni rugigo zlizmy mięzy innymi: powirzhnię stożkową, powirzhnię wlową, srę, hiproloię jnopowłokową orotową. Pirwsz wi, to powirzhni prostokrśln rozwijln. Opróz tyh powirzhni rugigo stopni znn są trzy kwryki ęą rzutowymi orzmi sry: lipsoi, proloi, hiproloi wupowłokow, orz wi kwryki ęą rzutowymi orzmi hiproloiy jnopowłokowj orotowj: hiproloi jnopowłokow, proloi hiprolizn. T wi osttni nzywmy kwrykmi skośnymi lu wihrowtymi, hrktryzująymi się tym, ż przz kży ih punkt przhozą wi tworzą (iliński i in. 2002). Kż owoln prost przij kwrykę w wóh punkth. Jżli punkty przii są różn, to prost nzyw się sizną. Jżli punkty przii są rzzywist i pokrywją się, to prost nzyw się styzną. W szzgólnym przypku, gy punkty przii są urojon sprzężon, to prost nzyw się zwnętrzną wzglęm kwryki. Kwryk m w kżym punki swojj powirzhni płszzyznę styzną, któr przin tę kwrykę w wóh tworząyh. Jżli tworzą przinją się w tym punki, to nzywmy go punktm hiproliznym. W przypku gy tworzą pokrywją się, punkt tn nzywmy proliznym. W szzgólnym przypku, gy tworzą są urojon, punkt tn nzywmy liptyznym. Kwryki o punkth hiproliznyh, przz któr przhozi niskońzni wil prostyh rzzywistyh tworząyh tę powirzhnię i ęąyh prostymi skośnymi nlżąymi o wóh ukłów, nzywmy prostoliniowymi skośnymi (kwrykmi skośnymi). Kż płszzyzn rzzywist moż yć wzglęm kwryki skośnj płszzyzną sizną i tką kwrykę nzywmy hiproloią skośną (hiproloią jnopowłokową) lu moż yć płszzyzną styzną i w tkim przypku nzyw się proloią skośną (proloią hiprolizną), (Ślusrzyk 1976). Kwrykę skośną wyznzją trzy owoln prost skośn t 1, t 2, i t 3 nlżą o jnj roziny lu tę smą kwrykę wyznzją trzy inn prost skośn q 1, q 2, i q 3 nlżą o rugij roziny, z któryh kż prost przin trzy prost pirwszj roziny. Tkih szść prostyh, nlżąyh n przmin o pirwszj i rugij roziny, tworzy zmknięty szśiook przstrznny mjąy tę włsność, ż kży jgo ok przin trzy inn, to znzy, ż wi prost nlżą o kwryki skośnj przinją się tylko wty, gy nlżą o różnyh rozin. Ziór niskońzonyh ilośi prostyh lżąyh n kwry skośnj i nlżąyh o ou rozin (nzywnyh tworząymi) tworzy tę powirzhnię. Rzut tworząyh n płszzyznę okrśl zrys kwryki, ęąy stożkową. Tworzą, któr powłózyły tę stożkową, są o nij styzn; zyli szśiook przstrznny stł się w wyniku przksztłni rzutowgo szśiookim płskim, którgo oki są styzn o stożkowj. 15
16
2. NIKTÓR WŁSNOŚI KRZYWYH STOŻKOWYH Krzywymi stożkowymi (lu krzywymi stopni rugigo) nzywmy ziór punktów otrzymnyh w wyniku przkroju stożk owolną płszzyzną. Tk wię, przkrojm kżj powirzhni stożkowj moż yć kż krzyw stopni rugigo (okrąg, lips, hiprol, prol), występują zsm w posti zgnrownj o wóh prostyh, jnj prostj lu punktu (Otto 1971). lm okrślni pwnyh szzgólnyh włsnośi krzywyh stożkowyh, ęąyh lmntmi kwryk skośnyh, posłużymy się zpism koniguryjnym. Konigurją płską nzywmy igurę skłjąą się z niozownj lizy p punktów i g prostyh lżąyh n płszzyźni, hrktryzująyh się tym, ż przz kży punkt (p) igury przhozi t sm ilość γ prostyh z zioru {} g i ż n kżj prostj g nj igury lży jn i t sm ilość π punktów. Konigurję tką oznzmy lizą (symolm) (p γ g π ). T ztry lizy są z soą w zlżnośi p γ = g π. Oirzmy szść owolnyh różnyh o sii punktów stożkowj (okręgu), oznzją j koljno litrmi ltu < > (rys. 1). Tki ukł punktów i prostyh tworzy konigurję. Rys. 1. Szśiokąt wpisny w stożkową tworząy konigurję (6 5 15 2 ) ig. 1. Hxgon insri in oni, orming onigurtion o typ (6 5 15 2 ) Rozwżn punkty stożkowj wyznzją szśiokąt wpisny w tę stożkową. Łązą kży wirzhołk szśiokąt z pozostłymi, otrzymmy ukł punktów i prostyh tworząyh konigurję (6 5 15 2 ), tzn. ż n kżj prostj (oku szśiokąt) lżą w punkty i przz kży punkt (wirzhołk szśiokąt) przhozi pięć prostyh. l szśiokąt wpisngo w stożkową możmy ułożyć 60 różnyh shmtów nstępstw wirzhołków (rys. 2). ęą to wszystki prmutj z powtórzni l szśiu lmntów. Otrzymmy wię 6!/12 możliwyh przypków. Kży z rozwżnyh szśiokątów m 3 pry oków prziwlgłyh. Pry t przinją się w 3 punkth lżąyh n jnj prostj. Włsność t znn jst jko twirzni Psl 1 : Szść punktów stożkowj wyznz szśiokąt, którgo oki prziwlgł przinją się w 3 punkth lżąyh n jnj prostj (prostj Psl) (Szrszń 1963). Wźmy po uwgę szść owolnyh punktów lżąyh n stożkowj (okręgu) < > (rys. 3). Połązmy prziwlgł wirzhołki otrzymngo szśiokąt. Otrzymmy ziór ziwięiu prostyh przhoząyh po 3 prost przz kży punkt. W tk otrzymnj igurz możmy uzyskć 6 kominji nstępstw wirzhołków szśiokąt: 1 Twirzni to zostło uowonion w 1639 r. przz szsnstoltnigo wówzs mtmtyk rnuskigo lis Psl. 17
1.<> 2.<> 3.<> 4.<> 5.<> 6.<> 7.<> 8.<> 9.<> 10.<> 11.<> 12.<> 13.<> 14.<> 15.<> 16.<> 17.<> 18.<> 19.<> Rys. 2. Shmty nstępstw wirzhołków szśiokątów wpisnyh w stożkową ig. 2. Shm o vrtx squns o hxhron insri intu oni 20.<> 18
19 37.<> 33.<> 29.<> 25.<> 21.<> 38.<> 34.<> 30.<> 26.<> 22.<> 39.<> 35.<> 31.<> 27.<> 23.<> 40.<> 36.<> 32.<> 28.<> 24.<> Rys. 2.. Shmty nstępstw wirzhołków szśiokątów wpisnyh w stożkową ig. 2. ont. Shm o vrtx squns o hxhron insri intu oni
20 57.<> 53.<> 49.<> 45.<> 41.<> 58.<> 54.<> 50.<> 46.<> 42.<> 59.<> 55.<> 51.<> 47.<> 43.<> 60.<> 56.<> 52.<> 48.<> 44.<> Rys. 2.. Shmty nstępstw wirzhołków szśiokątów wpisnyh w stożkową ig. 2 ont. Shm o vrtx squns o hxhron insri intu oni
J p 1 M s p 2 N p 3 x z t r v I P 1 G H y u L w K Rys. 3. Szśiokąty o nstępstwi wirzhołków I, II, III tworząyh konigurję (16 3 12 4 ) ig. 3. Hxgons with vrtx squns I, II, III orming onigurtion o typ (16 3 12 4 ) O I <> IV p 1 <> p 4 II <> V p 2 <> p 5 III <> p VI <> p 3 6 Rozwiązni n jnym szśiokąi < > wszystkih możliwyh nstępstw wirzhołków I, II, III, IV, V, VI j 6 prostyh Psl. Trzy prost p 1, p 2, p 3 przinją się w punki P I, trzy prost p 4, p 5, p 6 w punki P II. Rlizj 3 szśiokątów (I, II, III lu III, IV, V) wrz z trójką prostyh Psl przhoząyh przz wspólny punkt (P I lu P II ) tworzy konigurję (16 3 12 4 ). W uzysknj z nstępstw wirzhołków I, II, III konigurji (rys. 3) prost spłniją nstępują rol: prost < rstuwv > są okmi szśiokąt wpisngo w stożkową, prost xyz są prostymi łąząymi prziwlgł wirzhołki, prost p 1, p 2, p 3 są prostymi Psl. 21
Punkty konigurji to szść wirzhołków szśiokąt < >, ziwięć punktów przięi trzh pr prziwlgłyh oków GHIJKLMNO orz punkt P I przięi prostyh Psl. N konigurję skł się wię: p = 16 punktów g = 12 prostyh orz zhozą mięzy nimi inynj: γ = 3; prost przhozą przz kży punkt, π = 4; punkty lżą n kżj prostj. Otrzymnyh 48 znków przynlżnośi (12x4 = 16x3) przstwmy w griznym shmi ujętym w zstwiniu przynlżnośi. G H I J K L M N O P r s t u w v x y z p 1 p 2 p 3 Rys. 4. Grizny shmt konigurji (16 3 12 4 ) ig. 4. igrm o onigurtion o typ (16 3 12 4 ) Nrysujmy shmt (rys. 4) skłjąy się z g = 12 kolumn rprzntująyh prost i z p = 16 wirszy rprzntująyh punkty. Nstępni w kżym wirszu oznzmy krzyżykim przhozą przz ny punkt prost. iorą jko punkt wyjśi grizny shmt konigurji, możmy przprowzić jgo gomtryzną rlizję. Oirzmy n płszzyźni owolną prostą konigurji, np. s i nniśmy trzy inyntn z nią punkty N (rys. 3). Przz kży punkt przprowźmy lsz wi prost r x =, z t =, u p2 = N. Ustliliśmy w tn sposó położni simiu prostyh i trzh punktów lżąyh n jnj z nih. T złożni wystrzą o wyznzni rkująyh punktów i prostyh. W lszj rlizji wyznzmy punkty przięi prostyh r p2 = L, x u =, z p2 = I, t u =. Znjują punkty przięi prostyh y r =, w z =, otrzymmy nstępn wirzhołki szśiokąt. Szśiokąt < > nlży uzupłnić pozostłymi wom trójkmi punktów MHK lżąyh n prostj p 3 orz JGO lżąyh n prostj p 1. wi spośró trzh prostyh p okrślją położni rkujągo punktu P I, przz który zgoni z shmtm musi przjść trzi prost. Inynj t jst zwsz spłnion, nizlżni o wyoru prostj i trzh lżąyh n nij punktów. Przz jn z trzh przyjętyh punktów zwsz przhozi przynjmnij jn prost, któr jst prostą Psl, to owozi, ż otrzymny szśiokąt jst wpisny w stożkową (twirzni Psl). Z powyższj konigurji wynik nstępują twirzni: Trzy trójki punktów przięi prziwlgłyh oków szśiokąt wpisngo w stożkową, tworzągo konigurję (16 3 12 4 ) lżą n 3 prostyh przinjąyh się w jnym punki. 22
o tgo twirzni możn npisć twirzni owrotn: Szśiokąt płski, którgo żn trzy wirzhołki ni lżą n jnj prostj i którgo oki prziwlgł wyznzją trzy trójki punktów lżąyh n trzh prostyh przinjąyh się w jnym punki jst wilokątm wpisnym w stożkową, tworząym konigurję (16 3 12 4 ). W zlżnośi o wyoru nstępstw wirzhołków trzh szśiokątów I, II, III lu IV, V, VI możmy zrlizowć wi konigurj (16 3 12 4 ) o różnyh shmth. N rysunku 3 zrlizowno konigurję opirją się n szśiokąth I, II, III. Tką smą prourę, jko zgnini woist, możn przprowzić l szśiooku opisngo n stożkowj (okręgu). Oirzmy szść owolnyh różnyh o sii prostyh styznyh o stożkowj (okręgu), oznzją j koljno litrmi ltu < > (rys. 5). Rys. 5. Szśiook opisny n stożkowj tworząy konigurję (15 2 6 5 ) ig. 5. Hxgon irumsri roun oni, orming onigurtion o typ (15 2 6 5 ) Rozwżn styzn stożkowj wyznzją szśiook opisny n tj stożkowj. Przłużją kży ok szśiooku o przięi z pozostłymi, otrzymmy ukł prostyh i punktów tworząyh konigurję (15 2 6 5 ), tzn. ż przz kży punkt (wirzhołk szśiooku) przhozą wi prost i n kżj prostj (oku szśiooku) lży pięć punktów. l szśiooku opisngo n stożkowj możmy ułożyć 60 różnyh shmtów nstępstw oków (rys. 6). Kży z rozwżnyh szśiooków posi 3 pry wirzhołków prziwlgłyh. Pry t wyznzją 3 prost, któr przinją się w jnym punki. Włsność t znn jst jko twirzni rinhon 2 : Szść styznyh stożkowj wyznz szśiook, którgo wirzhołki prziwlgł wyznzją 3 prost przhozą przz jn punkt (punkt rinhon) (Szrszń 1973). 2 rinhon mtmtyk rnuski ur. 1783 r. Uowonił pon sto lt po Pslu twirzni woist o jgo twirzni. 23
24 <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Rys. 6. Shmty nstępstw oków szśiooków opisnyh n stożkowj ig. 6. Shm o si squns o hxhron sri on ono
25 <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Rys. 6.. Shmty nstępstw oków szśiooków opisnyh n stożkowj ig. 6 ont. Shm o si squns o hxhron sri on ono
26 <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 56 57 58 59 60 <> 54 <> 55 Rys. 6.. Shmty nstępstw oków szśiooków opisnyh n stożkowj ig. 6 ont. Shm o si squns o hxhron sri on ono
Wźmy po uwgę szść owolnyh prostyh styznyh o stożkowj (okręgu) < > (rys. 7). Y h k S o R n r 4 T V g j m r 5 r 6 W P II U i l Z X Rys. 7. Szśiooki o nstępstwi oków IV, V, IV tworząyh konigurję (12 4 16 3 ) ig. 7. Hxgons with si squns IV, V, VI, orming onigurtion o typ (12 4 16 3 ) Przłużmy prziwlgł oki otrzymngo szśiooku. Otrzymmy ziór 9 punktów lżąyh po 3 n kżj prostj. W tk powstłj igurz możmy uzyskć 6 kominji nstępstw oków szśiooku: I II III <> r 1 <> r 2 <> r 3 IV V VI <> r 4 <> r 5 <> r 6 Rozwiązni n jnym szśiooku < > wszystkih możliwyh nstępstw oków I, II, III, IV, V, VI j 6 punktów rinhon. Trzy punkty r 1, r 2, r 3 lżą n jnj prostj p I, trzy punkty r 4, r 5, r 6 n prostj p II. Rlizj 3 szśiooków (I, II, III lu IV, V, VI) wrz z trzm punktmi rinhon lżąymi n jnj prostj (p I lu p II ) tworzy konigurję (12 4 16 3 ). W uzysknj z nstępstw oków III, IV, V konigurji (rys. 7) punkty spłniją nstępują rol: punkty < RSTUWV > są punktmi styznośi szśiooku opisngo n stożkowj, punkty XYZ są punktmi przięi prziwlgłyh oków, punkty r 4, r, 5, r 6 są punktmi rinhon. N konigurję skł się wię: p = 12 punktów, g = 16 prostyh orz zhozą mięzy nimi inynj: γ = 4 prost przhozą przz kży punkt, π = 3 punkty lżą n kżj prostj. 27
R S T U W V X Y Z g h i j k l m n o p II r4 r5 r6 Rys. 8. Grizny shmt konigurji (12 4 16 3 ) ig. 8. (12 4 16 3 ) onigurtion igrm Nrysujmy shmt (rys. 8) skłjąy się z g = 16 kolumn rprzntująyh prost i z p = 12 wirszy rprzntująyh punkty. Nstępni w kżj kolumni oznzmy krzyżykim opowiją nj prostj punkty. Oirzmy n płszzyźni owolny punkt konigurji, np. Y i poprowźmy trzy inyntn z nim prost h (rys.7). N kżj prostj przyjmijmy w lsz punkty RV =, Sr 4 = h, TU =. Ustliliśmy w tn sposó położni simiu punktów i trzh prostyh przinjąyh się w jnym z nih. T złożni wystrzą o wyznzni rkująyh prostyh i punktów. W lszj rlizji połązmy przyjęt punkty SR i r 4 V otrzymn prost i g prztną się w punki X. Prost i prost uzyskn przz połązni punktów ST i r 4 U prztną się w punki Z. Łązą punkt Z z V orz X z U otrzymmy w nstępn oki szśiooku,. Szśiook < > nlży uzupłnić pozostłymi wom trójkmi przkątnyh jkl przinjąyh się w punki r 5 orz mno przinjąyh się w punki r 6. w spośró trzh punktów r okrśl położni rkująj prostj p II, któr zgoni z shmtm musi przjść przz trzi punkt. Inynj t jst zwsz spłnion, nizlżni o wyoru punktu i trzh przhoząyh przz nigo prostyh. N jnj z trzh przyjętyh prostyh zwsz znjuj się przynjmnij jn punkt, który jst punktm rinhon, to owozi, ż otrzymny szśiook jst opisny n stożkowj (twirzni rinhon). Wynikją stą nstępują twirzni: Trzy trójki przkątnyh szśiooku opisngo n stożkowj, tworzągo konigurję (12 4 16 3 ) przinją się w trzh punkth lżąyh n jnj prostj. i twirzni owrotn: Szśiook płski, którgo żn trzy oki ni przinją się w jnym punki i którgo wirzhołki prziwlgł wyznzją trzy trójki prostyh przinjąyh się w trzh punkth współliniowyh jst wilookim opisnym n stożkowj, tworząym konigurję (12 4 16 3 ). W zlżnośi o wyoru nstępstw oków trzh szśiooków I, II, III lu IV, V, VI możmy zrlizowć wi konigurj (12 4 16 3 ) o różnyh shmth. N rysunku 7 zrlizowno konigurję z zstosownim szśiooków IV, V, VI. Nrysujmy tki szśiokąt, którgo wirzhołki <> lżą n stożkowj w punkth styznośi szśiooku <>. Nih nstępstw wirzhołków szśiokąt I, II, III opowiją nstępstwom oków szśiooków III, IV, V (rys. 9). 28
Y h k J S p 1 o N s T M r r 4 y t R H r 6 I u P n r5 m v G 5 p p x 3 U 2 z K w V P L W l g j O i Z X Rys. 9. Szśiokąty I, II, III wpisn w stożkową i szśiooki IV, V, VI opisn n stożkowj, tworzą konigurję (28 4 ) ig. 9. Hxgons I, II, III insri in oni stion n IV, V, VI irumsri roun it, orming onigurtion o typ (28 4 ) Nstępni nrysujmy tki szśiook, którgo oki < > są styzn o stożkowj w wirzhołkh szśiokąt < >. Nih nstępstw oków szśiooków III,IV,V opowiją nstępstwom wirzhołków szśiokątów I,II,III (rys. 10). L X r 3 H G O P II T S U o R m n W V P 4 Y N r 2 z P 5 I J P 6 Z r 1 Rys. 10. Szśiokąty IV, V, VI wpisn w stożkową i szśiooki I, II, III opisn n stożkowj, tworzą konigurję (28 4 ) ig. 10. Hxgons IV,V,VI insri in oni stion n I,II,III irumsri out it, orming onigurtion o typ (28 4 ) 29
Możn uowonić, ż otrzymn konigurj (12 4 16 3 ) i (16 3 12 4 ) w przypku gy wirzhołki szśiokąt wpisngo w stożkową są punktmi styznośi szśiooku opisngo n tj stożkowj, mją wspóln znki przynlżnośi. Punkty GHI szśiokąt lżą n prostyh mon szśiooku, punkty JKL n prostyh hig, punkty MNO n prostyh jkl. Inynję tę możmy uowonić, opirją się n konigurji Mlurin (Ślusrzyk 1976): zworokąt zupłny wpisny w stożkową i zworook zupłny o okh styznyh o stożkowj w punkth, któr są wirzhołkmi zworokąt mją tn sm trójkąt przkątny. Wźmy po uwgę zworokąt wpisny w stożkową i zworook opisny n stożkowj (rys. 10). Wspólnym okim trójkąt przkątngo l ou igur jst prost g wyznzon mięzy innymi przz wirzhołk L trójkąt przkątngo zworokąt < >. W poony sposó możn wykzć przynlżność pozostłyh lmntów. Otrzymny ukł punktów i prostyh tworzy konigurję (28 4 ). 28 punktów i 28 prostyh skłjąyh się n konigurję (28 4 ) z zhownim zhoząj mięzy nimi inynji ujęto w kwrtową tlę przynlżnośi (rys. 11) przstwijąą grizny shmt tj konigurji. Grizny shmt konigurji (28 4 ) możn zpisć w posti przypominjąj mirz kwrtową. G H I J K L M N O P R S T U W V X Y Z g h i j k l m n o p r s t u w v x y z p 1 p 2 p 3 r4 r5 r6 Rys. 11. Grizny shmt konigurji (28 4 ) ig. 11. igrm o onigurtion o typ (28 4 ) Kż mirz posi tę włsność, ż możn rzęy i kolumny tk uporząkowć, y znki inynyjn ugrupowły się w wymgny sposó. Jżli w wyniku uporząkowni rzęów i kolumn lmnty mirzy są położon symtryzni wzglęm głównj przkątnj (tl przynlżnośi jst sm w soi symtryzn) konigurję nzywmy inwoluyjną. To znzy, ż kż zwórk punktów przynlżn o kolumny jst zwórką hrmonizną XRS=VRY...=-1. Możn tgo owiść n rysunku 9, n którym jn prost są okmi zworokątów wpisnyh w stożkową, inn okmi zworooków opisnyh n stożkowj w wirzhołkh zworokątów, pozostł okmi ih trójkątów przkątnyh, wię wszystki wyznzon zwórki punktów i prostyh są zwórkmi hrmoniznymi. 30
Gomtryzną rlizję (rys. 9) grizngo shmtu konigurji (28 4 ) (rys. 11) przprowzimy w nstępująy sposó: oirmy n płszzyźni owolny punkt, np. Y i prowzimy 3 inyntn z nim prost, np. k. N kżj z prostyh oirmy 3 lsz punkty, np. RV, r 5 WO, TU. Ustliliśmy w tn sposó położni 10 punktów i 3 prostyh przinjąyh się w jnym z nih. W lszj rlizji połązmy przyjęt punkty R z U, R z r 5 it., tzn. ż przz kży z przyjętyh punktów poprowzimy 3 prost. Przy połązniu wszystkih punktów wg shmtu (rys. 11) otrzymmy konigurję. Tn sm shmt możn zrlizowć, oirją n płszzyźni owolną prostą (np. ) i trzy inyntn z nią punkty YRV (rys. 10). Przz kży punkt prowzimy 3 lsz prost, np. hk, nl, gn... W otrzymnj konigurji (28 4 ) punkt P przynlży o prostj p. Wynik stą nstępują twirzni: Punkt P przięi trzh prostyh Psl szśiokąt wpisngo w stożkową tworzągo konigurję (16 3 12 4 ), lży n prostj p wyznzonj przz trzy punkty rinhon szśiooku tworzągo konigurję (12 4 16 3 ) opisngo n stożkowj w wirzhołkh szśiokąt. K O X r 3 P II N T S J t p 3 w U x y z s GH I P r R M V L u p 1 v W i p 2 Y g r 2 Z r 1 Rys. 12. Szśiokąty I, II, III wpisn w stożkową i szśiooki I, II, III opisn n stożkowj ig. 12. Hxgons I, II, III insri in oni n I, II, III irumsri roun it Nrysujmy tki szśiook < >, którgo oki są styzn o stożkowj w wirzhołkh szśiokąt wpisngo < > (rys. 12). Nih nstępstw oków szśiokątów I, II, III opowiją nstępstwom oków szśiooków I, II, III (orz IV, V, VI IV, V, VI). Otrzymny ukł punktów i prostyh ni tworzy konigurji (28 4 ), punkt P ni lży n prostj p. Uowonijmy, ż prost p jst igunową punktu P z wzglęu n tę stożkową. owó sprowz się o wykzni, ż przynjmnij w punkty prostj Psl są igunowo sprzężon z opowinimi wom punktmi rinhon, to punkt przięi P tyh prostyh jst igunm prostj p wyznzonj przz punkty rinhon. 31
X H p 6 j g p 4 P G O T S U r 4 r 5 r6 6 h k R N W V p L p 5 Y i l I K J Z M Rys. 13. Szśiokąty IV, V, VI wpisn w stożkową i szśiooki IV, V, VI opisn n stożkowj ig. 13. Hxgons IV, V, VI insri in oni n IV, V, VI irumsri roun it o przprowzni owou posłużymy się zworokątm < > (rys. 13). W zworokąi tym prost g przhozą przz punkt r 4 jst okim trójkąt przkątngo, punkt J lżąy n prostj Psl p 4 jst jgo wirzhołkim. Z włsnośi zworokąt zupłngo wynik, ż punkt J jst igunowo sprzężony z prostą g przhoząą przz punkt r 4. Tki sm owó możn przprowzić l pozostłyh punktów, wykzują słuszność nstępujągo twirzni: Jżli punkty styznośi szśiooku opisngo n stożkowj, tworzągo konigurję (12 4 16 3 ), są wirzhołkmi szśiokąt wpisngo w stożkową tworzągo konigurję (16 3 12 4 ) i istnij nstępstwo oków zgon z nstępstwm wirzhołków, to prost n którj lżą punkty rinhon jst igunowo sprzężon z punktm, przz który przhozą prost Psl. 32
3. KOLINYJN PRZKSZTŁNI SZŚIOOKU PŁSKIGO W SZŚIOOK PRZSTRZNNY S 8 3 6 10 7 2 11 12 9 2' 1'=1 4'=4 12' 3' 8' 7' 9' 11' 6' 10' Rys. 14. Kolinyjn przksztłni konigurji płskij (12 4 16 3 ) w konigurję przstrznną (12 6 ) ig. 14. ollintory trnsormtion o plnr onigurtion o typ(12 4 16 3 ) into th sptil onigurtion o typ(12 6 ) hą zrlizowć przstrznną konigurję opowijąą płskij, nlży wykzć, ż kżą płską igurę możn uzyskć jko rzut pwnj przstrznnj igury. y to przprowzić, połązmy wszystki punkty i prost, z ornym poz płszzyzną rysunku punktm [S], który uwżć ęzimy z śrok rzutu (rys. 14). Njmy wszystkim punktom płskij konigurji przstwionj n rysunku 14 znki 1`, 2`, 3`. Nih punkty 1, 4, 5 jnoznzn z 1`, 4`, 5` pozostną n rzutni. Przz punkty np. 4 i 5 poprowźmy owolną płszzyznę niprzhoząą przz [S]. Promini okrślon punktmi S, 8 S, 10 i S, 3 przijją tę płszzyznę w opowinih punkth 8, 10, 3. Punkt 6 wyznzony przz wi prost przinją się 3, 5 i 4, 10 lżą n tj płszzyźni, przynlży o tj płszzyzny. Koljn płszzyzn wyznzon punktmi 1, 5, 8 zostj przit przz promiń S, 12 w punki 12. Punkt 11 lżąy n tj płszzyźni otrzymmy jko punkt przięi prostyh 1, 10 i 5, 12. N trzij płszzyźni wyznzonj punktmi 1, 4, 8 lży punkt 2 wspólny l prostyh 1, 3 i 4, 12. Trzy nrysown w tn sposó płszzyzny przinją się w wspólnym punki 8 5'=5 33
ęąym wirzhołkim ostrosłup o postwi 1, 4, 5. Otrzymny szśiook przstrznny < 2, 3, 6, 10, 11, 12 >, którgo oki lżą n śinh ostrosłup śiętgo, jst przksztłnim rzutowym szśiooku płskigo < 2`, 3`, 6`, 10`, 11`, 12` >. Trzy punkty 7, 8, 9 są punktmi przięi przkątnyh szśiooku i lżą n jnj prostj. Wynik stą nstępują twirzni: Trzy trójki przkątnyh zmkniętgo szśiooku przstrznngo hrktryzujągo się tym, ż kży ok przin trzy inn, przhozą przz trzy punkty, któr są współliniow. o tgo twirzni możn npisć twirzni owrotn: Szść punktów przięi trzh niwspółpłszzyznowyh trójk prostyh o współliniowyh punkth przięi, z któryh kż prost przin trzy inn, wyznz zmknięty szśiook przstrznny lżąy n kwry. Uowonijmy to twirzni: N otrzymny szśiook przstrznny skł się szść jgo wirzhołków orz trzy punkty przięi pr prziwlgłyh oków. Prziwlgł oki tworzą pry opowijąyh soi prostyh w wóh przstrznih kolinyjnyh. Kolinj śrokow wu przstrzni okrślon jst mięzy innymi przz śrok kolinji orz trzy pry homologiznyh punktów tyh przstrzni, nilżąyh n jnj płszzyźni. 8 12 II 3 2 I k 7 1 4 2 2 6 10 11 I t 6 K 6 III 11 11 5 II Rys. 15. Kolinj śrokowo-inwoluyjn szśiooku przstrznngo ig. 15. ntrl n involutionl ollintion o sptil hxgon W nszym przykłzi (rys. 15) śrokim kolinji jst wirzhołk 8 ostrosłup śiętgo, punktmi homologiznymi punkty lżą n krwęzih wyhoząyh z tgo wirzhołk. Punkty 3 i 4, 10 i 5, 12 i 1 są wirzhołkmi trójkątnyh postw ostrosłup śiętgo. Prost homologizn wyznzon tymi punktmi 3, 5 III 34
4, 10 prztną się w punki 6, prost 5, 12 i 10, 1 prztną się w punki 11, prost 1, 3 i 12, 4 prztną się w punki 2. T trzy punkty wyznzą płszzyznę kolinyjną. Kolinj śrokow posi tę włsność, ż wi różn płszzyzny homologizn wóh przstrzni przinją się w prostj lżąj n płszzyźni kolinji. Wszystki lmnty homologizn lżą n wóh różnyh płszzyznh homologiznyh tyh przstrzni tworzą ukły płski śrokowo-kolinyjn, w któryh osią kolinji jst ih krwęź przięi, śrokim śrok kolinji tyh przstrzni. w homologizn ukły płski wyznzon wom postwmi < 3, 10, 12 > i < 4, 5, 1 > ostrosłup śiętgo przinją się wzłuż wspólnj krwęzi t, któr jst osią kolinji płskij tyh ukłów i lży n płszzyźni π kolinji przstrznnj, o którj t w ukły nlżą. Poprowźmy przz wszystki trzy krwęzi ostrosłup śiętgo wyhozą z wirzhołk 8 orz przz punkty przięi 11, 6, 2 przkątnyh prziwlgłyh śin płszzyzny α 11, α 6, α 2. Wykżmy, ż trzy płszzyzny prztną się wzłuż wspólnj krwęzi k. W tym lu połązmy punkty 2 i 11 lżą n płszzyźni kolinji. Prost w tn sposó wyznzon przjzi przz punkt III lżąy n osi kolinji wóh ukłów płskih. Prost 2, 11 jst krwęzią przięi wóh płszzyzn 1, 3, 10 orz 12, 4, 5. Płszzyzny t przhozą przz prost 3, 10 i 4, 5 mją wspólny punkt III, wię muszą tkż przz tn punkt przhozić. Prost 2, 11 jko krwęź przięi oywu płszzyzn musi przhozić przz ih wspólny punkt III. Punktowi 2 opowi punkt 2, punktowi 11 11, przto prost łązą punkty 2 i 11 musi przjść przz punkt III. Pooni możn uowonić, ż prost 2, 6 przhozi przz punkt II, prost 11, 6 przhozi przz punkt I. N płszzyźni postwy otrzymliśmy ukł, który tworzy kolinję o śroku III i osi I, 6. W tym kolinyjnym ukłzi punktowi 11 opowi punkt 2, punktowi 5 opowi punkt 4. T ztry punkty wyznzją zworook zupłny, którgo przkątn przinją się w punki K lżąym n osi kolinji. zyli ż wszystki trzy prost ęą krwęzią przięi płszzyzn α 11, α 6, α 2 z postwą ostrosłup przinją się w wspólnym punki K. rugim wspólnym punktm przięi się tyh płszzyzn jst punkt 8, przz który t płszzyzny prowziliśmy. w punkty 8 i K wyznzją prostą ęąą krwęzią przięi płszzyzn α 11, α 6, α 2. W koljnośi musimy owiść, ż punkty 9 i 7 lżą n prostj k. W tym lu zuwżmy, ż płszzyzn wyznzon punktmi 4, 10, 1 prztni płszzyzny α 11 i α 6 wzłuż krwęzi 6, 1 i 11, 4 mjąyh wspólny punkt 9 lżąy n krwęzi k przięi płszzyzn α 11 i α 6. Pooni płszzyzn wyznzon punktmi 3, 12, 5 prztni płszzyzny α 11 i α 6 w krwęzih 12, 6 i 3, 11 mjąyh wspólny punkt 7 lżąy n k. Trzy punkty 7, 8, 9 są punktmi lżąymi n wspólnj prostj. Wyznzmy hę okrślonj powyżj kolinji śrokowj wu przstrzni (rys. 15). hą kolinji nzywmy wustosunk ztrh współliniowyh punktów np. (8, I π, 3, 4), n któr skłją się: śrok kolinji 8, owolny punkt lżąy n płszzyźni kolinji I π orz pr punktów homologiznyh 3 i 4 oywu przstrzni. Łtwo zuwżyć, ż ztry opowiją soi punkty 3, 4 i 5, 11 wyznzją płski zworook zupłny. W zworooku tym zhozi równość wustosunków (3 4 I π 8) (4 3 I π 8). Stą liz (3 4 I π 8) = (4 3 I π 8) = -1, zyli ż punkty 3 i 4 są hrmonizni sprzężon z I π i 8. W przstrzni rzutowj punkty I π II π III π są punktmi lżąymi n płszzyźni kolinji. Punkty soi opowiją 3, 4 jk i 11, 5 orz 12, 1 są punktmi lżąymi n kwry. Wszystki t punkty wrz z punktm 8 tworzą grupy hrmonizn o sz -1, ztm kolinj śrokow tyh przstrzni jst homologią hrmonizną nzywną kolinją śrokowo- -inwoluyjną. W inwoluji opowiją soi lmnty nzywmy igunowo sprzężonymi. Płszzyzn kolinji π jst płszzyzną igunową śrok 8 wzglęm kwryki. Rysunk 16 przstwi konigurję przstrznną otrzymną w wyniku rzutowgo przksztłni konigurji płskij, o uwiozniono n rysunku 14. Kżą płską konigurję możmy przksztłić przy złożniu śrok rzutu w owolną konigurję przstrznną równowżną rzutowo. Konigurją przstrznną nzywmy tki ukł p punktów i płszzyzn, ż kży punkt jst inynty z tą smą ilośią ε płszzyzn, kż płszzyzn jst inyntn z t smą ilośią π punktów. Jko konigurję przstrznną możmy tż rozwżć ukł punktów i prostyh z zhownim inynji jk w igurz płskij. Nsz konigurj przstrznn skł się z wunstu punktów i wunstu płszzyzn. N punkty konigurji skł się: szść nroży trójkątngo ostrosłup śiętgo, jgo wirzhołk, trzy punkty przięi przkątnyh śin, któr połązon z prziwlgłymi nrożmi utworzą wi trójki prostyh przinjąyh się w wóh pozostłyh punkth. Jko płszzyzny konigurji wyoręnimy: trzy śiny ostrosłup, szść płszzyzn przkątnyh wyznzonyh przz krwęzi ozn i punkt przięi przkątnyh śiny prziwlgłj. W tk uzysknym utworz n kżj płszzyźni lży szść punktów i przz kży punkt przhozi szść płszzyzn. Jst to konigurj typu punkt płszzyzn i nosi symol (12 6 ). Możn tż zuwżyć, ż przz kżą prostą przhozą trzy płszzyzny i n kżj płszzyźni lżą ztry prost, któr tworzą zworook zupłny. 35
8 3 VII 10 7 VIII IX 2 12 6 4 9 XI II V XII 1 X I IV IV III 5 Rys. 16. Gomtryzn rlizj grizngo shmtu konigurji (12 6 ) ig. 16. Gomtril rliztion o onigurtion igrm o typ (12 6 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Rys. 17. Grizny shmt konigurji (12 6 ) ig. 17. igrm o onigurtion o typ (12 6 ) 36
wnśi punktów i wnśi płszzyzn skłjąyh się n konigurję (12 6 ) z zhownim zhoząj mięzy nimi inynji ujęto w kwrtową tlię przynlżnośi (rys. 17), przstwijąą grizny shmt tj konigurji. Pony zpis grizny konigurji możmy równiż ująć w prostokątnym shmi lizowym. W shmi tym kolumny rprzntują płszzyzny oznzon I, II, III XII, im przynlżn punkty oznzono 1, 2, 3 12. Wypłniją shmt, musimy spłnić nstępują wrunki: ) w jnj kolumni ni mogą powtrzć się wi jnkow lizy, gyy to nstąpiło n płszzyźni, ęzi lżło mnij niż szść punktów; ) w wóh kolumnh ni moż wystąpić więj niż trzy t sm lizy, w prziwnym wypku miliyśmy o zynini z zjnozonymi płszzyznmi; ) kż liz musi igurowć w shmi szśiokrotni, poniwż przz kży punkt musi przhozić szść płszzyzn. Są to wrunki niozown, zkolwik niwystrzją. Z istnini shmtu ni wynik, ż konigurj tk moż yć zrlizown. Konigurję (12 6 ) możn zpisć w nstępująy sposó: I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 3 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2 3 4 2 5 4 4 2 2 5 4 6 5 4 5 3 8 5 6 3 3 6 6 7 7 7 6 4 10 9 9 5 7 7 7 8 8 8 8 8 11 11 10 6 10 11 10 9 9 9 10 12 12 12 11 9 11 12 12 12 10 11 W otrzymnym zpisi okonujmy pwnyh zmin, któr ni wpływją n konigurję, wię możmy: ) w kżj kolumni zminić koljność liz; ) zminić koljność kolumn; ) ponumrowć inzj punkty konigurji. Grizny shmt konigurji (12 6 ) przstwiony n rysunku 17 przypomin mirz kwrtową. Kż mirz posi tę włsność, ż możn rzęy i kolumny tk uporząkowć, y znki inynyjn ugrupowły się w wymgny sposó. Rysunk 18 przstwi tlę inynyjną otrzymną w wyniku uporząkowni rzęów i kolumn w tki sposó, y lmnty mirzy yły położon symtryzni wzglęm głównj przkątnj. Jżli tl przynlżnośi jst sm w soi symtryzn, konigurję nzywmy inwoluyjną. Oyw shmty grizn (rys. 17 i 18) są shmtmi kwiwlntnymi. I II VIII VI XII VII IV IX V III XI X 3 4 5 6 8 10 12 2 1 11 7 9 Rys. 18. Grizny shmt konigurji (12 6 ) w ukłzi inwoluyjnym ig. 18. igrm o onigurtion o typ (12 6 ) 37
38
4. PRZKSZTŁNI RZUTOW SZŚIOOKU PRZSTRZNNGO WYZNZJĄGO KWRYKĘ SKOŚNĄ N szśiooku przstrznnym < > hrktryzująym się tym, ż kży jgo ok przin trzy inn rozpięty jst ostrosłup śięty Δ o postwh < >, < KLM > i wirzhołku W. Jk wiomo istnij i jst jnoznzni okrślon przksztłni rzutow przstrzni przprowzją opowinio piątkę płszzyzn (w którj żn ztry płszzyzny ni nlżą o jnj wiązki), w owolną inną piątkę płszzyzn (w którj równiż żn ztry płszzyzny ni przhozą przz jn punkt). Istnij wię tki przksztłni rzutow przstrzni przprowzją pięć śin ostrosłup Δ o wirzhołku W rozpiętgo n szśiooku < >, w płszzyzny poporząkownyh im śin ostrosłup Δ` o wirzhołku W` rozpiętgo n szśiooku < `````` >. ztm szśiook < > wrysowny n śinh ostrosłup śiętgo Δ możn przksztłić w kży owolny szśiook < `````` > lżąy n śinh ostrosłup Δ`. W=W' K K' L L' S2 S1 ' ' ' ' ' Rys. 19. Kolinyjn przksztłni śiny KL ostrosłup śiętgo Δ w śinę ``K`L` ostrosłup Δ` ig. 19. ollintory trnsormtion o KL wll o rustum o pyrmi Δ into th wll K L o pyrmi Δ W przstrzni rzutowj, trójwymirowj wźmy w różn ostrosłupy śięt Δ i Δ` wrz z wrysownymi n ih śinh przkątnymi, któr tworzą zmknięty szśiook przstrznny < > i < `````` >. Przksztłćmy płszzyzny śin ostrosłup Δ wrz z wrysownymi przkątnymi w płszzyzny poporząkownyh im śin przkątnyh ostrosłup Δ`. W tym lu przyjmijmy tki położni ostrosłup Δ w stosunku o ostrosłup Δ`, w którym jn z śin pirwszgo i jn z śin rugigo ostrosłup lży w tj smj płszzyźni, jnk tk, y przkątn śin ni pokrywły się, jyni wirzhołki yły wspóln (rys. 19). Przy tkim położniu śin możmy wyznzyć w związki kolinyjn ϕ 1 i ϕ 2. wi kolinj przstrznn ϕ 1 i ϕ 2, któr mją lmnty pwnj wiązki śrokowj [S] orz lmnty pwngo ukłu płskigo opowinio wspóln, nzywmy przstrznimi śrokowo kolimyjnymi. Kolinj ϕ 1 okrśln jst śrokim kolinji otrzymnym w wyniku połązni punktów K, K` i, ` orz osią, L. W tk otrzymnj kolinji prost i przją opowinio w prost o i o, punkty K i w punkty K` i `. Otrzymn prost o i o wrz z opowijąymi im prostymi ` i ` wyznzą kolinję ϕ 2 39
o śroku [S 2 ] (L,L`) i (,`) orz osi K``. W kolinji tj prost o i o przją w prost ` i `, punkty L i w punkty L` i `. Oi kolinj ϕ 1 i ϕ 2 pozwoliły n przjśi prostyh i w prost ` i `. W tn sposó oi śiny zjnozyły się. Rysunk 20 przstwi koljn przksztłni kolinyjn ϕ 3, prowzą o końowgo przksztłni jngo ostrosłup w rugi. W przksztłniu tym przyjęto tki wzjmn położni ostrosłupów, w którym n skutk przprowzonj kolinji ϕ 1 i ϕ 2 jn z śin ostrosłup Δ i Δ` pokryw się. w ukły płski śin < W > i < W`` >` złązon n płszzyźni rysunku wyznzją kolinję ϕ 3 o śroku [S 3 ] okrślonym punktmi M, M ` i, ` i osią W,`. W tk wyznzonj kolinji krwęź M, przhozi w M ', ', tym smym śiny < W > i < W > w śiny < W``` > i < W``` >. Powyższ przksztłni prowzą o przjśi ostrosłup śiętgo Δ w ostrosłup śięty Δ`, wię punkt W przhozi w W`, prost,,,,, w prost `,`,`,`,`,``. S 3 W=W' M M' K=K' =' =' =' L=L' =' ' ' ' ' =' Rys. 20. Kolinyjn przksztłni śin LM i KM ostrosłup Δ w śiny ``L`M` i ``K`M` ostrosłup Δ` ig. 20. ollintory trnsormtion o LM n KM wlls o pyrmi Δ into wlls L M n K M o pyrmi Δ. Kwrykę prostokrślną 2 wyznz zmknięty szśiook przstrznny, którgo kży ok przin trzy inn. Ztm przy kżym przksztłniu rzutowym przprowzjąym zny szśiook < > w owolny szśiook <``````> powirzhni Φ 2, ęą kwryką, przhozi w inną powirzhnię Φ 2` równowżną rzutowo. 40
5. TWORZNI KWRYK SKOŚNYH WYZNZONYH SZŚIOOKIM PRZSTRZNNYM 5.1. Hiproloi skośn Wźmy trzy owoln płszzyzny ω 1, ω 2, ω 3 przinją się w wspólnym punki 0 i tworzą z soą krwęzi x = ω 1 ω 2, y = ω 1 ω 3, z = ω 2 ω 3 (rys. 21). N kżj z tyh płszzyzn przyjmijmy prostą owolną niprzinjąą pozostłyh wóh prostyh. Otrzymmy trzy prost skośn. Kż prost przin krwęzi x, y, z w wóh punkth, minowii: prost t 1 ω 1 przin krwęź x w punki, krwęź y w punki, prost t 2 ω 2 przin krwęź x w punki, krwęź z w punki, prost t 3 ω 3 przin krwęź z w punki, krwęź y w punki. Połązmy otrzymn punkty, tzn. punkt z, z i z, wyznzymy w tn sposó inn trzy prost skośn q 1, q 2, q 3, lżą opowinio n płszzyznh ω 1, ω 2, ω 3. Skonstruowliśmy szśiook przstrznny o wirzhołkh < >. Szśiook tym się hrktryzuj, ż kży jgo ok przin trzy inn. Wykżmy słuszność tgo twirzni. Zgoni z złożnim prost t 1 ω 1 m wspóln punkty i z prostymi q 3 i q 2, w któryh to punkth prost t przijją płszzyznę ω 1. Prost q 1 i t 1 lżą n płszzyźni ω 1 są prostymi przinjąymi się w punki K. Pokzliśmy, ż prost t 1 przin prost q 1, q 2, q 3 w punkth K,,. To smo możmy wykzć l kżgo inngo oku. W otrzymnj konigurji przstrznnj kż prost nlżą o zioru prostyh t przin wszystki prost zioru q i owrotni, kż prost nlżą o zioru q przin wszystki prost nlżą o zioru t, ntomist prost nlżą o jngo zioru są wzglęm sii skośn. z q 2 2 3 q 3 y t3 M t 1 0 x K 1 L q 1 t 2 Rys. 21. Szśiook przstrznny wyznzjąy hiproloię skośną ig. 21. Sptil hxgon trmining th urv hyproloi hą wyznzyć koljn prost zioru q zy t, musimy wykonć nstępują konstrukj. Wyznzją np. prostą t 4 (rys. 22), poprowźmy przz owolny punkt T 4 prostj q 2 i przz prostą q 1 płszzyznę α 4 orz przz tn sm punkt i prostą q 3 płszzyznę β 4. Płszzyzn α 4 prztni płszzyznę ω 3 wzłuż krwęzi k α 4 ω 3, lżąą n nij prostą q 3 w punki R 4. Płszzyzn β 4 m wspólną krwęź k β 4 ω 1 z płszzyzną ω 1, któr prztni prostą q 1 w punki Q 4. Punkty T 4, R 4, Q 4 lżą n prostj t 4, któr jst krwęzią przięi płszzyzn α 4 i β 4. 41
z ''=''' q'' 2 3 2 Z 4 t''' 3 k 4 3 T'' 4 4 2 k T''' 4 t''' 4 ''=''' t'' 4 k 4 2 y ''' q''' 3 k X' 4 4 3 Q''' 4 M''' ''' Q'' 4 R''' 4 R'' 4 R' 4 R' 4 0 t' 4 q' 1 t'' 2 T' 4 k 4 1 L'' '='' K' x '='' ' Q' 4 t' 1 k 4 1 1 ' y Rys. 22. Sposó znjowni tworząyh hiproloiy skośnj wyznzonj szśiookim przstrznnym t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3 ig. 22. Th trmining wy o gnrtris or urv hyproloi tht is trmin y sptil hxgon t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3 Z powyższgo rozwżni wynik konstrukj uproszzon polgją n znlziniu tylko punktu R 4. Poprowzon płszzyzn α 4 przz prostą q 1 m wspóln krwęzi z płszzyznmi ω 2 i ω 3 przhozą przz punkty i. Jżli poprowzimy z punktu prostą k α 4 ω 2 przhoząą przz punkt T 4, to prztni on krwęź z w punki I 4. Prost k α 4 ω 3 przhozą przz punkty I 4 i prztni prostą q 3 w punki R 4. Punkty T 4 i R 4 wyznzą szukną prostą t 4, któr m wspólny punkt Q 4 z prostą q 1. Jżli punkt T przsuw się po prostj q 2 poprzz położni T 4, T 5, T 6 T n, wówzs ziór tk wyznzonyh prostyh t 4, t 5, t 6 t n utworzy powirzhnię prostokrślną stopni rugigo, którą nzywmy hiproloią skośną. Wszystki prost w tn sposó powstł są tworząymi powirzhni. o zioru tworząyh hiproloiy skośnj zlizmy równiż t prost, któr przinją wi, są równolgł o trzij prostj. Wźmy tki szśiook przstrznny mjąy wirzhołki < >, którgo w oki q 3 i t 2 są o sii równolgł i mją z krwęzią wspólny punkt (rys. 23, rys. 24), pozostł oki t 1, t 3, q 1,q 2 utworzą zworokąt przstrznny < K >, którgo rzutm o kirunku z n płszzyznę ω 1 jst zworokąt płski < KO >. Ztm pęk płszzyzn przhoząyh przz prostą q 3 pozwoli z pomonizyh konstrukji wyznzyć ziór prostyh t przinjąyh pozostł w oki z zioru q. W tym lu poprowźmy przz owolni orny punkt T 4 n prostj q 1 i przz prostą q 3 płszzyznę α 4. Prztni on płszzyznę ω 1 wzłuż krwęzi k α 4 ω 1 i płszzyznę ω 2 wzłuż krwęzi k α 4 ω 2. Otrzymn krwęzi mją z prostymi q 1 i q 2 wspóln punkty T 4 i R 4, któr wyznzją tworząą t 4. Tworzą t 4 jko lżą n płszzyźni α 4 przin prostą q 3, przz którą przprowzono tę płszzyznę. Pooni postępujmy, wyznzją tworzą roziny q. 42
''' 3 ''=''' 2 k 4 3 z '' t''' 3 q'' 2 q''' 3 N''' 4 k 4 2 t'' 2 N'' 4 q''' 4 R''' 4 q'' 4 R'' 4 I''' I'' y '=''' '=''' T''' 4 t''' 4 Y 0 Y T''' 4 k q' 4 4 1 t'' 4 M'' 4 ' T'' 4 R' 4 M' 4 I' t' 4 K' ' x q' 1 T' 4 ' t' 1 k 4 1 1 ' y Rys. 23. Wyznzni tworząyh hiproloiy skośnj okrślonj przz szśiook przstrznny o wóh okh równolgłyh ig. 23. Th trmining wy o gnrtris or urv hyproloi tht is trmin y sptil hxgon with two prlll sis 3 z 2 q 2 t 2 q 3 t 3 0 x y t 1 K 1 q 1 Rys. 24. Szśiook przstrznny o wóh okh równolgłyh wyznzjąy hiproloię skośną ig. 24. Sptil hxgon with two prlll sis trmining th urv hyproloi 43
5.2. Hiproloi orotow W szzgólnym przypku hiproloi skośn moż yć powirzhnią orotową. Wówzs kż płszzyzn przhozą przz oś orotu l hiproloiy orotowj jst płszzyzną prostokątnj symtrii tj powirzhni i przin ją w połunikh, któr są hiprolmi. Kży przkrój płszzyzną owolną jst lipsą, płszzyzną prostopłą o osi l okręgim. Próz tyh płszzyzn istnij jszz jn płszzyzn prostokątnj symtrii ε l, przinją hiproloię w okręgu szyjnym. Hiproloię orotową utworzy tki szśiook przstrznny o wirzhołkh < KLM >, którgo prziwlgł oki są o sii równolgł, tzn. t 1 q 2, t 2 q 3, t 3 q 1 i przinją krwęzi x, y, z płszzyzn n któryh lżą, opowinio w punkth, i (rys. 25). Nrysowny w tn sposó szśiook przstrznny m oś l prostokątnj symtrii. Oś l wyznzon jst przz punkt O przięi przkątnyh x, y, z szśiooku orz przz punkt P przięi przkątnyh x 1, y 1, z 1. Nrysujmy tki szśiook przstrznny o wirzhołkh < KLM >, którgo oki są krwęzimi romoru o przkątnj l O,P prostopłj o rzutni (rys. 27). Rzutm o kirunku l szśiooku przstrznngo jst szśiook płski ormny < `K``L``M` >. Jżli przkroimy szśiook płszzyznmi prostopłymi o osi l przhoząymi przz punkty O i P orz punkt, który jst polową oink O,P, otrzymmy punkty lżą n trzh współśrokowyh okręgh k 1, k 2, k 3. Kży ok szśiooku przin okręgi k 1, k 2, k 3. Ztm kż płszzyzn prostopł o osi l prztni przyjęty szśiook w punkth, któr lżą n okręgh o śroku przynlżnym o osi l. Stą wniosk: jżli oróimy szśiook wokół osi l, to kży punkt jgo oków zkrśli okrąg, lżąy w płszzyźni prostopłj o osi l. Okrąg k 3 zkrślony przz punkt, którgo olgłość o osi l jst njmnijsz, nzywmy okręgim szyjnym. Wszystki inn okręgi są równolżnikmi. Hiproloię orotową wyznzją wię wi prost skośn, z któryh jn jko tworzą or się wokół rugij, któr jst osią orotu. t 3 x 1 z q 2 l y 1 2 L M 3 t 2 q 3 y t 1 0 1 K z 1 q 1 Rys. 25. Szśiook przstrznny wyznzjąy hiproloię orotową ig. 25. Sptil hxgon trmining th hyproloi o rvolution Mją ny szśiook przstrznny (rys. 26) i hą wyznzyć lsz tworzą, postępujmy jk przy hiproloizi skośnj. Oirmy n oku t 1 owolny punkt Q 4. Przz orny punkt Q 4 i prostą t 3 prowzimy płszzyznę α 4 orz przz tn sm punkt i prostą t 2 płszzyznę β 4. Płszzyzn α 4 prztni płszzyznę ω 2 w krwęzi k α 4 ω 2, lżąą n nij prostą t 2 w punki T 4. Ntomist płszzyzn ω 1 m z płszzyzną α 4 krwęź k α 4 ω 1. Oywi krwęzi mją wspólny punkt Q 4 z osią x. Płszzyzn β 4 mją wspólną krwęź k β 4 ω 1 z płszzyzną ω 1 i k β 4 ω 3 z płszzyzną ω 3 prztni prostą t 3 w punki R 4. Wszystki trzy punkty Q 4, T 4, R 4 lżą n prostj q 4, któr jst krwęzią przięi płszzyzn α 4 i β 4. Prost t w rzui pokryw się z tworząą t 1, poniwż m wspóln punkty R 4 i T 4 z tworząymi t 3 i t 2, ltgo musi mić to smo nhylni i prziwny zwrot o prost t 1. Wynik stą konstrukj uproszzon wyznzni tworząj, minowii, hą wykrślić przz punkt Q 5 tworząą q 5, rysujmy przz tn punkt prostą k α 5 ω 1 równolgłą o y i przinjąą x w punki V. Przz otrzymny punkt V z punktu rysujmy prostą k α 5 ω 2, któr przin ok t 2 w punki T 5. Punkty Q 5 i T 5 wyznzją tworząą q 5 przinjąą tworząą t 3 w punki R 5. Postępują lj, możmy powizić, ż wszystki prost lżą w płszzyznh styznyh, prostopłyh o poziomgo okręgu szyjngo i mjąyh jnkow nhylni, wyznzją hiproloię orotową. x 44
3 2 ''' z ''' R''' 5 R''' 4 ''' M''' t''' 3 ''' '' q'' 2 L'' '' q''' 5 q''' 4 q''' 3 q'' 5 k 4 2 t'' 2 y 4 3 k Y ''' Q''' =Q''' 4 5 0 k 4 2 Q'' q'' 4 4 Q'' 5 T' 5 Q'' 4 T' 4 x 4 1 k q' 4 q' 1 ' T''' 5 t' 1 T'' 5 K' ' Q' 4 Q' 5 ' R' 4 k 4 1 T''' 4 Y q' 5 T'' 4 R' 5 y 1 Rys. 26. Sposó znjowni tworząyh hiproloiy orotowj wyznzonj szśiookim przstrznnym <t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3> ig. 26. Th trmining wy o gnrtris or hyproloi o rvolution in y sptil hxgon t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3 l k 2 k 3 R 1 k 1 Q 1 t 1 P 1 t 2 t 3 Rys. 27. Hiproloi orotow ig. 27. Hyproloi o rvolution 45
5.3. Proloi hiprolizn z 2 3 k q 3 t 3 0 q 1 k t 2 K U q 2 t 1 1 k x k X Y Rys. 28. Szśiook przstrznny wyznzjąy proloię hiprolizną ig. 28. Sptil hxgon trmining th hyproli proloi Z rozwżń o hiproloizi skośnj wynikło, ż wyznzją ją trzy prost skośn, jżli ni są wszystki trzy równolgł o tj smj płszzyzny ni ęą równolgł o sii. Gy kirują są równolgł o jnj płszzyzny, wówzs wyznzją powirzhnię prostokrślną stopni II zwną proloią hiprolizną. hą nrysowć szśiook przstrznny (rys. 28), którgo trzy oki t 1, t 2, t 3 yłyy równolgł o ornj płszzyzny α orz trzy inn oki q 1, q 2, q 3 o płszzyzny β, nlży: przyjąć owolną płszzyznę α, któr m krwęzi k α ω 1 z płszzyzną ω 1, k α ω 3 z płszzyzną ω 3 i k α ω 2 z płszzyzną ω 2 orz przyjąć płszzyznę β mjąą krwęzi k β ω 1 z ω 1, k β ω 2 z ω 2 i k β ω 3 z ω 3. Wykrślmy z punktu przięi krwęzi k β ω 1 z krwęzią y, prostą q 1 równolgłą o krwęzi kα ω 1, zyli o płszzyzny α. Prost q 1 prztni oś x w punki. Z punktu tgo krślimy prostą t 2 równolgłą o krwęzi k β ω 2, zyli o płszzyzny β. ''' z 3 ''=''' 2 k 4 3 '' t''' 3 q'' 2 q''' 3 N''' 4 k 4 2 t'' 2 N'' 4 q''' 4 R''' 4 q'' 4 R'' 4 I''' I'' y '=''' '=''' T''' 4 t''' 4 Y 0 Y T''' 4 k q' 4 4 1 t'' 4 M'' 4 ' T'' 4 R' 4 M' 4 I' t' 4 K' ' x q' 1 T' 4 ' t' 1 k 4 1 1 ' y Rys. 29. Wyznzni tworząyh proloiy hiproliznj oprtj n szśiooku przstrznnym < t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3> ig. 29. Th trmining wy o gnrtris or th hyproli proloi on th sptil hxgon t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3 46
Prost t m wspólny punkt z krwęzią z. Prowzą w poony sposó lsz prost t 3, t 1, q 2, q 3 jko równolgł lu przynlżn n przmin o płszzyzny α i β, nrysujmy zmknięty szśiook o wirzhołkh < >. owó n to, ż szśiook jst zmknięty, przprowzimy w nstępująy sposó. Nrysujmy płszzyznę ω 1 ną prostymi x, y, n nij prost: t 1 równolgłą o k α ω 1 i q 1 równolgłą o k β ω 1 (rys. 30). Jżli połązymy opowinio punkty Y β, X α,, i,, otrzymmy w zworokąty, któr mją trzy oki wspóln i przkątn równolgł. Wynik to z twirzni Tlls. Ukłją proporj: O O = O OX i O = O O α OY β O O = O OX O O = O OY β α O OX = O α OY β O = OY O β OX α Potwirzmy równolgłość oków i Y β,x α. Jżli przz powyższ wi prost równolgł i Y β,x α lżą n ω 1 (rys. 30) poprowzimy płszzyzny o sii równolgł w tki sposó, y jn z płszzyzn przięł ω 2 i ω 3 w krwęzih k β ω 2 i k β ω 3, to rug płszzyzn prztni ω 2 i ω 3 w krwęzih q 2 i t 3. Stą wniosk, ż szśiook o wirzhołkh < > jst zmkniętym szśiookim. 0 y x t 1 q K 1 U k k Y X ig. 30. Rysunk n owó ż szśiook przstrznny jst szśiookim zmkniętym ig. 30. Th proo tht th sptil hxgon trmining th hyproli proloi is hxgon los l wyznzni owolnj prostj (tworząj) lżąj n proloizi hiproliznj oirmy np. n oku q 3 punkt T 4 (rys. 29). Przz tn punkt prowzimy prostą lżąą n płszzyźni β równolgłą o krwęzi k α β. Prost t przij płszzyznę ω 1 w punki IV lżąym n krwęzi k β ω 1. Rysują z punktu IV prostą równolgłą o k α ω 1, otrzymmy punkt Q 4 przięi z prostą q 1. Punkty T 4 i Q 4 wyznzją krwęź t 4, któr jst równolgł o płszzyzny α, poniwż lży n płszzyźni x równolgłj o α. Możmy uowonić, ż owolni orny punkt T 4 zili oink w tj smj proporji o punkt Q 4 oink K. Z twirzni Tlls wynik równość proporji: T 4 T4 = UIV IV Z koli prost równolgł o k α ω 1 i równolgł o t 1 oin n prostyh równolgłyh k β ω 1 i q 1 oinki przystją. Ztm kży zworokąt przstrznny (np. < K >) wyznz proloię hiprolizną (o tworząyh K, i K, ). 47
48
6. PWN SZZGÓLN WŁSNOŚI KWRYK SKOŚNYH W ZSTOSOWNIH Powirzhni prostokrśln o powójnj krzywiźni (nirozwijln), nzywn tkż kwrykmi skośnymi lu wihrowtymi, mją uż zstosowni w prkty inżynirskij, szzgólni w konstrukjh uowlnyh jko: sklpini, pokryi how użyh oiktów (stionów, hl) (iliński i in.). Nikwstionown oność gomtrii w rhitkturz, uownitwi, rogownitwi, konstrukjh zostł już wilokrotni w litrturz utrwlon i jst tk ozywist, ż nioml... nizuwżln (zh 2001). Postwowym znim kżgo konstruktor jst zprojktowni konstrukji o rjonlnyh ksztłth. ormy powirzhniow wykorzystywn w uownitwi powinny yć ostosown o wymgń thniki uowlnj, ztm ih gomtri powinn yć możliwi prost, y ni powoowć zyt użyh trunośi pozs rlizji przy stosowniu śroków i mto ostępnyh n plu uowy. ormy konstrukji powirzhniowyh powinny yć oirn w zlżnośi o: unkji jką mją spłnić, grytów oiktu, rozju mtriłu uowlngo, wrunków sttyznyh, wzglęów sttyznyh, Z nwnim ormom stosownym w uownitwi ksztłtów powirzhni prostokrślnyh przmwi mięzy innymi kt, ż ih rlizj prktyzn jst ułtwion, poniwż większość otyhzsowyh stosownyh konstrukji żltowyh wykonuj się n rusztownih z sk. Prostokrślność konstrukji ułtwi ułożni szlowni, w którym kirunki sk pokrywją się z tworząymi powirzhni. Spośró wszystkih powirzhni skośnyh szzgólną przytność w uownitwi wykzują konoiy prost krzywyh mtmtyznyh (okręgu, lipsy, proli, sinusoiy) orz konoi linii prostj nzywn powszhni proloią hiprolizną (Przwłoki 1997). Z ih stosownim w uownitwi przmwi kt, ż są to powirzhni: ) powójni zkrzywion, ) ziniown mtmtyzni, ) łtw o zuowni, ) osttzni ktown. Mimo ż są to powirzhni wukrzywiznow, mogą yć tworzon z linii prostyh, o m uż znzni prktyzn. Szzgólną uwgę nlży poświić konoizi linii prostj, zyli proloizi hiproliznj. Intrsują plstyzni orm posi uż możliwośi różnorongo jj stosowni, korzystn włśiwośi sttyzn wprowziły ją n stł o uownitw. Swoistą hą proloiy hiproliznj jst to, ż rzgi tj powirzhni mogą yć ogrnizon linimi prostymi (rys. 33). Lini przkroju powirzhni płszzyzną jst zwykl linią krzywą płską lu igurą skłjąą się z kilku krzywyh płskih. W szzgólnym przypku lini przkroju moż yć linią prostą. Płszzyzn niwłśiw przin proloię hiprolizną w prz prostyh jną z nih jst tworzą t, rugą tworzą q. Prost niwłśiw t i q wyznzon płszzyznmi kirownizymi α i β przinją się w punki niwłśiwym R. Punkt R przięi się ou tworząyh t i q m rzo wżn włśiwośi (Otto, Otto 1988). Kż płszzyzn przhozą przz punkt R przin proloię hiprolizną po proli, poniwż m z nią jn punkt niwłśiwy R (rys. 31). Ntomist płszzyzn, któr ni przhozi przz R, przin rozwżną powirzhnię w hiproli lu wóh tworząyh, poniwż m z tą powirzhnią w punkty niwłśiw wspóln (przięi z t i przięi z q ) (rys. 32). 49
S 2 l S 1 W Rys. 31. Przkroj proloiy hiproliznj w prolh ig. 31. ross-stions o hyproli proloi in prols l W Rys. 32. Przkroj proloiy hiproliznj w hiprolh ig. 32. ross-stions o hyproli proloi in hyprols 50
l W q t Rys. 33. Wyink proloiy hiproliznj ogrnizony zworookim przstrznnym, którgo oki są tworząymi ig. 33. Th prt o hyproli proloi limit y sptil qurngl t 1 t n q n q 1 ' t' 1 t' n ' Rys. 34. zworook przstrznny wyznzjąy proloię hiprolizną ig. 34. Sptil qurngl trmining hyproli proloi Linią prznikni kwryk skośnyh jst krzyw przstrznn rzęu zwrtgo (Otto, Otto 1988). W szzgólnym przypku moż występowć w posti zgnrownj o krzywj stożkowj lu prostj (rys. 35). K 2 2 1 K 2 4 = 51