Wzory dla szeregu szczegółowego: Wzory dla szeregu rozdzielczego punktowego: ->Średnia arytmetyczna ważona -> Średnia arytmetyczna (5) ->Średnia harmoniczna (1) ->Średnia harmoniczna (6) (2) ->Średnia geometryczna (3) ->Średnia geometryczna (7) ->Mediana (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak w przypadku szeregu szczegółowego. -> W przypadku szeregów szczegółowych kwartyle pierwszy i trzeci wyznacza się korzystając ze wzoru na medianą. Zbiorowość dzieli się na dwie równe części (pierwszą - której jednostki przyjmują wartości nie większe od mediany, drugą - złożoną z pozostałych jednostek). Dla każdej z tych części można wyznaczyć medianę. Dla pierwszej części wartość jej mediany odpowiada kwartylowi dolnemu, dla drugiej części - kwartylowi górnemu. Wzory dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: ->Średnia arytmetyczna ważona ->Średnia harmoniczna (8) (9)
->Średnia geometryczna bezpośrednio poprzedza klasę zawierającą medianą. (10) -> Kwartyl górny ->Kwartyl dolny (13) - dolna granica przedziału zawierającego kwartyl dolny, - liczebność klasy zawierającej kwartyl dolny, - suma liczebności klas od pierwszej do tej, która (11) dolna granica przedziału zawierającego kwartyl górny, liczebność klasy zawierającej kwartyl górny, - suma liczebności klas od pierwszej do tej, która bezpośrednio poprzedza klasę zawierającą kwartyl górny. bezpośrednio poprzedza klasę zawierającą kwartyl dolny ->Moda -> Mediana (12) dolna granica przedziału zawierającego modę, (14) - dolna granica przedziału zawierającego medianę, - liczebność klasy zawierającej medianę, liczebność klasy zawierającej modę, liczebność klasy poprzedzającej klasę zawierającą modę, liczebność klasy następującej po klasie zawierającej modę.
3.3. Miary zmienności Miary zmienności (zróżnicowania, rozproszenia, dyspersji) charakteryzują stopień zróżnicowania jednostek zbiorowości pod względem badanej cechy. Podstawowe miary zmienności to: rozstęp, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności, odchylenie ćwiartkowe. Rozstęp (R) charakteryzuje empiryczny obszar zmienności badanej cechy. Wariancja jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od ich wartości średniej. Dla oznaczenia wariancji w próbie stosuje się s 2, natomiast dla oznaczenia wariancji w populacji generalnej Współczynnik zmienności (V) - jest wielkością niemianowaną Przyjmuje się, że jeśli V<10%, to cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie nieistotne. Duże wartości współczynnika zmienności świadczą o zróżnicowaniu, a więc niejednorodności zbiorowości. Odchylenie ćwiartkowe mierzy poziom zróżnicowania części jednostek pozostałej po odrzuceniu 25%jednostek o wartościach najmniejszych i 25% jednostek o wartościach największych. dla szeregu szczegółowego dla szeregu rozdzielczego punktowego dla szeregu rozdzielczego przedziałowego -> Odchylenie standardowe ->Typowy klasyczny obszar zmienności cechy ->Współczynnik zmienności ->Odchylenie ćwiartkowe ->Typowy pozycyjny obszar zmienności cechy (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) ->Rozstęp ->Wariancja (15)
3.4. Miary asymetrii Dodatkowym elementem analizy struktury jest badanie asymetrii Rys. 6. Rozkhd symetryczny, rozkład lewostronnie asymetryczny i rozkład prawostronnie asymetryczny rozkładu. Jest no wskazane zwłaszcza wtedy, gdy dwie badane zbiorowości charakteryzują się podobnymi charakterystykami liczbowymi (np. dominantą) i rozproszeniem, a jednak dokładniejsza obserwacja szeregu wyklucza podobieństwo struktur rozważanych zbiorowości. O stopniu i kierunku asymetrii decyduje wzajemne położenie wzglądem siebie średniej arytmetycznej, mediany i dominanty. Współczynnik asymetrii (A) - im bliższy zera, tym słabsza asymetria rozkładu. Znak współczynnika mówi o kierunku asymetrii (A<0 - asymetria lewostronna, A>0 - asymetria prawostronna). (24) dla szeregu szczegółowego (25) dla szeregu rozdzielczego punktowego dla szeregu rozdzielczego przedziałowego (26) (27)
3.5. Miary koncentracji Rys. 7. Różny stopień koncentracji cechy Miary asymetrii pozwalają na opis kształtu struktury. Opis ten można uzupełnić o miary koncentracji. Miarą skupienia poszczególnych obserwacji wokół średniej jest współczynnik skupienia K. Im wyższa wartość K, tym bardziej wysmukła krzywa liczebności, czyli większa koncentracja wartości cechy wokół średniej. Małe wartości K wskazują natomiast na spłaszczenie rozkładu badanej cechy. Przyjmuje się, że jeżeli zbiorowość ma rozkład normalny, to K=3, bardziej spłaszczony od normalnego ma K<3, a bardziej wysmukły od normalnego K>3. (28). dla szeregu szczegółowego (29) dla szeregu rozdzielczego punktowego (30) dla szeregu rozdzielczego przedziałowego (31)
3.6. Uwagi końcowe Średnia arytmetyczna jest najczęściej wykorzystywaną miarą jednak nie zawsze jest ona dobrym miernikiem tendencji centralnej. Średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy. Wartość średniej arytmetycznej może wprowadzać w błąd w przypadku, kiedy największe liczebności skupiają się wokół najniższych lub najwyższych wartości cechy. Podobnie wartość średniej arytmetycznej może wprowadzać w błąd, gdy wyznacza się średnią w przypadku rozkładów niejednorodnych (z kilkoma ośrodkami dominującymi). Ocenę poszczególnych parametrów uzupełnia tzw. wykres pudełkowy ( pudełko z wąsami"). Składa się on z prostokąta, którego dwa pionowe boki wskazują wartość kwartyla dolnego i górnego. Wewnątrz prostokąta zaznacza się medianę. Wykres usytuowany jest względem poziomej osi liczbowej ze skalą obejmującą pełny zakres wartości zbioru danych. Dodatkowo na wykresie zaznacza się Wykres pudełkowy dostarcza informacji o tendencji centralnej rozkładu (kwartyle - usytuowanie pudełka, a zwłaszcza dzielącej go pionowej kreski), zmienności (długość pudełka i całego wykresu), asymetrii rozkładu (dysproporcje rozstępów pomiędzy bokami prostokąta a dzielącą go kreską oraz pomiędzy długością wąsów") oraz wartościach w znacznym stopniu przekraczających przedział zmienności dla wartości typowych. wartości ( wąsy"):
Rys.9. Graficzna metoda wyznaczania mody (histogram liczności) Rys.10. Graficzna metoda wyznaczania kwartyli (histogram i diagram liczności skumulowanych)