Pomiar ryzyka Miary obiektywne stosowane w kwantyfikacji ryzyka rynkowego towarzyszącego zaangażowaniu środków w inwestycjach finansowych obejmują: Miary zmienności, Miary zagrożenia, Miary wrażliwości. Miary zmienności odwołują się do kategorii oczekiwanej stopy zwrotu, wyznaczanej na podstawie szeregów czasowych stóp zwrotu jako wartośd najbardziej prawdopodobna. Okresowe (dzienne, tygodniowe, miesięczne) stopy zwrotu z inwestycji finansowych przyjmują z reguły rozkłady bliskie normalnemu, umożliwiając tym samym stosowanie średniej wartości stopy zwrotu jako wartości oczekiwanej. W szacowaniu oczekiwanej stopy zwrotu stosuje się średnią wyznaczaną w sposób arytmetyczny, geometryczny i logarytmiczny. Inwestycje finansowe obejmują zarówno bezpośrednie zaangażowanie środków w instrumenty finansowe rynku finansowego jak i pośrednie z wykorzystaniem oferty instytucji zbiorowego inwestowania. Rozkład normalny pozwala opisad poziom i zmiennośd cen poszczególnych akcji jak i całych portfeli akcji. Z powodzeniem można stosowad rozkład normalny także dla zmian wartości tytułów uczestnictwa w funduszach zarządzanych przez instytucje zbiorowego inwestowania. Slajd 1
Miary zmienności pozwalają ocenid w jakim stopniu faktyczna stopa zwrotu może różnid się od wartości oczekiwanej. Najczęściej stosowane w pomiarze ryzyka rynkowego miary zmienności to: Wariancja stopy zwrotu, Odchylenie stopy zwrotu, Współczynnik zmienności, Semiwariancja stopy zwrotu, Semiodchylenie stopy zwrotu. Wariancja i odchylenie standardowe stopy zwrotu mierzą przeciętne rozproszenie stóp zwrotu względem wartości oczekiwanej. Interpretacja wyników otrzymanych za pośrednictwem wariancji może nastręczad pewnych trudności. Wynik wariancji obliczonej dla stóp zwrotu z inwestycji finansowej podawany jest w procentach kwadratowych. Dlatego znacznie częściej wykorzystuje się odchylenie standardowe stopy zwrotu będące pierwiastkiem kwadratowym wariancji stopy zwrotu. Z punktu widzenia inwestora ważne jest prawidłowe postrzeganie odchylenia standardowego. W sytuacji gdy konieczne jest porównanie inwestycji o różnych wartościach oczekiwanych, można skorzystad z współczynnika zmienności będącego miarą względną. Współczynnik zmienności informuje jaka częśd ryzyka mierzonego odchyleniem standardowym przypada na jednostkę stopy zwrotu. Slajd 2
W ocenie zmienności można przyjąd zgodnie z negatywną koncepcją ryzyka, że istotne znaczenie, dla inwestora, mają wyłącznie ujemne stopy zwrotu. Wariancję i odchylenie standardowe wyznaczone w oparciu o ujemne stopy zwrotu określa się odpowiednio semiwariancją i semiodchyleniem standardowym. Użyteczne wzory: Wariancja Odchylenie standardowe Współczynnik zmienności Gdzie: r i i-ta stopa zwrotu, n liczba stóp zwrotu, E(r) oczekiwana stopa zwrotu, Funkcje wbudowane: =średnia() i =odch.standardowe() Slajd 3
Porównanie rozkładów normalnych o różnych parametrach (oczekiwanej stopie zwrotu i odch. std.) Funkcję gęstości dla rozkładu normalnego można uzyskad dzięki funkcji: =rozkład.normalny(x;μ;σ;0) Funkcję prawdopodobieostwa dla rozkładu normalnego można uzyskad dzięki funkcji: =rozkład.normalny(x;μ;σ;1) Slajd 4
Cechą charakterystyczną stóp zwrotu z inwestycji finansowych przyjmujących rozkład normalny jest występowanie w przybliżeniu (niezależnie od wartości przyjętych parametrów E(r) i σ): 68,27% stóp zwrotu w przedziale (E(r) - 1σ, E(r) + 1σ>, 95,45% stóp zwrotu w przedziale (E(r) - 2σ, E(r) + 2σ>, 99,73% stóp zwrotu w przedziale (E(r) - 3σ, E(r) + 3σ>. Przedstawiona reguła określana jest często regułą trzech sigm. Powyższe prawdopodobieostwa można wyznaczyd w arkuszu kalkulacyjnym jako różnicę dystrybuant wyznaczonych dla E(r) + nσ i E(r) - nσ. Miary zagrożenia podobnie jak miary zmienności należą do grupy miar ryzyka opartych na rozkładzie stopy zwrotu. Istotą miar zagrożenia w kontekście inwestycji finansowych jest określenie prawdopodobieostwa z jakim wystąpi określona stopa zwrotu. Miary zagrożenia określane są często w literaturze także jako kwantyle rozkładu stopy zwrotu. W grupie miar zagrożenia najczęściej wymienia się poziom bezpieczeostwa i wartośd zagrożoną. Slajd 5
Poziom bezpieczeostwa definiowany jest jako minimalna możliwa do osiągnięcia, z zadanym prawdopodobieostwem (poziomem istotności) bliskim zeru, stopa zwrotu z inwestycji finansowej. Poziom bezpieczeostwa zadany jest wzorem: P( r r ) Poziom istotności oznacza prawdopodobieostwo wystąpienia określonego zdarzenia. W przypadku inwestycji finansowej, zdarzeniem tym będzie wystąpienie określonej wartości stopy zwrotu. Porównując dwie lub więcej inwestycji finansowych z wykorzystaniem poziomu bezpieczeostwa, należy stwierdzid, że inwestycja, która przy zadanym poziomie istotności np. α = 0,05 ma najwyższy poziom bezpieczeostwa, oferuje jednocześnie najmniejsze ryzyko. Interpretacja poziomu bezpieczeostwa obliczonego dla poziomu istotności α = 0,05, sprowadza się do stwierdzenia, że istnieje 5% prawdopodobieostwa, że stopa zwrotu z danej inwestycji finansowej będzie niższa niż stopa zwrotu równa poziomowi bezpieczeostwa lub do stwierdzenia, że istnieje 95% prawdopodobieostwa, że stopa zwrotu z inwestycji finansowej przekroczy stopę zwrotu równą poziomowi bezpieczeostwa. Slajd 6
Wartośd zagrożona (VaR Value at Risk), bierze w sensie statystycznym rodowód z poziomu bezpieczeostwa. Cechą charakterystyczną wartości zagrożonej jest bezpośrednie odwołanie do rozkładu wartości portfela (jedno- lub wieloskładnikowego) a nie do rozkładu stopy zwrotu. Wartośd zagrożona bywa także określana jako wartośd narażona na ryzyko lub wartośd ryzykowana. W sensie ogólnym wartośd zagrożona jest definiowana jako maksymalna kwota, jaką można stracid w wyniku inwestycji w portfel o określonym horyzoncie czasowym i przy założonym poziomie ufności. Horyzont czasowy stosowany w wyznaczania wartości zagrożonej pozostaje, w zasadzie, dowolny i jest zdeterminowany częstotliwością dostępnego szeregu czasowego obejmującego wartości pozycji lub portfela. Rozpatrując określoną pozycję lub portfel należy stwierdzid, że wartośd zagrożona w ujęciu tygodniowym będzie większa niż wartośd zagrożona w ujęciu dziennym. Innymi słowy maksymalna potencjalna strata z inwestycji w portfel będzie większa w ujęciu tygodniowym niż w ujęciu dziennym. Wartośd zagrożona jest także określana jako strata wartości (instytucji, instrumentu, inwestycji itp.), jaka może byd zrealizowana, przy czym prawdopodobieostwo przekroczenia tej straty jest niewielkie. Slajd 7
Wartośd zagrożoną możemy rozpatrywad w ujęciu bezwzględnym przez pryzmat wartości bieżącej kapitału zaangażowanego w inwestycji finansowej: P W ( 0 A W VaR ) P( W W VaR 1 0 A ) VaR A W W VaR A 0 W ) 0 W 0 (1 r VaR W r A 0 Slajd 8
Wartośd zagrożoną możemy rozpatrywad w ujęciu względnym przez pryzmat wartości oczekiwanej kapitału zaangażowanego w inwestycji finansowej: P W ( R P W E( W) VaR ) ( R VaR R VaR R VaR A W 0 E( W) VaR ) 1 E( W) W W ( 1 ( ( )) (1 ) 0 E r W 0 r W E( r) 0 ( E( r) r ) W r 0 W 0 ( r E( r)) Slajd 9
Metoda wariancji-kowariancji opiera się na założeniu, że stopy zwrotu przyjmują rozkład statystyczny o ściśle określonych parametrach. W przypadku inwestycji finansowych wartośd zagrożona wyznaczana jest przy założeniu, że rozkład stóp zwrotu z inwestycji finansowej ma charakter normalny. Empiryczny rozkład stóp zwrotu zawsze będzie tylko pewnym przybliżeniem rozkładu normalnego, zatem przyjęcie założenia o występowaniu rozkładu normalnego będzie zawsze pewnym tylko uproszczeniem. 140 120 100 80 60 Rozkład Empiryczny Rozkład Teoretyczny 40 20 0-30,00% -25,00% -20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% Slajd 10
Prawdopodobieostwo Rozkład normalny stopy zwrotu (r) zadany jest wartością oczekiwaną stopy zwrotu (E(r)) oraz odchyleniem standardowym stopy zwrotu (σ). Przy zastosowaniu odpowiedniego algorytmu matematycznego możliwe jest wyznaczenie poziomu istotności (α) dla zadanej stopy zwrotu (r α ): Wykorzystując technikę iteracyjną, można zastosowad wzór do oszacowania stopy zwrotu (r α ) jaka wystąpi z zadanym poziomem istotności (α) przy założeniu, że stopy zwrotu przyjmują rozkład ciągły o ściśle określonych parametrach. 100,0% α 0,0% r -2,00% -1,00% 0,00% α 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% Stopa zwrotu Slajd 11
Kalkulacja miar zagrożenia wariancji-kowariancji W arkuszu kalkulacyjnym, wyznaczenie poziomu istotności dla zadanej stopy zwrotu przy założeniu rozkładu normalnego stóp zwrotu o określonych parametrach umożliwia wspomniana wcześniej funkcja ROZKŁAD.NORMALNY. Proces iteracyjnego szacowania stopy zwrotu dla zadanego poziomu istotności automatyzuje funkcja ROZKŁAD.NORMALNY.ODW. Metoda wariancji-kowariancji w sytuacji gdy znamy kluczowe parametry statystyczne rozkładów opisujących stopy zwrotu z poszczególnych składników portfela lub całego portfela stanowi efektywne narzędzie w szacowaniu wartości zagrożonej Slajd 12
Metoda symulacji historycznej w wyznaczaniu wartości zagrożonej koncentruje się na analizie statystycznej empirycznego rozkładu stóp zwrotu z inwestycji finansowej. Cechą charakterystyczną metody symulacji historycznej jest brak konieczności czynienia założeo odnośnie określenia typu rozkładu opisującego stopy zwrotu. Ponadto dla określenia wartości zagrożonej metodą symulacji historycznej nie jest konieczne określenie parametrów opisujących zmiennośd. Uwzględnienie empirycznego rozkładu stóp zwrotu pozwala na lepsze odwzorowanie zachowania rynku. W sytuacji gdy rozkład stóp zwrotu z inwestycji finansowej ma grube ogony, możliwe jest uzyskanie wartości zagrożonej na wyższym poziomie, niż w metodzie wariancji-kowariancji. Metoda symulacji historycznej dla portfela jednoskładnikowego wymaga szeregu czasowego stóp zwrotu wyznaczonego dla konkretnej inwestycji finansowej (akcji, obligacji, tytułu uczestnictwa w instytucji zbiorowego inwestowania). Częstotliwośd szeregu czasowego determinuje, najkrótszy, możliwy do uzyskania w obliczeniach, horyzont czasowy wartości zagrożonej. Slajd 13
Kalkulacja miar zagrożenia metodą symulacji historycznej Stopa zwrotu (r α ) przy zadanym poziomie istotności (α) wyznaczana jest jako percentyl rozkładu historycznych stóp zwrotu odpowiadający zadanemu poziomowi istotności. Wyznaczenie percentyla rozkładu stóp zwrotu wymaga: określenia liczebności analizowanego szeregu czasowego stóp zwrotu, posortowania szeregu czasowego stóp zwrotu w kolejności rosnącej, określeniu jaka liczba stóp zwrotu odpowiada wymaganemu poziomowi istotności (dla szeregu 500 tygodniowych stóp zwrotu i poziomu istotności α = 0,05 25 stóp zwrotu), określenia stopy zwrotu dla zadanego poziomu istotności (określeniu wartości 25. stopy zwrotu w posortowanym szeregu czasowym). W arkuszu kalkulacyjnym wystarczy zastosowad funkcję PERCENTYL podając wymagany poziom istotności. Slajd 14
Metoda symulacji Monte Carlo polega na losowym generowaniu stóp zwrotu posiadających określone parametry statystyczne. Cechą charakterystyczną symulacji Monte Carlo jest generowanie populacji stóp zwrotu o liczebności znacznie przewyższającej maksymalną liczebnośd dostępnych danych historycznych. Przyczyną jest założenie, że zestaw dostępnych danych historycznych może nie obejmowad wszystkich potencjalnych zdarzeo w postaci zmiany procentowej wartości inwestycji finansowej w przyszłości. Ogromną zaletą metody Monte Carlo jest możliwośd zastosowania złożonego modelu zmiany ceny inwestycji finansowej zależnego od wielu parametrów generowanych losowo. Zastosowanie złożonego modelu zmiany ceny inwestycji finansowej powstaje przykładowo przy konstruowaniu portfela nieliniowego zawierającego instrumenty pochodne. Powstaje wtedy koniecznośd losowego generowania zmian ceny instrumentu podstawowego oraz innych parametrów w postaci zmian stopy wolnej od ryzyka czy zmian branego pod uwagę w wycenie upływu czasu. Slajd 15
Miary wrażliwości, badają charakter zależności pomiędzy czynnikami ryzyka a zmienną ryzyka. W najprostszym przypadku badany jest liniowy związek pomiędzy zmienną ryzyka a jednym z jego czynników. Przykładem miary wrażliwości, powszechnie stosowanej w analizie inwestycji na rynkach akcji, jest współczynnik modelu Sharp a. Określa on zależnośd pomiędzy przeciętną stopą zwrotu akcji a przeciętną stopą zwrotu obserwowaną na rynku (np. stopą zwrotu indeksu giełdowego). Współczynnik ten wskazuje, o ile zmieni się stopa zwrotu akcji, w przypadku zmiany stopy zwrotu portfela rynkowego (indeksu rynku) o 1 punkt procentowy. i n t1 R ER R ER it n R Mt E RM t1 i Mt 2 M Slajd 16
Kalkulacja wrażliwości Współczynnik Beta jest de facto ilorazem kowariancji i wariancji. i cov im i M 2 2 M M im i M im Slajd 17