1 Metoda opearacji elementarnych c GCieciura 01 Macierze Denicja Niech Z b dzie zbiorem, a m; n liczbami naturalnymi; zwykle w tym kontek cie Z = jest cia em Macierz wymiaru m n o wyrazach ze zbioru Z nazywa si uk ad mn element w A i j zbioru Z, indeksowanych dwoma wska nikami: i 1; m, j 1; n Do oznaczania macierzy u ywa b dziemy zwykle liter wyt uszczonych, pisz c A = [A i ] j b d te, (i;j)1;m1;n w bardziej rozwini tej lecz obrazowej postaci, A = A 1 1 A 1 : : : A 1 n A 1 A : : : A n A m 1 A m : : : A m n Ta ostatnia konwencja uzasadnia nazywanie wska nik w i; j numerami wiersza i kolumny wyrazu A i j, za liczb m; n liczb wierszy i kolumn macierzy(1 ) 1 1 m = ; n = ; A 1 Przyk ad Je li A =, to 1 = ; A 1 = 1 0 A 1 = 1; A 1 = ; A = 0; A = Uwaga Spotyka si cz sto tak e dwie inne konwencje zwi zane z macierzami: niekt rzy zamiast A i j wol pisa A i;j (lub A ij, pami taj c, e ij jest tu uproszczon form zapisu pary (i; j), a nie iloczynem); inni z kolei wol zapis A i j Nasza notacja ma t zalet, e po jej przyswojeniu atwo si przestawi na ka d z dwu pozosta ych, np A = A, A ;1 = A 1 Oznaczenia Dla m; n N symbol m n oznacza zbi r wszystkich macierzy wymiaru m n (tzn maj cych m wierszy i n kolumn) o wyrazach z Je li A m n, to wektory A 1 ; : : : ; A m s kolejnymi wierszami, " natomiast # wektory 1 A 1 ; : : : ; A n kolumnami macierzy A Np je li A = R 5, to " # " # " # 1 A 1 = [1; ; ], A = [; ; 5], A 1 =, A =, A = 5 Oznaczmy dla skr tu n := 1 n, m := m 1, wtedy w og lnym przypadku A i = [A i 1 ; : : : ; Ai n ] n ( ) oraz A j = A 1 j A m j 5 m 1 M wi c ci lej macierz A jest odwzorowaniem (i; j)! A i j zbioru 1; m 1; n w zbi r Z; element A i j Z, zwany (i; j)-wyrazem macierzy A, jest warto ci tego odwzorowania w punkcie (i; j) jego dziedziny Jak si przekonamy, oznaczanie (i; j)-wyrazu symbolem A(i; j) (zamiast A i j) by oby mniej por czne i mog o by prowadzi do niejasno ci Piszemy [A 1 ; : : : ; A n ] zamiast A 1 : : : A n, by wyra niej wyodr bni wyrazy; niekt rzy lubi rozdziela przecinkami tak e wyrazy macierzy wielowierszowych 5
Operacje algebraiczne na macierzach m n jest przypadkiem szczeg lnym zbioru X wszystkich funkcji X!, mianowicie dla X := 1; m1; n Zatem mo emy w tym zbiorze `w zwyczajny spos b' (jak dla funkcji) okre li operacje dodawania i mno enia przez liczby: tzn A + B = C czyli A 1 : : : 1 A1 n 5 + A + B := [A i j + Bi j ] (i;j)x, B 1 1 () def 8(i; j) X : C i j = A i j + B i j, : : : B1 n A 1 5 := + 1 B1 : : : 1 A1 + n B1 n 5 ; A m : : : 1 Am n B m : : : 1 Bm n A m 1 + B m : : : 1 Am n + B m n A 1 1 : : : A 1 n A 1 1 : : : A 1 n A := [A i ], tzn j (i;j)x 5 := 5 A m 1 : : : A m n A m 1 : : : A m n Jak wiemy, m n z tak okre lonymi dzia aniami stanowi przestrze wektorow Podkre lmy, e sum A + B deniujemy jedynie wtedy, gdy macierze A i B maj ten sam wymiar: obie musz mie jednakow liczb wierszy, a tak e jednakow liczb kolumn; w szczeg lno ci np nie deniuje si sumy wektora kolumnowego i wektora wierszowego Denicja Je li f = [f 1 ; : : : ; f n ] n jest wektorem wierszowym, natomiast x = x 1 x n 5 n wektorem kolumnowym tego samego wymiaru, to ich iloczynem (w obligatoryjnej kolejno ci wiersz kolumna) nazywamy liczb f x := f 1 x 1 + : : : + f n x n Je li A m n, to wektor A 1 x A 1 1x 1 + : : : + A 1 nx n Ax := 5 = A m x A m 1x 1 + : : : + A m nx n 5 = A 1x 1 + : : : A n x n m nazywa si iloczynem macierzy A i wektora kolumnowego x Podobnie okre la si iloczyn wektora wierszowego f = [f 1 ; : : : ; f m ] m przez macierz A: f A := [f A 1 ; : : : ; f A n ] = [ P f i A i 1; : : : ; P f i A i n] = f 1 A 1 + : : :+f m A m n Uog lnienie tych denicji stanowi iloczyn macierzy A m n przez macierz B n p, zdeniowany jako macierz, kt rej wyrazami s wszelkie mo liwe iloczyny wierszy pierwszego czynnika przez kolumny drugiego czynnika: A 1 B 1 A 1 B : : : A 1 B p AB := 5 m p A m B 1 A m B : : : A m B p obec tego wyrazy macierzy C := AB wyra aj si nast puj cymi wzorami C i j = A i P B j = n A i kb k j ; k=1
widoczne s te nast puj ce wzory na kolumny i wiersze powy szej macierzy: Przyk ady 1 5 C j = AB j oraz C i = A i B 1 " # 10 5 = 5, 5 11 " # 5 1 [; 5] = [1; 0; 1; 1], " # 5 1 5 = 5 0 5 9 1 atwo sprawdzi, e mno enie macierzy jest rozdzielne wzgl dem dodawania: A(B + ~ B) = AB + A ~ B, je li A; ~ A m n ; B; ~ B n p (A + ~ A)B = AB + ~ AB, Fakt Mno enie macierzy jest czne, tzn (AB)C = A(BC), o ile wymiary macierzy dopuszczaj stosowne iloczyny: A m n, B n p, C p q Istotnie, (i; j)-wyraz (AB)C jest r wny P P A i k Bk l C l j = P P A i k Bk l Cl j = l k l k = P A i k Bk l Cl j ; identyczne wyra enie dostaje si na (i; j)-wyraz macierzy A(BC), QED k;l niosek Dla n N zbi r macierzy kwadratowych M n ( ) := n n jest pier- cieniem (z jedynk ) wzgl dem dzia a dodawania i mno enia macierzy 1 0 1 0 1 0 0 0 0 Zauwa my, e =, =, = = 0, 0 0 0 0 0 0 wi c pier cie M () jest nieprzemienny i ma nietrywialne dzielniki zera To samo dotyczy pier cieni M n () dla n >, gdy podzbi r M n (), z o ony z macierzy A o w asno ci i > lub j > ) A i j = 0, jest podpier cieniem M n () izomorcznym z M () Zastosowanie macierzy do zapisywania uk adu r wna liniowych Je li s dane macierz A m n oraz wektor kolumnowy b m, to mo emy napisa nast puj ce r wnanie `wektorowe' na wektor x n : Ax = b postaci rozpisanej jest ono r wnowa ne uk adowi m r wna `skalarnych' na `sk adowe' x 1 ; : : : ; x n wektora x: 8 A 1 1x 1 + A 1 x + : : : +A 1 nx n = b 1 >< A 1x 1 + A x + : : : +A nx n = b (U) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : >: A m 1x 1 + A m x + : : : +A m nx n = b m A nazywa si macierz g wn (lub macierz cz ci jednorodnej) uk adu (U), b wektorem prawych stron uk adu, natomiast macierz [Ajb], powsta a z A przez do czenie wektora b jako dodatkowej kolumny: 5
A 1 1 : : : A 1 n b 1 [Ajb] := : : : : : : : : : : : : : 5, A m 1 : : : A m n b m nazywa si macierz rozrzerzon uk adu (U) Zauwa my, e r wnaniom uk adu (U) odpowiadaj wiersze macierzy [Ajb]; `zwyk ym' operacjom algebraicznym na r wnaniach, przekszta caj cym uk ad (U) do r wnowa nej postaci, np takim, jak dodanie stronami do jednego z r wna kombinacji innych r wna, odpowiadaj analogiczne operacje na wierszach macierzy [Ajb] (s to, jak zobaczymy dalej, tzw operacje elementarne lub z o enia takich operacji elementarnych) Denicja (obraz i j dro macierzy) Niech A m n Przestrze im A, rozpi t przez kolumny A, nazywa si obrazem (ang image) macierzy A: im A := ha 1 ; : : : ; A n i m Przestrze rozwi za r wnania Ax = 0 nazywa si j drem (ang kernel) macierzy A: ker A := fx n : Ax = 0g n 0 Dwa sposoby opisu podprzestrzeni V m Spotyka si kilka r nych postaci opisu podprzestrzeni, lecz w gruncie rzeczy s tylko dwa typy, wyst puj ce w kilku r wnowa nych wariantach: I Opis wektorami rozpinaj cymi II Opis uk adem r wna liniowych I Opis typu `wektory rozpinaj ce' (w skr cie `opis typu ' lub `-opis') ma posta V = hv 1 ; : : : ; v r i (v j m dane); stanowi on parametryzacj V, gdy jak pami tamy hv 1 ; : : : ; v r i = ft 1 v 1 + : : :+ t r v r : t 1 ; : : : ; t r g z r typu V = im A' tak e, z denicji obrazu macierzy, jest opisem typu Przyk ad Poni sze wzory s -opisem pewnej podprzestrzeni w i r ni si mi dzy sob jedynie notacj : V := 5 ; 5 ; V := 5 t1 + 5 t : t 1 ; t ; 1 5 1 5 V := im 5; V := 5 t : t 1 5 1 5 II Opis typu `uk ad r wna ' (w skr cie `opis typu R' lub `R-opis') ma posta V = fx m : ' 1 x = : : : = ' s x = 0g, gdzie ' 1 ; : : : ; ' s m s danymi wektorami wierszowymi R wnie wz r postaci V = ker B, z denicji j dra macierzy, jest opisem typu R Przyk ad Oto cztery R-opisy pewnej podprzestrzeni, r ni ce si jedynie notacj : V = x : [; ; ]x = [1; ; ]x = 0 ; V = x x : 1 + x x = 0 ; x 1 x + x = 0 V = x : x = 0 ; V = ker 1 1
5 0 Operacje elementarne na uk adach wektor w Niech V b dzie ustalon przestrzeni wektorow nad cia em Denicja zbiorze V n = V : : :V n-elementowych uk ad w (v 1 ; : : : ; v n ) okre lmy operacje elementarne jako operacje trzech nast puj cych rodzaj w: 1 0 Przestawienie danych wektor w: (v 1 ; : : : ; v n )! (v (1) ; : : : ; v (n) ); S n 0 Pomno enie poszczeg lnych wektor w przez dowolne = 0 liczby i : (v 1 ; : : : ; v n )! ( 1 v 1 ; : : : ; n v n ) 0 Dodanie krotno ci jednego z wektor w uk adu (powiedzmy wektora v j ) do pozosta ych wektor w uk adu: (v 1 ; : : : ; v j ; : : : ; v n )! (v 1 + 1 v j ; : : : ; v j ; : : : ; v n + n v j ); tutaj wsp czynniki 1 ; : : : ; j 1 ; j+1 ; : : : ; n mog by dowolne Fakt a da operacja elementarna jest odwracalna, a jej odwrotno jest operacj elementarn tego samego typu (1 0, 0 lub 0 ) Gdy (w 1 ; : : : ; w n ) = (v (1) ; : : : ; v (n) ), wtedy (v 1 ; : : : ; v n ) = (w 1 (1); : : : ; w 1 (n)) Gdy (w 1 ; : : : ; w n ) = ( 1 v 1 ; : : :; n v n ), wtedy (v 1 ; : : : ; v n ) = ( 1 1 w 1; : : : ; 1 n w n) reszcie gdy (w 1 ; : : : ; w n ) = (v 1 + 1 v j ; : : : ; v j ; : : : ; v n + n v j ), wtedy (v 1 ; : : : ; v n ) = (w 1 1 w j ; : : : ; w j ; : : : ; w n n w j ) Denicja Dwa uk ady (v 1 ; : : : ; v n ) i (w 1 ; : : : ; w n ) nazywamy r wnowa nymi, pisz c (v 1 ; : : : ; v n ) (w 1 ; : : : ; w n ), je eli uk ad (w 1 ; : : : ; w n ) mo na otrzyma z uk adu (v 1 ; : : : ; v n ) stosuj c pewn liczb operacji elementarnych Przyk ad (n=): (v 1 ; v ; v ) (9v + v ; v + v 1 ; v 1 + v ) gdy (v 1 ; v ; v )! 0 (v 1 ; v v 1; v + v 1)! 0 (v 1 + v v 1; v v 1; v + v 1)! 0 ( 1 v 1 + v + (v 9 + v 1); v v 1; v + v 1)! 0 (9v + v ; v v 1 ; v + v 1 ) 1! 0 (9v + v ; v + v 1 ; v 1 + v ): Fakt Okre lona powy ej relacja jest relacj r wnowa no ci w zbiorze V n Zwrotno i przechodnio s oczywiste, natomiast symetria wynika z poprzedniego faktu: Odwrotno ci z o enia E 1 E E k operacji elementarnych E 1 ; _;E k jest z o enie E 1 1 E 1 E 1 k (r wnie operacji elementarnych) Fakt Je li (v 1 ; : : : ; v n ) (w 1 ; : : : ; w n ), to (a) (v 1 ; : : : ; v n s liniowo niezale ne) () w 1 ; : : : ; w n s liniowo niezale ne, (b) hv 1 ; : : : ; v n i = hw 1 ; : : : ; w n i Inaczej m wi c, liniowa (nie)zale no uk adu, a tak e przestrze rozpinana przez uk ad, s niezmiennikami operacji elementarnych Charakter okre lenia relacji powoduje, e wystarczy sprawdzi (a) i (b) w przypadku,
gdy uk ad (w 1 ; : : : ; w n ) jest rezultatem podzia ania na (v 1 ; : : :; v n ) jedn operacj elementarn Dla operacji typu 1 lub (a) i (b) s oczywiste, zajmijmy si wi c operacj typu Niech wi c, przy ustalonym j 1; n, w j = v j oraz w i = v i + i v j dla i 1; nnfjg Je li v 1 ; : : : ; v r s lniezale ne oraz 1 ; : : :; n, to w := 1 w 1 + : : : + n w n jest r wne ~ 1 v 1 + : : : + ~ n v n, gdzie ~ j = 1 1 + : : : + j + : : : + n n oraz ~ i = i dla i 1; n n fjg ida z tego, e r wno ci ~ 1 = 0; : : :; ~ n = 0, b d ce konsekwencj w = 0, implikuj r wno ci 1 = 0; : : : ; n = 0, a wi c w 1 ; : : : ; w n s lniezale ne, co ko czy dow d (a) Powy szy rachunek pokazuje te, e ka dy element w hw 1 ; : : : ; w n i nale y do hv 1 ; : : : ; v n i, wi c hv 1 ; : : : ; v n i hw 1 ; : : : ; w n i; to wraz z symetri relacji ko czy dow d (b) Uwaga Okazuje si, e r wno przestrzeni rozpinanych przez dwa uk ady jest warunkiem nie tylko koniecznym, ale i dostatecznym ich r wnowa no ci: (v 1 ; : : : ; v n ) (w 1 ; : : : ; w n ) () hv 1 ; : : : ; v n i = hw 1 ; : : : ; w n i; jest to jednak trudniejsze do wykazania, a zarazem niezbyt przydatne do cel w rachunkowych, wi c dow d od o ymy na p niej (zob Appendix) 0 Operacje elementarne na kolumnach i na wierszach macierzy dalszym ci gu zajmiemy si przypadkiem, gdy V jest przestrzeni m (macierzy wymiaru m 1, tzn wektor w kolumnowych) lub n (macierzy wymiaru 1 n, tzn wektor w wierszowych); wygodnie jest wtedy uk ad (v 1 ; : : : ; v n ) opisa macierz, kt rej kolumnami lub wierszami s wektory v i Macierz A mo na traktowa jako uk ad jej kolumn, tzn uk ad (A 1 ; : : : ; A n ), b d jako uk ad wierszy (A 1 ; : : : ; A m ); prowadzi to do nast puj cych poj : Denicja Dwie macierze A; B m n s : (a) kolumnowo r wnowa ne, co zapisujemy w postaci A B, je eli (A 1 ; : : : ; A n ) (B 1 ; : : : ; B n ) (b) wierszowo r wnowa ne, co zapisujemy w postaci A B, je eli Przyk ad 1 5 Fakt (A 1 ; : : : ; A n ) (B 1 ; : : : ; B n ) 1 1 0 1 0 = 1 = 5 0 1 0 1 A B ) im A = im B; A B ) ker A = ker B: 1 0 0 = 1 1 0 1 0 1 ynika to natychmiast z punktu (b) poprzedniego Faktu 1 0 ; 0 1 0 0 1 1 0 0 1 Okazuje si, e w wielu sytuacjach szczeg lnie wygodne s tzw macierze
zredukowane (kolumnowo lub wierszowo) i, co wi cej, e z ka dej macierzy A mo na, stosuj c operacje elementarne na jej kolumnach (wierszach) otrzyma r wnowa n jej macierz kolumnowo (wierszowo) zredukowan 05 Macierze zredukowane Denicja Samotnikiem wierszowym macierzy nazwijmy taki jej wyraz, kt ry jest jedynym = 0 elementem zawieraj cego go wiersza; analogicznie okre lmy samotniki kolumnowe macierzy Tak wi c np macierz A := 0 1 0 0 0 0 5 ma dwa samotniki wierszowe: A 1 = i A =, oraz dwa samotniki kolumnowe: A 1 = 1 i A 1 = Fakt Uk ad z o ony z takich kolumn macierzy A, kt re zawieraj samotniki wierszowe, jest liniowo niezale ny Podobnie, uk ad z o ony z takich wierszy macierzy A, kt re zawieraj samotniki kolumnowe, jest liniowo niezale ny Niech kolumna A j1 ma samotnika wierszowego c 1 := A i1 j 1, A j samotnika wierszowego c := A i j, itd tedy komb liniowa v = 1 A j1 + A j +: : : ma wsp rz dne o numerach i 1 ; i ; : : : r wne 1 c 1 ; c ; : : :, wi c skoro c k = 0, to v = 0 implikuje 1 = 0; = 0; : : : Denicja Macierz kolumnowo zredukowan (w skr cie: Z-macierz ) nazywamy tak macierz, kt rej ka da niezerowa kolumna ma samotnika wierszowego Podobnie, macierz wierszowo zredukowana (Z-macierz) jest tak macierz, kt rej ka dy niezerowy wiersz ma samotnika kolumnowego Przyk ad Po zast pieniu znak w `?' dowolnymi liczbami, a znak w `?' liczbami = 0, poni sza macierz M stanie si Z-macierz, natomiast macierz N Z-macierz : 0 0 0 0 0? 0 0 0 0 0 0 0 0?? 0? 0?? 0?? 0? 0? 0? 0 0 0 0? 0? 0?? 0? M :=?? 0? 0?, N := 0 0 0 0 0 0 0 0? 0 0 0 0 0??? 0 0? 0??? 0? 0? 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0? 0 0? 0? 0 0??? Oczywist konsekwencj poprzedniego faktu jest Fakt (1) Niezerowe kolumny Z{macierzy s liniowo niezale ne () Niezerowe wiersze Z{macierzy s liniowo niezale ne Macierze zredukowane mo na tak e opisa w inny spos b, u ywaj c poj cia macierzy permutacyjnej (w skr cie: P-macierzy) P-macierz nazywa b dziemy macierz, maj c zar wno w ka dym wierszu, jak i w ka dej kolumnie, dok adnie jeden wyraz r ny od 0; jasne, e taka macierz musi by kwadratowa (tzn mie tyle wierszy, co kolumn) Przyk adami P-macierzy s : 0 5 0 0 0 0 0 5 ; 0 1 0 0 0 1 0 0 5 ; 0 0 0 0 5 0 0 5 ; 0 0 0 0 0 0 5
8 Podmacierz macierzy A nazywamy macierz, otrzyman przez (ewentualne) 1 wykre lenie z A pewnych wierszy i/lub kolumn Na przyk ad 5 5 8 9 zawiera nast puj ce podmacierze wymiaru : 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; 5 5 8 9 8 9 atwo teraz przekona si, e zachodzi nast puj cy 5 5 ; ; 8 9 8 9 Fakt Macierz A m n jest Z-macierz () zawiera pewn podmacierz, b d c P-macierz wymiaru r r, gdzie r = (liczba = 0-kolumn A) Analogicznie jest dla Z-macierzy: tym razem r = (liczba = 0-wierszy A) Przyk ad Powy sze macierze M i N zawieraj nast puj ce podmacierze permutacyjne: 0 0 0? 0? 0 0 dla M : 0? 0 0? 0 0 0 5, dla N : 0 0? 0? 0 0 0 5 ; 0 0? 0 0 0 0? przy tym M ma niezerowe kolumny, N niezerowe wiersze, wi c M jest Z-macierz, 1 0 a N Z-macierz 0 0 5 0 5 0 5 jest Z-macierz, gdy ma P-podmacierz, 0 0 0 za 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 jest Z-macierz, gdy ma P-podmacierz 1 0 0 Denicja Ustalmy wska niki i; j, dla kt rych A i j jest niezerowym wyrazem macierzy A Operacja elementarna (typu, na kolumnach), okre lona jako dodanie takich krotno ci kolumny A j do pozosta ych kolumn, eby wyraz A i j sta si samotnikiem wierszowym nazywa si redukcj kolumnow wzgl dem wyrazu A i j, zwanego wyrazem bazowym dla tej operacji Denicja redukcji wierszowej wzgl dem wyrazu bazowego A i j jest analogiczna: dodanie takich krotno ci wiersza A i do pozosta ych wierszy, eby wyraz A i j sta si samotnikiem kolumnowym Przyk ad( ) Dla A = 1 5 5 5 i wyrazu bazowego A 1 = 1 redukcja kolumnowa wyprodukuje z macierzy A macierz 5 1 1 5 5 1 5 = 5 5 redukcja wierszowa za macierz 1 5 1 5 1 5 5 5 = 1 1 9 0 1 1 5 0 1 9 Zgodnie z denicj w redukcji kolumnowej zast puje si ka d kolumn A k, dla k = j, wektorem A k + k A j, ze wsp czynnikiem k wyznaczonym z 5, 5 ybrany wyraz bazowy macierzy b dziemy w dalszym ci gu wyr nia ramk
9 warunku 0 = (i-ta wsp rz dna A k + k A j ) = A i k + k A i j, tzn k = Ai k ygodnie jest zapami ta ten rezultat w formie nast puj cego schematu: a b a 0 a b! lub c d 5 c d bc a ; 5 0 d bc a 5 {z } {z } dla redukcji kolumnowej dla redukcji wierszowej wymaga on oczywistej modykacji, gdy wyraz bazowy le y w innym `rogu' Algorytm Redukcji olumnowych Polega on na przeprowadzaniu redukcji kolumnowych wzgl dem kolejnych wyraz w bazowych, wybieranych zgodnie z dwiema nast puj cymi zasadami: () () nie mog si powtarza numery kolumn wyraz w bazowych; nie mog si powtarza numery wierszy wyraz w bazowych Przestrzegaj c zasady () nie da si naruszy zasady () ( ), wi c mo na by opu ci (), jako konsekwencj (); jednak powy sza symetryczna posta `wytycznych' jest atwiejsza do zapami tania i por czniejsza w u yciu Uzupe niaj c (ju nie obligatoryjn ) zasad jest wyb r takich wyraz w bazowych, przez kt re ` atwo' jest dzieli a da redukcja kolumnowa sprawia, e jej wyraz bazowy staje si samotnikiem wierszowym, a przy tym samotniki z innych (np wcze niej wybranych) kolumn pozostan samotnikami obec tego po zako czeniu procedury, gdy nie jest ju mo liwy wyb r nowego wyrazu bazowego, ka da niezerowa kolumna ma samotnika wierszowego, czyli otrzymana macierz jest Z-macierz Algorytm Redukcji ierszowych r ni si od powy szego jedynie tym, e redukcje kolumnowe nale y zast pi redukcjami wierszowymi Z powy szych rozwa a wynika natychmiast nast puj ce Twierdzenie Z dowolnej macierzy A mo na otrzyma, stosuj c operacje elementarne typu 0 na kolumnach, r wnowa n jej kolumnowo Z-macierz Analogicznie, ka da macierz jest wierszowo r wnowa na pewnej Z-macierzy Przyk ad 5 5 1 1 1 5 1 5 5 5 1 1 1 1 5 5 1 1 1 0 5 0 1 1 0 1 1 1 1 0 5 0 0 1 0 1 1 1 0 1 10 10 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 10 0 10 5 5 A i j 0 0 1 0 0 0 5 10 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 Obie ko cowe macierze s zredukowane (kolumnowo w 1, a wierszowo w przypadku) 5 iersz, `u yty' ju poprzednio, ma = 0 wyraz jedynie w `u ytej' poprzednio kolumnie
10 0 Zastosowanie operacji elementarnych do podstawowych zada numerycznych algebry wektorowej Om wimy teraz kolejno nast puj ce zagadnienia: 1 Uproszczenie opisu typu Obliczanie wymiaru im A Badanie liniowej niezale no ci danych wektor w z m 1 Uproszczenie opisu typu R Obliczanie wymiaru ker B Badanie liniowej niezale no ci danych r wna, tzn wektor w z n Przej cie od opisu typu R do opisu typu, czyli Rozwi zywanie jednorodnego uk adu r wna liniowych Przej cie od opisu typu do opisu typu R, czyli Znajdowanie zupe nego uk adu r wna liniowych spe nianych przez dane wektory Rozwi zywanie uk adu r wna liniowych niejednorodnych Odwracanie macierzy kwadratowej 5 Znajdowanie przeci cia V 1 \ V dw ch podprzestrzeni Znajdowanie sumy algebraicznej V 1 + V dw ch podprzestrzeni 1 Uproszczenie opisu typu Obliczanie wymiaru im A Badanie liniowej niezale no ci danych wektor w z m Poniewa A 0 A ) im A = im A 0, wi c w opisie V = im A mo emy A zast pi Z-macierz A 0, otrzyman z A przez zastosowanie algorytmu reduk- cji kolumnowych; zatem dim V jest liczb = 0-kolumn A 0 oraz V = im A 00, gdzie A 00 jest rezultatem usuni cia z A 0 ewentualnych kolumn zerowych Przyk ad 1 Niech V = 1 0 0 5 ; 5 ; 10 5 ; 1 1 0 5 ; wtedy V = im 1 0 10 5, 5 1 5 5 1 5 0 0 1 0 1 0 za 1 0 10 5 10 {1 0 8 10 5 0 0 0 1 0 0 5 ; st d V = im 0 1 5 = 5 1 5 0 1 5 0 0 1 0 0 5 ; 1 5, dim V =, wi c cztery wektory z pocz tkowego opisu V s lin zale ne Przyk ad Dla V = 1 1 5 ; 5 ; 1 0 1 0 5 mamy A = 1 5 5 0 15 5 5 1 1 10 5 0 1 0 1 0 1 5 1 5 1 1 1 5 ; ostatnia macierz jest Z, wi c jej kolumny (niezerowe!) s lniezale ne; st d dim V = i wektory 1 1 1 1 1 5 ; 5 ; 5 te s lniezale ne 1
11 1 Uproszczenie opisu typu R Obliczanie wymiaru ker B Badanie liniowej niezale no ci danych r wna, tzn wektor w z n Poniewa B B 0 ) ker B 0 = ker B, wi c w opisie V = ker B mo emy B zast pi Z-macierz B 0, otrzyman z B przez zastosowanie algorytmu redukcji wierszowych; wynika st d( 5 ), e dim V = m r, gdzie r jest liczb niezerowych wierszy B 0 (jak poprzednio, V m, tzn m jest liczb `niewiadomych', tzn liczb kolumn B i B 0 ); ponadto V = ker B 00, gdzie B 00 jest rezultatem opuszczenia w B 0 ewentualnych wierszy zerowych Przyk ad Je li V 8jest zdeniowana jako przestrze rozwi za uk adu r wna x >< 1 +x +x = 0; x 1 +x +x x = 0; (U) x +10x x = 0; >: 5x 1 +x 5x +x = 0; to V = ker B, gdzie 1 0 8 0 1 0 0 B = 1 0 1 9 0 10 0 0 0 0 5, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 5 { 0 1 9 10 0 0 15 5 5 5 1 5 5 1 5 0 1 5 wi c V = x x : 1 x +x = 0 0 = ker x +10x x = 0 0 10 jest Z, wi c jej wiersze (niezerowe) s liniowo niezale ne, sk d dim V = = Przej cie od opisu typu R do opisu typu czyli ; ostatnia macierz Rozwi zywanie jednorodnego uk adu r wna liniowych Po uproszczeniu zgodnie z punktem 1 dostajemy opis V = ker C, gdzie C jest Z-macierz (bez zerowych wierszy) Niech 1; m b dzie zbiorem numer w kolumn jakiej maksymalnej P-podmacierzy C( ) tedy uk ad Cx = 0 mo na przepisa w postaci x k = P D k j x j dla k (*) j (mianowicie D k j = Ci j C i k, gdzie C i k = jedyny niezerowy wyraz k-kolumny), wi c jego rozwi zanie og lne ma posta (x j ) j dowolne z, (x k ) k okre lone wzorami (*) Zauwa my teraz, e je li zast pimy w wektorze x wsp rz dne x k, k, P wyra eniami D k j x j, to otrzymamy przedstawienie postaci x = P x j v j ; j zatem tak znalezione wektory v j tworz baz V, czyli daj jej -opis( ) 0 Przyk ad Dla V z przyk adu dostali my C =, wi c = f1; g oraz 0 10 j 5 Np przez przej cie od opisu typu R do opisu typu, patrz dalej punkt mo na uzyska jako zbi r numer w kolumn zestawu samotnik w kolumnowych, wybranych po jednym z ka dego wiersza macierzy C ektory v j s liniowo niezale ne, gdy x zale y injektywnie od zestawu x j j1;mn
1 V = x : = x = x 5 1 5 + 1 x 0 x 1 = x x x = 5x + x = x x x = 5x + x x x 0 5 : x ; x = 5 1 0 5 ; 0 5 : x ; x = 5 = im 5 1 0 5 0 1 Jest to -opis przestrzeni V rozwi za uk adu (U); tym samym rozwi zali my uk ad (U) arto zauwa y, e znaleziony -opis V jest maksymalnie uproszczony, tzn odpowiada macierzy Z; nietrudno dowie, e jest tak zawsze przy stosowaniu powy szej procedury Uwaga Oczywi cie v j mo na znale jako takie rozwi zanie x uk adu Cx = 0 (lub (*)), w kt rym s zerami wszystkie wsp rz dne o indeksach z 1; m n, opr cz x j = 1 Przej cie od opisu typu do opisu typu R czyli Znajdowanie zupe nego uk adu r wna liniowych spe nianych przez dane wektory Po uproszczeniu (punkt 1) dostajemy opis V = im C, gdzie C m n jest Z-macierz (bez zerowych kolumn) Cz zale no ci x i = P C i ju j, odpowiadaj cych rozk adowi x = P C j u j, ma nader prost posta x kj = c j u j ; j j tych prostych zale no ci wystarcza do wyra enia wszystkich u j (samotniki wierszowe!) przez wsp rz dne x stawiaj c teraz u j = 1 c j x j do pozosta ych (tzn dla i spoza zbioru = fk 1 ; : : : ; k n g) zale no ci x i = P C i ju j dostajemy j r wnania na x, r wnowa ne oczywi cie warunkowi x imc 1 0 Przyk ad 5 przyk adzie 1 dostali my x V, 9u 1 ; u : x = 0 5 u 1 + 1 5 u ; x1 = u zatem 1 ; x = u ; wstawiaj c u1 = x 1 ; x = u do pozosta ych zale no ci 1 u ; u = x x = u 1 + u x = x dostajemy 1 + x ; Zatem x = x 1 x : V = x : x 1 x + x = 0 x 1 x x = 0 1 0 = ker 0 1 Zauwa my, e uzyskany w ten spos b opis V = ker B ma posta mo liwie najwygodniejsz : 1 0 B = jest Z-macierz atwo uzasadni, e jest to og lna prawid owo 0 1 Rozwi zywanie uk adu r wna liniowych niejednorodnych Post powanie polega na przeprowadzeniu algorytmu redukcji wierszowych( 8 ) dla macierzy rozszerzonej uk adu, przy czym w ka dym kroku bazowe wyrazy nale y wybiera jedynie z cz ci g wnej tej macierzy( 9 ) 8 Gdy operacje na wierszach s w istocie operacjami na r wnaniach uk adu, takimi jak np dodawanie r wna stronami czy ich odejmowanie 9 Gdy celem jest wyra enie niewiadomych poprzez prawe strony, a nie na odwr t
1 8 >< Przyk ad >: x + x + x = x 1 + x + x + x = 5x 1 + 10x + x + 15x = 1 x 1 + x + x + x = 1 9 >=, tzn >; 0 1 1 1 1 5 10 15 1 1 5 x = Rozwi zanie: 0 1 0 1 0 1 0 0 1 5 1 1 1 5 10 15 1 5 1 5 0 11 5 1 0 0 9 5 1 1 0 0 0 0 0 5, 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 8 1 1 < x 1 = 1 + x czyli x = + x ; Zatem rozwi zaniem og lnym jest x = : 5 + 1 5 5, x = 5x : 0 1 Przyk ad Rozwi my dwa uk ady, r ni ce si jedynie prawymi stronami: (a) 1 5 5 x = 1 5, (b) 1 5 5 x = 8 5 1 1 5 B dziemy oba uk ady rozwi zywa r wnocze nie: 1 1 5 8 5 1 5 Odpowied (a) Uk ad sprzeczny (b) 11 0 11 1 9 0 9 18 1 5 Odwracanie macierzy kwadratowej x = 1 + x 1 x = + x 1, tzn x = 1 1 5 5 0 0 0 9 0 9 0 9 18 5 5 1 1 0 1 0 1 5 + 1 1 5, 1 Jak wiemy (AB) j = AB j, tzn j-t kolumn iloczynu AB jest iloczyn macierzy A przez j-t kolumn B j macierzy B Stosuj c ten wz r do przypadku, gdy A; B n n i AB = I n, tzn gdy B = A 1, widzimy, e wtedy AB j =! j-ta kolumna = e macierzy j = I n j-ty wektor bazy standardowej (zerojedynkowej) w n a wi c poszczeg lne kolumny B j szukanej macierzy B mo na znale jako rozwi zania x uk ad w r wna Ax = e j Poniewa te uk ady r ni si jedynie prawymi stronami, wi c wygodnie jest tu (tak jak w przyk adzie ) zastosowa metod `kolektywnego' rozwi zywania takich uk ad w Przyk ad 8 Dla znalezienia odwrotno ci A := 1 5 1 5 post pujemy nast puj co: 1 1 0 1 1 5 0 5 1 0 1 0 5 {1 0 1 0 5 1 0 1 0 5 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 {1 0 1 0 1 0 9 1 1 1 1 1 1 1 5 0 1 0 9 1 5, a wi c A 1 = 9 1 5 0 0 1 0 1 0 1 0 1 Zwykle bardziej `por czny' bywa alternatywny (`wertykalny') wariant powy szej metody, w kt rym role wierszy i kolumn s odwr cone Przyk ad 9 Rezultat 1 5 5 = 5 0 5 mo na otrzyma nast puj co: 1 1 1 1 1!,
1 5 1 1 0 1 0 0 0 1 5 {1 1 1 1 0 1 0 5 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 5 1 5 0 0 1 0 1 0 0 0 1 5 0 5 1 1 1 0 1 0 0 0 1 5 0 5 1 1 1 Nietrudno sprawdzi, e macierz kwadratowa A ma odwrotno () A I n, a wi c A 1 nie istnieje () algorytm redukcji kolumnowych daje macierz z zerow kolumn A oto jeszcze inne uzasadnienie powy szej metody znajdowania odwrotno ci: Zauwa my, e ka d operacj elementarn na kolumnach macierzy A m n mo na opisa wzorem A! AE, gdzie E n n jest pewn macierz, odpowiadaj c danej operacji (tzw macierz elementarn ( 10 )) Na przyk ad a 1 a a b 1 b b 5! a a 1 a b b 1 b 5 = a 1 a a b 1 b b 5 0 1 0 5 (przestawienie 1 i kolumny) c 1 c c c c 1 c c 1 c c 0 0 1 a 1 a a b 1 b b 5! 1a 1 a a 1 b 1 b b 5 = a 1 a a b 1 b b 5 0 0 5 pomno enie kolumn przez liczby c 1 c c 1 c 1 c c c 1 c c 0 0 1 ; ; a 1 a a b 1 b b 5! a 1 a + a 1 a + a 1 b 1 b + b 1 b + b 1 5 = a 1 a a b 1 b b 5 1 0 1 0 5 dodanie krotn A c 1 c c c 1 c + c 1 c + c 1 c 1 c c 0 0 1 1 do A i A Z tego spostrze enia wynika, e je li jaki ci g E 1 ; : : :; E r elementarnych operacji na kolumnach prowadzi od macierzy A do macierzy jednostkowej, to AE 1 : : : E r = I n ; wtedy (mno c obie strony przez A 1 ) dostajemy r wno I n E 1 : : : E r = A 1, kt ra pokazuje, e ten sam ci g operacji elementarnych prowadzi od macierzy I n do macierzy A 1, QED 5 Znajdowanie przeci cia V 1 \ V dw ch podprzestrzeni Gdy dla V 1 znajdziemy opis typu : V = hv 1 ; : : : ; v n i, a dla V opis typu R, w wczas przeci cie V 1 \ V sk ada si z tych v = P i v i, kt rych wsp czynniki i spe niaj r wnanie indukowane z r wna opisuj cych V i 5 1 8 0 0 5 5 1 1 1 0 1 0 Przyk ad 10 Niech V 1 = ker, V = ker ; stosuj c 1 0 1 5 8 procedur dostajemy opis V 1 = im A, gdzie A = 0 1 0 Przy tym wektor 0 0 1 5 5 5 5 v = 1 0 0 5 + 8 1 0 5 + 0 1 5 = A 1 5 V1 spe nia r wnanie opisuj ce V 5 5 1 1 0 1 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 = A 1 1 0 1 5 8 = 1 1 1 1 5, czyli 1 + = 0, tzn = 1 +, tzn 1 5 = 1 0 0 5 1 1 1, gdzie 1 ; 10 Macierz E jest oczywi cie rezultatem podzia ania dan operacj na macierz A = I n
15 Odpowied V 1 \ V = im A 1 0 1 0 0 5 = im 0 1 1 5 5 Znajdowanie sumy algebraicznej V 1 + V dw ch podprzestrzeni Jest to metoda `dwoista' do poprzedniej: Tak jak w 5 znajdujemy dla jednej z podprzestrzeni (powiedzmy V 1 ) -opis, a dla drugiej (dla V ) R-opis; nast pnie znajdujemy takie kombinacje liniowe r wna opisuj cych V, kt re zeruj wszystkie generatory V 1 Tak otrzymane r wnania opisuj V 1 + V Przyk ad 11 Dla V 1 i V z przyk adu 10 kombinacja liniowa o wsp czynnikach 1 ; r wna opisuj cych V 1 ma posta f = 1 1 0 1 0 1 ; ; takie f b dzie zerowa generatory V 1 (czyli kolumny A) () 0 = f A = 1 0 1 1 1 0 1 0 1 ; A = 1 0 1 = 8 1 ; = 1 1 1 + 1 ; 8 1 1 ; 1 + 1, tzn 1 =, czyli 1 ; = ; 1, gdzie dowolne Odpowied V 1 + V = ker 1 1 0 1 0 [ ; 1] = ker ; 1; ; ; 1 1 0 1 Uwaga Alternatywne sposoby dla (5) i (), polegaj ce na `po czeniu' obu zestaw w r wna (dla V 1 \ V ) lub generator w (dla V 1 + V ) opisuj cych V 1 i V, a nast pnie dokonaniu ich redukcji, s na og bardziej pracoch onne! 0 Appendix: Baza standardowa podprzestrzeni m Denicja Niech e 1 ; : : : ; e m b dzie baz standardow m Stopniem wektora P 0 = v = m e 1 v i m nazwijmy liczb deg v := maxfi 1; m : v i = 0g; i=1 dodatkowo przyjmijmy deg v = 0 dla v = 0 Baz v 1 ; : : : ; v r podprzestrzeni f0g = m b dziemy nazywa baz standardow, je eli: (a) stopnie d i = deg v i spe niaj nier wno ci d 1 < : : : < d r ; (b) v d i j = i j dla i; j 1; r Fakt 1 a da podprzestrze f0g = m ma, i to dok adnie jedn, baz standardow Indukcja wzgl dem r = dim : Dla r = 1 teza jest trywialna Za my, e dim = r > 1 i e twierdzenie jest prawdziwe dla wymiaru r 1 Niech d 1 = minfdeg v : 0 = v g Jasne, e istnieje dok adnie jeden w taki, e deg w = d 1 oraz w d1 = 1; przy tym jest sum prost hwi i f := fv : v d 1 = 0g, gdy dla v mamy v w f, = v d1 Dla zako czenia dowodu wystarczy teraz zauwa y, e v1 ; : : : ; v r jest baz standard, v 1 = w oraz v ; : : : ; v r jest baz standard f
1 Przyk ad a da -wymiarowa podprzestrze ma dok adnie jedn z czterech poni szych postaci (i zale y od co najwy ej trzech parametr w a; b; c ): a b c = ker[1; a; b; c]; baz standardow, maj c stopnie,,, s kolumny 0 1 0 5 ; 0 0 1 = ker[0; 1; b; c]; baz standardow, maj c stopnie 1,,, s kolumny 0 b c 0 1 0 0 0 1 = ker[0; 0; 1; c]; baz standardow, maj c stopnie 1,,, s kolumny 0 1 0 0 0 c 5 ; 0 0 1 = ker[0; 0; 0; 1]; baz standardow, maj c stopnie 1,,, s kolumny 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 Fakt Niech v 1 ; : : : ; v r m b dzie baz standardow podprzestrzeni im A, gdzie 0 = A m n wczas A [0; : : : ; 0 ; v {z } 1 ; : : : ; v r ] n r Startuj c z A przeprowadzajmy kolejne redukcje kolumnowe przestrzegaj c dw ch zasad: () nie mog si powtarza numery kolumn kolejnych wyraz w bazowych; ( ) ka dy kolejny wyraz bazowy wybieramy z wiersza o numerze maksymalnym, jaki mo liwy jest przy spe nieniu warunku () [tedy spe nione s a fortiori zasady () i () z algorytmu redukcji kolumnowych] atwo spostrzec, e po zako czeniu tej procedury ostatnie = 0 wyrazy kolumn otrzymanej macierzy s samotnikami wierszowymi; zatem po stosownym przestawieniu jej kolumn (operacja elementarna typu 1 0 ) i ich unormowaniu (operacja elementarna typu 0 ) uzyskamy macierz, kt rej niezerowe kolumny tworz baz standardow podprzestrzeni im A 1 5 1 5 1 Przyk ad Dla := im 5 5 rachunek 5 1 5 5 1 5 1 8 1 0 5 8 1 1 0 5 0 0 0 1 pokazuje, e baz standardow jest zestaw kolumn ostatniej macierzy To samo dostaniemy wybieraj c w pierwszym kroku zamiast : 1 5 1 1 1 1 1 1 5 5 8 5 1 5 8 5 1 5 8 0 1 5 8 1 1 0 5 0 0 0 0 1 niosek 1 Niech b dzie przestrzeni wektorow oraz niech v i ; w i V dla i 1; n wczas (por Uwag ze strony ) hv 1 ; : : : ; v n i = hw 1 ; : : : ; w n i ) (v 1 ; : : : ; v n ) (w 1 ; : : : ; w n ) Mo emy zak ada, e V = m ; niech u 1 ; : : :; u r b dzie baz standardow podprzestrzeni hv 1 ; : : : ; v n i = hw 1 ; : : :; w n i tedy Fakt daje v 1 ; : : : ; v n 0; : : : ; 0; u1 ; : : : ; u r oraz w1 ; : : :; w n 0; : : : ; 0; u1 ; : : : ; u r, sk d natychmiast wynika teza 5 ;
1 niosek Gdy A m n, wtedy " rk A = m ) A [0; I m ] oraz rk A = n ) A 0 szczeg lno ci je li macierz A n n jest nieosobliwa, to A I n # I n i A I n niosek a da klasa r wnowa no ci relacji w m n zawiera dok adnie jedn macierz postaci [0; : : : ; 0; v 1 ; : : : ; v r ], gdzie v 1 ; : : : ; v r jest uk adem niezerowych wektor w w m, spe niaj cych powy sze warunki (a) i (b) Macierz powy szej postaci nazywana jest macierz zredukowan kolumnowo do postaci tr jk tnej, w skr cie ZT-macierz ; posta t mo na w pe ni scharakteryzowa nast puj cymi warunkami, kt re s oczywi cie mocniejsze od warunk w deniuj cych Z-macierz: (1) kolumny macierzy s ustawione w kolejno ci rosn cych stopni; () w ka dej = 0 kolumnie ostatni = 0 wyraz jest jedynk i samotnikiem wierszowym niosek Grassmannian G r ( m ) (kt rego elementami s r-wymiarowe podprzestrzenie m, r m) ma rozk ad kom rkowy S (d 1 ; : : : ; d r ), gdzie 1 d 1 < : : : < d r m, (d 1 ; : : : ; d r ) := f m : baza standardowa ma stopnie d 1 ; : : : ; d r g atwo sprawdzi, e (d 1 ; : : : ; d r ) jako podprzestrze topologiczna n jest homeomorczna z N P, gdzie N = r (d k k) = d 1 + : : : + d r 1 r(r + 1) k=1