POMIA WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI WODY I WYZNACZENIE KYTYCZNEJ LICZBY EYNOLDSA METODĄ BADANIA SZYBKOŚCI WYPŁYWU WODY UKĄ KAPILANĄ I. Cel ćwiczenia: zapoznanie z cechami turbulentnego i laminarnego wypływu wody z naczynia, zaobserwowanie zmiany charakteru przepływu cieczy rzeczywiste przez kapilarę wraz ze zmianą prędkości (przeście z przepływu turbulentnego w laminarny). Wyznaczenie dynamicznego współczynnika lepkości wody η w oparciu o wykres zaleŝności natęŝenia przepływu od wysokości słupa wody w naczyniu dla te części zaleŝności, która odpowiada wyłącznie wypływowi laminarnemu. II. Przyrządy: cylinder ze skalą, kapilary, stoper, suwmiarka III. Literatura: 1. Encyklopedia fizyki, PWN Warszawa, 1973 r., str. 182 2. Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, cz.1, PWN Warszawa, 1972. 3. J. A. Zakrzewski, A.K. Wróblewski, Wstęp do fizyki, PWN Warszawa, t.1, 1984 r., str. 300 i t.2, cz.1, 1989, str. 112. 4. M. Grotowski, Wykłady fizyki, t.1, Czytelnik, 1949, str. 285-295. 5. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa, 1980. IV. Charakterystyka laminarnego i turbulentnego przepływu cieczy. Oddziaływania między cząsteczkami cieczy (których natura est w zasadzie elektryczna) powoduą, Ŝe w kaŝde cieczy rzeczywiste, w odróŝnieniu od e modelowego odpowiednika - cieczy idealne - występue tarcie wewnętrzne, zwane teŝ lepkością. Lepkość charakteryzue opór cieczy przeciw płynięciu pod działaniem sił zewnętrznych. Wpływ lepkości w cieczach uawnia się w całe ich obętości. ozwaŝmy warstwę cieczy o grubości h, zawartą między dwiema płaskimi i równoległymi płytkami np. P i P' (o powierzchni S kaŝda), z których P spoczywa, a P' przemieszcza się z prędkością v o pod wpływem styczne siły zewnętrzne F r o ( rys.1 ). Tarcie wewnętrzne powodue powstanie między dwiema sąsiednimi warstwami cieczy, poruszaącymi się z nieednakową prędkością, sił stycznych do powierzchni tych warstw i skierowanych odwrotnie do ich prędkości względne. Prędkość płytki P' - vo, est stała, o ile siła tarcia wewnętrznego cieczy T (tzw. opór lepki), występuąca między drobinami cieczy, a w szczególności w warstwie przylegaące do płytki P', równowaŝy siłę zewnętrzną: F T. Cząsteczki cieczy przy- r r legaące do płaszczyzny P' przesuwaą się wraz z nią z prędkością v o, natomiast cząsteczki cieczy przylegaące do płytki P (spoczywaące) maą prędkość zerową. W te sytuaci, i pod warunkiem, Ŝe odkształcenie postaciowe cieczy est ednorodne, w kierunku prostopadłym do powierzchni płytek (np. w kierunku osi z), w polu przekrou poprzecznego strugi ustala się prze- 1/8
pływ cieczy o róŝnych lokalnych prędkościach, zmieniaących się liniowo w przedziale od 0 (dla z 0) do v r o v o ( dla z h ). z v r o F r o P ' v r o h ys.1 ozkład wektora prędkości cieczy rzeczywiste (lepkie) zawarte między dwiema płytkami równoległymi P i P', z których płytka P spoczywa. Stan taki opisue się gradientem prędkości o edne nie znikaące wartości w kierunku osi z : dv/dz v o /h. W przypadku gdy odkształcenie postaciowe cieczy, pod wpływem styczne siły zewnętrzne F o est ednorodne, współczynnik lepkości cieczy η, będący miarą oporu lepkiego cieczy, wylicza się ze wzoru Newtona [1]: F η o ( 1 ) dv S dt W układzie SI ednostką lepkości est 1 Pa s (paskalosekunda). We wzorze (1) wyraŝenie t F o /S oznacza działaące na płytę napręŝenie styczne. Takie napręŝenie działa teŝ na kaŝdą równoległą do płytki warstwę cieczy, która porusza się z prędkością róŝną od prędkości warstwy sąsiednie. Wobec tego, Ŝe cząsteczki płynące cieczy rzeczywiste (lepkie), w sąsiednich warstwach, poruszaą się z róŝnymi prędkościami, przepływ e wygodnie est scharakteryzować podaąc średnią prędkość ruchu. Przy małych średnich prędkościach, tory cząsteczek cieczy są liniami gładkimi, linie prądu są równoległe i nie mieszaą się. Taki przepływ nazywa się regularnym, warstwowym lub laminarnym. Ze wzrostem średnie prędkości przepływu tory cząsteczek cieczy nabieraą charakteru nieuporządkowanego, burzliwego. W cieczy tworzą się zawirowania i występuą nieregularności przepływu strug cieczy. Taki ruch cieczy nazywany est turbulentnym. W przypadku gdy przepływ cieczy est laminarny, współczynnik lepkości η ma charakter stałe fizyczne cieczy. Nie zaleŝy on od grubości warstwy ośrodka lepkiego ani od rozmiarów płytek. Nie zaleŝy teŝ od napręŝenia stycznego. Ze wzrostem średnie prędkości przepływu i w warunkach ego złoŝone geometrii, moŝe nastąpić zmiana charakteru przepływu z laminarnego w turbulentny. W takie sytuaci poęcie oporu lepkiego naleŝy zastąpić poęciem oporu turbulentnego. V. Prawa przepływu cieczy V.1 Ciecz idealna. Podstawową zasadą fizyczną, rządzącą przepływem cieczy idealne (nielepkie, nieściśliwe, niewaŝkie) przez przewody o róŝnych przekroach poprzecznych est "zasada ciągłości strugi". Jeśli w miescu gdzie przekró strugi est A, prędkość płynące cieczy est v, a w innym miescu P 2/8
strugi odpowiednio przekró poprzeczny wynosi A' i prędkość przepływu wynosi v', to zasada ta pozwala zapisać równanie: v A v A ( 2 ) Prawo to, akkolwiek sformułowane dla cieczy idealne, moŝna stosować do przepływu cieczy rzeczywiste, eśli przez v i v' rozumieć będziemy średnie prędkości przepływu w obszarach strugi cieczy o przekroach odpowiednio A i A ' oraz o ile moŝna uznać, Ŝe prędkość cieczy est stała. Drugim podstawowym prawem przepływu cieczy idealne est "zasada Bernoulliego", którą dla określone strugi, wyodrębnione w płynącym płynie, umue równanie: 1 p + ρv 2 + ρgh const. 2 gdzie ρ est gęstością cieczy, h - wysokością wybranego przekrou poprzecznego strugi cieczy ponad poziom odniesienia, v - lokalną prędkością przepływu, p - ciśnieniem w danym przekrou poprzecznym strugi cieczy, g - wartością przyspieszenia ziemskiego. V.2 Ciecz rzeczywista przepływaąca przez kapilarę. Podczas laminarnego wypływu cieczy rzeczywiste przez kapilarę (o długości l, które promień wewnętrzny przekrou kołowego est ), spowodowanego róŝnicą ciśnień na e końcach (p 1 - p ), tory cząsteczek cieczy są prostoliniowe i równoległe do osi rurki. JednakŜe prędkości 2 ich, w punktach wzdłuŝ średnicy kapilary ( pokrywaące się np. z osią r ), są zróŝnicowane co do wartości. Nawiększą prędkość maą cząsteczki na osi kapilary ( r 0 ), natomiast drobiny przylegaące do ścianek wewnętrznych rurki ( r ) maą prędkość równą zeru. Symetria zagadnienia pozwala wyodrębnić w płynie współśrodkowe cylindry o promieniu r ( dla 0 < r < ) i grubości dr na tyle małe, Ŝe prędkość drobin cieczy w zakresie wybranego cylindra est stała i wynosi v(r) (rysunek 2). ( 3 ) r r + dr r v( r) l p 1 p 2 ys.2 ozkład prędkości przepływu cieczy lepkie w rurce o promieniu pod wpływem róŝnicy ciśnień p 1 - p 2. JeŜeli przepływ est laminarny, to edynie ruch cieplny cząsteczek powodue wymianę pędu zachodzącą poprzez ścianki tak pomyślanych walców. Ten ruch cieplny ma tendencę do wyrównywania prędkości cząsteczek z sąsiednich obszarów. Ilościowo proces ten opisue się siłą tarcia wewnętrznego T, proporconalną do powierzchni boczne walców oraz do gradientu prędkości: dv( r ) T η S ( 4 ) dr 3/8
gdzie η est współczynnikiem lepkości. W warunkach przepływu laminarnego, siła tarcia T i siła zewnętrzna F wynikaąca (w tym przypadku) z róŝnicy ciśnień na końcach kapilary ( F πr 2 (p 1 - p 2 ) ), równowaŝą się: r r T + F 0 ( 5 ) Odpowiednie przekształcenia równania (5), przeprowadzone dla warunków brzegowych: v(r 0) v o i v(r ) 0, pozwalaą wyprowadzić funkcę opisuącą zaleŝność prędkości drobin cieczy od promienia cylindra: ( p1 p2 ) 2 2 v ( r ) ( r ) ( 6 ) 4ηl ysunek 2 ilustrue tę zaleŝność (kwadratową) dla omawianego przypadku. Wzór (6) umoŝliwia obliczenie średnie prędkości laminarnego wypływu cieczy przez rurkę. Jeśli przez V oznaczymy obętość cieczy wypływaące w czasie t, to natęŝenie prądu cieczy opisue wzór zwany teŝ równaniem Hagena-Poiseuille'a: Natomiast średnia prędkość wypływu wody przez kapilarę wynosi: V t 4 ( p1 p2 ) ð ( 7 ) 8ηl 1 v ð 2 V t NaleŜy podkreślić, Ŝe równanie (7) ma zastosowanie wyłącznie do przepływu laminarnego. W przepływie cieczy lepkie energia kinetyczna E k cieczy est mniesza od pracy W siły zewnętrzne F poruszaące płyn ( E k < W ). Obliczenia energii kinetyczne cieczy prowadzą do wyniku [2]: We wzorze (9) wyraŝenie: E k ( 8 ) ρv ð 2 ( p1 p2 ) ( 9 ) η 12 ρv e ( 10 ) η nazywa się liczbą eynoldsa. Jest to wielkość bezwymiarowa. Wprowadził ą w 1883 r. O. eynolds. Znaczenie te liczby nie ogranicza się tylko do analizowanego w tym opracowaniu przypadku. Je stałość dla róŝnych przepływów równowaŝna est tzw. podobieństwu przepływu. Na podstawie doświadczeń nad ruchem płynów, eynolds stwierdził, Ŝe eśli mamy róŝne ciecze płynące z róŝnymi prędkościami w róŝnych przewodach, to charakter ruchu tych cieczy będzie ednakowy przy ednakowych wartościach liczby e dla tych przepływów. Koryguąc nieco wyraŝenie dla e podane np. w [2], moŝna zapisać: praca zuŝyta na przyspieszenie zadane obętości cieczy do prędkości v e (11) praca zuŝyta na pokonaniesil oporu lepkości przy przemieszczeniu te ob. cieczy 4/8
Z powyŝszego wyraŝenia wynika, Ŝe wzrost liczby e oznacza zwiększenie roli pracy zuŝyte na przyspieszenie cieczy, natomiast spadek e wartości oznacza zwiększenie roli pracy zuŝyte na pokonanie oporu lepkości. Laminarnym przepływom cieczy rzeczywistych przez przewody odpowiada wartość liczby e mniesza od pewne wartości krytyczne e. Przy wzroście prędkości przepływu cieczy następue przekroczenie krytyczne wartości liczby eynoldsa. Odpowiada to zmianie charakteru wypływu cieczy, z laminarnego w turbulentny. O ile ruch laminarny odpowiada stanowi pewne równowagi dynamiczne, i przy wartościach e mnieszych od minimalne wartości krytyczne równowaga ta est trwała, to przy e większych od nie powstae stan równowagi chwiene. Przy minimalnym zaburzeniu zostae on zniszczony, co powodue przeście ruchu laminarnego w turbulentny. JeŜeli natomiast nie ma zaburzenia, to stan równowagi chwiene moŝe się utrzymywać. Doświadczalnie stwierdzono, Ŝe wartość e zaleŝy od sposobu przeprowadzenia doświadczenia, między innymi od nierówności powierzchni rury, sposobu wpływania cieczy do rury. JeŜeli ciecz wpływaąca do rury est słabo zaburzona, to ruch przedzie z laminarnego w turbulentny przy duŝe wartości ek sięgaące kilkudziesięciu tysięcy i odwrotnie, zaburzenia ruchu pociągaą za sobą małe wartości ek [3]. VI. Zestaw doświadczalny do badania turbulentnego i laminarnego wypływu cieczy i metoda pomiaru. 1 Zestaw składa się z pionowego cylindra kończącego się przewęŝeniem, połączonego węŝami gumowymi z dwoma kapilarami umieszczonymi poziomo. óŝnica ciśnień na końcach kapilary równa est ciśnieniu hydrostatycznemu słupa cieczy w pionowym cylindrze o polu przekrou poprzecznego A ( A π 2 A, gdzie A est wewnętrznym promieniem przekrou kołowego cylindra). ys. 3 Schemat układu pomiarowego. W chwili t 0 poziom lustra cieczy sięga wysokości h o (odpowiednio obętość cieczy est V h A). Wysokość h o podzielona est na szereg odcinków równe długości d h o o 1 ozdziały VI i VII zostały w pewnym zakresie zmienione w stosunku do pierwotne wersi z 1995 r. przez mgr Jerzego Wiśniewskiego. 5/8
( piszemy moduł, poniewaŝ poziom w rurze obniŝa się, a h zdefiniowane est ako h h i - h i-1 est mniesze od zera; traktuąc równe odcinki d ako dodatnie piszemy d h lub moŝemy napisać d - h ). Podczas wypływu cieczy z kapilary, e obętość równa est obętości cieczy wypływaące z pionowego cylindra. Wobec tego, Ŝe długość kaŝdego odcinka h est ednakowa, poddawana obserwaci obętość cieczy est stała i wynosi V A h - A h, a odpowiadaący e czas wypływu t i +1 - t i (wskaźnik i + 1), gdzie t i est czasem mierzonym od chwili t 0 (gdy h h o ) do chwili prześcia lustra cieczy przez i -tą kreskę na cylindrze. W doświadczeniu tym na skutek wypływu cieczy z całego układu obniŝa się róŝnica ciśnień na końcach kapilary wraz ze zmnieszaniem się ciśnienia hydrostatycznego. Dla tego przypadku, z równania (7) otrzymuemy (uwzględniamy, Ŝe p 1 - p 2 ρ g h(t) oraz Ŝe obętość V wypływaące cieczy z kapilary w czasie est równa obętości cieczy V wypływaące z pionowego cylindra w tym samym czasie): V A h g 4 π ρ h( t i ) (12) 8 l η lub ( ) h g 4 π ρ 8 l η A h t i. (12a) 4 π ρ g Oznaczaąc przez λ const, (13) 8 l η A przy h 0 (co odpowiada 0) otrzymamy równanie opisuące charakter zmian wysokości słupa w cylindrze a ednocześnie prędkość obniŝania się lustra cieczy, poniewaŝ mamy: dh v λ h( t). (14) dt Stąd otrzymue się funkcę wykładniczą h( t) ho exp( λ t) (15) opisuącą czasową zmienność h(t). Dla warunków naszego doświadczenia równanie (12) zapiszemy w postaci V λ A H α H, (16) gdzie α λ A, H - wysokość słupa wody odpowiadaąca środkowi przedziału (h i, h i +1 ). Idea ninieszego doświadczenia opiera się na wykorzystaniu zapisu równania Hagena- Poiseuille a w postaci wzoru (16). Wynika z niego, Ŝe pomiędzy natęŝeniem przepływu y V, a wysokością poziomu wody w cylindrze x H, istniee zaleŝność wprost proporconalna i α est współczynnikiem nachylenia linii proste przedstawiaące tę zaleŝność. Lewa strona równania (16), ak wynika ze wzoru (8), określa wielkość proporconalną do szybkości v wypływu wody z cylindra przez rurkę kapilarną. Współczynnik α est związany ze współczynnikiem lepkości wody η wzorem: 4 π ρ g η (17) 8 l α (wynika to ze związku współczynnika α z równania (16) z wielkością λ daną równaniem (13) ). Liczbę eynoldsa znadziemy z wyraŝenia (10), po uwzględnieniu wzoru (8): 6/8
ρ e v η 1 π 2 V ρ η ρ V π η (18) VII. Pomiary i opracowanie wyników 1 a) Pomiary. W ćwiczeniu naleŝy wykonać pomiary wysokości słupa wody h w funkci czasu t czyli h h(t), przymuąc np. stałą zmianę h 5 cm wysokości słupa wody w cylindrze. Do tych pomiarów naleŝy wykorzystać właściwą kapilarę (w zestawie - tę o większe średnicy wewnętrzne). Wobec stałości przekrou poprzecznego A, wykonane pomiary ( h i, t i ) moŝna zastosować do zbadania zaleŝności (16), dla stałe wartości V A h i obliczonych na podstawie pomiarów wielkości przedziałów czasowych t i +1 - t i (wskaźnik i + 1 ). Wyniki pomiarów moŝna zebrać w tabelach I i II. Tabela I l [m] wew [m] 2 A [m] d h [m] V A h [m 3 ] Tabela II 1 2 3 4 5 6 7 i h i [m] ln h i t i [s] t i +1 - t i H ( h i + hi+1 ) / 2 V 3 i 0, 1 i 0, 1, [ m s] i 0, 1 i 0, 1, 2 i 0, 1, ; i + i + 1 1 0 h o ln h o t o 0 1 h 1 ln h 1 t 1 1 H 1 V/ 1 gdzie: l - długość kapilary, - promień kapilary, 2 A - średnica cylindra, d h - długość wybranego odcinka na rurze, V A h - odpowiadaąca odcinkowi h obętość cieczy, i - nr kreski na cylindrze, h i - wysokość słupa wody, H (h i + h i + 1 )/2 - środek przedziału (h i, h i + 1 ), b) Opracowanie wyników. 1. Sporządzić dwa wykresy: wykres 1 zaleŝności y ln h i w funkci x t i (tabela II, kolumny 3 i 4); wykres 2 zaleŝności y V w funkci x H (tabela II, kolumny 6 i 7). 1 ozdziały VI i VII zostały w pewnym zakresie zmienione w stosunku do pierwotne wersi z 1995 r. przez mgr Jerzego Wiśniewskiego. 7/8
2. Na obu wykresach zaznaczyć połoŝenie punktu, w którym przebieg odchyla się od linii proste. Dla wykresu 2 podać współrzędne tego punktu ( H, V/ ). W punkcie tym następue zmiana charakteru wypływu wody: wypływ turbulentny przechodzi w laminarny (w miarę zmnieszania h). 3. Dla te części wykresu 2, która odpowiada laminarnemu wypływowi wody (wykres est liniowy) znaleźć współczynnik nachylenia proste α metodą namnieszych kwadratów (lub graficznie). Następnie ze wzoru (17) wyznaczyć współczynnik lepkości η. 4. Znaleźć krytyczną wartość liczby eynoldsa ek ze wzoru (18) wykorzystuąc wartość V/ odczytaną z wykresu 2, w punkcie odchylenia się przebiegu od linii proste (patrz punkt 2 ). 5. Ocenić błędy zmierzonych wielkości η i ek. UWAGA Opracowanie wyników pomiarów zamieszczone w te instrukci dotyczy tylko kapilary o większe średnicy (kapilary są dwie). Dla drugie kapilary o mniesze średnicy pomiary wykonuemy podobnie (mierzymy wysokość h w funkci czasu t ). Następnie wykonuemy wykres y ln h w funkci x t, znaduemy współczynnik nachylenia te proste a tym samym współczynnik λ (dla te kapilary ta zaleŝność powinna być liniowa w całym zakresie wartości t). Obliczamy współczynnik lepkości wody η i przeprowadzamy rachunek błędów. Dokładny opis wykonania ćwiczenia dla drugie kapilary daące tylko przepływ laminarny zamieszczony est w I pracowni fizyczne J.L. Kacperski Pomiar współczynnika lepkości wody. Badanie funkci wykładnicze. 8/8