Rozwiązanie z 23.04.15 1. Zasady gry: - Rzucamy 12 stronną kością - Za każdym razem wygrywamy wartość wyrzuconych oczek w zł. Długoterminowo, ile jesteś w stanie zapłacić za każdy rzut tak, aby zarobić: 1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78 2. 78 / 12 = 6,5 Jesteśmy skłonni zapłacić sumę mniejszą niż 6,5 zł za rzut. 2. Jaką przewagę nad graczem ma kasyno w amerykańskiej ruletce, gdzie minimalny zakład = 1 zł? i. Wypłata = 36 do 1; 38 przedziałów koła: 1 36, 0, 00 ii. 36/38 = 0,9474 iii. Wartość teoretyczna = 0,9474 zł. iv. 1 0,9474 = 0,0526 Przewaga kasyna = 0,0526 zł. 1
Część III zmienność Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego
Agenda 1. Wprowadzenie 2. Błądzenie losowe 3. Rozkład normalny 4. Średnia i odchylenie standardowe 5. Kurs jako średnia 6. Zmienność jako odchylenie standardowe 7. Rozkład logarytmicznie normalny 8. Dzienne i tygodniowe odchylenia 9. Rodzaje zmienności 3
Wprowadzenie Dlaczego zmienność jest tak istotną częścią inwestowania w opcje? Pamiętajmy, że jeżeli instrument bazowy nie zdąży dojść do określonego poziomu opcje mogą mieć mniejszą wartość; prawdopodobieństwo, że rynek przekroczy poziom kursu wykonania będzie zmniejszone. Instrument bazowy, który porusza się powoli i bez gwałtownych ruchów charakteryzuje się niską zmiennością. Rynek, na którym obserwujemy nagłe spadki i skoki cechuje się wysoką zmiennością. 4
Błądzenie losowe Poniżej widzimy gre, w której z góry puszczamy kulkę w tablicę z wystającymi kołkami. Opadając w dół, kulka spada na kołki. Na każdym kołku, kulka może opaść albo prawą, albo lewą stroną każda stroną pa prawdopodobieństwo 50%. Od momentu kiedy kulka zostaje wypuszczona nie mamy wpływu na to, którą stroną opadnie na każdym napotkanym kołku. To zjawisko nazywane jest błądzeniem losowym (random walk). 5
Błądzenie losowe 6
Rozkład normalny Po przejściu wszystkich kołków, kulka wpada to jednej z dolnych przegród. Jeżeli w labirynt puścimy więcej kulek, zaczną opadać wg. jakiegoś rozkładu. Najwięcej kulek wpadnie do środkowych przegród. Im dalej od środka, tym mniej kulek wpadnie do danej przegrody. Rozkład, który powstaje po spuszczeniu kulek do naszego labiryntu nazywamy rozkładem normalnym (normal distribution). Taki rozkład możemy zastąpić wykresem, który nazywamy krzywą dzwonową (bell curve). Krzywe dzwonowe stosowane są do określania wyników przypadkowych wydarzeń. 7
Rozkład normalny 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8
Rozkład normalny 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9
Rozkład normalny Powiedzmy, że trochę zmienimy labirynt. Zablokujemy rząd kołków tak aby za każdym razem kulka musiała spaść dwa poziomy. Po wprowadzeniu większej ilości kulek, rozkład może wyglądać następująco 10
Rozkład normalny Jeszcze inaczej, możemy zablokować rząd kołków tak aby za każdym razem kulka musiała przetoczyć się dwa kołki w prawo lub w lewo zanim opadnie jeden poziom. Po wprowadzeniu większej ilości kulek, rozkład może wyglądać następująco: 11
Rozkład normalny Załóżmy, że poziomy ruch kulki to wahania ceny instrumentu bazowego. Natomiast pionowy spadek kulki, ustawmy jako upływający czas. Jeżeli uważamy, że instrument bazowy może zmienić kurs o 1 pkt. w ciągu jednego dnia (sesji), po 15 dniach rozkład kursu może wyglądać następująco: 12
Rozkład normalny Jeżeli uważamy, że instrument bazowy może zmienić kurs o 1 pkt. co dwa dni: Jeżeli uważamy, że instrument bazowy może zmienić kurs o 2 pkt. co 1 dzień: 13
Przykład: - Instrument bazowy = 100 - Czas do wygaśnięcia = 15 dni Rozkład normalny Jak możemy oszacować wartość 105 Call? Jeżeli zakładamy, że kurs instrumentu bazowego wynika z błądzenia losowego przykładowo, po 15 dniach można założyć następujące możliwe rozkłady: Niska zmienność Średnia zmienność Wysoka zmienność 14
Przykład: - Instrument bazowy = 100 - Czas do wygaśnięcia = 15 dni Rozkład normalny Instrument bazowy = 100 Niska zmienność Średnia zmienność Kurs wykonania = 105 Wysoka zmienność 15
Rozkład normalny W przypadku analizy instrumentu bazowego, musimy brać pod uwagę wszystkie wartości. Jeżeli analizujemy opcje, bierzemy pod uwagę tylko te wartości instrumentu bazowego, które znajdują się po odpowiedniej stronie kursu wykonania. W naszym przykładzie, nie ma znaczenia jak bardzo spadnie kurs instrumentu bazowego wartość opcji może spaść tylko do zera. 16
Średnia i odchylenie standardowe Żeby w modelu wyceny zastosować wahania kursu instrumentu bazowego na podstawie błądzenia losowego potrzebny jest matematyczny wzór. Rozkład normalny opisujemy dwoma wartościami średnią i odchyleniem standardowym. Średnia wierzchołek krzywej Odchylenie standardowe prędkość, z którą krzywa odchodzi od średniej. Na szczęście inwestor nie potrzebuje głębokiej wiedzy statystycznej. Nie musimy wiedzieć w jaki sposób obliczamy te wartości, lecz co nam mówią o możliwym zachowaniu się instrumentu bazowego. 17
Średnia i odchylenie standardowe Wracając do kulek: Przykładowo możemy założyć, numery od 0 15 oznaczają ile razy kulka spadła prawą stroną kołka. Wiadomo, że najbardziej oddalona przegroda po lewej stronie ma wartość 0 ponieważ, żeby tam spaść kulka musiałaby poruszać się tylko w lewo. Żeby znaleźć się w przegrodzie z numerem 15, kulka musiałaby pokonać kołki poruszając się tylko w prawą stronę. 18
Średnia i odchylenie standardowe Średnia = 7,5 i odchylenie standardowe = 3 Średnia = średnio oczekiwany wynik - Dodanie wszystkich wyników i podzielenie przez ilość wydarzeń: 563/75 Przegroda Ilość Wartość 0 0 0 1 2 2 2 2 4 3 3 9 4 5 20 5 7 35 6 8 48 7 10 70 8 10 80 9 9 81 10 7 70 11 6 66 12 3 36 13 1 13 14 1 14 15 1 15 RAZEM 75 563 19
Średnia i odchylenie standardowe Odchylenie standardowe = 3 Dla zainteresowanych - Pierwiastek kwadratowy z wariancji - Wariancja = średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wyników od wartości oczekiwanej (średniej). Wskazuje jak szybko krzywa odchodzi od średniej Pokazuje z jakim prawdopodobieństwem kulka może wpaść w daną przegrodę. 20
Średnia i odchylenie standardowe Żeby obliczyć prawdopodobieństwo wydarzenia w rozkładzie normalnym, musimy wiedzieć o ile odchyleń standardowych oddalony jest wynik; wtedy możemy obliczyć prawdopodobieństwo związane z danym odchyleniem standardowym. Dokładne prawdopodobieństwa związane z dowolną ilością odchyleń standardowych można odnaleźć w większości podręczników do statystyki. Dla inwestora opcyjnego, najważniejsze prawdopodobieństwa to: i. ±1 odchylenie standardowe ok. 68,3% ( 2/3) przypadków ii. iii. ±2 odchylenia standardowe ok. 95,4% ( 19/20) przypadków ±3 odchylenia standardowe ok. 99,7% ( 369/370) przypadków 21
Średnia i odchylenie standardowe Przykład: Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że kulka wpadnie w przegrody poniżej 5 albo powyżej 10. - Średnia = 7,5; Odchylenie standardowe = 3 - Jedno odchylenie standardowe: 7,5 ± 3 = (4,5 do 10,5) - Szukamy prawdopodobieństwa wyniku od 4 w dół i od 11 w górę mieścimy się w ±2 odchyleniach standardowych - Jendo O.S. wskazuje, że statystycznie na 3 próby możemy spodziewać się 2 trafienia w przegrody od 5 do 10 (ok. 68,3% przypadków), a w pozostałym 1 trafieniu (ok. 33%) możemy spodziewać się trafienia od 4 w dól albo od 10 w górę. 22
Średnia i odchylenie standardowe 95% 68% -2 odchylenia standardowe 1,5-1 odchylenie standardowe 4,5 Średnia 7,5 +1 odchylenie standardowe 10,5 +2 odchylenia standardowe 13,5 23
Kurs jako średnia Kiedy w model wyceny wpisujemy kurs instrumentu bazowego, w rzeczywistości wykorzystujemy średnią normalnego rozkładu prawdopodobieństwa. Model Black-Scholes wykorzystuje obecny kurs instrumentu bazowego, żeby za pomocą stopy wolnej od ryzyka i stopy dywidendy obliczyć przyszłą wartość w dniu wygaśnięcia opcji. 24
Zmienność jako odchylenie standardowe Po małych modyfikacjach możemy określić zmienność instrumentu bazowego jako procentową zmianę kursu obejmowaną jednym odchyleniem standardowym na przełomie przyszłego roku. Kurs instrumentu bazowego = 1 000 pkt., zmienność = 25% (250 pkt.) - W ok. 68 % przypadków, za rok kurs instrumentu bazowego będzie gdzieś pomiędzy 750 a 1 250 pkt. (1 000 ± 25%) - W ok. 95 % przypadków, za rok kurs instrumentu bazowego będzie gdzieś pomiędzy 500 a 1 500 pkt. [1 000 ± (2 x 25%)] - W ok. 99,7 % przypadków, za rok kurs instrumentu bazowego będzie gdzieś pomiędzy 250 a 1 750 pkt. [1 000 ± (3 x 25%)] 25
Zmienność jako odchylenie standardowe Jeżeli kurs oparty jest na akcjach, przyszła wartość oparta będzie na stopie wolnej od ryzyka i stopie dywidendy Kurs instrumentu bazowego = 100 zł., zmienność = 25%, stopa wolna od ryzyka = 12%, stopa dywidendy = 0% - Oczekiwana wartość instrumentu bazowego za rok = 112 zł. [100 + (100 x.12)] - Odchylenie standardowe = 112 x 25% = 28 zł. - W ok. 68 % przypadków oczekujemy, że za rok kurs instrumentu bazowego będzie gdzieś pomiędzy 84 a 140 pkt. (112 ± 25%) - W ok. 95 % przypadków oczekujemy, że za rok kurs instrumentu bazowego będzie gdzieś pomiędzy 56 a 168 pkt. [112 ± (2 x 25%)] - W ok. 99,7 % przypadków oczekujemy, że za rok kurs instrumentu bazowego będzie gdzieś pomiędzy 28 a 196 pkt. [112 ± (3 x 25%)] 26
Rozkład logarytmicznie normalny Założenia rozkładu normalnego prawdopodobieństwa w odniesieniu do kursu instrumentu bazowego ma jedną poważną wadę symetrię. Za każdy możliwy wzrost instrumentu bazowego, możliwy jest taki sam spadek. Jeżeli założymy możliwość wzrostu z 50 do 150, to również musimy założyć możliwość spadku do -50. Wiemy, że tradycyjne akcje/indeksy nie mogą mieć wartości poniżej 0 i tym samym widzimy, że rozkład normalny w naszym przypadku nie może być zastosowany. Model Black Scholes stosuje logarytmicznie normalny rozkład prawdopodobieństwa (lognormal distribution). 27
Rozkład logarytmicznie normalny Rozkład logarytmicznie normalny zakłada, że dolna bariera instrumentu bazowego nie może spaść poniżej 0. Normalny rozkład Logarytmicznie normalny rozkład 28
Dzienne i tygodniowe odchylenia Odchylenie standardowe opisuje nam oczekiwane zachowanie się instrumentu bazowego na przełomie roku. Jak obliczyć odchylenia standardowe (zmienność) w krótszym okresie? Ważną cechą zmienności jest fakt, że jest proporcjonalna do pierwiastka czasu. Zbliżone oszacowanie dziennej zmienności: - Ile dni sesyjnych w roku? W zależności od świąt, ilość sesji jest gdzieś między 250 a 260 rocznie. - Przeważnie wykorzystujemy 256 ( 256 = 16) - Instrument bazowy = 1 000, zmienność = 25% - Dzienna zmienność =.25 / 16 = 0,015625 = 1,5625% W punktach = 1 000 x 1,5625% = 15,625 pkt. Zbliżone oszacowanie tygodniowej zmienności: - 52 tygodnie w roku - Tygodniowa zmienność =.25 / ( 52) = 0,034669 = 3,4669% W punktach = 1 000 x 3,4669% = 34,6688 pkt. 29
Rodzaje zmienności Przyszła zmienność (future volatility) Każdy inwestor chciałby wiedzieć jaka w przyszłości będzie zmienność. Teoretycznie odnosimy się właśnie do wartości przyszłej zmienności kiedy aktualizujemy model wyceny opcji. W rzeczywistości wartość przyszłej zmienności jest nienamierzalna. 30
Rodzaje zmienności Zmienność historyczna W przypadku analizowania zmienności w celu wyceny opcji, zmienność historyczna jest dobrym punktem wyjściowym. Jeżeli zmienność historyczna instrumentu bazowego mieści się między 10% a 30%, przewidywanie zmienności 50% może wydawać się niesensowne. Nie znaczy to, że zmienność 50% jest nieosiągalna. Po prostu dobrym punktem wyjściowym będzie zmienność w widełkach statystyk historycznych. Istotna jest rozpiętość czasowa: - dłuższe okresy danych mają tendencje do ujawniania średniej zmienności - Krótsze okresy badań dają nam bardziej ekstremalne wyniki zmienności Jaką rozpiętość czasową wybierze inwestor zależy od niego. Ważna jest obiektywna analiza danych. 31
Rodzaje zmienności Zmienność implikowana (1) Zmienność, która wyłącznie powiązana jest z opcjami Przykład: - Instrument bazowy = 100,00 - Stopa wolna od ryzyka = 1,0% - Termin wygaśnięcia = 3 miesiące - Kurs wykonania = 105 - Zmienność = 15% Wartość teoretyczna Call = 1,15 Jeżeli wartość w arkuszu = 1,50 - Możemy założyć, że wszyscy uczestnicy rynku stosują ten sam model. - Tym samym, możemy założyć że inwestorzy pomylili się wstawiając błędną zmienną do modelu. - Po krótszej analizie, eliminujemy wszystkie zmienne poza jedną zmiennością. - Inwestorzy w arkuszu muszą stosować zmienność, która jest wyższa od naszej prognozy (15%) 32
Rodzaje zmienności Zmienność implikowana (2) W takim razie jaką zmienność zastosowali inwestorzy w arkuszu? Zakładając, że wszystkie zmienne są poprawne, musimy podnieść wartość naszej zmienności tak, aby premia opcyjna z naszych obliczeń równała się premii opcyjnej w arkuszu. Możemy skorzystać z arkuszu kalkulacyjnego, w który wpisujemy wszystkie dane i otrzymujemy wartość zmienności = 17,12%. Tą wartość określamy nazwą zmienność implikowana (implied volatility). Zmienność implikowana wartość, którą musimy zastosować w modelu wyceny opcji aby uzyskać wartość danej premii opcyjnej w arkuszu zleceń. Oczekiwana zmienność instrumentu bazowego, oszacowana poprzez wartość premii opcyjnej. 33
Zmienność implikowana (3) Rodzaje zmienności 34
Rodzaje zmienności Zmienność implikowana (4) Rynek i premie opcyjne stale się zmieniają; dlatego zmienność implikowana też ciągle się zmienia. Do opisania zmienności implikowanej często uzywamy zwrotu poziom premii (premium levels). Jeżeli zmienność implikowana jest niska w porównaniu do poziomów zmienności instrumentu bazowego, które ostatnimi czasy panują na rynku, mówimy że poziomy premii są niskie i wice wersa. Jeżeli uważamy, że premia opcji w arkuszu daje nam wysoką zmienność implikowaną w porównaniu do sytuacji panującej na rynku, możemy wziąć pod uwagę sprzedaż tej opcji. 35
Rodzaje zmienności Zmienność implikowana (5) Bardziej zaawansowani inwestorzy mogą wykorzystać specyficzną charakterystykę opcji: - Porównanie zmienność implikowanej danej opcji do prognozowanej zmienności - Porównanie zmienności implikowanej danej opcji do zmienności implikowanej innych opcji z tym samym instrumentem bazowym. 36
Rodzaje zmienności Zmienność implikowana (6) Wracając do naszej opcji kupna z kursem wykonania 105 - Na pierwszy rzut oka można sprzedać opcje, których różnica cenowa jest największa. - W naszym przykładzie: 1,50 1,15 = 0,35 - Widzimy, że opcja w arkuszu zleceń jest wyższa o 0,35 pkt. niż wartość, którą prognozowaliśmy. - Jeżeli chodzi o wartości zmienności, to opcja w arkuszu jest wyceniona przy wykorzystaniu zmienności 17,12%, czyli o 2,12% wyżej niż nasza wartość. 37
Podsumowanie Zmienność Dwa rodzaje zmienności wyróżniają się od innych: przyszła i implikowana Przyszła zmienność instrumentu bazowego określa wartość opcji na tym instrumencie. Zmienność implikowana jest odzwierciedleniem cen opcji. Wartość i cena są wykorzystywane przez każdego inwestora nie tylko opcyjnego. Jeżeli opcja ma wysoką wartość i niską cenę, będziemy chcieli ją nabyć. Jeżeli opcja ma niską wartość i wysoką cenę, powinniśmy być jej wystawcami. Wiadomo, że przyszła zmienność jest nienamierzalna, więc przy wykorzystaniu prognoz i danych historycznych staramy się jak najlepiej oszacować przyszłą wartość zmienności. 38
Dziękuję 39
Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie SA ul. Książęca 4, 00-498 Warszawa tel. (022) 628 32 32, fax (022) 628 17 54, 537 77 90 gielda@gpw.pl 40