Szczególna teoria względości 21 października 2016
Układ odniesienia Prawa opisujace ruch ciał (równania ruchu dx dt = V, dv dt = a = F /m) zapisywane we wskazanym układzie odniesienia. Układ odniesienia jest inercyjny jeśli obowiazuj a w nim prawa Newtona, w szczególności pierwsze: ciało, na które nie działa siła wypadkowa porusza się w układzie inercyjnym ruchem jednostajnym, prostoliniowym.
transformacja Galileusza współrzędne punktu P, w K : P = (x, y, z, t), w K : P = (x, y, z, t ) w t = 0, K = K ; K w K z v = (v, 0, 0), v f (t). transformacja Galileusza x = x vt y = y z = z t = t (1) położenie i prędkość - względne zależne od układu czas t identyczny dla wszystkich układów, bezwzględny
Klasyczna (Newtonowska) zasada względności: niezmienniczość Galileusza v = const - prędkość K w K V (t) = dx dt - prędkość P w K. prędkość P w K : V (t) = dx dt transformacja przyspieszenia a (t) = dv dt transformacja Galileusza: x = x vt y = y z = z t = t = dx dt v = V (t) v (transformacja prędkości) = dv dt = a(t) a = a. Jeśli w jednym układzie inercyjnym a(t) = F(t) m, to w każdym działanie sił na czastkę ten sam efekt w K i K II prawo dynamiki Newtona obowiazuje w każdym układzie inercyjnym zasada względności Newtona (Newtona-Galileusza, Galileusza, klasyczna zasada względności) (2)
transformacja Galileusza transformacja prosta: v = (v, 0, 0), v f (t). x = x vt y = y z = z t = t transformacja odwrotna: x x, x x, v v x = x + vt y = y z = z t = t (3) (4)
Klasyczna (Newtonowska) zasada względności: niezmienniczość Galileusza 2 statki: poruszajace się ze stała prędkościa obserwatorzy K i K - ruch drugiego obiektu, lub ruch względny stwierdza. żaden nie jest w stanie stwierdzić własnego ruchu przeprowadzajac doświadczenia mechaniczne na własnym pokładzie (kajuta bez okien i np. pion) w ten sposób: możliwe jest tylko wykrycie przyspieszenia
równanie falowe z rownań Maxwella elektromagnetyzm przed Maxwellem: równanie Faradaya E = B t równanie Ampera B = µ 0 J Maxwell (1863) równanie Ampera-Maxwella B = µ 0 (J + ɛ 0 E t do równania Faradaya, ( E) = ( E) 2 E E = ρ/ɛ 0, w próżni J = 0,ρ = 0. 2 E = µ 0 ɛ 0 2 t 2 E 1 c = µ0 ɛ = 299.8 tys km/s - jak światło (znana za Maxwella wartość). 0 skad znana: Bradley 1729 - aberracja światła gwiazd, 1848 Fizeau-Foucault )
prędkość światła - aberracja gwiazd Bradley 1729 - odkrycie i wyłumaczenie zjawiska aberracji światła gwiazd aberracja gwiazd - położenie gwiazd zmienia się w cyklu rocznym tg θ = v c = 10 4 1/1000 radiana (około 0.5 stopnia), przy v = 30 km/s, oszacowana c = 300000 km/s. v = 30 km/s - znana z pomiaru odległości Ziemia-Słońce (Arystarch III w pne).
prędkość światła - pomiar laboratoryjny pierwszy pomiar laboratoryjny: Fizeau i Foucault, lata 40 XIXw. film fico.gif (by Kevin McFarland, University of Rochester) t = 2D c, t = θ ω lustro odbijajace światło 35 km od źródła, obrót do 100 razy na sekundę wynik zgodny z dokładnym z precyzja do 5% Foucault poza tym wykazał, że w wodzie światło porusza się wolniej niż w powietrzu
fale elektromagnetyczne 1 Maxwell c = µ0 ɛ = 299.8 tys km/s, nie 0 doczekał weryfikacji doświadczalnej istnienia fal elektromagnetycznych 1888 : Heinrich Hertz : Pole zmienne między 2 kulami metalowymi o amplitudzie powodujacej przebicie (iskry przez powietrze) pętla metalowa ze szczelina jako odbiornik : generacja iskry w odbiorniku Hertz: zmierzył prędkość, długość fali, wykrył składowe magnetyczna i elektryczna pokazał, że fale można odbić, ugiać, poddać dyfrakcji Maxwell (1863) +Hertz (1888): światło jest fala elektromagnetyczna
Równanie falowe a transformacje Galileusza 1864 (Maxwell) - światło to fala elektromagnetyczna równania Maxwella, nie sa niezmiennicze względem transformacji Galileusza wyprowadzone z równań Maxwella równanie falowe dla pola elektrycznego 2 E t 2 rozwiazania: E(x ct), E(x + ct) oraz ich kombinacje liniowe. x = x + v 0 t, t = t x = x x t = t t x + t x t + x t t = x x = t v 0 x 2 E t 2 + (v 2 0 c2 ) 2 E x 2 2v 0 2 E x t = 0 równanie falowe nie jest niezmiennicze względem transformacji Galileusza układy poruszajacy się i nie poruszajacy się względem wody nie sa równoważne = c2 2 E x 2 dlatego np. można wykryć własny ruch względem ośrodka, w którym rozchodza się fale
Klasyczna (Newtonowska) zasada względności: niezmienniczość Galileusza 2 statki: poruszajace się ze stała prędkościa układy wyróżnione: woda, powietrze (brak wiatru i pradów morskich, lepkości wody) który się porusza?: woda: wrzucić kamień i obserwować fale na wodzie
Klasyczny efekt Dopplera który się porusza względem powietrza: dźwięk syreny z drugiego okrętu ( efekt Dopplera: ν(v r, v s) = c+vr ) ν c vs 0, ν 0 - częstość źródła, ν - odbierana, c = 350 m/s, v r - prędkość odbiornika, v s - źródła v r oraz v s względem nieruchomego powietrza, v r > 0, v s > 0 - dla zbliżajacych się r oraz s, ν(v, 0) = ν 0 (1 + v c ) ν(0, v) = ν 1 0( 1 v ) c nie jest wszystko jedno czy ν r = 0 czy ν s = 0. (różnica (v/c) 2 ) układ wyróżniony - układ (własny) powietrza.
Równania Newtona - niezmiennicze względem transformacji Galileusza (widzieliśmy) Równania Maxwella - niezmiennicze względem transformacji Galileusza nie sa 1 Z równań Maxwella : światło fala poruszajac a się w próżni z prędkościa c = µ0 ɛ dana 0 przez przenikalność elektryczna i magnetyczna próżni. Wszystkie znane w 1895 fale poruszaja się w pewnym ośrodku (powietrze,woda,ciało stałe) Hipotetyczny ośrodek, w którym porusza się światło: Eter - bardzo rzadki i bardzo sztywny
Eter - ośrodek bardzo rzadki i bardzo sztywny (prędkość pakietów falowych na strunie v = N ρ, gdzie N siła naciagu, ρ gęstość liniowa masy struny). Eter: nie stawia oporu ruchowi naszemu i planet Brak niezmienniczości r. M. względem transformacji Galileusza: można wykryć nasz ruch względem eteru
doświadczenia Michelsona wykryć ruch Ziemi względem eteru: jak wykryć ruch łódki względem wody po wrzuceniu kamienia v = 30km/s = c/10 4, [II prędkość kosmiczna dla ciał z Ziemi 11.19 km/s] niewiele w porównaniu z c Albert Michelson: interferometr wystarczajacy dla wykrycia tego ruchu nawet gdy (jak zobaczymy) przesunięcia fazowe proporcjonalne do (v/c) 2
doświadczenia Michelsona zobaczyć, że obrót intefrefometru: przesunięcie prażków drogi optyczne zależa od orientacji interferometru i jego (Ziemi) wektora prędkości względem eteru. obrót interferometru: powinien spowodować przesunięcie pasków interferencyjnych
doświadczenia Michelsona wikipedia: animacja ruchu czoła fali dla interferometru poruszajacego się i stacjonarnego względem eteru MichelsonMorleyAnimationDE.gif drogi optyczne zależa od orientacji interferometru względem prędkości Ziemi.
doświadczenia Michelsona czas do M 1 i z powrotem: t 1 = l 1 c v + l 1 c+v = 2l 1 1 c 1 v2 c 2 czas do M 2 i z powrotem: t 2 = t = t 2 t 1 = 2 c po obrocie o 90 stopni: t = t 2 t 1 = 2 c 2l 2 c 2 v 2 ( l 2 1 v 2 /c 2 ( l 2 1 v 2 /c 2 l 1 ) l 1 1 v 2 /c 2 1 v 2 /c 2 ) t t v2 c 3 (l 1 + l 2 ), przy l 1 l 2 = 1.2m, t t = 8 10 17 s. Dla widzialnego λ = 0.6µm jest T = λ c = 2 10 15 s. Przesunięcie 0.04 okresu (prażka). 1881 l = 1.2 m, Następnie 1887 l = 11m - możliwa detekcja przesunięcia o 0.005 - a wynik - żaden. drogi optyczne zależa od orientacji interferometru względem prędkości Ziemi. obrót interferometru: powinien spowodować przesunięcie pasków interferencyjnych
doświadczenia Michelsona Michelson i Morley - pomiary w dzien, w nocy, w piwnicy i na szczytach gór - nic hipoteza ciagnięcia eteru przez Ziemię ale : aberracja gwiazd - położenie gwiazd zmienia się w cyklu rocznym dziś wiemy, że układ słoneczny porusza się względem środka Drogi Mlecznej z prędkości a 220 km/s.
doświadczenia Michelsona Pierwsza publikacja Michelsona o negatywnym wyniku doświadczenia 1881 Albert Einstein (1879-1955) Einstein zaczyna sie zastanawiać nad wynikiem Michelsona w wieku 16 lat 1905 szczególna teoria względności (STW).
postulaty STW postulaty STW A. Einsteina 1. Zasada względności: we wszystkich układach inercyjnych wszystkie prawa fizyki maja tę sama formę 2. Stałość prędkości światła: w każdym układzie odniesienia prędkość światła c jest identyczna Ad. 1 nie istnieje układ bezwzględny (układ odniesienia wyróżniony względem jednego z praw). Ad. 1 obserwator w ruchu jednostajnym nie wykryje swojego ruchu Ad. 2 (dotyczy prędkości w próżni, maksymalna prędkość, z która można przekazać informacje). uwaga: dla ośrodków materialnych : światło prędkość grupowa (paczki falowej <c) oraz prędkość fazowa (może być >c). animacja Wave-group (wikipedia). latarnia księżyc
postulaty STW postulaty STW A. Einsteina 1. Zasada względności: we wszystkich układach inercyjnych wszystkie prawa fizyki maja tę sama formę 2. Stałość prędkości światła: w każdym układzie odniesienia prędkość światła c jest identyczna Ad. 1 wszystkie: nie tylko mechaniki, lecz również optyki, elektromagnetyzmu, nie istnieje układ bezwzględny (inercyjny układ odniesienia wyróżniony względem jednego z praw). obserwator w ruchu jednostajnym nie wykryje swojego ruchu Ad. 2 (dotyczy prędkości w próżni, maksymalna prędkość, z która można przekazać informacje). uwaga: dla ośrodków materialnych : światło prędkość grupowa (paczki falowej <c) oraz prędkość fazowa (może być >c). animacja Wave-group (wikipedia).
postulaty STW postulaty STW A. Einsteina 1. Zasada względności: we wszystkich układach inercyjnych wszystkie prawa fizyki maja tę sama formę 2. Stałość prędkości światła: w każdym układzie odniesienia prędkość światła c jest identyczna Ad. 1 nie istnieje układ bezwzględny (inercyjny układ odniesienia wyróżniony względem jednego z praw). Ad. 1 obserwator w ruchu jednostajnym nie wykryje swojego ruchu Ad. 2 (dotyczy prędkości w próżni, maksymalna prędkość, z która można przekazać informacje). uwaga: dla ośrodków materialnych : światło prędkość grupowa (paczki falowej <c) oraz prędkość fazowa (może być >c). animacja Wave-group (wikipedia).
stałość prędkości światła światło wysłane na Ziemi jego prędkość mierzona na Ziemi i w samolocie poruszajacym się z prędkościa v względem Ziemi STW: również w samolocie stwierdzona zostanie prędkość c, a nie c v jak byłoby gdyby krzyczał, lub rzucał piłkę z prękościa v
stałość prędkości światła równanie falowe dla fali EM jest identyczne we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. S (r, t ) porusza się względem S(r, t) ze stała v, w t = t = 0 poczatki układów się pokrywaja i wyemitowana z nich zostaje fala świetlna. z fala ma kształt sferyczny w obydwu układach. Ponadto w obydwu układach sfera ma środek w poczatku układu współrzędnych (!). całkiem inaczej niż dla fal na wodzie (kamień w wodę)
pierwsza konsekwencja postulatów STW: dylatacja czasu zegar świetlny na pokładzie samolotu t 0 czas własny jednego taktu zegara : d = ct 0 /2 t czas taktu zegara w układzie Ziemi: ( ct ) 2 ( 2 = vt ) 2 2 + d 2 t = t 0 1 v2 c 2 = t 0 1 β 2 = t 0γ, γ 1 wniosek: 1) czas własny najkrótszy 2) czas (dlugość trwania procesu) zależy od układu odniesienia, nie jest bezwzględny 1 sekunda w układzie Ziemi (v Z /c = 30 300000 ) to 1.000000005 s w układzie Słońca. zegar świetlny obserwowany w układzie własnym (samolotu) zegar świetlny obserwowany z Ziemi
mion (ciężki elektron) µ -tzw. ciężki elektron (lepton o masie 200 m 0 ) produkowany w akceleratorach (rozpędza się protony i uderza w tarczę) rozpad mionów µ e + ν e + ν µ. średni czas życia mionu t = 2 10 6 s.
rozpad mionów atmosferycznych prawo rozpadu Miony ulegaja rozpadowi. Liczba rozpadów mionów w populacji - proporcjonalna do liczby mionów. dn dt = λn(t), λ: stała rozpadu N(t) = N 0 exp( λt) prawdopodobieństwo tego że 1 mion dożyje czasu t: p := exp( λt) p(t)tdt średni czas zycia t = 0 = 1 λ. p(t)dt 0 N(t) = N 0 exp( t/ t)
rozpad mionów atmosferycznych prawdopodobieństwo że 1 mion dożyje czasu t: p := exp( t t ) µ produkowane w górnych warstwach atmosfery (wysokość 10km) przez promieniowanie kosmiczne W t = 2 10 6 s mion o v c może średnio pokonać 600 m. w układzie poruszajacym się względem mionu (Ziemia) t = 1 β t. Prędkość µ może być 2 1 np. v = 0.9952c, wtedy 10, czas życia i średnia droga przebyta przez µ w 1 β2 układzie Ziemi 10 razy większa.
rozpad mionów atmosferycznych w układzie poruszajacym się względem mionu (Ziemia) t = 1 β t. v = 0.9952c, wtedy 2 1 10 1 β 2 doświadczalnie można wyselekcjonować detekcję mionów o np. v 0.9952c. stosunek zliczeń mionów na różnych wysokościach h: N g i na powierzchni Ziemi N z, Nz Ng h = exp( v t ), S = v t = 6 km:
Skrócenie długości w układzie mionu Ziemia porusza się względem niego z prędkościa v = 0.9952c. w układzie własnym mion żyje t 0 = t = 2 10 6 s. Ziemia pokonuje w jego układzie więc odległość v t = 600 m. wysokość atmosfery Ziemi z punktu widzenia mionu jest 10 razy mniejsza niż w układzie Ziemi obiekty poruszajace się ulegaja skróceniu w kierunku ruchu relatywistyczne skrócenie długości: l = l 0 1 β 2, gdzie l 0 - długość własna (w układzie własnym) do zapamiętania: czas własny najkrótszy, długość w układzie własnym - największa rysunek: obserwatorzy widza inaczej czas i długość, lecz sa zgodni co do skutków u2.lege.net
Skrócenie długości w układzie mionu Ziemia porusza się względem niego z prędkościa v = 0.9952c. w układzie własnym mion żyje t 0 = 2 10 6 s. Ziemia pokonuje w jego układzie więc odległość v t = 600 m. grubość atmosfery Ziemi z punktu widzenia mionu jest 10 razy mniejsza niż w układzie Ziemi obiekty poruszajace się w pewnym układzie wg obserwacji z tego układu ulegaja skróceniu w kierunku ruchu relatywistyczne skrócenie długości: l = l 0 1 β 2, gdzie l 0 - długość własna (w układzie własnym) do zapamiętania: czas własny najkrótszy, długość w układzie własnym - największa rysunek: obserwatorzy widza inaczej czas i długość, lecz sa zgodni co do skutków u2.lege.net
Skrócenie długości l = l 0 1 β 2, gdzie l 0 - długość własna (w układzie własnym) podróże międzygwiezdne załoga jest w stanie (w 1 pokoleniu) dolecieć dowolnie daleko, np. na odległość milion lat świetlnych od Ziemi.
transformacja Galileusza współrzędne punktu P w K : P = (x, y, z, t) w K : P = (x, y, z, t ) transformacja Galileusza: v = (v, 0, 0), v f (t). x = x vt y = y z = z t = t (5) bez w atpienia słuszna przy niskich prędkościach: transformacja dla STW powinna przechodzic w Galileusza dla v/c 0
Transformacja Lorentza v = (v, 0, 0), v f (t). transformacja: y = y (6) z = z (7) x = k(x vt) (8) k(v), liniowe uogólnienie tr. Galileusza (redukuje się do nich przy k = 1) transformacja odwrotna - ta sama postać, aby żaden układ nie był wyróżniony: x = k(x + vt ) wstawić x = k(x vt) do poprzedniego wzoru x = k 2 (x vt) + kvt t = kt + 1 k2 kv x dla zachowania spójności transformacji prostej i odwrotnej t t chyba że k = 1 (tr. Galileusza) zadanie: wyznaczyć drugie rozwiazanie na k spełniajace założenia STW. (9)
transformacja Lorentza x = k(x vt) (*), oraz x = k(x + vt ) oraz t = kt + 1 k2 kv x (*) k =? - z założeń STW postulat STW: sferyczne w obydwu układach czoło fali. Ponadto w obydwu układach sfera ma środek w poczatku układu współrzędnych (!). x(t) oraz x (t ) - położenie fotonu (promień tej sfery) poruszajacego się w prawo w chwili poczatkowej x = x = 0, t = t = 0 x = ct oraz x = ct wstawiamy do ostatniego wzoru wyrażenia na x i t (*) 1+ v liczymy z tego x = ct c 1 ( 1 k 2 1) v c ułamek = musi być równy 1, z tego k = 1 1 v2 c 2
transformacja Lorentza x = k(x vt) (*), oraz x = k(x + vt ) oraz t = kt + 1 k2 kv x (*) k =? z fala ma kształt sferyczny w obydwu układach. Ponadto w obydwu układach sfera ma środek w poczatku układu współrzędnych (!). x(t) oraz x (t ) - promień tej sfery x = ct oraz x = ct wstawiamy do ostatniego wzoru wyrażenia na x i t (*) 1+ v liczymy z tego x = ct c 1 ( 1 k 2 1) v c ułamek = musi być równy 1, z tego k = 1 (ćwiczenia) 1 v2 c 2 transformacja Lorentza x = y = y z = z t = x vt 1 v2 c 2 t vx c2 1 v2 c 2 w druga stronę x = x +vt y = y z = z t = 1 v2 c 2 t + vx c2 1 v2 c 2
skrócenie długości x = x vt 1 v2 c 2 linijka spoczywa w układzie K, długość własna L 0 = x 2 x 1 w układzie K w chwili t obserwujemy długość linijki L = x 2 x 1 x 1 = x 2 = x 1 vt 1 v2 c 2 x 2 vt 1 v2 c 2 L L 0 = 1 v2 c 2 ; linijka najdłuższa we własnym układzie
dylatacja czasu t = t + vx c2 1 v2 c 2 zegar spoczywa punkcie x w układzie K czas własny t 0 = t 2 t 1 w układzie K, w którym zegar porusza się: t = t 2 t 1 = t 0 czas własny - najkrótszy 1 v2 c 2
relatywistyczne składanie prędkości prędkość ciała w K : u x = dx dt dy dz, uy = dt, uz = dt prędkość ciała w K u x = dx dt, u y = dy dt, u z = dz dt x = x +vt dx = dx +vdt t = 1 v2 c 2 t + vx c2 1 v2 c 2 dy = dy, dz = dz 1 v2 c 2 dt = dt + vdx c 2 1 v2 c 2 u x = dx dt = dx +vdt dt +v dx c 2 = u x = u x +v 1+ v c 2 u x dx dt +v 1+ v c 2 dx dt oraz u y = 1 v 2 /c 2 u y 1+ v oraz u c 2 u z = x jeśli u x = c ux = c, niezależnie od v 1 v 2 /c 2 u z 1+ v c 2 u x
transformacja równania falowego x 1 = γ (x vt), γ = ( ) t = γ t vx c 2 2 E t 2 = c2 2 E x 2 x = x x t = t t... (ćwiczenia) x + t x t + x t 1 v2 c 2 t = γ x v c 2 γ t x = γv x + γ t 2 E t 2 = c2 2 E x 2 - równanie falowe niezmiennicze względem tr. Lorentza Lorentz szukał transformacji, które nie zmienia formy równania falowego i znalazł je przed Einsteinem
Skrócenie długości: siła Lorentza z siły Coulomba hipotetyczny przewodnik - z nośnikami różnoimiennymi l = l 0 1 β 2 jednostka pradu [Ampera] definiowana dla układu dwóch równoległych przewodów z pradem (siła na jednostkę długośći) zamiast siły Lorentza: siła Coulomba ("pole magnetyczne jako relatywistyczna konsekwencja pola elektrycznego").
względność jednoczesności dwa zdarzenia (x 1, t 1 ), (x 2, t 2 ) jednoczesne, jeśli t 1 = t 2 = t K - wagon długości 2L porusza się względem peronu (K ) z prędkościa v. błysk światła ze środka wagonu osiagnie jego końce (x 1 = L, x 2 = L) w chwili t 1 = t 2 = L/c = t. obserwator na peronie: t 1 = t +vx 1 /c2 1 v2 c 2 t 2 = t +vx 2 /c2 1 v2 c 2 wniosek: t 1 < t 2 oraz wniosek: zdarzenia jednoczesne w K nie musz a być jednoczesne w K
czasoprzestrzeń czas - czwarty wymiar zdarzenie (x, y, z, t) zapisywane w czasoprzestrzeni Minkowskiego (x, y, z, ict) współrzędne (x, ct) ciała linia świata na lewym rysunku linia świata ciała przyspieszajacego od 0 do blisko c
czasoprzestrzeń Synchronizacja zegarów w różnych miejscach przestrzeni z x 3 sygnał świetlny do x 1 i x 2 równoodległych.
czasoprzestrzeń Synchronizacja zegarów w różnych miejscach przestrzeni z x 3 sygnał świetlny do x 1 i x 2 równoodległych. teraz: x 1 (= x 1 ) oraz x 2(= x 2 ) poruszaja się względem x 3: (np. 1 i 2 siedza w statku kosmicznym) mamy t 1 < t 2
paradoks bliźniat B1 wysłany w podróż kosmiczna z prędkościa podświetlna B2 zostaje na Ziemi, dla niego serce B1 bije wolniej w czasie lotu B1 również stwierdza, że serce B2 bije wolniej (zegary w ruchu chodza wolniej) B1 kiedyś wróci: kto okaże się starszy?
paradoks bliźniat B1 wysłany w podróż kosmiczna z prędkościa podświetlna B2 zostaje na Ziemi, dla niego serce B1 bije wolniej w czasie lotu B1 również stwierdza, że serce B2 bije wolniej (zegary w ruchu chodza wolniej) B1 kiedyś wróci: kto okaże się starszy?
paradoks bliźniat B1 wysłany w podróż kosmiczna z prędkościa podświetlna B2 zostaje na Ziemi, dla niego serce B1 bije wolniej B1 po powrocie znajduje B2 starszego od siebie Paradoks: w czasie lotu B1 widzi, że serce B2 również bije wolniej Kto jest starszy? rozwi azanie: jednak B2, sytuacja nie jest symetryczna, bo B1 musi w którymś momencie zawrócić (jego układ na pewien czas przestaje być inercyjny).
stożek świetlny niezmienniki relatywistyczne: wielkości identyczne we wszystkich układach inercjalnych w mechanice newtonowskiej : długość niezależna od układu, czas trwania zjawiska w STW żadna z tych wielkości nie jest niezmiennicza, ale można wskazać inn a - zwi azan a z nimi, która niezmiennicza jest...
stożek świetlny jeśli dwa zdarzenia (r 1, t 1 ), (r 2, t 2 ) połaczone sygnałem świetlnym to (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 c 2 (t 1 t 2 ) 2 = 0 (x 1 x 2 )2 + (y 1 y 2 )2 + (z 1 z 2 )2 c 2 (t 1 t 2 )2 = 0 interwał (czasoprzestrzenny) między dwoma zdarzeniami: s 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 (c(t 1 t 2 )) 2 z tr. Lorentza: s 2 = s 2 s 2 < 0 - interwał typu czasowego (możliwe zwiazku przyczynowo-skutkowe) s 2 > 0 - interwał typu przestrzennego (brak zwiazków przyczynowo - skutkowych) s 2 = 0 interwał typu świetlnego (sygnał świetlny między zdarzeniami) wniosek z niezmienniczości interwału czsp. jednoczesność względna, ale zwi azki przyczynowo-skutkowe - nie
stożek świetlny jeśli dwa zdarzenia (r 1, t 1 ), (r 2, t 2 ) połaczone sygnałem świetlnym to (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 c 2 (t 1 t 2 ) 2 = 0 (x 1 x 2 )2 + (y 1 y 2 )2 + (z 1 z 2 )2 c 2 (t 1 t 2 )2 = 0 interwał (czasoprzestrzenny) między dwoma zdarzeniami: s 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 (c(t 1 t 2 )) 2 z tr. Lorentza: s 2 = s 2 s 2 < 0 - interwał typu czasowego (możliwe zwiazku przyczynowo-skutkowe) s 2 > 0 - interwał typu przestrzennego (brak zwiazków przyczynowo - skutkowych) s 2 = 0 interwał typu świetlnego (sygnał świetlny między zdarzeniami) wniosek: jednoczesność względna, ale zwiazki przyczynowo-skutkowe - nie
stożek świetlny (x, y, z, ict) - dla ruchomego obserwatora "linia świata"
Klasyczny efekt Dopplera który się porusza względem powietrza: dźwięk syreny z drugiego okrętu ( efekt Dopplera: ν(v r, v s) = c+vr ) ν c vs 0, ν 0 - częstość źródła, ν - odbierana, c = 350 m/s, v r - prędkość odbiornika, v s - źródła v r oraz v s względem nieruchomego powietrza, v r > 0, v s > 0 - dla zbliżajacych się r oraz s, ν(v, 0) = ν 0 (1 + v c ) ν(0, v) = ν 1 0( 1 v ) c nie jest wszystko jedno czy v r = 0 czy v s = 0, różnica (v/c) 2 układ wyróżniony - układ własny powietrza.
relatywistyczny efekt Dopplera dla światła sytuacje: 1,2,3 (rysunek) 1) obserwator w kierunku prostopadłym do linii między nim a źródłem t 0 = 1 ν 0 - okres źródła wg obserwatora w ruchu czas źródła biegnie wolniej t = t 0 1 v 2 /c 2 ν = 1 1 v 2 /c 2 t = t = ν 0 1 v 2 /c 2 [uwaga 0 klasycznie efekt D. dla sytuacji 1 nie występuje] 2) obserwator oddala się od nieruchomego źródła okres w jakim długość fali go mija: T = t + vt c = t 0 1+v/c 1 v 2 /c 2 = t 0 1+v/c 1 v/c obserwowana częstość ν = 1 T = ν 0 1 v/c 1+v/c 3) obserwator zbliża się do źródła T = t vt c 1+v/c obserwowana częstość ν = ν 0 1 v/c źródło zbliżajace się do nieruchomego obserwatora: fale emitowane co okres t widziane przez O maja skrócona długość λ sk = λ vt = ct vt = c v t 0 1 v 2 /c 2 ν = c 1+v/c λ = ν 0 sk 1 v/c
relatywistyczny efekt Dopplera dla światła w obydwu przypadkach: poruszajace się źródło lub odbiorca: 1+v/c obserwowana częstość ν = ν 0 1 v/c częstość źródła ν 0 v - prędkość względna źródła i odbiornika > 0 jeśli się zbliżaja to samo przesunięcie niezależnie od tego czy porusza się nadawca czy odbiorca
Doppler: anomalny obrót Wenus Wenus: pokryta obłokami, nie widac powierzchni, jak szybko sie obraca wynik "anomalny": pozostałe planety dookoła Słon ca i własnej osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
Doppler: anomalny obrót Wenus Wenus: pokryta obłokami, nie widac powierzchni, jak szybko sie obraca wynik "anomalny": pozostałe planety dookoła Słon ca i własnej osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
Doppler: Prawo Hubble a obserwacja przesunięcia dopplerowskiego ku czerwieni dla odległych galaktyk v(d) = H 0 d, H 0 - stała Hubble a przesunięcie linii widmowych (dla oddalajacych się obiektów: ku czerwieni) Andromeda: 0.8 Mpc - (przesunięcie ku fioletowi, zbliża się o 100 km/s )
Pęd relatywistyczny sprawdzić zachowanie pędu dla układu zamkniętego F. W K i K zawodnicy rzucaja pionowo identyczne piłki z identycznymi prędkościami. Po odbiciu wracaja do właścicieli z odwróconymi prędkościami (żaden zawodnik nie wykryje swojego ruchu). piłka 1 w K: przed i po zderzeniu p x = 0, przed: p y = mu y = mu 0, po p y = mu 0 ; u y = u 0, u x = 0 piłka 2 rzucona w K, przed i po p x = 0, przed: p y = mu y = mu 0, po p y = mu 0, u y = u 0, u x = 0 opisujemy zderzenie w K, zmiana pędu piłki 1: p(1) = 2mu 0 stosujemy wzory na relatywistyczne składanie prędkości u y = 1 v 2 /c 2 u y 1+ v ; c 2 u x u x = u x +v 1+ v c 2 u x piłka 2 w K przed u x = v, u y = u 0 1 v 2 /c 2, po u x = v, u y = u 0 1 v 2 /c 2 p(2) = 2mu 0 1 v 2 /c 2 p(1) + p(2) 0 wniosek: przy definicji pędu mv - nie jest on zachowany jeśli stosować relatywistyczne formuły na składanie prędkości.
Pęd relatywistyczny item piłka 1 w K: przed i po zderzeniu p x = 0, przed: p y = mu y = mu 0, po p y = mu 0 piłka 2 rzucona w K, przed i po p x = 0, przed: p y = mu y = mu 0, po p y = mu 0, opisujemy zderzenie w K, zmiana pędu piłki 1: p(1) = 2mu 0 piłka 2 w K: wzory na relatywistyczne składanie prędkości u y = 1 v 2 /c 2 u y 1+ v ; u c 2 u x = u x +v 1+ x v c 2 u x piłka 2 w K przed u x = v, u y = u 0 1 v 2 /c 2, po u x = v, u y = u 0 1 v 2 /c 2 p(2) = 2mu 0 1 v 2 /c 2 p(1) + p(2) 0 - przy klasycznej definicji pędu wniosek: bezwzględna zmiana pędu 1 jest większa niż zmiana pędu 2. Albo zasada zachowania pędu nie jest spełniona dla pędu p = mv, albo konieczny jest inny podział pędu z większym przekazem do piłki 2 co znosi równoważność układów i łamie postulaty STW.
Pęd relatywistyczny przy prędkościach v c pęd p = m 0 u nie jest zachowany w oddziaływaniach pęd relatywistyczny p = m 0 u 1 u 2 /c 2 p = (p x, p y, p z) = m 0 1 (u 2 x +u2 y +u2 z )/c2 (u x, u y, u z) równanie znane również w formie p = m(u)u, gdzie m(u) = m 0 - masa 1 u 2 /c 2 relatywistyczna, m 0 = m(0) - masa spoczynkowa przy takiej definicji pędu obowiazuje II zasada dynamiki Newtona F = dp dt F = m 0 d dt u 1 u 2 /c 2 uwaga: czynnik z 1 1 u 2 /c 2 jak w transformacji Lorentza, z tym że tutaj u - prędkość ciała w układzie, w którym opisujemy oddziaływania, zamiast prędkości względnej układów odniesienia v
masa relatywistyczna pomiar masy (spektrometr) równanie znane również w formie p = m(u)u, gdzie m(u) = m 0 - masa relatywistyczna, 1 u 2 /c 2 m 0 = m(0) - masa spoczynkowa przy takiej definicji pędu obowiazuje II zasada dynamiki Newtona F = dp dt spektrometr masy: selektor prędkości + zakrzywienie w B, promień cyklotronowy : m = RqB2 E.
masa relatywistyczna m(u) = m 0 - masa relatywistyczna, 1 u 2 /c 2 m 0 = m(0) - masa spoczynkowa proponowane mnożniki zwiększajace masę pomiary Kaufmanna: od 1901, β = v/c, linia: wzór na masę relatywistyczna
Pęd relatywistyczny ponownie z pędem p(u) = m 0 u/ 1 (ux 2 + u2 y + u2 z )/c2. piłka 1 w K: przed zderzeniem p y = mu 0 / 1 u 2 0 /c2, po zderzeniu p y = mu 0 / 1 u 2 0 /c2 zmiana pędu 1 w K p(1) = 2m 0 u 0 / 1 u 2 0 /c2 piłka 2 w K przed u y = u 0 1 v 2 /c 2, po u y = u 0 1 v 2 /c 2 zmiana pędu tylko w y, przed m p y = 0 uy = 1 (u y 2+v2 )/c 2 m 0 u 0 1 v 2 /c 2 = (1 v 2 /c 2 )(1 u 2 0 /c2 ) m 0 u 0 / 1 u 2 0 /c2 p(2) = 2m 0 u 0 / p(1) + p(2) = 0 1 u 2 0 /c2 kompensacja poprzedniej nierówności zmian pędów przez wzrost masy relatywistycznej piłki 2 obserwowanej w układzie 1
Pęd relatywistyczny pęd klasyczny p = m 0 u jeśli chcemy zachować pęd przy transformacjach Lorentza, musimy zmienić jego definicję pęd relatywistyczny p = m 0 u 1 u 2 /c 2 F = dp dt możliwa dowolnie wielka zmiana pędu bez przekroczenia c
Pęd relatywistyczny pęd relatywistyczny p = m 0 v 1 v 2 /c 2 II zasada dynamiki Newtona F = dp dt d v F = m 0 dt = 1 v d(γm 0 v) 2 /c 2 dt 1 γ 1 v 2 /c 2 stała siła do prędkości F = d dt (γm 0v) = a = F m 0 (1 v 2 /c 2 ) 3/2 m 0 dv (1 v 2 /c 2 ) 3/2 dt = γ 3 m 0 a przyspieszenie znika, gdy v daży do c
energia kinetyczna energia kinetyczna - praca przez siłę wypadkowa, T = Fds = dp dt vdt = vdp d(vp) = (dv)p + (dp)v v(dp) = d(vp) p(dv) T = (vp) v 0 v 0 pdv pęd klasyczny p = m 0 v T = m 0 v2 2 pęd relatywistyczny p = m 0 v? 1 v 2 /c 2
energia całkowita E = mc 2 T = (vp) v 0 v pdv 0 pęd relatywistyczny p = m 0 v 1 v 2 /c 2 T = m 0 v 2 v 1 v 2 /c 2 0 v 0 m 0 c 2 1 v 2 /c 2 m 0 c 2 T = ( 1 1 v 2 /c 2 1)m 0 c 2 1 1 v 2 /c 2 m 0 vdv = 1 1 v 2 /c 2 m 0 v 2 + [m 0 c 2 1 v 2 /c 2 ] v 0 = przepisać 1 1 v 2 /c 2 m 0 c 2 = m 0 c 2 + T po prawej stronie: energia spoczynkowa + kinetyczna energia całkowita: E = 1 1 v 2 /c 2 m 0 c 2 = mc 2 = m 0 c 2 + T
Relatywistyczna energia kinetyczna 1 γ = 1 v 2 /c 2 relatywistyczna energia kinetyczna T = (γ 1)m 0 c 2 granica klasyczna v/c 0 1 1 x 2 = 1 + x2 2 +... st ad wzór klasyczny T = m 0 v2 2
Relatywistyczna relacja dyspersji energia całkowita E = γm 0 c 2 pęd (jeszcze raz) p = m 0 γv do kwadratu i dzielone przez c 2 p 2 c 2 = m 2 0 ( v c )2 1 ( v ( v c )2 c )2 = E 2 = (1 + p 2 c 2 m 2 0 + p2 c 2 γ = 1 1 ( v c )2 = 1 + ( p m 0 c )2 p m 0 c )2 m 2 0 c4 E 2 = m 2 0 c4 + p 2 c 2 (relatywistyczna relacja dyspersji) konsekwencja: E 2 p 2 c 2 = E 2 p 2 c 2 = m 2 0 c4 niezmiennik relatywistyczny - energie i pędy zależne od układu odniesienia, lecz relacja je wiaż aca zachowana w każdym. dla fotonów i innych czastek bezmasowych m 0 = 0 E = pc (relacja dyspersji dla bezmasowych czastek) Uwaga: we wzorze E = γm 0 c 2 dla bezmasowych mamy symbol nieoznaczony bo γ i m 0 0
czterowektor pędu - energii konsekwencja: E 2 p 2 c 2 = E 2 p 2 c 2 = m 2 0 c4 - niezmiennik relatywistyczny poprzednio: s 2 = r 2 c 2 t 2 = r 2 c 2 t 2 = s 2 x y z ict p x p y p z ie/c - czterowektor położenia czasu - czterowektor pędu - energii obowiazuj a transformacje Lorentza w tej samej formie dla odpowiednich składowych
prędkość fotonu z relacji Einsteina : E = mc 2 = m 0 c 2 = γm 0 c 2 1 v 2 /c 2 pęd relatywistyczny p = m 0 v 1 v 2 /c 2 do niezmiennika dla fotonu E = pc (z niezmiennika) więc E = γm 0 c 2 = γm 0 vc czastki bezmasowe m 0 0, γ dla czastek bezmasowych v = c
Równoważność masy i energii dla czastki energia całkowita E = γm 0 c 2 anihilacja elektronu i pozytonu (pary): e + + e 2γ m e + c 2 = m e c 2 = 0.511 MeV. proces odwrotny: generacja par γ e + + e zachowana: energia relatywistyczn (energia-masa), pęd, ładunek elektryczny, liczba leptonowa, etc. masę w fizyce czastek podaje się w przeliczeniu na energię zdjęcie z komory babelkowej, https://teachers.web.cern.ch/ w XVIII w (Lavoisier) ustalono, że w reakcjach chemicznych masa jest zachowana wg STW masa jest jedn a z form energii i może podlegać konwersji na inne jej formy
tworzenie par tworzenie par: foton przekazuje cała swoja energię E = hν na stworzenie pary elektron-pozyton przy zderzeniach ciał: zachowany pęd relatywistyczny oraz masa-energia układu pojedynczy foton nie może utworzyc pary elektronów w prożni: zachowanie pędu hν f c = p e cos θ e + p p cos θ p zachowanie energii: hν f = E p + E e, E 2 p/e = m2 0 c4 + p 2 p/e c2 hν f c (ćwiczenia) > p e + p p - sprzeczność produkcja par możliwa tylko za pośrednictwem jadra atomowego, które przejmuje część pędu fotonu z zaniedbywalna absorpcja energii
Rozpraszanie Comptona rozpraszanie Thomsona: na elektronach rdzenia atomowego, cały atom służy masa do przejęcia pędu, Compton znajduje druga linię o częstości zależnej od kata Rozpraszanie fotonów z zachowaniem ich energii na elektronach rdzenia atomowego Rozpraszanie z transferem energii: na elektronach walencyjnych (słabo zwiazanych) interpretacja piku o mniejszej energii : poczatkowo elektron w spoczynku, zderzenie z fotonem z wymiana energii i pędu
interpretacja piku o mniejszej energii : poczatkowo elektron w spoczynku, zderzenie z fotonem z wymiana energii i pędu zasada zachowania energii (ZZE): hν i + E e(0) = hν f + E e(p e) E e(0) = m ec 2, E e(p e) = pe 2c2 + me 2c4 zasada zachowania pędu: pęd poczatkowy fotonu p i = elektronu p e + fotonu rozproszonego p f p i = p e + p f p e p e = (p i p f ) (p i p f ) = p 2 e = p2 i + p 2 f 2p i p f cos(θ) (p ec) 2 = (hν f ) 2 + (hν i ) 2 2h 2 ν f ν i cos θ ZZE E e(p e) =..., kwadrat stronami: (p ec) 2 = (hν f ) 2 + (hν i ) 2 2h 2 ν f ν i 2m ec 2 (hν i hν f ) ZZE-ZZP stronami 2h 2 ν i ν f cos θ = 2h 2 ν i ν f + 2m ec 2 h(ν i ν f ) 1 hν 1 f hν = 1 i mec2 (1 cos(θ)) źródło rysunku: hyperphysics λ = c ν wynik (ćwiczenia) λ f λ i = h mec (1 cos(θ))
Równoważność masy i energii (defekt masy) dla czastki energia całkowita E = γm 0 c 2 = mc 2 każda forma energii dla układu złożonego przekłada się na jego masę gorace ciało jest cięższe od chłodnego, naciagnięta sprężyna cięższa od swobodnej, zmiany masy w tej skali zbyt małe aby je wykryć eksplozja w Hiroshimie - około 1g masy przekształcone w energię ekwiwalent zatrzymanie pocisku o masie 2g pędzacego z prędkościa c 1 tona trotylu (TNT) 4.2 GJ, ubytek 1g masy: 21.4 kt TNT
Równoważność masy i energii (defekt masy) dla czastki energia całkowita E = γm 0 c 2 = mc 2 = m 0 c 2 + T dla układu czastek E = m Σ c 2 N = m i c 2 N + T i + U(i, j) i=1 i=1 i>j układ jest stabilny o ile energia układu złożonego jest mniejsza od energii zdysocjowanych składowych wniosek: stabilny zwiazany układ złożony jest lżejszy niż suma składowych Jadra sa lżejsze niż suma mas nukleonów. trwałe molekuły - lżejsze niż sumy mas atomów itp. Defekt masy - mierzalny dla jader. zasada zachowania masy: nie jest ściśle spełniona (!) masa czastki alfa: m α = 3.7273 GeV/c 2 masa neutronu m n = 0.9395 GeV/c 2 masa protonu m p = 0.9382 GeV/c 2 2m n + 2m p = 3.7556 GeV/c 2 energia wiazania czastki alfa: mc 2 = (2m n + 2m p) m αc 2 = 28.36 MeV ogólnie energia wiazania: E B = m i c 2 Mc 2 i
Równoważność masy i energii (defekt masy) dla czastki energia całkowita E = γm 0 c 2 = mc 2 = m 0 c 2 + T dla układu czastek E = m Σ c 2 N = m i c 2 N + T i + U(i, j) i=1 i=1 i>j układ jest stabilny o ile energia układu złożonego jest mniejsza od energii zdysocjowanych składowych wniosek: stabilny zwiazany układ złożony jest lżejszy niż suma składowych Jadra sa lżejsze niż suma mas nukleonów. trwałe molekuły - lżejsze niż sumy mas atomów itp. Defekt masy - mierzalny dla jader. zasada zachowania masy: nie jest ściśle spełniona (!) masa czastki alfa: m α = 3.7273 GeV/c 2 masa neutronu m n = 0.9395 GeV/c 2 masa protonu m p = 0.9382 GeV/c 2 2m n + 2m p = 3.7556 GeV/c 2 energia wiazania czastki alfa: mc 2 = (2m n + 2m p) m αc 2 = 28.36 MeV ogólnie energia wiazania: E B = m i c 2 Mc 2 i
Równoważność masy i energii (defekt masy) Jadra sa lżejsze niż suma mas nukleonów. trwałe molekuły - lżejsze niż sumy mas atomów itp. Defekt masy - mierzalny dla jader. zasada zachowania masy: nie jest ściśle spełniona (!) masa czastki alfa: m α = 3.7273 GeV/c 2 masa neutronu m n = 0.9395 GeV/c 2 masa protonu m p = 0.9382 GeV/c 2 2m n + 2m p = 3.7556 GeV/c 2 energia wiazania czastki alfa: mc 2 = (2m n + 2m p) m αc 2 = 28.36 MeV ogólnie energia wiazania: E B = m i c 2 Mc 2 i w XVIII w (Lavoisier) ustalono, że w reakcjach chemicznych masa jest zachowana: energie wiazań chemicznych sa rzędu do kilku ev na atom, zmiany nie do wykrycia
podstawy ogólnej teorii względności prawo powszechnego ciażenia: F = GMm g/r 2 drugie prawo Newtona: F = m i a doświadczenia Galileusza: m i = m g Einstein - 1916 - OTW - ogólna teoria względności zasada równoważności: nie można odróżnić pola grawitacyjnego od przyspieszenia układu odniesienia
podstawy ogólnej teorii względności STW: układy inercjalne (bez przyspieszenia). OTW: zasada równoważności: nie można odróżnić pola grawitacyjnego od przyspieszenia układu odniesienia (www.mysearch.org.uk)
równoważność i zakrzywienie przestrzeni zasada równoważności grawitacyjne zakrzywienie czasoprzestrzeni w przyspieszanym układzie fotony poruszaja się po zakrzywionym torze, więc również w polu grawitacyjnym tor fotonu będzie zakrzywiony grawitacyjne zakrzywienie czasoprzestrzeni rysunek: Thornton, Rex, Modern Physics for Scientists and Engineers
ciężar fotonu foton emitowany u szczytu rakiety rakieta porusza się z prędkościa znacznie mniejsza niż prędkość światła czas od emisji do detekcji fotonu t = l/c prędkość rakiety wzrosła o δv = at = al c - efektywna względna prędkość odbiornika i nadawcy Doppler ν 1+δv/c = ν 1 δv/c ν 1+al/c 2 = ν 1 al/c 2
ciężar fotonu foton emitowany u szczytu rakiety rakieta porusza się z prędkościa znacznie mniejsza niż prędkość światła czas od emisji do detekcji fotonu t = l/c prędkość rakiety wzrosła o δv = at = al c - efektywna względna prędkość odbiornika i nadawcy Doppler ν 1+δv/c = ν 1 δv/c ν 1+al/c 2 = ν 1 al/c 2 ponieważ al c << c możemy zapisać ν = ( ) ) 1 + 1 al 2 (1 c 2 +... + 1 al 2 c 2 +... ν ν = ν + ν al c 2 zasada równoważności: podobny wniosek na Ziemi, przy a = g hν = hν + hν c 2 gl E = E + E drugi wyraz E = hν c 2 gl = E c 2 gl = m f gl - energia potencjalna fotonu o masie grawitacyjnej m f = hν c 2 na wysokości l wniosek: zegar na większej wysokości tyka szybciej. bliźniak na górze starzeje się szybciej niż w dolinie. grawitacyjna dylatacja czasu.
Przesunięcie grawitacyjne barwy światła, czyli ciężar fotonów Pound i Rebka 1959, spektroskopia Mössbauera OTW: masa grawitacyjna fotonu E = hν = mc 2, masa fotonu m = hν c 2 hν = hν ± mgh = hν(1 ± gh c 2 ) w doświadczeniu: linia γ 14.4 kev dla 57 Fe H = 22.6 m, przesunięcie gh c 2 = 2.5 10 15 efekt Mössbauera: bezodrzutowej emisji/absorpcji promieniowania γ, najwyższa znana dokładność
grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni Barwa światła emitowanego przez masywny obiekt przesunięta ku czerwieni. emisja: mc 2 = hν zmiana grawitacyjnej energii potencjalnej E = G Mm R hν = hν G Mhν c 2 ν GM R ν = (1 c 2 ) R gdy GM c 2 1 - ucieczka fotonów staje się R niemożliwa wynik ścisły OTW ucieczka niemożliwa gdy: GM c 2 R 1 2 promień Schwartzchilda R s = 2GM c 2 dla masy M gdy promień obiektu stanie się mniejszy niż R s - obiekt przechodzi do czarnej dziury. dla masy Słońca: R s = 3km obrazek - wikipedia
ugięcie światła gwiazd test: pomiary ugięcia światła gwiazd przy zaćmieniu słońca (około 2 sekundy katowe). obrazek - Thornton, Rex, Modern Physics for Scientists and Engineers soczewka grawitacyjna krzyż Einsteina: kwazar soczewkowany przez galaktykę położon a na drodze światła do Ziemi
Merkury i Wenus test: pomiary ugięcia światła gwiazd przy zaćmieniu słońca (około 2 sekundy katowe). obrazek - Thornton, Rex, Modern Physics for Scientists and Engineers precesja orbity Merkurego. dla 1/r - orbity zamknięte. Lecz peryhelium orbity Merkurego zmienia swoje położenie o 575 sekund katowych na stulecie. ruch wykryty przez Le Verriera (1859). Einstein wykazał, że OTW odpowiedzialna za 43 sekundy z tego. reszta : wpływ pozostałych planet, przewidziany jeszcze przez Le Verriera. opóźnienie z wygięcia drogi światła z satelity na Ziemię
fale grawitacyjne konsekwencja OTW: przyspieszane masy moga generować rozchodzace się jak fale odkształcenia czasoprzestrzeni wczesna obserwacja: okres obiegu w układzie gwiazd neutronowych z pulsarem (Hulse-Taylor binary ) okres ulega skróceniu, gdyż zacieśnia się orbita - energia wypromieniowywana w formie fal grawitacyjnych
fale grawitacyjne LIGO (laser intefrefometer gravitational wave observatory) (ramiona 4 i 3km, z interferometrami FP) sygnał zmierzony w 2015 - kolaps 2 czarnych dziur - każda o około 30 masach słońca, około 2 milardy lat temu