Zadania WGGiIŚ, GiK zestaw dodatkowy PołoŜenie dwóch punktów opisane jest za pomocą wektorów połoŝenia: r 1 =4i+3j+8k, r 2 =2i+10j+5k. Obliczyć: a) długość kaŝdego wektora, 1. b) wektor połoŝenia r 3 drugiego punktu względem pierwszego, c) wektor połoŝenia r 4 pierwszego punktu względem drugiego, d) kąty pomiędzy wektorami r 1, r 2, r 3, r 4, e) rzut wektora r 2 na r 1 2. RozwaŜmy dwa przemieszczenia jedno o wartości 3m, a drugie o wartości 4m. Jakie kierunki powinny mieć odpowiednie wektory przemieszczenia, aby wielkość przemieszczenia wypadkowego była równa: (a) 7m, (b) 1m, (c) 5m? 3. Grający w golfa trzykrotnie uderzył w piłkę zanim wpadła ona do dołka. Po pierwszym uderzeniu piłka przesunęła się o 12m na północ, po drugim uderzeniu o 6m w kierunku południowo-wschodnim, a po trzecim uderzeniu o 3m w kierunku południowo-zachodnim. Jakie musiałoby być przemieszczenie piłki, aby wpadła ona do dołka po pierwszym uderzeniu? 4. Prędkość samochodu poruszającego się ruchem prostoliniowym maleje jednostajnie od wartości 45km/h do 30km/h na odcinku równym 50m. (a) Jaka jest wartość i kierunek przyspieszenia samochodu? (b) Jak długo jechał samochód ruchem opóźnionym? (c) Ile czasu upłynie do chwili zatrzymania samochodu, jeŝeli załoŝymy, Ŝe hamuje on w dalszym ciągu z takim samym przyspieszeniem? Sporządzić wykres zaleŝności drogi, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu oraz prędkości od drogi w przedziale od chwili rozpoczęcia hamowania aŝ do całkowitego zatrzymania. 5. Samochód pierwszy fragment drogi pokonuje z prędkością 40 km/h a drugi z prędkością 80 km/h. Oblicz średnią prędkość samochodu jeśli: (1) Długość pierwszego odcinka to 20 km a drugiego 10 km, (2) Obydwa odcinki są takie same, (3) Stosunek długości pierwszego do drugiego jest jak 3:1. (4) Czas ruchu na pierwszym odcinku był trzykrotnie dłuŝszy niŝ na drugim 6. Łódka płynie prostopadle do brzegu z prędkością 7,2 km/h. Prąd znosi ją o 150 m w dół rzeki. Znaleźć (1) prędkość prądu rzeki, (2) czas przeprawy przez rzekę, jeśli jej szerokość wynosi 0,5 km. 7. Kolumna wojska o długości l = 1,5km przesuwa się wzdłuŝ drogi z prędkością v = 6km/godz. Z czoła kolumny dowódca wysyła motocyklistę z rozkazem na jej tył. Motocyklista jedzie z prędkością 60km/h, nie zatrzymując się przekazuje rozkaz i wraca. Jak długo był w drodze? 8. Z balonu unoszącego się na wysokości 300 m upadł obciąŝnik. Po jakim czasie spadnie on na ziemię, jeŝeli (1) balon wznosi się z prędkością 5 m/s, (2) balon opada z prędkością 5 m/s, (c) balon pozostaje nieruchomy. Kamień rzucony poziomo spadł na ziemię w odległości poziomej 5 m od miejsca wyrzucenia po upływie czasu 0.5 s. (1) Z jakiej wysokości h rzucono kamień? (2) Z 9. jaką prędkością początkową v 0 rzucono kamień? (3) Z jaką prędkością v upadł on na ziemię? (4) Jaki kąt θ tworzył tor kamienia z poziomem w punkcie upadku na ziemię? Zaniedbać opór powietrza. Pod jakim kątem α do poziomu naleŝy rzucić ciało, Ŝeby maksymalna wysokość 10. wzniesienia równała się zasięgowi?
11. 12. Samolot leci poziomo z prędkością 540 km/h na wysokości 1000 m. Gdy przelatuje bezpośrednio nad strzelcem ten mierzy i strzela. Pod jakim katem względem pionu powinien celować, Ŝeby trafić w samolot? Prędkość pocisku to 800 m/s. Opór powietrza zaniedbać. Do prostopadłej tarczy strzelniczej znajdującej się w odległości 50 m oddano dwa strzały w kierunku poziomym przy identycznym ustawieniu karabinu. wskutek przypadkowej róŝnicy jakości nabojów prędkość początkowa pocisku wynosiła w pierwszym przypadku 320 m/s a w drugim 350 m/s. Jaka jest odległość między punktami trafienia w tarczę? 13. Samochód o masie 10 ton zatrzymuje się podczas hamowania po upływie 5 s, przebywając ruchem jednostajnie opóźnionym odległość 25 m. Znaleźć (1) prędkość początkową samochodu, (2) siłę hamowania. 14. Masa samochodu wynosi 10 t. Podczas jazdy na samochód działa siła tarcia równa 0,1 jego cięŝaru. Jaką siłę ciągu powinien uzyskiwać silnik, aby samochód jechał (1) ruchem jednostajnym (2) z przyspieszeniem równym 2m/s? 15. Pocisk o masie m = 15g mknący z prędkością v 1 = 500m/s przebija drewnianą belkę o grubości d = 30cm i leci dalej z prędkością v 2 = 150m/s. Oblicz średnią siłę oporu stawianego przez drzewo oraz pracę wykonaną przez pocisk. 16. Pociąg o masie m = 1000ton, poruszający się z prędkością v = 30km/h, zostaje zahamowany w ciągu czasu t = 50s. Oblicz moc hamowania. 17. Co sekundę z progu wodnego o wysokości 100 m spada 1200 m 3 wody. Przyjmując, Ŝe ¾ energii kinetycznej uzyskiwanej przy spadaniu zmienia się w generatorze hydroelektrycznym w energię elektryczną, oblicz moc generatora. 18. Młot o masie m 1 = 300kg spada z wysokości h = 3m na drewniany słup o masie m 2 = 200kg i wbija go w ziemię na głębokość 1cm. Obliczyć opór stawiany przez ziemię. 19. W układzie przedstawionym na rysunku, masy linek i bloczków moŝna pominąć. Bloczki obracają się bez tarcia, a współczynnik tarcia kinetycznego klocka o stół wynosi 0,5. Pozostałe dane jak na rysunku. Wyznaczyć napręŝenia linek w punktach mocowania oraz przyspieszenia klocków. 20. Na gładkim stole znajdują się klocki o masach m 1 = 10 kg i m 2 = 5 kg. Klocki są połączone ze sobą nierozciągliwym sznurem o wytrzymałości na zerwanie równej 5 N. Do klocka o masie m 2 przywiązano sznurek, którego koniec przerzucony został przez bloczek umieszczony na krawędzi stołu. MoŜna przyjąć, Ŝe bloczek ma zaniedbywalną masę. Do wolnego końca sznura przywiązano szalkę wagi. Jaki największy odwaŝnik moŝna tam umieścić, aby sznur łączący masy m 1 i m 2 nie uległ zerwaniu?
21. Współczynnik tarcia piasku na zboczu jest równy 0,5. Oblicz, jaki kąt nachylenia mają zbocza pryzmy usypanej z tego piasku przez koparkę. 22. Ciało zsuwające się po równi pochyłej bez tarcia przebyło w czasie t = 2s drogę s = 3,6m. Jaką drogę przebyłoby na tej samej równi w ciągu tego samego czasu inne ciało, gdyby współczynnik tarcia był równy 0,1? 23. Znaleźć, jaką moc uzyskuje silnik samochodu o masie 1 t, jeśli samochód jedzie ze stałą prędkością 36 km/h, (1) po drodze poziomej, (2) pod górę o nachyleniu 5 m na kaŝde 100 m drogi, (3) z góry o takim samym nachyleniu. Współczynnik tarcia wynosi 0,07. 24. Z jaką siłą F naleŝy pchać klocek o masie M 1 = 10 kg i M 2 = 2 kg, aby mniejszy z klocków nie zsuwał się w dół? Współczynnik tarcia statycznego klocków o siebie nawzajem wynosi µ a = 0,5. Rozpatrzyć dwa przypadki (a) tarcie klocka M 1 o stół jest równe zero (b) współczynnik tarcia kinetycznego klocka M 1 o stół jest równy µ b = 0,2. 25. Kulkę zawieszono na nici u sufitu wagonu tramwajowego. wagon hamuje i jego prędkość zmienia się jednostajnie w przeciągu czasu t = 3 s od v 1 = 18 km/h do v 2 = 6 km/h. O jaki kąt α odchyla się przy tym nić z kulą? 26. Wagon kolejowy jest hamowany, a jego prędkość zmienia się jednostajnie w przeciągu czasu t = 3,3 s od v 1 = 47,5 km/h do v 2 = 30 km/h. Przy jakiej granicznej wartości współczynnika tarcia walizka zacznie się zsuwać po półce podczas hamowania? 27. Człowiek o masie 60 kg biegnący z prędkością 8 km/h dogania wózek o masie 80 kg, który jedzie z prędkością 2,9 km/h i wskakuje na ten wózek. (1) Z jaką prędkością będzie poruszał się ten wózek? (2) Jaka byłaby to prędkość, gdyby człowiek ten biegł wózkowi naprzeciw? 28. Granat lecący z prędkością 10 m/s rozerwał się na dwa odłamki. Większy odłamek, którego cięŝar stanowił 60% cięŝaru całego granatu, kontynuował lot w pierwotnym kierunku, lecz ze zwiększoną do 25 m/s, prędkością. Znaleźć prędkość mniejszego odłamka. 29. Dwie kule poruszają się ku sobie i zderzają niespręŝyście. Prędkość pierwszej kuli przed zderzeniem wynosi 2 m/s, a prędkość drugiej 4 m/s. Wspólna prędkość kul po zderzeniu jest co do kierunku zgodna z kierunkiem prędkości pierwszej kuli i wynosi 1 m/s. Ile razy energia kinetyczna pierwszej kuli jest większa od energii kinetycznej drugiej kuli? 30. Pocisk lecący poziomo trafił w kulę zawieszoną na bardzo lekkim, sztywnym pręcie i w niej utkwił. Masa pocisku wynosi 5 g, a masa kuli 0,5 kg. Prędkość pocisku w chwili zderzenia była równa 500 m/s. Jaka jest największa długość pręta, przy której kula podniesie się wskutek zderzenia z pociskiem do najwyŝszego punktu okręgu? 31. Młot mechaniczny o masie 3,5 t spada na kowadło z wysokości 2,5 m. Obliczyć siłę uderzenia młota, jeŝeli uderzenie trwa 0,01 s?
32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. Koło zamachowe silnika porusza się ze stałą prędkością 150 obr/min. Gdy dopływ paliwa zostaje odcięty, na skutek oporów koło zatrzymuje się po 22 minutach. (a)jakie jest średnie przyspieszenie kątowe koła? (b) Ile obrotów wykona koło przed całkowitym zatrzymaniem się? (c) Ile wynosi styczne przyspieszenie liniowe punktu oddalonego od osi obrotu o 50 cm, w chwili gdy koło obraca się z prędkością 75 obr/min? (d) Jaka jest wartość całkowitego przyspieszenia liniowego w punkcie (c)? ŁyŜwiarz zatacza na poziomym torze okrąg o promieniu r = 15m z prędkością v = 4m/s. Obliczyć kąt nachylenia łyŝwiarza. Jaki kąt nachylenia względem poziomu powinna mieć jezdnia na zakręcie o promieniu 50 m aby bezpiecznie mogły go pokonywać samochody z prędkością 90 km/h jeŝeli pominąć tarcie? Obliczyć promień R mostu o kształcie łuku (będącego wycinkiem okręgu), jeŝeli wiadomo, Ŝe nacisk samochodu jadącego z prędkością v = 90 km/h zmniejszy się dwukrotnie w najwyŝszym punkcie mostu. Dwa klocki o masach 1 kg i 3 kg połączone sznurkiem o zaniedbywalnej masie, leŝą w stanie spoczynku na doskonale gładkiej powierzchni. JeŜeli klockom nadano róŝne prędkości i pierwszy porusza się z prędkością 1,7 m/s w kierunku środka masy, który pozostaje w spoczynku, to jaka jest prędkość drugiego klocka? Na obwód krąŝka o masie 0.2 kg i promieniu R = 0.1 m nawinięta jest nić, na końcu której zawieszono odwaŝnik o masie 1 kg. Na jaką odległość powinien opuścić się odwaŝnik, aby koło wraz z krąŝkiem uzyskało prędkość obrotową 60 obr/min?. Chłopiec toczy obręcz po drodze poziomej z prędkością 7.2 km/h. Na jaką odległość moŝe wtoczyć się obręcz po wzniesieniu kosztem jej energii kinetycznej? Nachylenie wzniesienia wynosi 10 m na 100 m drogi. Oblicz wypadkowy moment siły działający na wał napędowy przedstawiony na rysunku, a = 10 cm, b = 25 cm. 39. 40. 41. Jaką pracę naleŝy wykonać, aby rozpędzić koło napędowe silnika do prędkości n = 120obr/min, jeŝeli masa koła m = 500kg jest rozmieszczona równomiernie, a promień koła wynosi R = 0,75m? Na bębnie o promieniu 0,5m jest nawinięty sznur, na którego końcu jest przywiązany odwaŝnik o masie 10kg. Obliczyć moment bezwładności bębna, jeŝeli odwaŝnik opada z przyspieszeniem 2,04m/s 2.
Dwie tarcze o momentach bezwładności I 1 oraz I 2 są osadzone niezaleŝnie od siebie na wspólnej osi. Tarcze wirują z prędkościami kątowymi ω 1 i ω 2 w tę samą stronę. W pewnej chwili tarcze zsunięto do siebie i dociśnięto, wskutek czego po pewnej chwili zaczęły poruszać się z tę samą prędkością kątową. Oblicz tę prędkość. Jak zmieniłby się wynik, gdyby tarcze poruszały się w przeciwne strony? 42. 43. 44. 45. Jednorodny pręt o długości 0,85m jest zawieszony na osi poziomej przechodzącej przez jego górny koniec. Jaką najmniejszą prędkość naleŝy nadać dolnemu końcowi pręta, aby wykonał on pełny obrót wokół osi? O jaki kąt naleŝy odchylić pręt jednorodny o długości 1m zawieszony na osi poziomej, przechodzącej przez jego górny koniec, aby po puszczeniu swobodnym dolny koniec pręta osiągnął prędkość 5m/s przechodząc przez połoŝenie równowagi? Trzech robotników niesie rurę stalową. Jeden z nich trzyma rurę za koniec, dwóch innych podtrzymuje rurę na drąŝku w pewnej odległości od drugiego końca. Obliczyć tę odległość, jeŝeli długość rury wynosi 8 m, a wszyscy robotnicy dźwigają jednakowy cięŝar. Rysunek przedstawia mechanizm do wyciągania złowionego rekina. Obliczyć napręŝenia linek oraz nacisk, który wywiera dźwignia na zawias. Masę dźwigni moŝna pominąć. 46. 47. 48. 49. DrąŜek o długości l = 1m ma masę m d = 1,6kg i w kaŝdym miejscu ma jednakową grubość. Na końcach tego drąŝka zawieszono cięŝarki m 1 = 1kg oraz m 2 = 2,4kg. W którym miejscu naleŝy go podeprzeć, aby osiągnąć stan równowagi? Drabina o długości l = 6 m i masie m = 20 kg opiera się górnym końcem o pionową gładką ścianę. Drugi koniec drabiny wciśnięty jest w ziemię w odległości d = 2 m od ściany. Obliczyć pionowa i poziomą składową siły, którą drabina wywiera na ziemię oraz ścianę. W ścianie na równym poziomie w odległości l = 1,5 m wbito dwa gwoździe, do których są przymocowane końce sznura o długości L = 1,7 m. Obliczyć naciąg sznura, jeŝeli na nim zawieszono cięŝarek o masie m = 2 kg.
Satelita geostacjonarny to taki, który przez cały czas znajduje się nad tym samym punktem na powierzchni Ziemi. Określić, na jakiej orbicie musi poruszać się taki 50. satelita. Przyjąć promień Ziemi równy 6400 km a stałą grawitacyjną G = 6,67 10-11 Nm 2 /kg 2. 51. W jakiej odległości od środka kuli ziemskiej między Ziemią a KsięŜycem znajduje się punkt, w którym siły przyciągania wywierane przez KsięŜyc i Ziemię na umieszczone tam ciało są równe? Średnia odległość KsięŜyca od środka kuli ziemskiej wynosi R = 384tys.km, masa KsięŜyca jest zaś 81 razy mniejsza od masy Ziemi. 52. Pod wpływem sił wzajemnego przyciągania grawitacyjnego dwie gwiazdy poruszają się z okresem T = 2 lata po orbitach kołowych wokół wspólnego środka masy. Suma mas wynosi m 1 +m 2 =M S, gdzie M s to masa Słońca. Znaleźć odległość miedzy gwiazdami, wiedząc Ŝe średnia odległość Ziemi od Słońca jest równa R 0 = 1,5 10 8 km, a masa Ziemi jest zaniedbywana w porównaniu z masą Słońca. 53. CięŜar ciała na równiku planetoidy jest o 10% mniejszy niŝ na biegunie. Ile wynosi okres obrotu planetoidy wokół swej osi, jeŝeli ma ona kształt kuli i zbudowana jest z materii o gęstości ρ = 5 10 3 kg/m 3? 54. Obliczyć masę Ziemi przyjmując jej promień R = 6370 km i g = 9,81 m/s 2 oraz stałą grawitacyjną G = 6,67 10-11 m 3 /kg s 2. 55. Ciało o masie 4 kg rozciąga spręŝynę wydłuŝając ją o 0,16 m w porównaniu z jej długością przed rozciągnięciem. Ciało to zostaje usunięte, a na jego miejsce zawieszamy ciało o masie równej 0,5 kg. Obliczyć okres drgań spręŝyny po obciąŝeniu drugim ciałem. 56. Ciało o masie 2 kg wisi na spręŝynie. SpręŜyna ta ulega dodatkowemu rozciągnięciu o 2 cm, jeŝeli pod tym ciałem zawieszamy ciało o masie 300 g. Następnie to ciało usuwamy i spręŝyna rozpoczyna ruch drgający. Znaleźć okres drgań tego ruchu. 57. Ciało leŝy na tłoku, który porusza się ruchem harmonicznym w kierunku pionowym z okresem 1 s. (a) Przy jakiej amplitudzie ciało oderwie się od tłoka? (b) JeŜeli drgania tłoka mają amplitudę 5 cm, to jaka jest maksymalna częstotliwość przy której tłok i ciało nie ulegają rozerwaniu? 58. Wahadło matematyczne o długości l i masie m zawieszono w samochodzie, który porusza się ze stałą prędkością po okręgu o promieniu R. Jaka będzie częstość drgań, jeŝeli wahadło wykonuje małe drgania wokół swego połoŝenia równowagi? 59. Ciało znajduje się na poziomej powierzchni, która porusza się poziomo ruchem harmonicznym z częstotliwością 2 Hz. Współczynnik tarcia statycznego między ciałem a powierzchnią wynosi 0,5. Jak duŝa moŝe być amplituda tego ruchu, aby ciało nie ślizgało się po powierzchni? 60. Kulkę drewnianą o gęstości ρ = 0,6g/cm 3 zanurzono w wodzie a następnie puszczono. Z jakim przyspieszeniem kulka ta wyskoczy z wody? 61. Z wysokości h = 3m ponad poziomem wody wpada do niej drewniana kulka o ρ = 0,4g/cm 3. Jak głęboko zanurzy się ta kulka, jeśli moŝna pominąć opór wody? 62. TuŜ pod powierzchnię wody wepchnięto boję w kształcie walca o średnicy 0,5 m i wysokości 1 m, wykonaną z tworzywa o gęstości dwukrotnie mniejszej niŝ woda. Pomijając siły lepkości wody, oblicz na jakiej największej wysokości ponad wodą znajdzie się środek cięŝkości tej boji, gdy zostanie puszczona swobodnie. 63. W zasklepionym, krótszym ramieniu rurki w kształcie litery U zamknięto kroplą rtęci słup powietrza o wysokości 18 cm. Do jakiego poziomu naleŝy dolać rtęci, aby wysokość zamkniętego słupa skróciła się o 1/3? 64. Blok miedzi o masie 3 kg i temperaturze 70 o C wrzucono do wody o masie 4 kg i temperaturze 10 o C. Oblicz końcową temperaturę układu miedź-woda, zakładając, Ŝe jest on izolowany cieplnie od otoczenia.
65. Gaz doskonały, mający początkowo objętość 2 m 3 i temperaturę T 1, rozpręŝono adiabatycznie do objętości 4 m 3, następnie rozpręŝono izotermicznie do objętości 10 m 3, a w końcu spręŝono adiabatycznie do temperatury równej ponownie T 1. Oblicz objętość końcową gazu. 66. Naczynie zawierające pewną ilość azotu w temperaturze T 1 = 15 0 C porusza się z prędkością 100m/s. Jaka będzie temperatura gazu w raptownie zatrzymanym naczyniu, jeŝeli moŝna pominąć przekazywanie ciepła ściankom? 67. Blok lodu o masie 50kg i temperaturze topnienia wody ślizga się po poziomej powierzchni nieprzewodzącej ciepła. Prędkość początkowa bloku wynosi 5,38 m/s, a po przebyciu drogi 28,3 m blok zatrzymuje się. Oblicz masę lodu stopionego w wyniku tarcia bloku o powierzchnię. Przyjmij, Ŝe cała energia mechaniczna bloku utracona w wyniku tarcia zamienia się w energię termiczną bloku. 68. 69. Obliczyć w jakiej temperaturze ciśnienie gazu jest dwa razy większe niŝ w 17 o C, jeŝeli gaz ma stałą objętość. Kawałek miedzi o masie 0.6 kg i temperaturze 80 O C wrzucono do wody o masie 1 kg i temperaturze 10 O C, znajdującej się w izolowanym cieplnie zbiorniku. Wyznacz temperaturę równowagi układu miedź-woda. C w = 386 J/kg K (miedź), C w = 4189,9 J/kg K (woda) 70. Krople deszczu spadają z prędkością 5m/s. Na przednią szybę stojącego samochodu w przeciągu minuty spada 100 cm 3 deszczu. Ile deszczu zacznie spadać na szybę, jeśli samochód zacznie się poruszać z prędkością 72 km/h? 71. śołnierz strzela z karabinu do stojącego wagonu kolejowego. Pocisk przebija poziomo pierwszą ścianę, wylatuje z prędkością 30 m/s i uderza w drugą 5 cm niŝej. Oblicz szerokość wagonu. Oblicz o ile niŝej uderzyłby pocisk jeśli wagon poruszałby się z prędkością 40 km/h (a) w kierunku strzelającego, (b) oddalałby się od niego. 72. 73. 74. 75. Z węŝa tryska strumień wody pod kątem 30 o do poziomu i spada na ziemię w odległości 12 m. Pole przekroju węŝa wynosi 1 cm 2. Ile wody wypływa z węŝa w ciągu jednej minuty? Z tego samego miejsca na pewnej wysokości h wyrzucono równocześnie dwa kamienie, jeden do góry a drugi w dół, obydwa pod kątem 45 o do poziomu i z prędkością początkową 30 m/s. Obliczyć odległość między tymi kamieniami po upływie 2 sekund ruchu przy załoŝeniu, Ŝe do tego czasu nie spadną na ziemię. Na wzgórzu znajduje się cel widoczny z miejsca stacjonowania armaty pod kątem 15 o względem poziomu. Odległość w kierunku poziomym od armaty wynosi 2 km. Do celu Ŝołnierze strzelają przy kącie podniesienia lufy 30 o. Wyznaczyć prędkość początkową pocisku jeśli wiadomo, Ŝe trafia w cel. Niewielki klocek ślizga się z prędkością 10 m/s zbliŝając się do szczeliny. Szczelinę tworzą dwie pionowe równoległe ścianki, odległe od siebie o 5 cm. Głębokość szczeliny wynosi 1 m. Ile razy klocek odbije się od ścianek, zanim spadnie na dno? Zderzenia ze ściankami traktować jako doskonale spręŝyste.
76. Rozpatrując ruch układu cięŝarków o masach m 1 oraz m 2, połączonych ze sobą jak pokazano na rysunku, moŝna pominąć masy linek, bloczków oraz siły tarcia. Wyznaczyć przyspieszenie cięŝarków oraz linek w punktach ich umocowania. 77. Klocek o masie 3kg jest przyciskany do ściany siłą P. Określić zakres wartości, które moŝe przyjmować, jeśli współczynnik tarcia klocka o ścianę wynosi 0,5 a sam klocek pozostaje nieruchomy. 78. Klocek o masie M widoczny na rysunku porusza się ruchem jednostajnym w górę. Wyznaczyć napręŝenia linek T 1, T 2, T 3, T 4, T 5 oraz siłę F. 79. Wyznaczyć odległość R od stołu, w której spadnie klocek zsuwający się z równi, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego klocka o równię wynosi µ. Pozostałe dane jak na rysunku.
80. Dwa klocki o masach M = 1,65 kg i m = 3,3 kg połączono prętem o znikomo małej masie w sposób pokazany na rysunku. Kąt nachylenia równi wynosi 30 o. Współczynnik tarcia miedzy równią a lŝejszym klockiem wynosi 0,226 zaś między równą a cięŝszym klockiem 0,113. Obliczyć (a) napręŝenie pręta łączącego te masy (b) wspólne przyspieszenie obu mas. Czy odpowiedzi na te pytania uległyby zmianie, gdyby masy zamienić miejscami? 81. W jednym końcu spoczywającego wagonu kolejowego o długości l stoi armata. W pewnej chwili wystrzeliła i pocisk utkwił w przeciwległej ścianie. Na jaką odległość przetoczył się wagon, jeśli pominąć siły oporu? 82. W łodzi o płaskim dnie stoi pies o masie 5 kg. Jest oddalony od brzegu o 7 m. Idąc po dnie łodzi w kierunku brzegu przebywa on odległość 3 m, po czym się zatrzymuje. Masa łodzi to 20 kg. Jeśli przyjąć, Ŝe między łodzią a wodą brak oporów ruchu, to jak daleko od brzegu znajdzie się pies w chwili zatrzymania? Klocek o masie m ześlizguje się po pętli śmierci o promieniu R (patrz rys.) z najmniejszej wysokości H, która umoŝliwia jej pokonanie. Ile wynosi ta wysokość? Ile wynosi całkowite przyspieszenie klocka w momencie, kiedy prędkość ma kierunek pionowy? W którym miejscu pętli siła nacisku wywierana przez klocek ma wartość ¾ cięŝaru klocka? 83. 84. Jaka powinna być prędkość ruchu motocyklisty, aby mógł on jeździć w płaszczyźnie poziomej po wewnętrznej pionowej ścianie cylindra, jeŝeli wiadomo, Ŝe podczas jazdy po poziomej powierzchni o tym samym współczynniku tarcia minimalny promień skrętu przy prędkości v równy jest R? Promień cylindra wynosi r. Pod jakim
kątem do ściany cylindra nachyli się motocyklista? 85. Wyznacz połoŝenie środka masy poniŝszych układów cięŝarków, które moŝna traktować jako punktowe: (a) (b) 86. Układ składa się z niewaŝkiego mas M i m umocowanych na końcach niewaŝkiego drąŝka o długości L. Udowodnić, Ŝe moment bezwładności takiego układu będzie najmniejszy, gdy oś obrotu przechodzić będzie przez środek masy. Wykazać, Ŝe mm 2 wtedy moment będzie równy I = L m+ M 87. Na oś walca o promieniu R i masie m, leŝącego na gładkiej powierzchni poziomej, działa skierowana poziomo siłą F. Jaka powinna być wartość tej siły, Ŝeby walec mógł zostać wtoczony na schodek o wysokości h<r? ZałoŜyć, Ŝe walec nie ślizga się po schodku. Jaką siłę naleŝy przyłoŝyć do korby kołowrotu przedstawionego na rysunku, Ŝeby utrzymać w spoczynku cięŝarek o masie m? 88.
89. 90. Jeden z końców lekkiego pręta, którego masę moŝna zaniedbać, umocowano na zawiasie do ściany, a drugi oparto na spręŝynie przyczepionej do podłogi. W warunkach równowagi spręŝyna stoi pionowo a pręt leŝy poziomo. Długość pręta wynosi l a współczynnik spręŝystości spręŝyny k. Dodatkowo na pręcie znajduje się ruchomy cięŝarek o masie m. Oblicz okres małych drgań pręta w zaleŝności od połoŝenia cięŝarka. Wahadło matematyczne o długości l i masie m zawieszono w samochodzie, który porusza się ze stałą prędkością po okręgu o promieniu R. Jaka będzie częstość drgań, jeŝeli wahadło wykonuje małe drgania wokół swego połoŝenia równowagi?