Ruch obrotowy i orbitalny Ziemi

Ruch obrotowy i orbitalny Ziemi Ruch dobowy sfery niebieskiej jest pozorny wynika z obracania się Ziemi wokół własnej osi z okresem równym 1 dobie gwiazdowej. Tor pozornego ruchu dobowego sfery niebieskiej w umiarkowanych szerokościach geograficznych na półkuli północnej. P N Z R H N d

Przykłady pozornego dobowego ruchu sfery niebieskiej Na biegunie Na równiku Z=P N Z R H=R P N H N d N d

Ruch orbitalny Ziemi Tak jest w rzeczywistości

Tak wygląda to na sferze niebieskiej

Okres pomiędzy dwoma górowaniami gwiazdy równy jest 1 dobie gwiazdowej. Doba słoneczna to okres pomiędzy dwoma kolejnymi górowaniami Słońca. Górowanie to przejście ciała niebieskiego przez południową gałąź południka miejscowego. Zjawiska ruchu dobowego (w tym górowanie) zostaną omówione w dalszej części wykładu. Doba słoneczna jak wynika z rysunku jest dłuższa od doby gwiazdowej o wartość dobowego przesunięcia Słońca po ekliptyce wynikającego z jego pozornego ruchu rocznego, które wynosi: 360 365,24... o o m s T = = 0 986 = 3 57 365,24... długość tzw. roku zwrotnikowego czyli średnia długość roku kalendarzowego Długość doby gwiazdowej wynosi więc średnio 23 h 56 m 03 s czasu słonecznego. Czas gwiazdowy i słoneczny będzie przedmiotem rozważań przedstawionych w dalszej części wykładu.

Zjawiska ruchu dobowego Kulminacja Półkula północna Kulminacja górna na południe od zenitu Kulminacja górna na północ od zenitu Kulminacja dolna: zawsze z 3 = o 180 1 z 1 = ϕ δ δ < ϕ, δ > ϕ, 2 ( ϕ + δ ) z 2 = δ ϕ

Wschody i zachody Definicja Wschód gwiazdy z o = 90 dz dt < 0 Zachód gwiazdy z o = 90 dz dt > 0 Półkula północna Gwiazdy nie zachodzące δ o 90 ϕ Gwiazdy wschodzące i zachodzące ϕ 90 o < δ < 90 o ϕ Gwiazdy nie wschodzące δ ϕ 90 o

Obliczenie efemeryd wschodu i zachodu

Przejście przez I wertykał Definicja I wertykał jest to koło wielkie przechodzące przez zenit i nadir prostopadłe do południka miejscowego, a o więc A = ±90 Warunki: δ < ϕ, A = o ±90

ELONGACJE Definicja: q o = ±90 Warunki δ > ϕ półkula północna

1.Precesja i nutacja Precesja, nutacja, ruch bieguna Kształt Ziemi zbliżony jest do elipsoidy obrotowej. W dużym przybliżeniu można przedstawić ją jako jednorodną kulę ze zgrubieniami równikowymi. Słońce, Księżyc i planety poruszają się bądź w płaszczyźnie ekliptyki bądź w jej pobliżu. Gdyby Ziemia była jednorodną kulą to wypadkowa sił przyciągania przez Słońce i Księżyc przechodziłaby przez jej środek, zaś w środku masy siły przyciągania przez Księżyc i Słońce równoważyłyby się z silą odśrodkową wynikająca z jej ruchu orbitalnego. Na zgrubieniach równikowych siły te nie równoważą się (patrz rysunek)

Mechanizm precesyjno-nutacyjny na rysunku zaznaczona jedynie precesja księżycowo-słoneczna Oznaczenia: -moment siły wywołany przez siły M1 1 F 1,F 2 -siły przyciągania grawitacyjnego C 1,C 2 -siły odśrodkowe gdzie: C= F -w środku mas Ziemi F 1> F 2 C 2 > C1 R R 2, 1 F1 C1 A więc: R = - skierowana jest do ciała przyciągającego R = - skierowana jest od ciała przyciągającego 2 C2 F2

Precesja ma charakter zmiany wiekowej i dzieli się na: 1. księżycowo-słoneczną powodującą zmianę położenia punktu równonocy na ekliptyce 2. planetarną powodująca zmianę położenia ekliptyki Wpływ precesji na położenie punktu równonocy i równika przedstawiony jest na rysunku P1 precesja księżycowo-słoneczna q1 precesja planetarna p całkowita precesja w długości m całkowita precesja w rektascensji n całkowita precesja w deklinacji

Wzory przybliżone Zapewniające dokładność obliczeń wpływu precesji dla gwiazd których δ (wzory ścisłe zostaną zaprezentowane w kursie geodezji satelitarnej) α α t δ δ t dα = dt d δ = dt d 2 d α 2 2 dt 2 d δ 2 2 dt α 1 2 = + 0 0 0 dt 0 0 dδ 1 2 = + 0 t t0 + t t0 dt 0 0 m + n sinα tanδ n cosα W 2006 roku m = 46 1261 n = 20 0425 ( t t ) + ( t t )... ( ) ( )... o < 80

NUTACJA Okresowa zmiana położenia równika i punktu równonocy wywołana przez siły wywołujące precesję. Nutacja składa się z sumy drgań harmonicznych z których podstawowy mam okres 18,6 roku. a = 9.2 b = 6.9 b a droga bieguna prawdziw ego droga bieguna średniego w ruchu precesyjnym

Wpływ nutacji na położenie równika i punktu równonocy Wartości ψ, dψ, ε i dε oblicza się ze wzorów: ϒ 0 - punkt równonocy w epoce początkowej ϒ T - punkt równonocy w epoce T ε 0 - nachylenie równika do ekliptyki w epoce początkowej ε T - nachylenie równika do ekliptyki w epoce T ε -długookresowa nutacja w nachyleniu dε - krótkookresowa nutacja w nachyleniu ψ -długookresowa nutacja w długości dψ - krótkookresowa nutacja w długości ψ + dψ = ε + dε = N ψ i sin Arg i Nε cos Arg i i gdzie: N ψ - amplituda i-tej składowej nutacji w długości i N ε - amplituda i tej składowej nutacji w nachyleniu i Dla uzyskania dokładności 0 01 musimy użyć rozwinięcia nutacji rzędu ponad 200.

Główne wyrazy nutacji: ψ = 17 "2sin 1"3sin 2L + 0"8sin 2 +... dψ = 0"2sin 2 +... ε = 9 "2cos + 0"6cos 2L 0"1cos 2 +... dε = 0"1cos2 +... gdzie: -długość ekliptyczna węzła wstępującego Księżyca (okres zmiany 18,6 roku) L długość ekliptyczna Słońca (okres zmiany roku zwrotnikowego) -długość ekliptyczna Księżyca (okres 27,6 dnia) Przybliżone wzory wpływu nutacji na współrzędne równikowe α δ ( cosε + sin ε sinα tanδ )( ψ + dψ ) cosα tanδ ( ε dε ) sinε cosα( ψ + dψ ) + sinα( ε dε ) n = + n = + o Wzory powyższe stosujemy dla gwiazd których δ 80 kursie geodezji satelitarnej., wzory ścisłe będą podane w

Nachylenie równika do ekliptyki możemy obliczyć ze wzoru: ε = 2 3 84381"448 48"8150T 0,00059T + 0,001813T gdzie: T interwał czasu jaki upłynął od epoki J2000 wyrażony w stuleciach juliańskich T = JD JD2000 36525 JD2000 data juliańska w momencie 2000 styczeń 1d5 (doby) jest równa 2451545.0 (o dobie juliańskiej w dalszej części wykładu przy kalendarzach) JD data juliańska na moment obserwacji, można ją znaleźć w roczniku astronomicznym

Prędkość Ziemi w jej ruchu obrotowym i ruchu bieguna Podstawowe równanie (patrz kurs fizyki) zależność pomiędzy momentem pędu a wektorem prędkości kątowej: r K = I r ω gdzie: K r - wektor momentu pędu w ruchu obrotowym I -macierz bezwładności ω r -wektor prędkości I = I I I 11 21 31 I I I 12 22 32 I I I 13 23 33 Macierz bezwładności jest macierzą symetryczną. Elementy na przekątnej momenty bezwładności Elementy poza przekątną momenty dewiacyjne bądź iloczyny bezwładności Uwaga można zorientować tak układ współrzędnych aby jego osie pokrywały się z osią maksymalnego i minimalnego momentu bezwładności, wtedy elementy poza przekątną są równe zero.

Prawo zachowania momentu pędu r dk r = L dt gdzie: L r - wypadkowy wektor momentu sił zewnętrznych Analiza dwóch przypadków 1.Pierwszy przypadek L r 0 I = const d K r r r 0 K = K () t dt r K = I r ω -ciało sztywne - jest funkcja czasu r ω = r ω ( t) -wektor prędkości jest zmienny w czasie a więc może zmieniać kierunek i moduł zmiany kierunku precesja i nutacja zmiany prędkości zarówno: nieregularne (pochodna ciśnienia atmosferycznego), okresowe (w wyniku zmian przyciągania ciał niebieskich), wiekowe (te same które powodują precesję)

2. Drugi przypadek L r = 0 I = const czyli ciało sztywne, na które nie działają siły zewnętrzne lub siły te się wzajemnie równoważą dk r r = 0 K = const dt r K = I r ω r ω = const gdyby przypadek ten miał miejsce czyli byłby stały w przestrzeni kierunek osi obrotu i stały moduł (mamy jednak do czynienia z przypadkiem pierwszym)

Równanie Eulera ω r = p q r Ciało jest ciałem sztywnym, główne momenty bezwładności pokrywają się z osiami op, oq i or. Równanie Eulera ma postać: dp A + dt dq B + dt dr C + dt ( C B) ( A C) qr = rp = L L ( B A) pq = Lr p q Dla ciała o symetrii obrotowej na które nie działają siły zewnętrzne lub się równoważą otrzymamy A = B, Lp = Lq = Lr = 0 dp A = ( A C) qr dt dq A = ( C A) rp dt dr C = 0 dt

Jeżeli A i C są wielkościami niezmiennymi w czasie czyli mamy do czynienia z ciałami sztywnymi to 2 r = const= p + q 2 czyli oś obrotu Ziemi zmienia swoje położenie względem układu współrzędnych sztywno związanego z Ziemią. Zjawisko to opisał Euler. Znając wartości momentów bezwładności a właściwie spłaszczenie dynamiczne A C A można obliczyć okres. Wynosi on 303 dni. Na przełomie XIX i XX wieku Chandler ustalił, że okres ten wynosi 420 dni. Różnica pomiędzy tymi wielkościami wynika z wpływy elastyczności Ziemi teoria Love a.

Wpływ ruchu bieguna na szerokość geograficzną P biegun ziemski umowny P biegun ziemski chwilowy ω -oś obrotu Ziemi ϕ szerokość geograficzna chwilowa ϕ -szerokość geograficzna odniesiona do umownego (międzynarodowego) układu współrzędnych ziemskich

Wpływ ruchu bieguna na współrzędne ziemskie gdzie: γ -kąt pomiędzy kierunkiem do bieguna umownego i chwilowego Γ -kat pomiędzy południkiem zerowym (Greenwich) a kierunkiem do bieguna chwilowego

Współrzędne bieguna chwilowego x = γ sin Γ y = γ cos Γ

Redukcja współrzędnych i azymutów do bieguna umownego ϕ ϕ' = x cosλ + λ λ' = cosλ A A' = y sin λ y sin λ ( xsin λ + y cosλ) secϕ gdzie: x, y współrzędne chwilowego bieguna Ziemi dostępne pod adresem ftp://hpiers.obspm.fr, http://www.iers.org

Czas gwiazdowy SYSTEMY CZASU 1.Czas gwiazdowy prawdziwy związany jest z ruchem obrotowym Ziemi V S v def = t V - prawdziwy punkt równonocy to taki w którego położeniu uwzględniony jest wpływ precesji i nutacji 2. Czas gwiazdowy średni odniesiony jest do średniego położenia punktu równonocy m - średni punkt równonocy to taki, w którego położeniu uwzględniony jst tylko wpływ precesji S m def = t m 3. zależność pomiędzy czasem gwiazdowym prawdziwym i średnim równanie równonocy Sv Sm = + ( ψ dψ ) cosε (patrz wykład dotyczący nutacji) ψ, dψ długo i krótkookresowa nutacja w długości

Czas słoneczny prawdziwy i czas słoneczny średni Czas słoneczny prawdziwy Definicja: Czas słoneczny prawdziwy jest równy katowi godzinnemu Słońca prawdziwego ±12h T def = V t V ±12h V -słońce prawdziwe (rzeczywiste Słońce poruszające się po ekliptyce) jest odwzorowaniem ruchu Ziemi po orbicie zgodnie z prawami Keplera W związku z tym Słońce porusza się po ekliptyce ze zmienną prędkością kątową. Zmiana dobowa położenia Słońca na równiku zmienia się sezonowo.

a przyrost dobowy kata godzinnego, zmienia się na skutek zmian prędkości kątowej pozornego ruchu rocznego Słońca oraz wywołana jest nachyleniem równika do ekliptyki (patrz rysunek) a przyrost dobowy długości ekliptycznej Słońca Czas słoneczny prawdziwy nie jest więc miarą czasu fizycznego, w związku z tym wprowadzono pojęcie czasu słonecznego średniego

Czas słoneczny średni Definicja: czas słoneczny średni jest równy kątowi godzinnemu Słońca średniego ±12h T def m = t m ±12h m Słońce średnie punkt poruszający się po równiku ze stałą prędkością kątową równą prędkości kątowej Słońca prawdziwego. Słońce prawdziwe i Słońce średnie przechodzą w tym samym momencie przez południk niebieski, którego α 18 h 42 m, co odpowiada w przybliżeniu początkowi roku kalendarzowego.

Zależność czasu od długości geograficznej t A t B = λ λ A B t = m12 B T B t = m12 t A T A A T S t B A T B A S B = T A h h T A B = λ λ A B = λ λ B

Długość geograficzną liczymy dodatnio w kierunku wschodnim od umownego południka zerowego zwanego potocznie południkiem Greenwich T A = T GR S A = S GR Gdzie TGR, SGR odpowiednio czas słoneczny i gwiazdowy Greenwich Średni czas słoneczny Greenwich nazywamy czasem uniwersalnym i oznaczamy symbolem UT lub TU. Czasy odniesione do południka miejscowego n.p. punktu A nazywamy czasem miejscowym. + λ + λ W życiu cywilnym używamy czasów strefowych różniących się od czasu uniwersalnego o pełną liczbę godzin. W Polsce w lecie używamy czasu wschodnioeuropejskiego (CWE) CWE = TU + 2h W zimie zaś czasu środkowoeuropejskiego (CSE) CSE = TU +1h

ZALEZNOŚĆ POMIĘDZY CZASEM SŁONECZNYM ŚREDNIM I CZASEM GWIAZDOWYM Wychodząc ze znanych wcześniej zależności mamy: Sm = α Ponieważ T m = t 12 h m + t m= α m + t m + 12 h Otrzymamy dla Greenwich h ( S ) = α 12 TU α m m GR Gdzie: m + + 12 m h h h m s s s 2 s 6 3 12 = 6 41 50 54841+ 8640184 812866T + 0 093104T 6 210 10 T T = JD 36525 JD 2000 Wygodniej jest wykonać obliczenia inaczej, obliczając najpierw czas gwiazdowy Greenwich o 0 h czasu uniwersalnego S 0. h ( m ) h TU S0 = α 12 0

Dalsze przeliczenie przedstawione jest na osi liczbowej na górnej części osi przedstawiona jest skala w jednostkach TU, na dolnej S GR. (TU) S czas uniwersalny wyrażony w jednostkach czasu gwiazdowego (TU) S = TU + µ µ - 0.0027379093 Zgodnie z rysunkiem napiszemy: (S m ) GR =(TU) S +S 0 =S 0 +(1+µ)TU=S 0 +µtu+tu gdzie: µtu = red.

Schemat obliczania: Dany jest moment w czasie środkowo-europejskim, obliczyć moment w czasie gwiazdowym średnim w Warszawie Czas środkowoeuropejski Czas uniwersalny redukcja Czas uniwersalny w jednostkach czasu gwiazdowego CSE -1 h TU +red=µtu (TU) S Czas gwiazdowy o 0 h TU +S 0 Obliczamy ze wzoru lub bierzemy z rocznika (S m ) GR Średni czas gwiazdowy Greenwich +λ W-wa Długość geograficzna Warszawy (S m ) W-wa

Przeliczenie czasu gwiazdowego na średni słoneczny Schemat obliczania: Średni czas gwiazdowy W-wa Długość geograficzna Warszawy Średni czas gwiazdowy Greenwich (S m ) W-wa -λ W-wa (S m ) GR Czas gwiazdowy o 0 h TU -S 0 Czas uniwersalny w jednostkach czasu gwiazdowego Czas uniwersalny Czas środkowoeuropejski (TU) S -red= ν TU TU +1 h CSE TU=S GR S 0 ν (S GR S 0 ) = (TU) S ν (TU) S Gdzie: (TU) S = S GR S 0 ν = 0.0027304336...

Ponieważ: Zależność pomiędzy czasem słonecznym prawdziwym i czasem słonecznym średnim równanie czasu T V = t V ±12 h = S - α V ±12 h T m = t m ±12 h = S - α m ±12 h Odejmując oba równania mamy: E = T V T m = α m - α V Gdzie E równanie czasu Aby obliczyć równanie czasu musimy obliczyć na dany moment rektascensję Słońca średniego i prawdziwego. Te pierwszą możemy obliczyć ze wzorów podanych wcześniej, zaś rektascensja Słońca prawdziwego może być obliczona na podstawie równań ruchu Ziemi wokół Słońca.

Równanie czasu możemy znaleźć w Roczniku Astronomicznym bądź w przybliżonej postaci: E=7 m 7sin(L+78 )+9 m 5sin2L Gdzie: L średnia długość ekliptyczna Słońca L=0 w momencie gdy Słońce wstępuje w znak Barana, w 2006 roku 20 marca 18 h 25 m UT W momencie początku wiosny astronomicznej E=0

Czas uniwersalny a czas fizyczny Wszystkie przedstawione wcześniej systemy czasów związane są z ruchem obrotowym Ziemi. Te same siły, które powodują precesję osi obrotu Ziemi powodują spowalnianie jej ruchu obrotowego, powodując w ciągu roku skrócenie doby średniej słonecznej o ok. 0.5s. Ponieważ zmiana prędkości obrotowej Ziemi ma nie tylko charakter wiekowy ale również okresowy i nieregularny systemy czasu oparte na ruchu obrotowym nie spełniają postulatu stałości jednostki, dlatego też w 1967 roku zdefiniowano nowa jednostkę czasu tzw. Sekundę atomową jako podstawową jednostkę w systemie SI. Definicja: sekunda atomowa jest trwaniem 9 192 631 770 okresów rezonansowej częstotliwości przejścia pomiędzy dwoma nadsubtelnymi (F=4, M=0) i (F=3, M=0) poziomami stanu podstawowego 2S 1/2 atomu cezu 133. Tak wyskalowana jednostka czasu jest równa 1 sekundzie efemerydalnej a początek skali jest związany z epoką 1900.0 tego czasu.

Czas atomowy TAI zastąpił czas efemeryd ET. Czas efemeryd ET zdefiniowano jako 1/31 556 925.9747 części roku zwrotnikowego epoki 1900. Jego dystrybucja opierała się początkowo na obserwacjach ruchu orbitalnego Ziemi, później Księżyca. Początkowo stosowany był jako argument tablic astronomicznych. Obecnie zastąpiony został czasem ziemskim dynamicznym TDT. TDT = TAI +32.184 Używany jest również czas ziemski TT TT TDT

Czasy uniwersalne: 1. UT0 (TU0) czas uniwersalny prawdziwy (odniesiony do rzeczywistego położenia osi obrotu Ziemi) 2. UT1 (lub TU1) czas uniwersalny średni (odniesiony do umownego bieguna.) UT1 = UT0 + λ λ - redukcja do międzynarodowego bieguna umownego, jest funkcją współrzędnych x,y bieguna chwilowego.

Czas uniwersalny koordynowany UTC (lub TUC) Jest czasem zbliżonym do czasu uniwersalnego UT1, ale mający jako jednostkę 1 sekundę czasu TAI, początek jest znany tak aby UTC Koordynację skał dodaje się przez dodanie tzw. sekundy przestępnej 31 grudnia lub 30czerwca. Od stycznia 2006 roku różnica ta wynosi TAI UTC = 33s TAI 1 s <. Czas uniwersalny koordynowany jest naszym czasem cywilnym. Dla wyznaczenia długości geograficznej musimy posługiwać się czasem UT1. Poprawkę UT1 UTC można znaleźć w Biuletynie IERS (http://hpiers.obspm.fr) Czas GPS (GPST) GPST = TAI 19s CO Gdzie CO mała poprawka empiryczna rzędu 10ns.

Inne ważne zależności: W 2006 roku ET = UT1 + 65s TDT = UT1 + 65s ET TDT

Kalendarze Pojęcie roku w astronomii związane jest z przejściem Słońca prze wybrany punkt na sferze niebieskiej. Mamy więc: 1. rok gwiazdowy (syderyczny) to okres obiegu Słońca po ekliptyce o 360. T = 365 d 256 360 2. rok zwrotnikowy okres czasu pomiędzy dwoma przejściami Słońca przez punkt równonocy T = 365 d 242 360 -precesja = 360-50 Początek rok Bessela α 18 h 42 m 3. rok anomalistyczny okres pomiędzy kolejnymi przejściami Ziemi przez peryhelium T = 365 d 260 360 + ruch linii apsyd = 360 + 11 4. Rok smoczy okres pomiędzy dwoma kolejnymi przejściami Słońca przez węzeł orbity Księżyca. T = 346 d 62 5. Data Juliańska ( XVI w) JD = 0 w momencie 4713 r p.n.e. 1 stycznia 12hTU

Kalendarz cywilny 1. kalendarz juliański przyjmuje T = 365,25 i lata przestępne co 4 lata (Juliusz Cezar 46 p.n.e.) 2. kalendarz gregoriański (papież Grzegorz XIII 1582 r.) zniesiono lata przestępne z lat kończących się na pełne setki, przestępne przyjęto tylko te, które dzielą się przez 400 (np. 1600, 2000, 2400) Pojęcie miesiąca w astronomii wiąże się z przejściem Księżyca przez ten sam punkt sfery niebieskiej.

Zjawiska wynikające z ruchu orbitalnego i obrotowego Ziemi i ich wpływ na współrzędne. Ruch orbitalny i obrotowy Ziemi odbywa się z prędkością, której nie można przyjąć jako zaniedbywalną w stosunku do prędkości światła, powoduje więc pozorną zmianę kierunku do obserwowanego ciała niebieskiego. Zjawisko to nazywamy zjawiskiem aberracji. Podobne przemieszczenie Ziemi w ruchu orbitalnym jak i obserwatora na skutek ruchu obrotowego Ziemi powoduje istotne zmiany kierunku do obserwowanego ciała niebieskiego, wpływ tego zjawiska nosi nazwę wpływu paralaksy.

Aberracja kierunku światła Zasada zjawiska aberracji przedstawiona jest na rysunku. O1 punkt główny obrazowy w momencie t 0 O1 punkt główny obrazowy w momencie t 0 + τ Gdzie: τ - czas potrzebny na przejście światła przez lunetę β - przesunięcie aberracyjne υ -prędkość obserwatora υ β" = ρ"sin β = k sin β c gdzie: υ k = ρ" c -stała aberracji

Rodzaje aberracji: km 30 206265 1.Roczna k = sek km 300000 sek 20" -wpływ ruchu orbitalnego Ziemi 2. Dobowa k = 0"3 -wpływ ruchu obrotowego Ziemi. Wartość k odnosi się do obserwatora znajdującego się na równiku. - Przykład: Wpływ aberracji rocznej na współrzędne. 1 1 1 1 α ab = Y& cosε cosα secδ + X& sinα secδ C 15 C 15 1 1 δ ab = Y& cosε tanε cosδ sinα sinδ + X& cosα sin C C Lub też: α ab = Cc + Dd δ = Cc' Dd' ab + 1 C = Y& c 1 D = X& c ( ) δ Gdzie: C, D wielkości redukcyjne C, d stałe redukcyjne

Pochodne współrzędnych Ziemi (składowe prędkości) dostępne są na serwerze JPL (Jet Propultion Laboratory NASA) 1 c = cosα secδ 15 c ' = ( tanε cosδ sinα sinδ ) 1 d = sinα secδ 15 d '= cosα sinδ Wartość C, D można znaleźć w Roczniku Astronomicznym Wartość c, d, c, d można obliczyć znając współrzędne gwiazdy.

Paralaksa dobowa Jest to zmiana kierunku do ciała niebieskiego wywołana ruchem obserwatora. Przykład: paralaksa dobowa sin p = ρ sin p = sin(180 o ρ sinω' ω') p = p = ρ ρ" sinω' p 0 sinω' ρ p0 = ρ" ω = ω' p UWAGA! Wartość paralaksy dobowej horyzontalnej jest niezaniedbywalna przy obliczaniu pozycji Słońca, Księżyca i Planet. Można je znaleźć w Roczniku Astronomicznym

Refrakcja astronomiczna Jest to załamanie się promienia światła w atmosferze przy przejściu od próżni aż do warstw powietrza optycznie najbardziej gęstych na powierzchni Ziemi. z odległość zenitalna prawdziwa z odległość zenitalna pomierzona R = z z Gdzie: R wpływ refrakcji R B 273 = 60"3 tan z' 760 273 + t Gdzie: B ciśnienie atmosferyczne w mm HG t temperatura w stopniach Celsjusza Wzór daje poprawne wartości powyżej 5 stopni wysokości nad horyzontem. Refrakcja w horyzoncie dla średnich szerokości geograficznych R=35

Refrakcja w poziomie częstotliwości fal radiowych W teorii propagacji fal elektromagnetycznych rozpatruje się dwie podstawowe warstwy, troposferę do wysokości 7-20 km oraz jonosferę. Temperatura powietrza maleje od powierzchni Ziemi aż do troposfery gdzie osiąga wartość około -55 C. Dalej następuje inwersja gradientu temperatury aż do stratopauzy na wysokości około 50 km po czym temperatura ponownie zaczyna maleć aż do mezopauzy, powyżej której mamy jonosferę czyli warstwę zjonizowanego gazu zawierającego swobodne elektrony uwolnione głównie przy nadfioletowym promieniowaniu Słońca. Refrakcja troposferyczna Troposfera dla częstotliwości niższych od 30GHz jest ośrodkiem dyspersyjnym w którym refrakcja praktycznie nie zależy od częstotliwości. Wzór na wpływ refrakcji troposferycznej na odległość (Hopfield) można przedstawić przy pomocy wzoru: δ r = sin Kd + 2 h + 6.25 sin K h 2 w + 2,25 Gdzie: h wysokość satelity nad horyzontem K d, K w oznaczają odpowiednio parametry obliczane dla suchego i wilgotnego powietrza, oblicza się je z zależności: 7 P 7 4810e 155,2 10 ; 155,2 10 Kd = H d K w = 2 T Zaś: P ciśnienie T - temperatura T H w H d =40136+148,72(T-237,16)m H w =11000m

Refrakcja jonosferyczna Silnie zależy zarówno od częstotliwości fali jak i liczby swobodnych elektronów [TEC]. Współczynnika załamania n można przedstawić za pomocą rozwinięcia w szereg potęgowy: 40.3 n = 1+ [ TEC] f Zaś oprócz fali nośnej t otrzymamy dzieląc n przez prędkość światła C t 40.3 = [ TEC] c f Opóźnienie to w kierunku pionowym dla częstotliwości używanych przez system GPS wynosi do 50 ns, a w horyzoncie może być nawet trzykrotnie większe.