1 Integraność konstrukcji Wykład Nr 2 Inżynierska i rzeczywista krzywa rozciągania Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji http://zwmik.imir.agh.edu.p/dydaktyka/imir/index.htm
2 2.1. Próba statycznego rozciągania Maszyna wytrzymałościowa: paratura badawcza: Ekstensometr iniowy i średnicowy: Geometria próbki:
siła osiowa F M. Skorupa, T. Machniewicz, GH, WIMiR 3 2.2. Inżynierska krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania F m σ = F (MPa) F u F e materiał easto-pastyczny (R.5 ) R sp R m (R e.2 ) R e materiał sprężysto-pastyczny wydłużenie N R H R m tan α = E materiał sprężysto-kruchy Naprężenia inżynierskie: σ = F ε = Odkształcenia inżynierskie: ε = R e długość początkowa, R c początkowe poe przekroju poprzecznego E moduł Younga (MPa)
2.2. Inżynierska krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania Charakterystyczne granice wytrzymałościowe: Granica proporcjonaności (R H ) to naprężenie inżynierskie wyznaczające koniec zakresu w obrębie którego zachodzące odkształcenie jest proporcjonane do wywołującego je naprężenia (granica iniowej sprężystości, granica obowiązywania prawa Hooke a) Granica sprężystości (R sp ) to naprężenie inżynierskie, po przekroczeniu którego ciało, mimo odciążenia, nie powraca już do pierwotnych kształtów bądź wymiarów. Umowna granica sprężystości odpowiada naprężeniu przy którym odkształcenia trwałe osiągają pewną umowną wartość (np..5% przy R.5 ). Granica pastyczności (R e ) to wartość naprężenia inżynierskiego przy którym zaczynają powstawać nieodwracane odkształcenia pastyczne. Przy tzw. wyraźnej granicy pastyczności następuje wyraźny wzrost odkształceń bez przyrostu, ub nawet przy chwiowym spadku, naprężeń. Umowna granica sprężystości odpowiada naprężeniu przy którym odkształcenia pastyczne osiągają pewną umowną wartość (np..2% przy R e.2 ). Wytrzymałość na rozciąganie (R m ) to naprężenie inżynierskie odpowiadające największej sie rozciągającej F m uzyskanej w czasie statycznej próby rozciągania. Wytrzymałość na ściskanie (R c ) to naprężenie inżynierskie odpowiadające największej sie ściskającej F c uzyskanej w czasie statycznej próby ściskania. Naprężenie zrywające (R u ) to rzeczywista wartość naprężenia działającego w miejscu zniszczenia próbki w momencie utraty spójności, odpowiadająca sie przyłożonej do próbki w chwii zniszczenia (F u ), odniesionej do rzeczywistego poa przekroju poprzecznego próbki ( u ) w miejscu jej rozerwania (R u =F u / u ). M. Skorupa, T. Machniewicz, GH, WIMiR 4
5 2.2. Inżynierska krzywa monotonicznego rozciągania/ściskania Charakterystyczne parametry: Odkształcenia do zniszczenia ( ub f ) trwałe odkształcenie inżynierskie próbki zmierzone po zerwaniu: ε f = U ; gdzie: U łączna długość próbki po rozerwaniu, długość początkowa próbki Przewężenie (q) wzgędna zmienna poa przekroju poprzecznego próbki w miejscu jej zerwania: q = U ; gdzie: U poe przekroju poprzecznego próbki po zerwaniu, początkowe poe przekroju poprzecznego próbki, Moduł Younga (E) (moduł sprężystości podłużnej) stała okreśająca sprężystość materiału, wyrażająca się zaeżnością wzgędnego odkształcenia iniowego materiału () od działającego wzdłuż tego samego kierunku normanego naprężenia (σ), w zakresie odkształceń sprężystych. Moduł Younga odpowiada tangensowi kąta nachyenia inżynierskiej krzywej rozciągania σ do osi odkształceń () w zakresie obciążeń poniżej granicy proporcjonaności (R H ). E = σ ε σ = E ε - prawo Hooke a materiał E, GPa guma.1-.1 poipropyen 1.5-2 drewno (dębina) 11 beton ~3 szkło 5-9 auminium 69 miedź 1-115 sta 19-21 diament 15-12
6 2.3 Naprężenia i odkształcenia inżynierskie Oparte są na początkowych nie zdeformowanych wymiarach próbek Oznaczenia:, R m, początek szyjki u ( f, f ) (b) (c) R e, płynięcie (d) (a) (a) (b) (c) (d) Rys.2.1 Schemat inżynierskiej krzywej rozciągania typowego materiału ciągiwego (cechy charakterystyczne: płynięcie, zazwyczaj szyjka).
7 2.3 Naprężenia i odkształcenia inżynierskie Oparte są na początkowych nie zdeformowanych wymiarach próbek Oznaczenia:, Stałe materiałowe o charakterze inżynierskim: granica pastyczności: wytrzymałość doraźna: R e R m P e o P max o inżynierskie naprężenie niszczące: f P f o inżynierskie odkształcenie niszczące: f L L f L o o gdzie: o - początkowa powierzchnia przekroju L o (L f )- długość pomiarowa początkowa (końcowa)
8 2.3 Naprężenia i odkształcenia inżynierskie p R e.2 B E R eg p =.2 p R ed E t R e.2 R e.2 p =? (a) (b) (c) Rys.2.2 Kształt początkowej części krzywej rozciągania: a) większość metai i stopów; b) z górną i doną granicą pastyczności (np. sta miękka); c) bez zakresu iniowego
9 2.3 Naprężenia i odkształcenia inżynierskie E - moduł Younga: - tyko przypadek a) i b) granica proporcjonaności: P - tyko przypadek a) i b) umowna granica pastyczności: R e,2 jest najdogodniejszym parametrem do zidentyfikowania początku odkształceń pastycznych (przy = R e2 ; p =,2) górna i dona granica pastyczności: R eg i R ed (R eg - duży rozrzut, R ed R e,2 ). E B B
2.3 Naprężenia i odkształcenia inżynierskie Ciągiwość: zdoność materiału do akomodacji odkształceń pastycznych bez zniszczenia. Materiały ciągiwe: zniszczenie poprzedzone znacznymi odkształceniami pastycznymi, duża energia potrzebna do zniszczenia (energia - poe pod wykresem - ), często R m > f *) Materiały kruche: zniszczenie bez makroskopowych odkształceń pastycznych, mała energia potrzebna do zniszczenia, R m = f *) M. Skorupa, T. Machniewicz, GH, WIMiR *) Shah K.P. The Hand Book on Mechanica Maintenance http://practicamaintenance.net/?p=1135 1
naprężenie, M. Skorupa, T. Machniewicz, GH, WIMiR 11 2.3 Naprężenia i odkształcenia inżynierskie Miary ciągiwości: odkształcenie do zniszczenia: przewężenie: kruchy q = f ε f = L f L L ciągiwy gdzie: L, L f, f materiał kruchy: f 5 % ; materiał ciągiwy: f > 5 % odpowiednio początkowo i końcowa długość pomiarowa. odpowiednio początkowe i końcowe poe przekroju poprzecznego. Posługiwanie się naprężeniami i odkształceniami energia do zniszczenia odkształcenie, inżynierskimi jest korzystne, gdy zmiany wymiarów próbki są niewiekie. Przy dużych odkształceniach pastycznych właściwsze jest używanie naprężeń i odkształceń rzeczywistych. Rys.2.3. Krzywa rozciągania materiału ciągiwego i kruchego
12 2.4 Naprężenia i odkształcenia rzeczywiste Oznaczenia: σ, ε 1) Naprężenia rzeczywiste: σ = P gdzie: - bieżąca powierzchnia przekroju (2.1) 2) Odkształcenie rzeczywiste: ε = j j (2.2) gdzie: zmiana długości mierzona jest w małych przyrostach 1, 2, 3 itd., a aktuana długość pomiarowa 1, 2, 3, itd. jest użyta do obiczenia odkształcenia da każdego przyrostu. Gdy j są bardzo małe: ε = d = n (2.3) gdzie: = + - długość końcowa, - długość początkowa.
13 2.4 Naprężenia i odkształcenia rzeczywiste Ponieważ odkształcenia rzeczywiste: zaś, odkształcenia inżynierskie: o d o n ~ (2.3) o (2.4) to na podstawie (2.3) i (2.4) otrzymujemy: ~ o n n 1 n1 o o (2.5) Ponieważ przy dużych odkształceniach pastycznych objętość pozostaje niezmienna, tzn.: d const d (2.6) to na podstawie (2.3) i (2.6): ~ d ~ n n 2 n d d (2.7)
14 2.4 Naprężenia i odkształcenia rzeczywiste Z definicji σ i σ: P ~ ~ (2.8) a uwzgędniając (2.6): const otrzymamy: ~ stąd: ~ 1 (2.9)
15 2.4 Naprężenia i odkształcenia rzeczywiste ~ o 1 o ~ o n n 1 n1 o o o Wnioski: σ jest większe niż σ ε ε w zakresie niewiekich odkształceń, po pojawieniu się szyjki: ε ε Uwaga: Z dobrą dokładnością można przyjąć: ε ε, σ ε da: ε 2ε gdzie: ε - odkształcenie inżynierskie przy jakim rozpoczyna się płynięcie materiału: ε = ε(r e ) Rys. 2.4 Porównanie rzeczywistej i inżynierskiej krzywej rozciągania da stai miękkiej
16 2.4 Naprężenia i odkształcenia rzeczywiste Własności materiału o charakterze rzeczywistym: (współrzędne ε i σ charakterystycznych punktów na krzywej rozciągania) rzeczywiste naprężenia niszczące σ f (J): f Pf f f f ~ (2.1) gdzie: f - współrzędna punktu na krzywej inżynierskiej,, f - przekrój odpowiednio początkowy i po zniszczeniu rzeczywiste odkształcenie niszczące (por. rów. 2.7): ~ f n (2.11) f
17 2.4 Naprężenia i odkształcenia rzeczywiste Zakres ważności różnych wzorów z próby rozciągania Równania (2.5) i (2.9): można stosować tyko do utworzenia się szyjki, bo potem wydłużenie nie jest równomierne na długości pomiarowej Po utworzeniu się szyjki: tyko równania (2.1) i (2.7) Równanie (2.9): może być stosowane przy dość znacznych odkształceniach pastycznych bo oparte jest na założeniu stałej objętości materiału (2.6).
18 2.5. Matematyczny opis krzywej rozciągania da metai Równanie Ramberga Osgooda: ~ ~ e ~ p ~ E ~ H 1 n ε e i ε p - odpowiednio sprężysta i pastyczna składowa odkształcenia, n - wykładnik umocnienia (--) (2.12) H - współczynnik wytrzymałości (MPa) Stałe materiałowe H i n wyznacza się przedstawiając otrzymane doświadczanie punkty ε i σ we współrzędnych podwójnie ogarytmicznych Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) iniowych; b) podwójnie ogarytmicznych
19 2.5. Matematyczny opis krzywej rozciągania da metai Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) iniowych; b) podwójnie ogarytmicznych Uwaga! We współrzędnych podwójnie ogarytmicznych: wykres σ - ε e jest inią prostą o współczynniku kierunkowym 1: og ~ og E og ~ e wykres σ - ε p jest inią prostą o współczynniku kierunkowym n: og ~ og H nog ~ p
2 2.5. Matematyczny opis krzywej rozciągania da metai Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) iniowych; b) podwójnie ogarytmicznych Uwaga! We współrzędnych podwójnie ogarytmicznych: wykres σ - ε e jest inią prostą o współczynniku kierunkowym 1: wykres σ - ε p jest inią prostą o współczynniku kierunkowym n: og ~ og E og ~ e og ~ og H nog ~ p Stąd: E wartość σ przy ε e = 1, ; H - wartość σ przy ε p = 1 Zakres małych odkształceń: wykres wypadkowy biski wykresowi σ - ε e Zakres dużych odkształceń: wykres wypadkowy biski wykresowi σ - ε p Uwaga: zaeżność σ = Hε p n jest ważna od ε p = aż do zniszczenia
21 2.5. Matematyczny opis krzywej rozciągania da metai Wyznaczenie wykładnika umocnienia n w równaniu inżynierskiej krzywej P ~ (): W chwii utworzenia się szyjki dp= dp ~ d d ~ ~ H ( ~ ) p n na podstawie (2.13) Wówczas, na podstawie (2.13) i (): (B): Przy odkształceniach pastycznych V==const, tzn. dv= (B) d+d= d d stąd, uwzgędniając (2.14) i (2.15) w chwii tworzenie sią szyjki: (C): Ponieważ w chwii tworzenia się szyjki Równanie H( ~ ~ H ( ~ ) ~ p n d df gdzie: d ~ d ~ ~ ~ d ub ~ ~ d d ~ ~ można przyjąć: uwzgędniając (C) oraz (2.15) ma postać: n n1 p) Hn (2.17) stąd: p d ~ ~ d (2.14) (2.15) (2.16) ~ ~ p n ~ p
2.6. Efekt bauschingera (188) Jeżei przy obciążaniu materiału wykazującego efekt umocnienia przekroczona zostanie granica pastyczności, to przy zmianie kierunku obciążenia (odciążaniu) odwrócone płynięcie materiału nastąpi gdy zmiana naprężenia osiągnie wartość = 2R e, tj. powyżej poziomu granicy pastyczności przy monotonicznym ściskaniu. σ R e σ R e =f() = 2R e ε ε R e M. Skorupa, T. Machniewicz, GH, WIMiR pojawienie się odkształceń pastycznych przy odciążaniu (początek tzw. odwróconego płynięcia - reversed yieding ) 22
23 2.7. Modee materiałów ideanie sprężysty sztywno ideanie pastyczny ~ sprężysto ideanie pastyczny sprężysto sprężysto pastyczny pastyczny z umocnieniem iniowym z umocnieniem nieiniowym ~ odkszt. pastyczne odkszt. pastyczne