Stacjonarność i ergodyczność Stacjonarność: Jeśli dla procesu stochastycznego ξ(t) wszystkie momenty są niezależne od czasu to jest on stajonarny wścisłymsensie.jeślitylkośrednia µ x i autokorelacjar x (τ)niezależąodczasutoproces jest stacjonarny w słabym sensie, co dla wielu zastosowań jest wystarczające. Ergodyczność: Proces jest ergodyczny jeśli jego średnie po czasie i po realizacjach są sobie równe. Oznacza to, że dla takiego procesu jedna realizacja jest reprezentatywna i zawiera całą informację o tym procesie.
Korelacja i funkcja korelacji Kowariancja: σ xy = (x(t) x)(y(t) ȳ)dt Współczynnik normalizacyjny: σ ss = (s(t) s) 2 dt Korelacja: ρ xy = σ xy σxx σ yy
Funkcja korelacji wzajemnej Dla sygnałów x(t) i y(t) sensowne jest rozszerzenie tych pojęć na wzajemne przesunięcia czasowe τ: σ xy (τ) = x(t)y(t + τ)dt a szczególnym przypadkiem jest funkcja autokorelacji. Zwróćmy uwagę na związek funkcji korelacji ze splotem.
Funkcja korelacji i kowariancji w Matlabie Dla skończonych sygnałów mamy estymmaty korelację: kowariancję: R xy (m) =E{x n+m y n } =E{x n y n m} C xy (m) =E{(x n+m x)(y n ȳ) } =R xy (m) xȳ Funkcję R można estymować z jednej realizacji procesu (zakładamy jego ergodyczność): { N m 1 R xy (m) = n=0 x n+m yn m 0 R yx( m) m <0
Funkcja korelacji i kowariancji w Matlabie W Matlabie mamy do dyspozycji funkcje xcorr i xcov xcorr E{ R xy (m)} = (N m )R xy (m) ma trzy możliwości normalizacji: unbiased- daje estymator nieobciążony, dzieląc przez (N m), biased- daje estymator obciążony dzieląc przez N, coeffdając1dlam =1
Badanie zależności między sygnałami przy pomocy funkcji korelacji wygeneruj dwa sygnały długości T = 2s próbkowane z częstościąf s =128Hzprzyuzyciufunkcjim_gabor.Oba gaborymajączęstośćf =20Hziσ=0.1s.Jedens1jest centrowanynat 0 =0.5sadrugis2napozycjit=1.5s policzyć i obejrzeć funkcje autokorelacji tych dwóch sygnałów - co można powiedzieć o amplitudzie i oscylacjach tej funkcji? Zmieniajtod0.5:0.1:1dlasygnałus1idlakażdegoztych t obejrzyj funkcję korelacji wzajemnej s1 i s2 Zmieniajfod20Hzdo50Hzco10Hzwobusygnałachi obserwuj zachowanie funkcji korelacji wzajemnej
Twierdzenie Wienera Chinczyna Twierdzenie Wienera Chinczyna transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fouriera test numeryczny fs=128;%czestosc probkowania[hz] dt = 1/fs;%przedzial probkowania[s] fn=fs/2;%czestosc Nyquista [s1, t]=m_gabor(20,0.1,1.5,2,128); % obliczamy funkcje autokorelacji [ak, lags] = xcorr(s1,s1,len/2); % ogladamy sygnal i f. autokorelacji subplot(221) plot(t,s1) title( Sygnals1 ); subplot(223) plot(lags*dt,ak); title( Funkcja autokorelacji sygnalu s1 ); xlabel( t[s] ); test numeryczny % widmo mocy wg. transformaty fouriera trans1=fft(s1); powerf= trans1.* conj(trans1)/length(trans1); moduls1 = powerf(1:end/2+1); moduls1(2:end-1) = 2*moduls1(2:end-1); %Ztransformatyf.ak.: transak = fft(ak); transak =(transak.*conj(transak)).^0.5/length(transak); transak = transak(1:end/2+1); transak(2:end-1) =2* transak(2:end-1); subplot(222); stem((0:length(transak)-1)/length(transak)*fn,transak); title( Modul transformaty funkcji autokorelacji ); xlabel( [Hz] ); subplot(224); stem((0:length(moduls1)-1)/length(moduls1)*fn,moduls1); title( Kwadrat transformaty sygnalu ); xlabel( [Hz] );