Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące (D) i wykrczjące poz progrm nuczni (W). Wymienione poziomy wymgń odpowidją w przybliżeniu ocenom szkolnym. Nuczyciel, określjąc te poziomy, powinien ztem sprecyzowć, czy opnowni pewnych czynności lub wiedzy będzie wymgł n ocenę dopuszczjącą (), dostteczną (3), dobrą (4), brdzo dobrą (5) lub celującą (6). Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez kżdego uczni. Wymgni podstwowe (P) zwierją wymgni z poziomu (K) wzbogcone o typowe problemy o niewielkim stopniu trudności. Wymgni rozszerzjące (R), zwierjące wymgni z poziomów (K) i (P), dotyczą zgdnień brdziej złożonych i nieco trudniejszych. Wymgni dopełnijące (D), zwierjące wymgni z poziomów (K), (P) i (R), dotyczą zgdnień problemowych, trudniejszych, wymgjących umiejętności przetwrzni przyswojonych informcji. Wymgni wykrczjące (W) dotyczą zgdnień trudnych, oryginlnych, wykrczjących poz obowiązkowy progrm nuczni. Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń n poszczególne oceny szkolne: ocen dopuszczjąc wymgni n poziomie (K) ocen dostteczn ocen dobr ocen brdzo dobr ocen celując wymgni n poziomie (K) i (P) wymgni n poziomie (K), (P) i (R) wymgni n poziomie (K), (P), (R) i (D) wymgni n poziomie (K), (P), (R), (D) i (W)
Wymgni obejmują dziły relizowne w klsie pierwszej (Liczby rzeczywiste, Język mtemtyki, Funkcj liniow, częściowo Funkcje) orz relizowne w klsie drugiej (Funkcje dokończenie, Funkcj kwdrtow i pozostłe). 1. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb rozkłd liczby nturlne n czynniki pierwsze stosuje cechy podzielności liczb rozróżni liczby pierwsze i liczby złożone znjduje njwiększy wspólny dzielnik i njmniejszą wspólną wielokrotność liczb porównuje liczby wymierne podje przykłd liczby wymiernej zwrtej między dwiem dnymi liczbmi orz przykłdy liczb niewymiernych zzncz n osi liczbowej dną liczbę wymierną przedstwi liczby wymierne w różnych postcich wyzncz przybliżeni dziesiętne dnej liczby rzeczywistej z zdną dokłdnością (również przy użyciu klkultor) orz określ, czy dne przybliżenie jest przybliżeniem z ndmirem, czy z niedomirem wykonuje proste dziłni w zbiorch liczb: cłkowitych, wymiernych i rzeczywistych oblicz wrtość pierwistk dowolnego stopni z liczby nieujemnej orz wrtość pierwistk nieprzystego stopni z liczby rzeczywistej wyłącz czynnik przed znk pierwistk włącz czynnik pod znk pierwistk wykonuje dziłni n pierwistkch tego smego stopni, stosując odpowiednie twierdzeni 1 usuw niewymierność z minownik wyrżeni typu przeksztłc i oblicz wrtości wyrżeń zwierjących pierwistki kwdrtowe, stosując wzory skróconego mnożeni wykonuje proste dziłni n potęgch o wykłdnikch cłkowitych przedstwi liczbę w notcji wykłdniczej oblicz procent dnej liczby oblicz, jkim procentem jednej liczby jest drug liczb wyzncz liczbę, gdy dny jest jej procent posługuje się procentmi w rozwiązywniu prostych zdń prktycznych odczytuje prwidłowo informcje przedstwione n digrmch wykonuje dziłni n wyrżenich lgebricznych (w tym: stosuje wzory skróconego
mnożeni dotyczące drugiej potęgi) stosuje ogólny zpis liczb nturlnych: przystych, nieprzystych, podzielnych przez 3 itp. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstwieni liczby nturlnej w postci k + r konstruuje odcinki o długościch niewymiernych usuw niewymierność z minownik wyrżeni typu b c d wykonuje dziłni łączne n liczbch rzeczywistych zmieni ułmek dziesiętny okresowy n ułmek zwykły porównuje pierwistki bez użyci klkultor wykonuje dziłni łączne n potęgch o wykłdnikch cłkowitych wyprowdz i stosuje wzory skróconego mnożeni b 3 3, 3 b oblicz, o ile procent jedn liczb jest większ (mniejsz) od drugiej rozwiązuje złożone zdni tekstowe, wykorzystując obliczeni procentowe oceni dokłdność zstosownego przybliżeni przeprowdz dowody twierdzeń dotyczących podzielności liczb dowodzi niewymierności niektórych liczb, np. 3, 3 1 uzsdni prw dziłń n potęgch o wykłdnikch nturlnych (cłkowitych) przeprowdz dowód nie wprost rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące liczb rzeczywistych. JĘZYK MATEMATYKI posługuje się pojęcimi: zbiór, podzbiór, zbiór skończony, zbiór nieskończony opisuje symbolicznie dne zbiory wyzncz iloczyn, sumę orz różnicę dnych zbiorów zzncz n osi liczbowej przedziły liczbowe wyzncz iloczyn, sumę i różnicę przedziłów liczbowych rozwiązuje proste nierówności liniowe zzncz n osi liczbowej zbiór rozwiązń nierówności liniowej zpisuje zbiory w postci przedziłów liczbowych, np. A x R : x 4 x 1 4,1 oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby do rozwiązywni elementrnych równń i nierówności typu x, x
wyzncz błąd bezwzględny orz błąd względny przybliżeni stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby do rozwiązywni równń i nierówności typu x 3 3, x 4 1 zzncz n osi liczbowej zbiory liczb spełnijących ukłd nierówności liniowych z jedną niewidomą wykonuje złożone dziłni n przedziłch liczbowych rozwiązuje nierówności liniowe przeksztłc wyrżeni lgebriczne, korzystjąc z włsności wrtości bezwzględnej wyzncz przedziły liczbowe określone z pomocą wrtości bezwzględnej wykorzystuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni równń i nierówności z wrtością bezwzględną formułuje i uzsdni hipotezy dotyczące prw dziłń n zbiorch stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej do przedstwieni w ukłdzie współrzędnych zbiorów opisnych kilkom wrunkmi uzsdni włsności wrtości bezwzględnej rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące zbiorów i włsności wrtości bezwzględnej 3. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu podje przykłdy funkcji liniowych opisujących sytucje z życi codziennego rysuje wykres funkcji liniowej dnej wzorem oblicz wrtość funkcji liniowej dl dnego rgumentu i odwrotnie wyzncz miejsce zerowe funkcji liniowej interpretuje współczynniki ze wzoru funkcji liniowej wyzncz lgebricznie orz odczytuje z wykresu funkcji liniowej zbiór rgumentów, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie (ujemne) odczytuje z wykresu funkcji liniowej jej włsności: dziedzinę, zbiór wrtości, miejsce zerowe, monotoniczność wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dne dw punkty wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykresem jest dn prost wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji liniowej z osimi ukłdu współrzędnych
sprwdz lgebricznie i grficznie, czy dny punkt nleży do wykresu funkcji liniowej przeksztłc równnie ogólne prostej do postci kierunkowej i odwrotnie sprwdz, czy dne trzy punkty są współliniowe stosuje wrunek równoległości i prostopdłości prostych wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest równoległy do wykresu dnej funkcji liniowej wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest prostopdły do wykresu dnej funkcji liniowej rozstrzyg, czy dny ukłd dwóch równń liniowych jest oznczony, nieoznczony czy sprzeczny rozwiązuje ukłdy równń liniowych z dwiem niewidomymi metodą podstwini i metodą przeciwnych współczynników określ liczbę rozwiązń ukłdu równń liniowych, korzystjąc z jego interpretcji geometrycznej rozwiązuje grficznie ukłdy nierówności liniowych z dwiem niewidomymi sprwdz, dl jkich wrtości prmetru funkcj liniow jest rosnąc, mlejąc, stł rysuje wykres funkcji przedziłmi liniowej i omwi jej włsności oblicz pole figury ogrniczonej wykresmi funkcji liniowych orz osimi ukłdu współrzędnych uzsdni n podstwie definicji monotoniczność funkcji liniowej sprwdz, dl jkich wrtości prmetru dwie proste są równoległe, prostopdłe znjduje współrzędne wierzchołków wielokąt, gdy dne są równni prostych zwierjących jego boki rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi opisuje z pomocą ukłdu nierówności liniowych zbiór punktów przedstwionych w ukłdzie współrzędnych rozwiązuje lgebricznie ukłd trzech równń liniowych z trzem niewidomymi określ włsności funkcji liniowej w zleżności od wrtości prmetrów występujących w jej wzorze wykorzystuje włsności funkcji liniowej w zdnich dotyczących wielokątów w ukłdzie współrzędnych rozwiązuje grficznie ukłd równń, w którym występuje wrtość bezwzględn rozwiązuje ukłdy równń liniowych z prmetrem rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące funkcji liniowej
4. FUNKCJE rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi sposobmi (wzorem, tbelą, wykresem, opisem słownym) poprwnie stosuje pojęci związne z pojęciem funkcji: dziedzin, zbiór wrtości, rgument, wrtość i wykres funkcji odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wrtości, miejsc zerowe, njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji wyzncz dziedzinę funkcji określonej tbelką lub opisem słownym wyzncz dziedzinę funkcji dnej wzorem, wymgjącym jednego złożeni oblicz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem (w prostych przykłdch) oblicz wrtość funkcji dl różnych rgumentów n podstwie wzoru funkcji oblicz rgument odpowidjący podnej wrtości funkcji sprwdz lgebricznie położenie punktu o dnych współrzędnych względem wykresu funkcji dnej wzorem wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji dnej wzorem z osimi ukłdu współrzędnych rysuje w prostych przypdkch wykres funkcji dnej wzorem sporządz wykresy funkcji: y f ( x p), y f ( x) q, y f ( x p) q, ( ), y f( x) n podstwie dnego wykresu funkcji y f (x) sporządz wykresy funkcji: f x y, f x y, mjąc dny wykres funkcji y f x odczytuje z wykresu wrtość funkcji dl dnego rgumentu orz rgument dl dnej wrtości funkcji n podstwie wykresu funkcji określ rgumenty, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie, ujemne określ n podstwie wykresu przedziły monotoniczności funkcji wskzuje wykresy funkcji rosnących, mlejących i stłych wśród różnych wykresów stosuje funkcje i ich włsności w prostych sytucjch prktycznych rozpoznje i opisuje zleżności funkcyjne w otczjącej ns rzeczywistości przedstwi dną funkcję n różne sposoby określ dziedzinę orz wyzncz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem, który wymg kilku złożeń n podstwie definicji bd monotoniczność funkcji dnej wzorem n podstwie wykresu funkcji określ liczbę rozwiązń równni f(x) = m w zleżności od wrtości prmetru m n podstwie wykresu funkcji odczytuje zbiory rozwiązń nierówności: f ( x) m, f ( x) m, f ( x) m, f ( x) m dl ustlonej wrtości prmetru m odczytuje z wykresów funkcji rozwiązni równń i nierówności typu: f(x) = g(x),
f(x)<g(x), f(x)>g(x) szkicuje wykres funkcji spełnijącej podne wrunki szkicuje wykres funkcji będący efektem wykonni kilku opercji, mjąc dny wykres funkcji y f x 1 x uzsdni, że funkcj f x nie jest monotoniczn w swojej dziedzinie wykorzystuje inne włsności funkcji (np. przystość) rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące funkcji 5. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży do wykresu dnej funkcji kwdrtowej rysuje wykres funkcji kwdrtowej w postci knonicznej i podje jej włsności ustl wzór funkcji kwdrtowej w postci knonicznej n podstwie informcji o przesunięcich wykresu przeksztłc wzór funkcji kwdrtowej z postci knonicznej do postci ogólnej i odwrotnie oblicz współrzędne wierzchołk prboli znjduje brkujące współczynniki funkcji kwdrtowej, znjąc współrzędne punktów nleżących do jej wykresu rozwiązuje równni kwdrtowe niepełne metodą rozkłdu n czynniki orz stosując wzory skróconego mnożeni wyzncz lgebricznie współrzędne punktów przecięci prboli z osimi ukłdu współrzędnych określ liczbę pierwistków równni kwdrtowego w zleżności od znku wyróżnik rozwiązuje równni kwdrtowe, stosując wzory n pierwistki sprowdz funkcję kwdrtową do postci iloczynowej, o ile możn ją w tej postci zpisć odczytuje miejsc zerowe funkcji kwdrtowej z jej postci iloczynowej rozwiązuje nierówności kwdrtowe wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji kwdrtowej w podnym przedzile stosuje wzory Viète do wyznczni sumy i iloczynu pierwistków równni kwdrtowego orz do określni znków pierwistków trójminu kwdrtowego bez wyznczni ich wrtości, przy czym sprwdz njpierw ich istnienie rysuje wykres funkcji y = f(x), gdy dny jest wykres funkcji kwdrtowej y = f(x) rozwiązuje proste równni i nierówności kwdrtowe z prmetrem
n podstwie wykresu określ liczbę rozwiązń równni f(x) = m w zleżności od prmetru m, gdzie y = f(x) jest funkcją kwdrtową rozwiązuje równni dwukwdrtowe orz inne równni sprowdzlne do równń kwdrtowych przez podstwienie niewidomej pomocniczej rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do wyznczni wrtości njmniejszej i njwiększej funkcji kwdrtowej rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do równń lub nierówności kwdrtowych znjduje iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązń nierówności kwdrtowych stosuje wzory Viète do obliczni wrtości wyrżeń zwierjących sumę i iloczyn pierwistków trójminu kwdrtowego, np. 1 1 x x rozwiązuje równni i nierówności kwdrtowe z prmetrem o wyższym stopniu trudności 1 przeksztłc n ogólnych dnych wzór funkcji kwdrtowej z postci ogólnej do postci knonicznej wyprowdz wzory n współrzędne wierzchołk prboli wyprowdz wzory n pierwistki równni kwdrtowego zzncz w ukłdzie współrzędnych obszr opisny ukłdem nierówności wyprowdz wzory Viète rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące funkcji kwdrtowej 6. PLANIMETRIA rozróżni trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwrtokątne stosuje twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie sprwdz, czy z trzech odcinków o dnych długościch możn zbudowć trójkąt uzsdni przystwnie trójkątów, wykorzystując cechy przystwni wykorzystuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni prostych zdń uzsdni podobieństwo trójkątów, wykorzystując cechy podobieństw zpisuje proporcje boków w trójkątch podobnych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni elementrnych zdń sprwdz, czy dne figury są podobne oblicz długości boków figur podobnych
posługuje się pojęciem skli do obliczni odległości i powierzchni przedstwionych z pomocą plnu lub mpy stosuje w zdnich twierdzenie o stosunku pól figur podobnych wskzuje w wielokątch odcinki proporcjonlne rozwiązuje proste zdni, wykorzystując twierdzenie Tles stosuje twierdzenie Pitgors wykorzystuje wzory n przekątną kwdrtu i wysokość trójkąt równobocznego oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym, gdy dne są boki tego trójkąt rozwiązuje trójkąty prostokątne 1 stosuje w zdnich wzór n pole trójkąt: P h orz wzór n pole trójkąt równobocznego 3 o boku : P 4 podje wrtości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º odczytuje z tblic wrtości funkcji trygonometrycznych dnego kąt ostrego znjduje w tblicch kąt ostry, gdy zn wrtość jego funkcji trygonometrycznej oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, mjąc dny sinus lub cosinus kąt rozróżni czworokąty: kwdrt, prostokąt, romb, równoległobok, trpez orz zn ich włsności wykorzystuje w zdnich wzory n pol czworokątów wykorzystuje funkcje trygonometryczne do obliczni obwodów i pól podstwowych figur płskich przeprowdz dowód twierdzeni o sumie mir kątów w trójkącie stosuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni trudniejszych zdń geometrycznych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni prktycznych problemów wyprowdz wzór n jedynkę trygonometryczną orz pozostłe związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt przeksztłc wyrżeni trygonometryczne, stosując związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, mjąc dny tngens lub cotngens kąt 1 stosuje podczs rozwiązywni zdń wzór n pole trójkąt P b sin przeprowdz dowód twierdzeni Tles przeprowdz dowód twierdzeni Pitgors
stosuje twierdzeni o związkch mirowych podczs rozwiązywni zdń, które wymgją przeprowdzeni dowodu rozwiązuje zdni wymgjące uzsdnieni i dowodzeni z zstosowniem twierdzeni Tles i twierdzeni odwrotnego do twierdzeni Tles stosuje włsności podobieństw figur podczs rozwiązywni zdń problemowych orz zdń wymgjących przeprowdzeni dowodu stosuje włsności czworokątów podczs rozwiązywni zdń, które wymgją przeprowdzeni dowodu rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące przystwni i podobieństw figur orz związków mirowych z zstosowniem trygonometrii 7. WIELOMIANY podje przykłdy wielominów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczynników zpisuje wielomin w sposób uporządkowny oblicz wrtość wielominu dl dnego rgumentu; sprwdz, czy dny punkt nleży do wykresu dnego wielominu wyzncz sumę, różnicę, iloczyn wielominów i określ ich stopień szkicuje wykres wielominu będącego sumą jednominów stopni pierwszego i drugiego określ stopień iloczynu wielominów bez wykonywni mnożeni podje współczynnik przy njwyższej potędze orz wyrz wolny iloczynu wielominów, bez wykonywni mnożeni wielominów oblicz wrtość wielominu dwóch (trzech) zmiennych dl dnych rgumentów stosuje wzory n kwdrt i sześcin sumy i różnicy orz wzór n różnicę kwdrtów do wykonywni dziłń n wielominch orz do rozkłdu wielominu n czynniki stosuje wzory n sumę i różnicę sześcinów rozkłd wielomin n czynniki, stosując metodę grupowni wyrzów i wyłączni wspólnego czynnik poz nwis dzieli wielomin przez dwumin x sprwdz poprwność wykonnego dzieleni zpisuje wielomin w postci w( x) p( x) q( x) r sprwdz podzielność wielominu przez dwumin x bez wykonywni dzieleni określ, które liczby mogą być pierwistkmi cłkowitymi lub wymiernymi wielominu sprwdz, czy dn liczb jest pierwistkiem wielominu i wyzncz pozostłe pierwistki wyzncz pierwistki wielominu i podje ich krotność, mjąc dny wielomin w postci iloczynowej znjąc stopień wielominu i jego pierwistek, bd, czy wielomin m inne pierwistki orz określ ich krotność rozwiązuje proste równni wielominowe wyzncz punkty przecięci się wykresu wielominu i prostej
szkicuje wykres wielominu, mjąc dną jego postć iloczynową dobier wzór wielominu do szkicu wykresu rozwiązuje nierówności wielominowe, korzystjąc ze szkicu wykresu lub wykorzystując postć iloczynową wielominu opisuje wielominem zleżności dne w zdniu i wyzncz jego dziedzinę wyzncz współczynniki wielominu, mjąc dne wrunki stosuje wielominy wielu zmiennych w zdnich różnych typów n n1 stosuje wzór: 1 1... 1 rozkłd wielomin n czynniki możliwie njniższego stopni stosuje rozkłd wielominu n czynniki w zdnich różnych typów nlizuje i stosuje metodę podną w przykłdzie, by rozłożyć dny wielomin n czynniki sprwdz podzielność wielominu przez wielomin ( x p)( x q) bez wykonywni dzieleni wyzncz ilorz dnych wielominów wyzncz resztę z dzieleni wielominu, mjąc określone wrunki porównuje wielominy rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące pierwistków wielokrotnych rozwiązuje równni i nierówności wielominowe szkicuje wykres wielominu, wyznczjąc jego pierwistki stosuje nierówności wielominowe do wyznczeni dziedziny funkcji zpisnej z pomocą pierwistk wykonuje dziłni n zbiorch określonych nierównościmi wielominowymi rozwiązuje zdni z prmetrem opisuje z pomocą wielominu objętość lub pole powierzchni bryły orz określ dziedzinę powstłej w ten sposób funkcji rozwiązuje zdni z prmetrem, o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące wyznczni reszty z dzieleni wielominu przez np. wielomin stopni drugiego stosuje równni i nierówności wielominowe do rozwiązywni zdń prktycznych przeprowdz dowody twierdzeń dotyczących wielominów, np. twierdzeni Bézout, twierdzeni o pierwistkch cłkowitych i wymiernych wielominów stosuje schemt Horner przy dzieleniu wielominów 8. FUNKCJE WYMIERNE
wskzuje wielkości odwrotnie proporcjonlne i stosuje tką zleżność do rozwiązywni prostych zdń wyzncz współczynnik proporcjonlności podje wzór proporcjonlności odwrotnej, znjąc współrzędne punktu nleżącego do wykresu szkicuje wykres funkcji f ( x) (w prostych przypdkch tkże w podnym zbiorze), x gdzie 0 i podje jej włsności (dziedzinę, zbiór wrtości, przedziły monotoniczności) przesuw wykres funkcji f ( x), gdzie 0 o wektor i podje jej włsności x podje współrzędne wektor, o jki nleży przesunąć wykres funkcji f ( x), gdzie x 0, by otrzymć wykres g( x) q x p dobier wzór funkcji do jej wykresu przeksztłc wzór funkcji homogrficznej do postci knonicznej w prostych przypdkch wyzncz symptoty wykresu funkcji homogrficznej wyzncz dziedzinę prostego wyrżeni wymiernego oblicz wrtość wyrżeni wymiernego dl dnej wrtości zmiennej skrc i rozszerz wyrżeni wymierne wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych w prostych przypdkch i podje odpowiednie złożeni rozwiązuje proste równni wymierne rozwiązuje, również grficznie, proste nierówności wymierne wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni prostych zdń tekstowych wyzncz ze wzoru dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej stosuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni prostych równń i nierówności wymiernych rozwiązuje zdni tekstowe, stosując proporcjonlność odwrotną wyzncz równni osi symetrii i współrzędne środk symetrii hiperboli opisnej równniem przeksztłc wzór funkcji homogrficznej do postci knonicznej szkicuje wykresy funkcji homogrficznych i określ ich włsności wyzncz wzór funkcji homogrficznej spełnijącej podne wrunki rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji homogrficznej szkicuje wykresy funkcji y f (x), y f ( x ), y f ( x ), gdzie y f (x) jest funkcją homogrficzną i opisuje ich włsności wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych i podje odpowiednie złożeni przeksztłc wzory, stosując dziłni n wyrżenich wymiernych rozwiązuje równni i nierówności wymierne
rozwiązuje ukłdy nierówności wymiernych wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni trudniejszych zdń tekstowych rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji wymiernej stosuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni równń i nierówności wymiernych zzncz w ukłdzie współrzędnych zbiory punktów spełnijących określone wrunki stosuje włsności hiperboli do rozwiązywni zdń stosuje funkcje wymierne do rozwiązywni zdń z prmetrem o podwyższonym stopniu trudności D. Zdor