FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest liczbą różną od zera, zwaną współczynnikiem proporcjonalności. Przykład 1: w ruchu ze stałą prędkością przebyta droga jest wprost proporcjonalna do czasu jazdy. Przykład 2: wartość towaru zakupionego na wagę jest wprost proporcjonalna do jego wagi. FUNKCJA LINIOWA Funkcję określoną wzorem y = ax + b dla a, b R nazywamy funkcją liniową. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, b wyrazem wolnym. Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Łatwo zauważyć, że funkcja liniowa jest rosnąca gdy prosta będąca jej wykresem idąc w prawo "wznosi się" a malejąca gdy w prawo "opada". W przypadku gdy prosta biegnie poziomo, funkcja jest stała. Pozostaje jeszcze zauważyć, że czym większa wartość bezwzględna współczynnika kierunkowego a tym prosta jest bardziej pionowa. Z kolei gdy wartość bezwzględna a dąży do zera, wykres funkcji liniowej staje się coraz bardziej poziomy. DZIEDZINA I ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI LINIOWEJ Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości jest również zbiór liczb rzeczywistych lub, w przypadku funkcji stałej, zbiór jednoelementowy (zawierający tylko jedną liczbę). MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI LINIOWEJ Za monotoniczność funkcji liniowej odpowiada współczynnik kierunkowy prostej. Gdy a > 0 wówczas funkcja jest rosnąca, gdy a < 0 funkcja jest malejąca. Dla a = 0 funkcja oczywiście jest stała. Z wyjątkiem funkcji stałej funkcja liniowa jest zawsze różnowartościowa. MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI LINIOWEJ Funkcja liniowa posiada na ogół jedno miejsce zerowe. Jest to odcięta punktu, w którym wykres funkcji przecina oś OX (odciętych). Wyjątkiem jest funkcja stała, która nie posiada miejsca zerowego lub też posiada same miejsca zerowe (f(x) 0). Badanie miejsc zerowych funkcji liniowej to nic innego jak rozwiązywanie równań (1 stopnia) z 1 niewiadomą. Badanie znaku funkcji liniowej to natomiast rozwiązywanie tego samego typu nierówności. 1
WYKRES FUNKCJI LINIOWEJ Każda prosta (oprócz prostej prostopadłej do osi OX) jest wykresem pewnej funkcji liniowej. Zależność współrzędnych punktów przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych od współczynników a i b pokazuje rysunek. Wyraz wolny b to po prostu współrzędna igrekowa punktu przecięcia prostej z osią OY. Do sporządzenia wykresu funkcji liniowej (poprowadzenia prostej) wystarczą dwa punkty. Zatem jak znaleźć wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty A(x, y ) i B(x, y )? Należy do wzoru ogólnego f(x) = ax + b podstawić współrzędne punktu A, a następnie punktu B i rozwiązać układ równań z dwoma niewiadomymi. Oczywiście w przypadku gdy oba punkty leżą na prostej prostopadłej do osi OX rozwiązania nie znajdziemy. Przykład 1: narysować wykres funkcji y = 2x + 3. Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres funkcji. Na przykład, dla x = 0 y = 3, a dla x = 1, y = 1, zatem jeden z punktów, nazwijmy go A, ma współrzędne (0, 3), zaś drugi B, ma współrzędne ( 1, 1). Znajdujemy punkty w układzie współrzędnych, prowadzimy przez nie prostą i gotowy wykres! Przykład 2: znaleźć wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt A(0, 3) i B ( 1, 1). Ponieważ punkty mają leżeć na wykresie, ich współrzędne muszą spełniać wzór ogólny funkcji liniowej y = ax + b. Podstawiając otrzymujemy: 3 = a 0 + b 1 = a ( 1) + b Rozwiązaniami powyższego układu są a = 2, b = 3, zatem szukany wzór funkcji to y = 2x + 3 RÓWNOLEGŁOŚĆ I PROSTOPADŁOŚĆ WYKRESÓW FUNKCJI LINIOWYCH Dwa wykresy funkcji liniowych o równaniach: y = a 1 x + b 1 i l: y = a 2 x + b 2 są równoległe, gdy a 1 = a 2, zaś prostopadłe, gdy m 1 m 2 = 1 Dwa wykresy funkcji liniowych o równaniach: y = a 1 x + b 1 i l: y = a 2 x + b 2 są prostopadłe, gdy a 1 a 2 = 1 GRAFICZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ Z 1 NIEWIADOMĄ Dzięki wykresom funkcji liniowych można spojrzeć inaczej na rozwiązywanie równań z 1 niewiadomą. Przypuśćmy, że mamy do rozwiązania równanie: 2x + 1 = x + 2 Jak łatwo obliczyć, rozwiązaniem równania jest x = 1. Ale zobaczmy, po lewej i po prawej stronie mamy wzory pewnych funkcji liniowych. Ich wykresy to proste, które nie są równoległe gdyż mają różne współczynniki kierunkowe. A proste nierównoległe mają punkt przecięcia, którego współrzędną x właśnie wyliczyliśmy. Zatem rozwiązywanie równań (1 stopnia) z 1 niewiadomą to w interpretacji graficznej znajdowanie punktu przecięcia prostych! Jest jasne, że proste równoległe reprezentują równanie sprzeczne (bez rozwiązania), zaś proste pokrywające się, równanie nieoznaczone (posiadające nieskończenie wiele rozwiązań). FUNKCJA LINIOWA A ŻYCIE CODZIENNE Jakie zjawiska w życiu codziennym możemy opisać funkcją liniową? Na przykład droga przebyta przez samochód jadący ze stałą prędkością jest funkcją liniową czasu. Funkcję tę można przedstawić wzorem: 2
S(t) = v t + x, gdzie v - prędkość, x - początkowy odcinek drogi, t czas. Podobnie, objętość wody znajdującej się w zbiorniku w danej chwili jest funkcja liniową czasu, jeśli tylko uznamy, że kran doprowadzający wodę pracuje ze stałą wydajnością. V(t) = w t + v, gdzie w - wydajność kranu, v - objętość początkowa, t czas RÓWNANIA PIERWSZEGO STOPNIA Z 2 NIEWIADOMYMI Równaniem pierwszego stopnia z 2 niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci: ax + by = c, a R, b R gdzie a i b nazywamy współczynnikami równania i a i b nie są równocześnie zerami: a + b > 0. WYKRES RÓWNANIA Wykresem równania pierwszego stopnia z 2 niewiadomymi x i y nazywamy zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, y), takich że współrzędne te spełniają te równanie. Wykresem jest linia prosta. UKŁADY RÓWNAŃ PIERWSZEGO STOPNIA Z 2 NIEWIADOMYMI Układem dwóch równań pierwszego stopnia z 2 niewiadomymi x i y nazywamy układ postaci: a x + b y = c a x + b y = c gdzie a + b > 0 i a + b > 0 Rozwiązaniem układu dwóch równań pierwszego stopnia z 2 niewiadomymi x i y nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania. Jeśli nie ma takiej pary wówczas zbiór rozwiązań układu jest pusty. Układ dwóch równań liniowych można przedstawić za pomocą dwóch prostych. W zależności od wzajemnego położenia tych prostych, układ nazywamy: Oznaczonym (układem równań niezależnych), gdy proste przecinają się w jednym punkcie. Wówczas istnieje jedno rozwiązanie: para liczb będących współrzędnymi punktu przecięcia. Nieoznaczonym (układem równań zależnych), gdy proste pokrywają się. Wówczas rozwiązaniem układu jest para współrzędnych każdego punktu należącego do tych prostych. Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. 3
Sprzecznym, gdy proste są równoległe. Nie istnieje punkt należący do obydwu prostych, zatem nie istnieje para liczb spełniająca oba równania. Zbiór rozwiązań układu jest pusty. METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ 1. Metoda podstawiania. Polega na wyliczeniu jednej z niewiadomych (x lub y) i podstawieniu jej do równania drugiego. Przykład: 3x + 2y = 4 x + 3y = 6 Z drugiego równania otrzymujemy: x = 6 3y Wstawiamy do pierwszego równania: 3(6 3y) + 2y = 4 18 + 9y + 2y = 4 11y = 22 y = 2 Wstawiamy y = 2 do x = 6 3y Otrzymujemy: x = 0 Rozwiązaniem układu równań jest zatem para liczb: x = 0 y = 2 2. Metoda przeciwnych współczynników. Polega na dodawaniu równań stronami, w sytuacji gdy przy tej samej niewiadomej w dwóch równaniach stoją przeciwne współczynniki. Przykład: 2x y = 3 x + 3y = 6 mnożymy drugie równanie stronami przez 2 i otrzymujemy: 2x y = 3 2x + 6y = 12 dodajemy równania stronami: 2x y 2x + 6y = 3 + 12 5y = 15 y = 3 Wstawiamy otrzymaną wartość do pierwszego równania z wyjściowego układu równań: 2x 3 = 3 x = 3 Rozwiązaniem układu równań jest zatem para liczb: x = 3 y = 3 3. Metoda wyznaczników. Polega ona na obliczeniu tak zwanych wyznaczników i zastosowaniu odpowiednich wzorów. Przypuśćmy, że mamy układ równań: Obliczamy wyznaczniki: a x + b y = c a x + b y = c gdzie a + b > 0 i a + b > 0 W = a a W = c c W = a Jeśli W 0 układ posiada 1 rozwiązanie: a b b = a b a b b b = c b c b c c = a c a c 4
x = W W y = W W Jeśli W = 0, W = 0, W = 0, układ jest nieoznaczony (posiada nieskończenie wiele rozwiązań). Jeśli W = 0, W 0 lub W 0, układ jest sprzeczny (nie posiada rozwiązań). ZADANIA SPRAWDZAJĄCE 1. Narysuj w układzie współrzędnych wykresy funkcji liniowych: a) y = 2x b) y = 3x + 1 c) y = 2x + 3 d) y = 1 2 x 2 2. Uzupełnij tabelkę funkcji liniowej f(x): x 1 2 7 11 f(x) 4 1 3. Znajdź wzór funkcji liniowej f(x), której wykres przechodzi przez punkty A(2 3, 8) i B( 3, 1) 4. Dana jest funkcja liniowa f(x), której wykres jest równoległy do wykresu funkcji y = x + 2 i przechodzi przez punkt A(4,3). Podaj wzór funkcji f(x). 5. Dana jest funkcja liniowa y = 3x + 5. Wyznacz miejsce zerowe tej funkcji. Dla jakiej wartości argumentu funkcja przyjmuje wartość 8? 6. Wyznacz punkt przeciecia wykresów funkcji y = x + 1 i y = 3x + 2. 7. Funkcja liniowa f(x) = 2x 3b + 4. Wyznacz liczbę b, dla której: a) wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0,7) b) miejscem zerowym jest liczba 8 8. Podaj wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkt A(1,2), której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji y = 1 x + 2. 2 9. Dane są funkcje y = mx + 2 i y = (1 m)x + 3. Dla jakich wartości parametru m wykresy tych funkcji są równoległe? 10. Dane sa dwie funkcje : y = nx + 4 i y = (2 + n)x = 5. Dla jakiej wartości parametru n wykresy tych funkcji są prostopadłe? 11. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej danej równaniem: 3x 2y + 1 = 0. 12. Znajdź współrzędne punktu wspólnego prostej y = 2x 1 z prostą prostopadłą przechodzącą przez punkt A(1; 1). 13. Dla jakiej wartości parametru m funkcja f(x) = (2m + 1)x + m jest funkcją rosnącą? 14. Dla jakich wartości parametrów a i b proste o równaniach: 3x + ay 4 = 0 i bx + (a + 1)y + 1 = 0 przecinają się w punkcie (2; 1)? 15. Dla jakich wartości parametru m proste dane równaniami: x + my + 1 = 0 i mx + y 1 = 0 nie mają punktów wspólnych? 16. Wyznacz punkt przecięcia wykresów funkcji liniowych y = x + 5 i y = 2x 1. 17. Wykaż, że czworokąt o wierzchołkach A( 1; 1), B( 2; 1), C(4; 1), D(2; 2) jest trapezem. 5
18. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i prostą y = 1 x + 6. 2 19. Znajdź wzór funkcji liniowej spełniającej warunki f(1) = 3 i f(x) = f(x + 1) 2. 20. Dla jakiej wartości parametru m punkt przecięcia prostych y = x + m i y = mx 4 należy do prostej y = 2x 2? 21. Rozwiąż układy równań metodą podstawiania x + 2y = 9 a) y 1 = 3x x y = 2 3x + y = 3 b) 1 2 x 1 = 1 4 x c) 2x 3y = 2 22. Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników 3x + 2y = 7 2x y 1 = 6 a) a) 5x + 2y = 1 y = x + 2 23. Rozwiąż układy równań metodą wyznaczników 2x + y = 16 a) 5x 6y = 0 10x + 8y + 11 = 0 b) 2x + 2y = 3 x = 4y + 7 c) 2x + 9y = 13 24. Rozwiąż układy równań a) + = 4 = 4 b) (x 2) 2(x 2y) = 1 (3 x)(3 + x) 2x + y = 4 (x 5)(y 2) = (x + 2)(y 1) c) (x 4)(y + 7) = (x 3)(y + 4) 25. Dopisz brakujące równanie układu tak, by powstały układ: a) 3x 2y = 5 był sprzeczny.. x + 6y = 3 b) był nieoznaczony.. c) 5x y = 6 był oznaczony.. 2x y x y b) 2 3 = 1 (x 4)(x + 4) = (x + 2) y x 3 d) 2 2x+y 4 = x y 8 x + y + 12 = 0 6