Materiały pomocnicze do wykładu

do wykładu 1

1. Tomasz P. Zieliński - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań, WKŁ, 2009, 2. Richard G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKŁ, 2010 (wyd. 2 rozszerzone), 3. Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, 1982 i późniejsze, 4. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G. - Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II, Helion 2006 2

pojecie sygnału jest rozumiane jako proces zmian w czasie pewnej wielkości fizycznej lub stanu obiektu fizycznego. za modele matematyczne sygnałów przyjmujemy funkcje, których argumentem jest czas t gdyż opisują one ewolucje sygnałów w czasie. W najprostszym przypadku są to funkcje tylko jednej zmiennej t. W przypadkach bardziej złożonych, np. w teorii linii długich lub zagadnieniach przetwarzania obrazów, mogą to być funkcje wielu zmiennych: czasu i współrzędnych przestrzennych. 3

Klasyfikacja (podział sygnałów) -ze względu na model matematyczny: -rzeczywiste. -zespolone, -dystrybucyjne -ze względu na możliwość przewidywania wartości sygnału w danej chwili: -deterministyczne, -losowe, -ze względu na dziedzinę określoności: -ciągłe, -dyskretne, 4

sygnały ciągłe: Sygnały określone w zbiorze ciągłym osi czasu są nazywane sygnałami ciągłymi w czasie lub krótko sygnałami ciągłymi. Najczęściej dziedziną takich sygnałów jest cała os (, ), dodatnia półoś [0, ) lub odcinek [t1, t2] osi czasu. sygnały dyskretne: Sygnały określone w dyskretnym (przeliczalnym lub skończonym) zbiorze punktów osi czasu (..., t 1, t0, t1, t2,... ) i nieokreślone w pozostałych punktach są nazywane sygnałami dyskretnymi w czasie lub krótko sygnałami dyskretnymi. Najczęściej dziedziną tych sygnałów jest zbiór chwil tn = nts, n, odległych od siebie o stały odstęp Ts nazywany przedziałem dyskretyzacji 5

-ze względu na przybieranie wartości różnych od zera: -w przedziale nieskończonym sygnały o nieskończonym czasie trwania, -w przedziale skończonym sygnały o skończonym i czasie trwania. -ze względu na dziedzinę i przeciwdziedzinę (zbiór wartości) ciągłe w czasie i ciągłe w amplitudzie (nazywane także analogowymi), ciągłe w czasie i dyskretne w amplitudzie, dyskretne w czasie i ciągłe w amplitudzie, dyskretne w czasie i dyskretne w amplitudzie szczególny rodzaj sygnały binarne (przybierają tylko wartości 0 i 1) 6

Sygnał i informacja Czy każdy sygnał niesie ze sobą informacje? Jeśli sygnał jest deterministyczny, znamy dokładnie jego przebieg w przeszłości, wartość w chwili bieżącej i zachowanie sie w przyszłości. Nasza wiedza o nim jest pełna. Nie może on nam zatem dostarczyć informacji, np. funkcja sin(t). Informacje przekazują tylko takie sygnały, które dla odbiorcy są losowe Sygnałami losowymi są: sygnały transmitowane w systemach komunikacyjnych powszechnego użytku: telefonicznych, radiowych, telewizyjnych. 7

Sygnały analogowe - podstawy notacja x(t), y(t), z(t) itd... parametry -wartość średnia, -wartość skuteczna -energia, -moc, 8

Wartość średnia Wartość średnia analogowego impulsowego sygnału deterministycznego x(t) określonego wprzedziale [t1, t2] jest całka z tego sygnału wprzedziale [t1, t2] odniesiona do szerokości tego przedziału: W przypadku sygnałów o nieskończonym czasie trwania wartość średnia jest określona jako wielkość graniczna:

Wartość średnia W szczególnym przypadku, gdy sygnał o nieskończonym czasie trwania jest sygnałem okresowym o okresie To, uśrednianie w czasie nieskończonym jest równoważne uśrednianiu za okres: przy czym chwila to jest dowolna.

Energia i Moc sygnału Energią analogowego sygnału deterministycznego x(t) nazywamy wielkość: Mocą (średnia) analogowego sygnału deterministycznego x(t) nazywamy wielkość graniczną:

W przypadku sygnałów okresowych wzór przybiera postać: gdzie To jest okresem, a to dowolna chwila. UWAGA: zdefiniowane wielkości energii i mocy sygnału nie maja sensu nadawanego im w fizyce i należy je rozumieć w znaczeniu uogólnionym, przy przyjętym założeniu bezwymiarowości sygnałów wymiarem energii sygnału jest sekunda, a moc jest bezwymiarowa, gdyby jednak sygnał był sygnałem napięcia lub prądu, to wydzieliłby na oporze jednostkowym 1Ω energie (lub moc) równa liczbowo wielkości wyznaczonej na podstawie podanych zależności.

Wartość skuteczna Wartością skuteczną sygnału jest nazywany pierwiastek z jego mocy: czyli:

Energia i moc charakteryzują właściwości energetyczne sygnału. Na ich podstawie sygnały deterministyczne są dzielone na dwie podstawowe rozłączne klasy. 1) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej energii, jeśli: 2) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej mocy, jeśli: moc sygnałów o ograniczonej energii jest równa zeru. energia sygnałów o ograniczonej mocy jest nieskończona. klasa sygnałów o ograniczonej energii obejmuje oczywiście wszystkie sygnały impulsowe ograniczone w amplitudzie, ale nie tylko. Do klasy tej należą także sygnały o nieskończonym czasie trwania, których wartości maleją dostatecznie szybko w funkcji czasu. sygnały o ograniczonej mocy i ograniczone w amplitudzie są sygnałami o nieskończonym czasie trwania. Szczególna podklasa tych ostatnich są sygnały okresowe.

Sygnał harmoniczny parametry sygnału harmonicznego: -amplituda X0, -pulsacja - 0, -faza początkowa φ0 gdzie: fo częstotliwość, To - okres 15

Każdy okresowy sygnał ciągły f(t) spełniający warunki Dirichleta można zapisać w postaci nieskończonej sumy składowych sinusoidalnych: 16

gdzie: a0 jest wartością średnią sygnału aki bk są trygonometrycznymi współczynnikami Fouriera 17

Korzystając z właściwości iż każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci wykładniczej i trygonometrycznej funkcję f(t) można przedstawić w postaci nieskończonego zespolonego szeregu wykładniczego: gdzie ck są zespolonymi współczynnikami Fouriera: 18

uwzględniając zależności Eulera: trygonometryczne współczynniki Fouriera można wyznaczyć ze współczynnika zespolonego: 19

Widmo amplitudowe sygnału f(t): Widmo fazowe sygnału f(t): 20

przykład: znaleźć trygonometryczne współczynniki Fouriera sygnału prostokątnego: 21

W miarę wzrostu N sygnał prostokątny będzie dokładniej aproksymowany N=1 N=5 N=11 N=30 N=150 22

widmo amplitudowe widmo fazowe 23

Dyskretne widmo Fouriera istnieje dla sygnałów okresowych. Natomiast w praktycznych zastosowaniach istnieje konieczność analizy sygnałów nieokresowych. Jeśli sygnał nieokresowy potraktuje się jako sygnał periodyczny o okresie dążącym do nieskończoności, to dyskretne widmo Fouriera takiego sygnału przechodzi wgranicy wwidmo ciągłe. X( x( t ) = T jω ) = 2π 2π 1 dω ω0 = dω nω0 T T 2π x( t ) e X( jωt jω ) e dt = F { x( t )} 1 jωt 1 Para transformat Fouriera dω = F { X ( jω )} ω transformata prosta zespolone widmo sygnału transformata odwrotna 24

[ Re( jω )] 2 [ Im( j ω ] 2 X ( jω ) = + ϕ = Im( arc tg Re( jω ) jω ) widmo amplitudowe sygnału widmo fazowe sygnału Transformata Fouriera przekształca sygnał z dziedziny czasu na dziedzinę częstotliwości (widmo) nco często upraszcza analizę sygnału. -widmo sygnału ciągłego jest widmem ciągłym 25

liniowość zmiana skali (podobieństwo) ax ( t ) + by( t ) ax( ω ) + by( ω x( at ) 1 a ω X a Jeśli a>1, to skala czasu jest rozszerzana, sygnał jest rozciągnięty wczasie. Rozszerzenie skali czasu powoduje zawężenie skali częstotliwości ijednocześnie zwiększa się a-krotnie gęstość widmowa. Fizycznie oznacza to, że zmniejsza się szybkość zmian sygnału, awidmo skupia się wokół małych częstotliwości, jego gęstość wtym zakresie wzrasta. Dla 0<a<1 sygnał jest ściśnięty wczasie, aefekty wdziedzinie częstotliwości są przeciwne. ) 26

przesunięcie w dziedzinie czasu x( t t ) X( ω ) e 0 jωt Przesunięcie sygnału na osi czasu o t 0 odpowiada pomnożeniu widma przez czynnik zespolony. Widmo amplitudowe sygnału przesuniętego nie ulega zmianie w stosunku do widma amplitudowego sygnału nieprzesuniętego. Natomiast widmo fazowe powiększa się oskładnik (-ω 0 t). Jest to całkowicie zgodne z sensem fizycznym przesunięcia sygnału na osi czasu. Struktura częstotliwościowa amplitud poszczególnych harmonicznych sygnału nie zmienia się. Zmieniają się natomiast fazy poszczególnych harmonicznych względem układu odniesienia. 0 27

przesunięcie w dziedzinie częstotliwości (modulacja) jωt 0 x( t ) e X( ω ω0 Jeśli widmo sygnału przesuwa się wprawo owartość ω 0 >0, to sygnał należy jω t pomnożyć przez sygnał wykładniczy zespolony,czyli jωt 0 x( t ) e X( ω ω0 Przesunięcie widma sygnału wlewo owartość ω 0 >0odpowiada pomnożeniu jω0t sygnału przez sygnał zespolony e,awięc jωt e 0 0 x( t ) e X( ω + ω0 ) ) ) 28

Dodając stronami powyższe pary transformat otrzymuje się 1 x( t )cosω 0t 0 + 0 2 [ X( ω ω ) + X ( ω ω )] Z powyższej zależności wynika, że pomnożenie sygnału harmonicznego przez sygnał x(t) powoduje rozszczepienie widma na dwie części przemieszczone wprawo iwlewo owartość ω 0.Operacja ta nazywana jest modulacją i wykorzystywana jest w telekomunikacji do przesyłania sygnałów na dalsze odległości. Sygnałem modulowanym jest sygnał harmoniczny (informacja zawarta jest wjego częstotliwości), asygnałem modulującym sygnał x(t). 29

30 impuls prostokątny τ Π t x(t) t -τ/2 τ/2 0 A τ 2π τ 4π τ 2π τ 4π Aτ = = = = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ωτ τ ωτ ωτ τ ωτ τ ω τ τ ω ω ω ω ω τ ω τ ω τ τ ω τ τ ω Sa A A A j j A e e j A e j A dt Ae X j j t j t j sin sin ) sin( ) ( / / / /

A A x(t) -τ/40 τ/4 x(t) -τ 0 τ t t τ A 2 2Aτ 8π τ 8π τ 4π τ 4π τ π τ π τ 4π τ 4π τ 8π τ 8π τ 31

Cechy DFT:

Symetria DFT

DFT daje prawidłowe wyniki tylko wtedy, kiedy ciąg danych wejściowych zawiera energię rozłożoną dokładnie przy częstotliwościach, dla których dokonujemy analizy określonych powyższym równaniem,będących całkowitymi wielokrotnościami częstotliwościpodstawowej fp/n. 59

Obliczanie transformaty bezpośrednio ze wzoru jest nieefektywne ze względu na zbyt dużą złożoność obliczeniową. Wzrostwydajności przyzastosowaniu FFT Algorytm FFT zmniejsza ilość operacji matematycznych potrzebnychdoobliczenia wartości transformaty 60

sygnały analogowe ciągłe w czasie i amplitudzie sygnały cyfrowe dyskretne w amplitudzie i czasie ciąg dyskretnych wartości danej wielkości fizycznej gdzie tp okres próbkowania

x(0) = 0, (pierwsza wartość ciągu, n=0 ) x(1) = 0.58779, (druga wartość ciągu, n=1 ) x(2) = 0.95106, (trzecia wartość ciągu, n=2 ) x(3) = 0.95106, (czwarta wartość ciągu, n=3 ) x(n) ciąg x argumentu n, n t s -wartości czasu dyskretnego poza wartościami nt s sygnał dyskretny nie jest określony

System dyskretny układ przekształcający dyskretny ciąg wejściowy próbek x(n) w ciąg wyjściowy y(n) x(0), x(1), x(2), x(3)... y(0), y(1), y(2), y(3)... System dyskretny x(n) System dyskretny y(n)

dodawanie a(n) odejmowani e a(n) b(n) + - b(n) + + c(n) c(n) c(n)=a(n)+b(n) c(n)=a(n)-b(n)

sumowanie b(n) b(n+1) b(n+2) b(n+3) + gdy n = 0, k zmienia się od 0 do 3, a(0) = b(0) + b(1) + b(2) + b(3) gdy n = 1, k zmienia się od 1 do 4, a(1) = b(1) + b(2) + b(3) + b(4) gdy n = 2, k zmienia się od 2 do 5, a(2) = b(2) + b(3) + b(4) + b(5) gdy n = 3, k zmienia się od 3 do 6, a(3) = b(3) + b(4) + b(5) + b(6)

mnożenie a(n) c(n) opóźnienie a(n) a(n) b(n) opóźnienie z -1 b(n) b(n) c(n)=a(n) b(n) c(0)=a(0) b(0) c(1)=a(1) b(1) c(2)=a(2) b(2), itd... b(n) = a(n-1)

proces reprezentowania sygnału o czasie ciągłym za pomocą próbek pobieranych w dyskretnych chwilach czasu. Problem: z jaką szybkością sygnał musi być próbkowany w celu zachowania jego zawartości informacyjnej?

dany jest ciąg próbek: x(0) = 0, x(1) = 0.86603, x(2) = 0.86603, x(3) = 0, x(4) = -0.86603, x(5) = -0.86603, x(6) = 0, Przykład:

Pytanie: Jaki sygnał jest reprezentowany przez dany ciąg próbek?

Niejednoznaczność częstotliwości dwa różne przebiegi są reprezentowane przez ten sam ciąg dyskretny, nie można jednoznacznie określić częstotliwości jedynie na podstawie wartości próbek ciągu wejściowego

Dany jest sygnał: x(t) = sin(2πf 0 t) próbkujemy sygnał x(t) z szybkością f s próbek/s tj. w równomiernych odstępach t s sekund gdzie ts=1/f s Rozpoczynając próbkowanie w chwili 0t s, 1t s, 2t s itd.. wartości n kolejnych próbek mają wartości: 0 próbka: x(0) = sin(2πf 0 0t s ) 1 próbka: x(1) = sin(2πf 0 1t s ) 2 próbka: x(2) = sin(2πf 0 2t s )...... nta próbka: x(n) = sin(2πf 0 nt s )

Wartość n-tej próbki ciągu x(n) jest równa wartości oryginalnego sygnału sinusoidalnego w chwili n t s Dwie wartości przebiegu sinusoidalnego są identyczne gdy odległe są o całkowitą wielokrotność 2π radianów tj: sin(α) = sin(α+ 2πm), gdzie m jest dowolną liczb. całk. Korzystając z tej zależności: zakładając, że m będzie całkowitą wielokrotnością n tj. m = k n

Z uwagi na to że: i wiedząc że: f s = 1/t s stąd: co oznacza, że ciąg x(n) próbek reprezentujących przebieg sinusoidalny oczęstotliwości f 0 równie dokładnie reprezentuje przebiegisinusoidalneoinnych częstotliwościach tj.: f 0 +kf s

Podsumowując: Podczas próbkowania zszybkością fs próbek/s,jeśli k jest dowolną liczbą całkowitą, nie jesteśmy w stanie rozróżnić spróbkowanych wartości przebiegu sinuisodalnego o częstotliwości f 0 oraz przebiegu sinusoidalnegooczęstotliwości(f o +kf s ).

Przykład: Spróbkujmysygnał o częstotliwości 7kHz z szybkością 6000 próbek/s. czyli : f 0 =7kHz, f s =6kHz, k=-1 f 0 +kf s = [7+ (-1) 6] = 1kHz stąd wynikałoby, że ciąg wartości próbek będzie identyczny dla częstotliwości 1kHz

Wartości próbek nie zmienią się gdyby próbkowany był sygnał o częstotliwości 1kHz z tą sama szybkością: Odpowiedź na pytanie która częstotliwość odpowiada wartościom próbek zaznaczonych na niebiesko brzmi: NIE WIADOMO!!! istnieje nieskończenie wiele częstotliwości odpowiadających tym próbkom.

Przykład 2: Spróbkujmysygnał o częstotliwości 4kHz z szybkością 6000 próbek/s. f 0 +kf s = [4+ (-1 6)] = -2kHz stąd wynikałoby, że ciąg wartości próbek będzie identyczny dla częstotliwości -2kHz sin(2π 4000t) sin(2π (-2000)t)

Jeśli ograniczymy nasze zainteresowanie do pasma w zakresie częstotliwości od fs/2 do fs/2 okaże się, że w danym paśmie będzie można jednoznacznie odtworzyć sygnał z próbek. interesujące nas pasmo częstotliwości 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -fs/2 fs fs/2 częstotliwość khz

-wartości szczytowe położone są przy wielkrotności częstotliwości próbkowania, -próbkowanie sygnału sin. o częst. 7kHz z częst. 6kHz dostarczy dyskretnego ciągu liczb, które dokładnie w taki sam sposób opiszą sygnał o częst. 13kHz, 19kHz itd... -podobnie z sygnałem sin o częst. 4 khz... interesujące nas pasmo częstotliwości powielenie powielenie powielenie 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 -fs/2 0 fs/2 fs 2fs 3fs częstotliwość khz

Idealny sygnał dolnopasmowy:

Dany jest sygnał dolnopasmowy ( o ograniczonym paśmie) o widmie: 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-6 -3 0 3 6 -Widmo jest symetryczne względem osi częstotliwości, -w sygnale nie ma częstotliwości > 0

Próbkowanie tego sygnału spowoduje powielenie widma względem częstotliwości próbkowania f s. Jeżeli f s > 2 0 widmo sygnału spróbkowanego: 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-21 -18-15 -12-9 -6-3 0 3 6 9 12 15 18 21-0 - 0

Kryterium Nyquista aby odseparować od siebie powielone widma przy częstotliwościach ±fs/2 częstotliwość próbkowania spełniać związek: fs 2 0 Twierdzenie Kotielnikowa Shannona Sygnał ciągły może być wiernie odtworzony z ciągu swoich próbek tworzących sygnał dyskretny, jeśli próbki te zostały pobrane z częstotliwością co najmniej dwukrotnie większą od granicznej częstotliwości swego widma (warunek Nyquista).

Części powieleń widma łączą się z widmem oryginalnym rezultatem jest tzw. błąd aliasingu. Dyskretne widmo spróbkowane nie reprezentuje oryginalnego sygnału. Widmo w pasmach: - 0 do - 0 /2 i 0 do 0 /2 zostało zniekształcone pojawił się aliasing przeciek widma z jednego powielenia do drugiego. aliasing aliasing aliasing aliasing -2fs -fs -fs/2 fs/2 fs - 0 0/2 0 /2 0 częstotliwość

Wszystkie składowe oryginalnego sygnału spróbkowanego będą znajdować się w paśmie zainteresowania tj. fs/2 do fs/2. Efektem tego jest to, że każda składowa powyżej 0 i poniżej - 0 zawsze znajdzie się w interesującym nas paśmie niezależnie od szybkości próbkowania. Z tego powodu zawsze przed przewarzaniem AC stosowane są filtry dolnoprzepustowe ograniczające pasmo do interesującej szerokości

fs Rzeczywiste sygnały w swoim widmie oprócz istotnych informacji zawartych w swoim paśmie zawierają szum który jest nieistotny a w wyniku operacji próbkowania może zniekształcić widmo sygnału spróbkowanego. szum interesujące pasmo szum -fs -fs/2 fs/2 częstotl.

-Próbkowanie sygnału dolnopasmowego (wraz z towarzyszącym mu szumem) z częstotliwością próbkowania fs > 2 0 zapobiega nakładaniu się widma interesującego sygnału, -nie chroni to jednak przed pojawieniem się energii szumu w paśmie pomiędzy fs/2 a fs/2. -fs -fs/2 fs/2 fs

szum oryginalny sygnał ciągły - 0 0 Analogowy filtr dolnoprzepustowy częst. graniczna 0 przefiltrowany sygnał ciągły szum Przetwornik A/C próbki dyskretne

Próbkowanie tego sygnału spowoduje powielenie widma względem częstotliwości próbkowania f s. Jeżeli f s > 2ω 0 widmo sygnału spróbkowanego: 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-21 -18-15 -12-9 -6-3 0 3 6 9 12 15 18 21 -ω 0 ω 0

Filtrowanieantyaliasingowe Widmo rzeczywistych sygnałów jest ze względu na zniekształcenia i szumy bardzo szerokie. Filtrowanie antyalisingowe, dolnoprzepustowym filtrem analogowym stosowane jest w celu ograniczenia szerokości widma rzeczywistego sygnału. Zastosowanie tego typu filtracji ma na celu zapobieżenie zjawisku nakładania się widm powstających w wyniku ich powielania podczas wykonywania próbkowania sygnału.

powielenie widma z szumem

-Próbkowanie sygnału dolnopasmowego (wraz z towarzyszącym mu szumem) z częstotliwością próbkowania fs > 2 ω 0 zapobiega nakładaniu się widma interesującego sygnału, -nie chroni to jednak przed pojawieniem się energii szumu w paśmie pomiędzy fs/2 a fs/2. -fs -fs/2 fs/2 fs

Filtracja dolnoprzepustowa

Próbkowanie sygnałów pasmowych W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe czyli takie, których ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej częstotliwości różnej od zera. Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosować próbkowanie dolnopasmowe, jednak zastosowanie specjalnej techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie zmniejszyć koszty realizacji sprzętowej, polegającej na zmniejszeniu szybkości przetwornika A/C oraz zmniejszeniu pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek.

Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz, skupiony wokół częstotliwości fc=20khz. Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa składowa częstotliwościowa w sygnale ma wartość 22,5kHz należy próbkować sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż 45kHz. Próbkowanie tego sygnału z częstotliwością znacznie mniejszą, równą 17,5 khz. Można zauważyć, że mimo mniejszej częstotliwości próbkowania powielenia widma nie zniekształcają widma oryginalnego skupionego wokół częstotliwości fc. Unikamy aliasingu. Okazuje się że próbkowanie z częstotliwością 45kHz nie jest konieczne.

Dany jest ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej fc. Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością fc. Maksymalna częstotliwość próbkowania : Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale 2fc-B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością fp1 taką że:

Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc-B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością fp1: Minimalna częstotliwość próbkowania: Jeżeli szybkość próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy dolną granicę częstotliwości próbkowania fp2. Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale 2fc+B sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością fp2 taką że:

Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc+B, sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością fp2:

W ten sposób otrzymujemy zależność definiującą zakres częstotliwości próbkowania pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału, częstotliwości nośnej i liczby powieleń: przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie kryterium Nyquista w odniesieniu do szerokości pasma sygnału

Przykład: Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fc=20khz. Za optymalną częstotliwość próbkowania przyjmuje się taką przy której powielenia widma stykają się ze sobą w punkcie f = 0Hz. Przy tak przyjętej częstotliwości próbkowania błędy związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne

Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie sygnału do szerokości pasma Wykreślimy zależność minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla różnych wartości m

Wynika z tego, że niezależnie od R minimalna częstotliwość próbkowania nie przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do 2B przy zwiększaniu częstotliwości nośnej (wzrost R).

Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwość z góry (maksymalną) otrzymamy obszary częstotliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią wartością parametru m.

Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosować częstotliwości próbkowania, które leżą na granicy strefy zakazanej i dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach należy wybierać częstotliwości nieco oddalone od tych granic. Takie postępowanie pozwala uniknąć np. problemów związanych z niedokładnością filtrów pasmowych, niestabilnością zegara układu próbkującego itp.

Uwzględnienie niedokładności próbkowania Δfp oraz marginesu zmian widma sygnału ΔB

Przekształcenie Z Przekształcenie Laplace a: Funkcja F(s) jest transformatą Laplace a funkcji f(t) zmienna s jest liczbą zespoloną: s= σ +jω Czynnik e -st jest zespoloną wirującą tłumioną sinusoidą:

Przekształcenie Z Funkcja transmitancji: iloraz transformaty Laplace s wielkości wejściowej X(s) przez transformatę Laplace a wartości wyjściowej Y(s) X(s) H(s) Y(s) Czyli w dziedzinie operatorowej: Y(s) = X(s) H(s)

Przekształcenie Z Odpowiedź impulsowa układu: Odpowiedź układu liniowego na wymuszenie w postaci bardzo wąskiego i bardzo wysokiego impulsu o powierzchni jednostkowej, który można uznać, w przypadku układów ciągłych, za przybliżenie delty Diraca - przy zerowych warunkach początkowych (w przypadku układów dyskretnych impulsem tym jest impuls Kroneckera). Odpowiedź impulsowa układu jest odwrotną transformatą Laplace a funkcji transmitancji H(s)

Związek pomiędzy transmitancją a odpowiedzią impulsową układu gdzie: Przekształcenie Z h(t)*y(t) jest splotem odpowiedzi impulsowej układu i pobudzenia

Przekształcenie Z

Filtry cyfrowe FIR i IIR Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej -(Finite Impulse Response filter FIR ) Nazwa FIR oznacza filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (polski skrót tej nazwy to filtr SOI). Oznacza to tyle, że reakcja na wyjściu tego układu na pobudzenie o skończonej długości jest również skończona (przez długość pobudzenia i odpowiedzi rozumiemy tu długość odcinka czasu, dla którego próbki sygnału przyjmują wartości niezerowe). Aby warunek ten był spełniony, w filtrach tego typu nie występuje pętla sprzężenia zwrotnego.

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtr IIR Filtry cyfrowe FIR i IIR jest jednym z rodzajów filtrów cyfrowych, który w odróżnieniu od filtrów FIR jest układem rekursywnym. Skrót IIR (ang. Infinite Impulse Response) oznacza nieskończoną odpowiedź impulsową (w polskiej literaturze stosowany jest również skrót NOI). Znaczy to tyle, że reakcja na pobudzenie o skończonym czasie trwania jest teoretycznie nieskończenie długa. Jest to efektem występowania pętli sprzężenia zwrotnego