INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIEII PODUKJI I TEHNOLOGII MATEIAŁÓW POLITEHNIKA ZĘSTOHOWSKA PAOWNIA ELEKTYZNOŚI I MAGNETYZMU Ć W I Z E N I E N E-6 WYZNAZANIE POJEMNOŚI KONDENSATOA METODĄ MOSTKOWĄ
I. Zagadieia do przestudiowaia. Kodesator i pojemość elektrycza. 2. Kodesator w obwodzie prądu zmieego. 3. Łączeie kodesatorów szeregowe i rówoległe. 4. Wyzaczaie pojemości metodą mostka Wheatstoe a. II. Wprowadzeie teoretycze. Kodesator i jego pojemość Kodesator staowi układ dwóch oddzieloych warstwą izolatora przewodików, służących do gromadzeia rówych ładuków, ale o przeciwych zakach. Przewodiki te azywamy okładkami, kodesatora, a izolator oddzielający okładki - dielektrykiem. Materiał dielektryczy może staowić powietrze, papier, szkło, mika itd. Wielkością charakteryzującą day kodesator jest jego pojemość. Pojemość kodesatora mierzy się stosukiem ładuku, zgromadzoego a jedej okładce kodesatora do apięcia między jego okładkami, co zapisujemy rówaiem q U () Jest to wielkość stała, charakterystycza dla daego kodesatora i zależa od jego wymiarów geometryczych oraz użytego izolatora. Stąd dla różych kodesatorów będziemy mieć róże wzory pozwalające obliczyć ich pojemość. Jeżeli apięcie wyrazimy w woltach [V], a ładuek q w kulombach [], to pojemość wyrazi się w faradach [F]. Pojemość jedego farada posiada kodesator, który po zwiększeiu jego ładuku o zwiększa potecjał o V. Jest to jedostka bardzo duża, dlatego w praktyce ajczęściej stosuje się jedostki podwielokrote pojemości: mikrofarad - μf = 0 6 F i pikofarad - pf = 0 2 F. 2. Kodesator w obwodzie prądu zmieego Przez kodesator prąd stały ie przepływa (pomijając krótkotrwały prąd ładowaia lub rozładowaia kodesatora o malejącej wartości), poieważ opór, jaki stawia doskoały kodesator przepływowi prądu stałego, jest ieskończeie wielki. Iaczej zachowuje się kodesator włączoy w obwód prądu zmieego. Napięcie tego prądu zmieia się cykliczie w graicach od U do +U. zas jedego cyklu zmia apięcia azywa się okresem prądu zmieego, ozaczamy go literą T. Odwrotość okresu l/t jest azywaa częstotliwością prądu zmieego i ozaczaa przez f. Jedostką częstotliwości w układzie SI jest jede herc [ Hz], przy czym Hz = /s. Jest to liczba okresów przypadających a jedą sekudę. 2
W czasie pierwszej ćwiartki okresu okładki kodesatora ładują się do apięcia U, tak jakby je ładował prąd stały. W astępym ćwierćokresie kodesator się rozładowuje od apięcia U do zera. W trzeciej ćwiartce okresu zowu się ładuje od zera do U, a w ostatiej ćwiartce okresu - rozładowuje się od U do zera itd. Podczas dopływu ładuku do okładek kodesatora w zawartej między okładkami warstwie izolatora zachodzą pewe zmiay. Miaowicie cząsteczki dielektryka układają się w kieruku pola elektryczego. Gdy kodesator się rozładuje, cząsteczki wskutek ruchu cieplego zowu powracają do przypadkowego rozkładu. W dielektryku podczas procesów ładowaia i rozładowaia mamy tzw. prąd przesuięcia. Prąd te zamyka obwód prądu płyącego przez kodesator przy połączeiu go ze źródłem prądu zmieego. W rezultacie przez kodesator będzie przepływał prąd zmiey, tak jak płyie przez każdy przewodik, a atężeie prądu możemy zmierzyć amperomierzem. Stosuek X c = U/I azywa się bierym oporem pojemościowym kodesatora bądź reaktacją pojemościową (kapacytacją). Wartość reaktacji zależy od pojemości kodesatora oraz od częstości prądu zmieego. Zależość tę określa rówaie X 2 f (2) Jedostką bierego oporu pojemościowego jest om [Ω]. 3. Łączeie szeregowe i rówoległe kodesatorów zęsto, gdy ie mamy kodesatora o potrzebej pojemości, musimy sobie radzić przez odpowiedie połączeie kilku kodesatorów. Kodesatory możemy łączyć w baterie i uzyskiwać kodesatory o pojemości zastępczej, przy czym ajprostszym sposobem łączeia są połączeia szeregowe i rówoległe. Łączeie szeregowe kodesatorów Schemat połączeia szeregowego przedstawioy jest a rysuku. Przy połączeiu szeregowym a każdym z kodesatorów zajduje się te sam ładuek (zasada zachowaia ładuku). Doprowadzeie do lewej okładki pierwszego kodesatora o pojemości ładuku +q powoduje wyidukowaie się a prawej okładce ładuku q, gdyż wszystkie liie sił zaczyające się a lewej okładce kończą się a prawej. Prawa okładka pierwszego kodesatora i lewa drugiego - o pojemości 2 są połączoe przewodikiem, zatem mają te sam potecjał. Jeżeli przed aładowaiem baterii kodesatorów przewodik te miał całkowity ładuek rówy zeru, to i po aładowaiu będzie o rówy zeru, a a lewej okładce drugiego kodesatora pojawi się ładuek +q. Idetycze zjawisko przebiega w pozostałych kodesatorach szeregu. 3
ys.. Szeregowe łączeie kodesatorów Gdy do baterii kodesatorów oraz do kodesatora zastępczego o pojemości doprowadzimy te sam ładuek q, to między okładkami poszczególych kodesatorów powstają apięcia: U 2, q U q 2, U q (3) q U (4) Jeśli kodesator ma zastępować działaie całej baterii szeregowej, to skutki doprowadzeia tych samych ładuków a ich muszą być takie same. Wiedząc, że apięcie wypadkowe jest sumą apięć a poszczególych kodesatorach U U U2... U (5) otrzymujemy zależość q q q q... 2 (6) w kosekwecji... 2 (7) albo s i i (8) Zatem odwrotość pojemości zastępczej s układu kodesatorów połączoych szeregowo jest rówa sumie odwrotości pojemości poszczególych kodesatorów układu. Pojemość zastępcza w tym połączeiu jest zawsze miejsza od ajmiejszej pojemości łączoych kodesatorów. 4
Łączeie rówoległe kodesatorów ys. 2. ówoległe łączeie kodesatorów Przy połączeiu rówoległym kodesatorów (rys. 2) a każdym kodesatorze występuje to samo apięcie, gdyż wszystkie okładki połączoe są przewodikiem, a więc staowią powierzchię ekwipotecjalą. Poieważ pojemości poszczególych kodesatorów są róże, więc i róże są i ładuki a każdym z kodesatorów, i wyoszą oe odpowiedio: q U, 2 2 q U, q U (9) ładuek a kodesatorze zastępczym wyosi zaś q U (0) Zgodie z zasadą zachowaia ładuku oraz z waruku rówoważości obu układów mamy astępującą rówość: q q q2... q () Po podstawieiu rówań (9) do rówaia () otrzymujemy U U U2... U (2) A po podzieleiu rówości (2) przez apięcie U uzyskujemy zależość 2... (3) albo w iej postaci r i i (4) Zatem pojemość zastępcza r układu kodesatorów połączoych rówolegle jest rówa sumie pojemości poszczególych kodesatorów układu. Pojemość zastępcza jest zawsze większa od 5
ajwiększej pojemości łączoych kodesatorów. Układ powyższy stosuje się w celu zwiększaia pojemości. 4. Zasada wyzaczaia pojemości kodesatora metodą mostka Wheatstoe a Opór pojemościowy kodesatora moża wyzaczać metodą mostka Wheatstoe'a, stadardowo stosowaą do pomiaru oporów czyych (omowych). Poieważ kodesator włączoy w obwód prądu zmieego zachowuje się jak opór, moża mierzyć jego pojemość za pomocą tegoż mostka zasilaego prądem zmieym. Schemat układu mostka Wheatstoe'a do wyzaczaia pojemości pokazay jest a rysuku 3. ys. 3. Schemat ideowy mostka Wheatstoe a do pomiaru pojemości Mostek taki składa się z dwóch rówolegle połączoych rozgałęzień: ADB i AEB. W gałęzi ADB zajduje się kodesator o zaej pojemości d oraz kodesator, którego pojemość chcemy zmierzyć. Kodesatory te posiadają pewe opory pojemościowe, wyoszące odpowiedio c d i c. Gałąź AEB zawiera atomiast opory i 2. Prąd zmiey płyący ze źródła (p. trasformatora) rozgałęzia się w puktach A i B. Zamiast galwaometru, który ie adaje się do pomiaru prądów zmieych, włączamy zwykłą słuchawkę telefoiczą S. Przewód zawierający słuchawkę łączy obydwie gałęzie mostka w puktach E i D. Przez słuchawkę prąd może płyąć lub ie płyąć w zależości od tego, czy potecjały w puktach E i D będą róże czy jedakowe. Przy odpowiedio dobraej relacji wartości, 2, d i przez mostek DE ie płyie prąd (mostek jest w rówowadze). ozpozajemy to po tym, że w słuchawce ie słychać sygału (brzęczeia). (Absolutej ciszy ie osiągiemy, gdyż w obwodzie zawsze istieją małe zakłóceia spowodowae 6
pewą iewielką idukcyjością oporów i 2, pewą przepustowością kodesatorów oraz iymi czyika-mi). Gdy te waruek zostaie spełioy (przez mostek ie płyie prąd), dla węzłów rozgałęzieia D i E, stosując pierwsze prawo Kirchhoffa, otrzymujemy: I I I I 2, 3 4 (5) Przez słuchawkę prąd ie płyie, jeśli pukty D i E mają jedakowe potecjały. Ma to miejsce tylko wtedy, gdy spadek apięcia wzdłuż AD rówa się spadkowi wzdłuż AE, a spadek apięcia wzdłuż DB jest rówy spadkowi apięcia wzdłuż EB, co zapisujemy rówaiami: U U 3, U2 U4 (6) Uwzględiając, że spadek apięcia jest rówy iloczyowi oporu przewodzeia i a- tężeia płyącego wzdłuż iego prądu, otrzymujemy rówaia wyrażające rówość wymieioych spadków apięć: 2 f I I3, 2 f d I I 2 4 2 (7) Korzystając z rówań (5) i (7) i elimiując atężeia prądu, a astępie dzieląc dwa ostatie rówaia stroami, otrzymujemy: 2 f 2 f d 2 (8) d 2 (9) albo 2 d (20) Przy czym moża pokazać, że pomiar jest ajbardziej dokłady i prosty, jeśli = 2. Wtedy d (2) W wyprowadzeiu wzoru pomiięto opór przewodów łączących. Przewodików łączących ie ależy zwijać spiralie, aby ie wosiły oe do obwodu iepotrzebych idukcyjości. Bardzo dogode jest zasilaie obwodu mostka prądem zmieym o częstości drgań od 000 do 2000 Hz, wytwarzaym przez geerator drgań. Przy takiej częstości prądu zasilającego wygodie jest korzystać ze słuchawek 7
telefoiczych o dużej oporości (rzędu kω). Za pomocą takich słuchawek ucho ludzkie może uchwycić różicę potecjałów a zaciskach rzędu l mv. III. Zestaw pomiarowy geerator G - umożliwia regulację częstości i apięcia zmieego doprowadzoego do mostka, dzielik apięcia DN - umożliwia astawę wartości oporów i 2 w dowolym stosuku / 2 z dokładością do 0. Przy czym c = + 2 = 0 k, pojemość dekadowa d umożliwia łatwą astawę wartości d, słuchawka telefoicza S, zestaw kodesatorów o iezaej pojemości. IV. Schemat układu pomiarowego ys. 4. Schemat układu pomiarowego stosowaego w ćwiczeiu V. Przebieg ćwiczeia. Zmotować układ mostka pojemościowego wg schematu przedstawioego a rysuku 4. 2. Podłączając pierwszy z badaych kodesatorów o iezaej pojemości, ustawić a dzieliku apięcia wartość 5000. Wtedy = 2 = 5000 Ω. 8
3. Zrówoważyć mostek za pomocą pokręteł pojemości dekadowej; ustawić taką wartość pojemości d, dla której słyszymy wyraźe ściszeie tou w słuchawce telefoiczej. Wówczas = d. 4. Określić iepewość pomiarową dla mierzoej pojemości. W tym celu, przy zrówoważoym mostku - pokrętłami pojemości dekadowej wyzaczyć ajmiejszą zmiaę pojemości dekadowej, przy której usłyszymy (odczuwamy) zmiaę d atężeia tou w słuchawce. Wtedy = d. 5. W sposób opisay wyżej wyzaczyć wartość astępych mierzoych pojemości kodesatorów 2 i 3 oraz ich iepewości 2 i 3 6. Połączyć kodesatory szeregowo, rówolegle oraz w sposób mieszay i zmierzyć pojemości zastępcze dla tych połączeń w sposób opisay wyżej oraz iepewości pomiarowe tych pojemości. 7. Wyiki pomiarów wpisać do tabeli pomiarów. VI. Tabela pomiarów Lp. Nr kodesatora i rodzaj połączeia [Ω] Wartość a dzieliku 2 [Ω] Pojemość dekadowa d [ F] Pojemość zmierzoa [ F] Niepewość bezwzględa Δ = Δ d [ F] Niepewość względa 00% Pojemość obliczoa dla połączeń obl [ F] óżica między pojemością obliczoą i zmierzoą Δ = obl [Ω] VII. Opracowaie wyików pomiarów. Przyjmując zmierzoe wartości pojemości pojedyczych kodesatorów, wy-koać obliczeia mające a celu sprawdzeie praw połączeń kodesatorów: a) dla połączeia rówoległego kodesatorów z rówaia (4), p. dla pojemości kodesatorów ozaczoych r i 2 teoretycza wartość pojemości zastępczej powia być rówa obl,2 = + 2. Zmierzoa wartość pojemości zastępczej w eksperymecie jest rówa,2. Obliczyć różicę = obl,2,2 (podobie postępujemy dla pozostałych połączeń kodesatorów) b) dla połączeia szeregowego kodesatorów z rówaia (8), c) dla połączeia mieszaego kodesatorów. 2. Wyzaczyć iepewości względe wyzaczoych pojemości w %. 9
3. Wyiki obliczeń umieścić w tabeli pomiarów. 4. Sformułować pisemie wiosek, czy teoretycze prawa połączeń pojemości kodesatora zostały w ćwiczeiu potwierdzoe czy też ie. Literatura. Dryński T., Ćwiczeia laboratoryje z fizyki, PWN, Warszawa 978. 2. Koopka M., Zięba A. i ii, Ćwiczeia laboratoryje z fizyki, Wydawictwo AGH, Kraków 986. 3. Lech J., Opracowaie wyików pomiarów w laboratorium podstaw fizyki, Wydawictwo Wydziału Iżyierii Procesowej, Materiałowej i Fizyki Stosowaej Pz, zęstochowa 2005. 4. Szczeiowski S., Fizyka doświadczala, cz. III, Elektryczość i magetyzm, PWN, Warszawa 972. 5. Szydłowski H., Pracowia fizycza wspomagaa komputerem, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003. 0